在計(jì)數(shù)問題中培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”能力-以“環(huán)形染色問題的通法及其變形”為例

在計(jì)數(shù)問題中培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！蹦芰Α浴碍h(huán)形染色問題的通法及其變形”為例在計(jì)數(shù)問題中培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”能力——以“環(huán)形染色問題的通法及其變形”為例摘要：數(shù)學(xué)建模作為一種培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的方法，已經(jīng)在數(shù)學(xué)教育中得到廣泛應(yīng)用。本文以“環(huán)形染色問題的通法及其變形”為例，探討了如何通過這個(gè)經(jīng)典問題來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。首先介紹了環(huán)形染色問題的基本情況和一般解法，然后對(duì)該問題進(jìn)行了推廣和變形，引導(dǎo)學(xué)生通過分析、抽象和求解這些問題來培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模能力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；環(huán)形染色問題；通法；變形第一節(jié)引言數(shù)學(xué)建模作為一種培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的方法，已經(jīng)在數(shù)學(xué)教育中得到廣泛應(yīng)用。它通過讓學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，進(jìn)行問題分析、模型建立和求解等一系列活動(dòng)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力和創(chuàng)新意識(shí)。本文以“環(huán)形染色問題的通法及其變形”為例，介紹了如何通過這個(gè)經(jīng)典問題來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。第二節(jié)環(huán)形染色問題的基本情況和一般解法環(huán)形染色問題是數(shù)學(xué)中經(jīng)典的計(jì)數(shù)問題之一。問題描述如下：有n個(gè)相同的小球，將它們放入環(huán)形框中，并給每個(gè)小球染上紅色或者藍(lán)色。要求不能出現(xiàn)連續(xù)兩個(gè)紅色或連續(xù)兩個(gè)藍(lán)色的小球。問有多少種不同的染色方案？對(duì)于這個(gè)問題，一般的解法是遞推法。假設(shè)f(n)表示將n個(gè)小球放入環(huán)形框中，并滿足條件的染色方案數(shù)。顯然有f(1)=2，f(2)=3。對(duì)于n>2的情況，考慮最后一個(gè)小球的染色情況，可以分為兩種情況：最后一個(gè)小球與第一個(gè)小球染色相同或不同。如果最后一個(gè)小球與第一個(gè)小球染色相同，則問題可以轉(zhuǎn)化為將n-1個(gè)小球放入環(huán)形框中的問題，即f(n)=f(n-1)；如果最后一個(gè)小球與第一個(gè)小球染色不同，則問題可以轉(zhuǎn)化為將n-2個(gè)小球放入環(huán)形框中的問題，即f(n)=f(n-2)。因此，可以得到遞推關(guān)系式f(n)=f(n-1)+f(n-2)。通過遞推關(guān)系式，可以計(jì)算出f(n)的值，從而得出染色方案的總數(shù)。這個(gè)遞推關(guān)系式也被稱為環(huán)形染色問題的通法。第三節(jié)環(huán)形染色問題的推廣和變形在學(xué)生熟悉了環(huán)形染色問題的基本情況和一般解法之后，可以對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行推廣和變形，以培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模能力。一種可能的推廣是考慮將小球染色成更多的顏色。假設(shè)有k種不同的顏色，要求不能出現(xiàn)連續(xù)兩個(gè)相同顏色的小球。問有多少種不同的染色方案？在這種情況下，遞推關(guān)系式可以表示為f(n)=f(n-1)+(k-1)f(n-2)，其中k>2。另一種可能的變形是考慮將環(huán)形框分成若干個(gè)相同長度的段，并要求每個(gè)段中不能出現(xiàn)連續(xù)兩個(gè)相同顏色的小球。問有多少種不同的染色方案？在這種情況下，可以將問題轉(zhuǎn)化為恰有m個(gè)相同顏色的小球放在長度為n的容器中的問題，其中m表示不同顏色的數(shù)量。通過推廣和變形，可以引導(dǎo)學(xué)生通過分析、抽象和求解這些問題來培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模能力。學(xué)生需要從實(shí)際問題中提取關(guān)鍵信息，建立合適的模型，并運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)和方法進(jìn)行求解。第四節(jié)結(jié)語通過對(duì)“環(huán)形染色問題的通法及其變形”進(jìn)行討論，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。這個(gè)經(jīng)典問題涉及了遞推關(guān)系的建立和求解，以及問題的推廣和變形等內(nèi)容，能夠提高學(xué)生的分析和抽象能力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和解決問題的能力。因此，教師可以將這個(gè)問題作為數(shù)學(xué)建模的例子來教學(xué)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。要注明的是，本文只是簡單介紹了如何通過“環(huán)形染色問題的通法及其變形”來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力