綜合訓(xùn)練（5）大題訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學二輪復(fù)習

2022屆高三數(shù)學二輪復(fù)習大題訓(xùn)練（綜合訓(xùn)練（5））1．如圖，在四邊形中，，，，，．（1）求；（2）求的長．2．3名志愿者在10月1號至10月5號期間參加社區(qū)服務(wù)工作．（1）若每名志愿者在這5天中任選一天參加社區(qū)服務(wù)工作，且各志愿者的選擇互不影響，求3名志愿者恰好連續(xù)3天參加社區(qū)服務(wù)工作的概率；（2）若每名志愿者在這5天中任選兩天參加社區(qū)服務(wù)工作，且各志愿者的選擇互不影響，記表示這3名志愿者在10月1號參加社區(qū)服務(wù)工作的人數(shù)，求隨機變量的分布列．3．如圖①，在梯形中，，，，為的中點，以為折痕把折起，連接，，得到如圖②的幾何體，在圖②的幾何體中解答下列兩個問題．（1）證明：；（2）請從以下兩個條件中選擇一個作為已知條件，求二面角的余弦值．①四棱錐的體積為2；②直線與所成角的余弦值為．4．已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓的離心率小于．點在橢圓上，，且△面積的最大值為．（1）求橢圓的標準方程；（2）點，，是橢圓上不同的兩點，點在直線上，且，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．5．已知和均為等差數(shù)列，，，，記，，，，2，3，，其中，，，表示，，，這個數(shù)中最大的數(shù)．（1）計算，，，猜想數(shù)列的通項公式并證明；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，若對任意恒成立，求偶數(shù)的值．6．已知函數(shù)．（1）證明：；（2）對，，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．2022屆高三數(shù)學二輪復(fù)習大題訓(xùn)練（綜合訓(xùn)練（5））1．如圖，在四邊形中，，，，，．（1）求；（2）求的長．【解答】（1）因為，，，所以，，∴．（2）由已知及正弦定理，可得，解得，由于，，在中，由余弦定理可得：．2．3名志愿者在10月1號至10月5號期間參加社區(qū)服務(wù)工作．（1）若每名志愿者在這5天中任選一天參加社區(qū)服務(wù)工作，且各志愿者的選擇互不影響，求3名志愿者恰好連續(xù)3天參加社區(qū)服務(wù)工作的概率；（2）若每名志愿者在這5天中任選兩天參加社區(qū)服務(wù)工作，且各志愿者的選擇互不影響，記表示這3名志愿者在10月1號參加社區(qū)服務(wù)工作的人數(shù)，求隨機變量的分布列．【解答】（1）3名志愿者每人任選一天參加社區(qū)服務(wù)，共有種不同的結(jié)果，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等．設(shè)“3名志愿者恰好連續(xù)3天參加社區(qū)服務(wù)工作”為事件則該事件共包括不同的結(jié)果．所以．即3名志愿者恰好連續(xù)3天參加社區(qū)服務(wù)工作的概率為．（2）解法1：隨機變量的可能取值為0，1，2，3．，．隨機變量的分布列為：0123解法2：日參加社區(qū)服務(wù)的概率均為．則三名志愿者在10月1日參加社區(qū)服務(wù)的人數(shù)．，，1，2，3．分布列為：01233．如圖①，在梯形中，，，，為的中點，以為折痕把折起，連接，，得到如圖②的幾何體，在圖②的幾何體中解答下列兩個問題．（1）證明：；（2）請從以下兩個條件中選擇一個作為已知條件，求二面角的余弦值．①四棱錐的體積為2；②直線與所成角的余弦值為．【解答】（1）證明：在圖①中，因為為中點，所以，，所以為平行四邊形，所以，同理可證，在圖②中，取中點，連接，因為，所以，，因為，所以平面，因為平面，所以；（2）若選擇①：因為平面，平面，所以平面平面且交線為，所以過點作，則平面，因為，所以四棱錐的體積，所以，所以與重合，所以平面，建系如圖，則，平面法向量為，設(shè)平面法向量為，，，因為，所以，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值為；若選擇②：因為，所以即為異面直線與所成角，在中，，所以，所以，即，因為平面，平面，所以平面平面且交線為，所以平面，建系如圖，則，平面法向量為，設(shè)平面法向量為，，，因為，所以，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值為．4．已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓的離心率小于．點在橢圓上，，且△面積的最大值為．（1）求橢圓的標準方程；（2）點，，是橢圓上不同的兩點，點在直線上，且，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【解答】（1），，則，當為上頂點或下頂點時，△的面積最大，，由解得．所以橢圓的方程為．（2）由于，，所以，，，四點共線，由（1）得橢圓的方程為，故在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓必有兩個交點，，不妨設(shè)在之間，在的延長線上，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，，即，，即．由，得，所以．當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，．由解得，由，得，，所以．綜上所述，為定值，且定值為0．5．已知和均為等差數(shù)列，，，，記，，，，2，3，，其中，，，表示，，，這個數(shù)中最大的數(shù)．（1）計算，，，猜想數(shù)列的通項公式并證明；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，若對任意恒成立，求偶數(shù)的值．【解答】（1）設(shè)等差數(shù)列，的公差分別為，，，，，，，解得，，，．，，，，2，3，，，，，，，，，．猜想數(shù)列的通項公式．證明：，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，．（2），數(shù)列的前項和為，對任意恒成立，，化為：，解得：，偶數(shù)的值為2．6．已知函數(shù)．（1）證明：；（2）對，，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】（1）證明：令，則，，單調(diào)遞增，當時，當時，故存在唯一使得，且當時，當時，故在上