第01講 勾股定理（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）

第第頁第01講勾股定理掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法；會借助勾股定理確定數(shù)軸上表示無理數(shù)的點，理解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)關(guān)系；3.能夠從實際問題中抽象出直角三角形，并能運用勾股定理進行有關(guān)的計算和證明。知識點1勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段知識點2勾股定理證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.【題型1已知直角的兩邊長，求第三邊長】【典例1】（2022八下·灌陽期末）在直角三角形中，若勾為6，股為8，則弦為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解答】解：在直角三角形中，若勾為6，股為8，則弦為62故答案為：D.【變式1-1】（2022八下·福州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，b＝8，則c的值是（）A．10 B．234 C．27 D．4.8【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，由勾股定理得：c＝a2故答案為：A.【變式1-2】（2022八下·興仁月考）在一個直角三角形中，斜邊的長為10，其中一條直角邊的長為6，則另一條直角邊的長為（）A．234 B．12 C．9 【答案】D【解答】解：在直角三角形中，∵斜邊的長為10，其中一條直角邊的長為6，∴另一條直角邊的長為：10故答案為：D.【變式1-3】（2022秋?雁塔區(qū)校級期中）若直角三角形的三邊長為5，12，m，則m2的值為（）A．13 B．119 C．169 D．119或169【答案】D【解答】解：當(dāng)m為直角邊時，m2＝122﹣52＝119；當(dāng)m為斜邊時，m2＝52+122＝169．故選：D．【題型2直接求直角三角形周長、面積和斜邊上的高等問題】【典例2】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，已知正方形A的面積為3，正方形B的面積為4，則正方形C的面積為（）A．7 B．5 C．25 D．1【答案】A【解答】解：∵正方形A的面積為3，正方形B的面積為4，∴正方形C的面積＝3+4＝7．故選：A．【變式2-1】（2022秋?渾南區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三邊為邊分別向外作正方形，面積分別為S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，則S3的值為（）A．13 B．17 C．7 D．169【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，則AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝S3，∵S1＝5，S2＝12，∴S3＝5+12＝17．故選：B．【變式2-2】（2022秋?興慶區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，則正方形ABDE的面積為（）A．18 B．48 C．65 D．72【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝82﹣42＝48，∴正方形ABDE的面積為48，故選：B．【變式2-3】如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為16cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為cm2．【答案】256【解答】解：如右圖所示，根據(jù)勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝162＝256（cm2）．故答案為：256．【題型3等面積法求直角三角形斜邊上的高】【典例3】（2020秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，則CD的長是（）A．6 B． C． D．【答案】C【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面積＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故選：C．【變式3-1】（2022秋?杭州期中）直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高（）A．6 B．8 C．13 D．【答案】D【解答】解：根據(jù)勾股定理可得：斜邊長2＝52+122，則斜邊長＝13，直角三角形面積S＝×5×12＝×13×斜邊的高，解得：斜邊的高＝；故選：D．【變式3-2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長；（2）AD的長．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝25，∵CD⊥AB，∴S，∴CD＝＝12；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD＝＝＝9，AD＝25﹣9＝16．【題型4作無理數(shù)的線段】【典例4】（2022八上·興平期中）如圖，△ABC是直角三角形，點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為?2，目AC=3，AB=1，若以點C為圓心，CB為半徑畫弧交數(shù)軸于點M，則A，M兩點間的距離為（）A．0.4 B．10?2 C．10?3 【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB=1，AC=3，OA=1∴BC=CM=1∵AC=1-（-2）=3，∴A，M之間的距離為10?3故答案為：C【變式4-1】（2022八上·歷城期中）如圖，點A表示的數(shù)為x，則x=（）A．2?1 B．-1 C．1?2 【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得，如圖所示，∵Rt△BCD是等腰直角三角形，且BC=BD=1，∴CD=B又∵弧AD是以CD長為半徑的圓的一部分，∴CA=CD=2∵是在數(shù)軸上原點的坐標(biāo)，∴點A表示的數(shù)是?2，即x=?故答案為：D．【變式4-2】（2022八上·薛城期中）如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長為1，點A，B，C均為格點，以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交格線于點D，則CD的長為（）A．13 B．3 C．5?2 【答案】D【解答】解：如圖所示：∵AD=AB=2，∴DE=2∴CD=2?3故答案為：D．【變式4-3】（2022八上·埇橋期中）如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，CD＝1，則a的值為（）A．?5 B．﹣1?5 C．1?5【答案】B【解答】解：∵BD=2∴BA=5∴a＝﹣1?5故答案為：B．【題型5勾股定理的證明】【典例5】勾股定理是畢達哥拉斯定理的中國稱謂，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，中國是發(fā)現(xiàn)、研究和運用勾股定理最古老的國家之一，我國古代稱直角三角形的直角邊為“勾”或“股”，斜邊為“弦”，因而將這條定理稱為勾股定理．請你從以下圖形中，任意選擇一個來證明這個定理．【解答】證明：方法一：由（1）圖可知：S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，又∵S正方形ABCD＝，∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，方法二：由（2）圖可知：S正方形ABCD＝c2，又∵S正方形ABCD＝＝2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，方法三：由（3）圖可知：S梯形ABCD＝＝+ab，又∵s梯形ABCD＝，∴，∴a2+b2＝c2．【變式5-1】（2022八上·歷城期中）如圖，趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，若AE=5，AB=13，則中間小正方形EFGH的面積是．【答案】49【解答】解：根據(jù)題意得，在Rt△ABF中，AE=5，AB=13，且AE=BF=CG=DH=5，∴AF=A又∵EF=FG=GH=GE=AF?AE，∴EF=12?5=7，即小正方形EFGH的邊長是7，∴小正方形EFGH的面積為7×7=49，故答案是：49．【變式5-2】（2021秋?東坡區(qū)期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．【解答】證明：∵兩個全等的直角三角形如圖擺放，∴∠EBA＝∠CED，∵∠EBA+∠BEA＝90°，∴∠BEA+∠CED＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BCE是直角三角形，用兩種方法求梯形的面積：S梯形ABCD＝2×ab+c2，S梯形ABCD＝（a+b）2，∴2×ab+c2＝（a+b）2，化簡得a2+b2＝c2．1．（2022?荊門）如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未曾受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長為120m的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）A．120m B．60m C．60m D．120m【答案】B【解答】解：如圖，∵底部是邊長為120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝120m，∴AC＝＝m．故選：B2．（2022?黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【答案】3【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC?CD+AB?DE＝AC?BC，即×6?CD+×10?CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案為：3．3．（2021?婁底）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，若S△ABC＝1，則PE+PF＝．【答案】1【解答】解：如圖所示，連接AP，則S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，∴1＝AC×PF+AB×PE，即1＝×2×PF+×2×PE，∴PE+PF＝1，故答案為：1．4．（2022?永州）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明．如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則AE＝．【答案】3【解答】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根據(jù)題意，設(shè)AF＝DE＝CH＝BG＝x，則AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案為：3．5．（2022?青島）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝；（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝．【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案為：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC＝；∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；故答案為：，；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC＝S△ABC＝；∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE＝S△BEC＝?＝，故答案為：．1．（2023春?臨澧縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，則BC＝（）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可知：，故選：A．2．（2023春?羅定市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝5，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）A．25 B．30 C．35 D．40【答案】A【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2＝25，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和＝AC2+BC2＝25，故選：A．3．（2023春?花垣縣期中）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，那么AB邊上的高CD為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵S△ABC＝＝，∴＝，解得CD＝，故選：B．4．（2023春?肇源縣月考）在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB邊上的高CD＝12，那么△ABC的周長為（）A．32或33 B．42或33 C．32或42 D．33或31【答案】C【解答】解：∵AC＝15，BC＝13，AB邊上的高CD＝12，∴AD＝＝＝9，BD＝＝＝5，如圖1，CD在△ABC內(nèi)部時，AB＝AD+BD＝9+5＝14，此時，△ABC的周長＝14+13+15＝42，如圖2，CD在△ABC外部時，AB＝AD﹣BD＝9﹣5＝4，此時，△ABC的周長＝4+13+15＝32，綜上所述，△ABC的周長為32或42．故選：C．5．（2023春?茶陵縣期中）在Rt△ABC，兩條直角邊長分別為6和8，則斜邊長為（）A．6 B．7 C．10 D．5【答案】C【解答】解：根據(jù)勾股定理可知：斜邊＝，故選：C．6．（2023春?中山市期中）如圖，在趙爽弦圖中，已知直角三角形的短直角邊長為a，長直角邊長為b，大正方形的面積為20，小正方形的面積為4，則ab的值是（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解答】解：設(shè)大正方形的邊長為c，則c2＝20，小正方形的面積（a﹣b）2＝4，∵a2+b2＝c2＝20，（a﹣b）2＝4，∴a2+b2﹣2ab＝4，即20﹣2ab＝4．∴ab＝8．故選：C．7．（2023春?渝北區(qū)校級期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、大正方形的面積為：c2；也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A選項能證明勾股定理；B、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B選項能證明勾股定理；C、梯形的面積為：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2個直角三角形和一個等腰直角三角形組成，則其面積為：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C選項能證明勾股定理；D、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是2個矩形和2個小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D選項不能證明勾股定理．故選：D．8．（2023春?東阿縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)AC＝6，BC＝3時，則陰影部分的面積為（）A． B． C．9π D．9【答案】D【解答】解：根據(jù)勾股定理可得，∴S陰影＝S半圓AC+S半圓BC+S△ABC﹣S半圓AB＝＝＝＝9．故選：D．9．（2023春?大同期中）畢達哥拉斯樹也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復(fù)的樹狀圖形，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如圖，若正方形A，B，C，D的邊長分別是2，3，1，2，則正方形G的邊長是（）A．8 B． C． D．5【答案】C【解答】解：設(shè)中間兩個正方形的邊長分別為x、y，最大正方形E的邊長為z，則由勾股定理得：x2＝22+32＝13；y2＝12+22＝5；z2＝x2+y2＝18；即最大正方形E的面積為：z2＝18，∴最大正方形E的邊長為．故選：C．10．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，標(biāo)記格點A、B、C、D，且每個小正方形的邊長都是1．下列選項中的線段長度為的是（）A．線段AB B．線段BC C．線段CD D．線段AD【答案】B【解答】解：由圖可得，AB＝＝，BC＝＝，CD＝＝，AD＝＝，故選：B．11．（2023春?和平區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（）?A．8 B．16 C．18 D．20【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，∵四邊形ADEC是正方形，∴S正方形ADEC＝AC2＝20．故選：D．二．解答題（共5小題）12．（2023春?昆明期中）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四邊形ABCD的面積．【答案】+24．【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，∴AC＝2AB＝6，由勾股定理得：BC＝＝＝3，∵AC2+CD2＝62+82＝100，AD2＝102＝100，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ACD的面積＝×3×3+×6×8＝+24．13．（2023春?新城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)求陰影部分（長方形）的面積．【答案】5cm2．【解答】解：∵∠C＝90°，∴．∴陰影部分的面積為5×1＝5cm2．14．（2023春?臨朐縣期中）閱讀材料，解決問題：三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明．實際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關(guān)系．如圖2，這是由8個全等的直角邊長分別為