第02講比較線段的長短（知識解讀題型完整版講隨堂檢測）

第02講比較線段的長短知識1：線段的性質(zhì)兩點之間的線段中，線段最短，簡稱：兩點間線段最短。知識點2：基本概念1.兩點間的距離：兩個端點之間的長度叫做兩點間的距離。2.線段的等分點：把一條線段平均分成兩份的點，叫做這個線段的中點知識3：雙中點模型：C為AB上任意一點，M、N分別為AC、BC中點，則【題型1線段的性質(zhì)】【典例1】（2022秋?龍湖區(qū)期末）如圖，某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（）A．兩點之間，直線最短 B．兩點確定一條直線 C．兩點之間，線段最短 D．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線【答案】C【解答】解：由于兩點之間線段最短，∴剩下樹葉的周長比原樹葉的周長小，故選：C．【變式11】（2022秋?安慶期末）把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，其道理用幾何的知識解釋應(yīng)是（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間線段最短 C．線段有兩個端點 D．線段可比較大小【答案】B【解答】解：根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短可得：把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，其道理用幾何的知識解釋應(yīng)是兩點之間線段最短．故選：B．【變式12】（2022秋?東洲區(qū)期末）下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③從A地到B地架設(shè)電線，盡可能沿直線AB架設(shè)；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中可用“兩點確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象有（）A．①② B．①②③ C．②④ D．③④【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：用“兩點確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象有：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線．故選：A．【變式13】（2022秋?鄆城縣校級期末）生活中，有下列兩個現(xiàn)象，對于這兩個現(xiàn)象的解釋，正確的是（）A．均用兩點之間線段最短來解釋 B．均用經(jīng)過兩點有且只有一條直線來解釋 C．現(xiàn)象1用兩點之間線段最短來解釋，現(xiàn)象2用經(jīng)過兩點有且只有一條直線來解釋 D．現(xiàn)象1用經(jīng)過兩點有且只有一條直線來解釋，現(xiàn)象2用兩點之間線段最短來解釋【答案】D【解答】解：現(xiàn)象1：木板上彈墨線，可用“兩點確定一條直線”來解釋；現(xiàn)象2：把彎曲的河道改直，可以縮短航程可用“兩點之間線段最短”來解釋，故選：D．【題型2兩點間距離】【典例2】（2022秋?泗陽縣期末）直線上有A，B，C三點，已知AB＝8cm，BC＝2cm，則AC的長是（）A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．不能確定【答案】C【解答】解：根據(jù)題意可得，如圖1，，AC＝AB+BC＝8+2＝10（cm）；如圖2，，AC﹣AB﹣BC＝8﹣2＝6（cm）．所以AC的長是10cm或6cm．故答案為：C．【變式21】（2022秋?長垣市期末）如果A、B、C三點在同一直線上，線段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C兩點之間的距離為（）A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．無法確定【答案】C【解答】解：由題意可知，C點分兩種情況，①C點在線段AB延長線上，如圖1，AC＝AB+BC＝3+2＝5cm；②C點在線段AB上，如圖2，AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1cm．綜合①②A、C兩點之間的距離為1cm或5cm．故選：C．【變式22】（2022秋?平城區(qū)校級期末）已知點A、B、C在同一條直線上，AB＝50，BC＝20，則AC的長為（）A．70 B．30 C．70或30 D．無法確定【答案】C【解答】解：若C在線段AB上，則AC＝AB﹣BC＝50﹣20＝30；若C在線段AB的延長線上，則AC＝AB+BC＝50+20＝70，故選：C．【變式23】（2022秋?磁縣期末）已知A，B，C三點在同一直線上，AB＝6cm，BC＝2cm，則AC＝（）A．8cm B．4cm C．8cm或4cm D．無法確定【答案】C【解答】解：如圖1，當(dāng)點B在線段AC上時，∵AB＝6cm，BC＝2cm，∴AC＝6+2＝8（cm）；如圖2，當(dāng)點CB在線段AC外時，∵AB＝6cm，BC＝2cm，∴AC＝6﹣2＝4（cm）．當(dāng)A、B、C三點在同一直線上時，AC＝8cm或4cm，故選：C．【題型3比較線段長短】【典例3】（2022秋?西豐縣期末）如圖，點B、C在線段AD上，且AB＝CD，則AC與BD的大小關(guān)系是（）A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能確定【答案】B【解答】解；AB＝CD，兩邊都加BC，得AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故選：B．【變式31】（2022秋?吉安期末）如圖，下列關(guān)系式中與圖不符合的式子是（）A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD C．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC【答案】C【解答】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正確，B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正確；C、AC﹣BC＝AB，而AC+BD≠AB，故本選項錯誤；D、AD﹣AC＝BD﹣BC，正確．故選：C．【變式32】（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，點C，D在線段AB上，若AD＝CB，則（）A．AC＝CD B．AC＝DB C．AD＝2DB D．CD＝CB【答案】B【解答】解：由AD＝CB兩邊都減CD，得AD﹣CD＝CB﹣CD，即AC＝DB，故B正確，故選：B．【變式33】（2023春?松江區(qū)期末）如圖，AC＞BD，則AD與BC的大小關(guān)系是：AD＞BC．（填“＞”或“＜”或“＝”）【答案】＞．【解答】解：∵AC＞BD，∴AC+CD＞BD+CD，∴AD＞BC．故答案為：＞【題型4線段的簡單計算】【典例4】（2022秋?千山區(qū)期末）如圖，點E是線段AB的中點，C是線段EB上一點，AC＝6．（1）若F為BC的中點，且BC＝4，求EF的長；（2）若EC：CB＝1：3，求AB的長．【答案】（1）3；（2）9.6．【解答】解：（1）∵點E是線段AB的中點，∴AE＝BE，設(shè)CE＝x，∴AE＝BE＝6﹣x，∴BC＝BE﹣CE＝6﹣x﹣x，∵F為CB的中點，∴CF＝BC＝3﹣x，∴EF＝CE+CF＝x+3﹣x＝3；（2）∵EC：CB＝1：3，∴設(shè)CE＝x，則CB＝3x，∵點E是線段AB的中點，∴AE＝BE，∴AE＝4x，∴AC＝5x＝6，∴x＝，∴AB＝8x＝9.6．【變式41】（2022秋?祁陽縣期末）如圖，線段AB＝20，BC＝15，點M是AC的中點．（1）求線段AM的長度；（2）在CB上取一點N，使得CN：NB＝2：3．求MN的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）線段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵點M是AC的中點．∴AM＝AC＝×5＝，即線段AM的長度是．（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN＝BC＝×15＝6．又∵點M是AC的中點，AC＝5，∴MC＝AC＝，∴MN＝MC+NC＝，即MN的長度是．【變式42】（2022秋?寶應(yīng)縣期末）如圖，線段AB＝18cm，點N、C把線段AB分成三部分，其比是AN：NC：CB＝2：3：4，M是AB的中點．（1）求線段AC的長；（2）求線段CM的長．【答案】（1）線段AC的長10cm；（2）線段CM的長1cm．【解答】解：（1）∵點N、C把線段AB分成三部分，其比是AN：NC：CB＝2：3：4，∴設(shè)AN＝2x，NC＝3x，CB＝4x，∵線段AB＝18cm，∴2x+3x+4x＝18∴x＝2∴AC＝5x＝10cm；（2）∵M是AB的中點．∴，∴CM＝AC﹣AM＝10﹣9＝1（cm）．【變式43】（2023春?岳麓區(qū)校級期中）已知B、C在線段AD上．（1）如圖，圖中共有6條線段：（2）如圖，若AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1，且BC＝18，求AD的長度．【答案】（1）6；（2）35．【解答】解：（1）圖中線段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6條；（2）設(shè)AD＝x，因為AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1，所以，．因為AC﹣AB＝BC，BC＝18，所以，解得x＝35，所以AD＝35【題型5“雙中點”模型】【典例5】（2022秋?黃石期末）如圖，已知點A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為﹣2和14，點C、D在線段AB上，且CD＝4，點E、F分別是AC、BD的中點．（1）若AC＝4，求線段EF的長．（2）當(dāng)線段CD在線段AB上運動時，試判斷EF的長度是否發(fā)生變化．如果不變，請求出EF的長；如果變化，請說明理由．【答案】（1）10；（2）不改變，理由見解析．【解答】解：（1）∵點A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為﹣2和14，∴AB＝16，CD＝4，AC＝4，∴BD＝AB﹣CD﹣AC＝8，∵E、F分別是AC、BD的中點，∴CE＝AC＝2，DF＝BD＝4，∴EF＝CE+CD+DF＝10；（2）不改變，理由：∵AB＝16，CD＝4，∴AC+BD＝AB﹣CD＝12，∵E、F分別是AC、BD的中點，∴CE＝AC，DF＝BD，∴CE+DF＝AC+BD＝6，∴EF＝CE+CD+DF＝10．【變式51】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）如圖，已知B、C在線段AD上．（1）圖中共有6條線段；（2）若AB＝CD．①比較線段的大小：AC＝BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若AC＝18，BC＝12，M是AB的中點，N是CD的中點，求MN的長度．【答案】（1）6（2）①＝；②18．【解答】解：（1）∵B、C在線段AD上，∴圖中共有線段AB，AC，AD，BC，BD，CD共6條．故答案為：6；（2）①若AB＝CD，則AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．故答案為：＝；②∵AC＝18，BC＝12，∴AB＝CD＝AC﹣BC＝18﹣12＝6，∵M是AB的中點，N是CD的中點，∴，∴，∴MN＝BM+CN+BC＝6+12＝18．【變式52】（2022秋?廣陽區(qū)校級期末）如圖，已知B、C在線段AD上．（1）圖中共有6條線段；（2）若AB＞CD．①比較線段的長短：AC＞BD（填“＞”“＝”或“＜”）；②若AD＝20，BC＝16，M是AB的中點，N是CD的中點，求線段MN的長度．【答案】（1）6；（2）①＞；②18．【解答】解：（1）以A為端點的線段有AB、AC、AD共3條，以B為端點的線段有BC、BD共2條，以C為端點的線段為CD，有1條，故共有線段的條數(shù)為：3+2+1＝6，故答案為：6；（2）①若AB＞CD，則AB+BC＞CD+BC，即AC＞BD，故答案為：＞；②∵AD＝20，BC＝16，∴AB+CD＝AD﹣BC＝4，∵M是AB的中點，N是CD的中點，∴，，∴BM+CN＝（AB+CD）＝×4＝2，∴MN＝BM+CN+BC＝2+16＝18．【變式53】（2022秋?利州區(qū)校級期末）如圖，C是線段AB上一點，線段AB＝25cm，，D是AC的中點，E是AB的中點．（1）求線段CE的長；（2）求線段DE的長．【答案】（1）CEcm；（2）DE＝5cm．【解答】解：（1）∵AB＝25cm，BC＝AC，∴BC＝AB＝×25＝10（cm），∵E是AB的中點，∴BE＝ABcm，∴EC＝12.5﹣10＝2.5（cm）；（2）由（1）得，AC＝AB﹣CB＝25﹣10＝15（cm），∵點D、E分別是AC、AB的中點，∴AE＝AB＝＝12.5（cm），AD＝AC＝＝7.5（cm），∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）1．（2023春?夏邑縣校級期末）已知點C在線段AB上，則下列條件中，不能確定點C是線段AB中點的是（）A．AC＝AB B．AC＝CB C．AB＝2CB D．AC+CB＝AB【答案】D【解答】解：A、AC＝AB，則點C是線段AB中點；B、AC＝CB，則點C是線段AB中點；C、AB＝2CB，則C是線段AB中點；D、AC+CB＝AB，點C可以是線段AB上任意一點．故選：D．2．（2022秋?長沙期末）數(shù)學(xué)源于生活，并用于生活，要把一根木條固定在墻上至少需要釘兩顆釘子，其中的數(shù)學(xué)原理是（）A．過一點有無數(shù)條直線 B．線段中點的定義 C．兩點之間線段最短 D．兩點確定一條直線【答案】D【解答】解：要把一根木條固定在墻上至少需要釘兩顆釘子，其中的數(shù)學(xué)原理是兩點確定一條直線，故選：D．3．（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，已知線段AB＝10cm，M是AB中點，點N在AB上，NB＝2cm，那么線段MN的長為（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】C【解答】解：∵AB＝10cm，M是AB中點，∴BM＝AB＝5cm，又∵NB＝2cm，∴MN＝BM﹣BN＝5﹣2＝3cm．故選：C．4．（2022秋?建平縣期末）如圖，點C在線段AB上，點D是AC的中點，如果CB＝CD，ABcm，那么BC的長為（）cm B．3cm cm D．6cm【答案】C【解答】解：由CB＝CD，得CD＝BC．由D是AC的中點，得AD＝CD＝BC．由線段的和差，得AD+CD+BC＝AB，即BC+BC+BC＝10.5．解得BCcm，故選：C．5．（2022秋?市中區(qū)校級期末）如圖，點C、D分別是線段AB上兩點（CD＞AC，CD＞BD），用圓規(guī)在線段CD上截取CE＝AC，DF＝BD，若點E與點F恰好重合，AB＝8，則CD＝（）A．4 C．5 【答案】A【解答】解：∵CE＝AC，DF＝BD，若點E與點F恰好重合，∴點C和點D分別是AE、BF的中點，∴CE＝AE，DF＝BF，∴CD＝CE+DF＝AE+BF＝AB＝4．故選：A．6．（2022秋?射洪市期末）線段AB＝5厘米，BC＝4厘米，那么A，C兩點的距離是（）A．1厘米 B．9厘米 C．1厘米或9厘米 D．無法確定【答案】D【解答】解：點C在線段AB上時，AC＝5﹣4＝1cm，點C在線段AB的延長線上時，AC＝5+4＝9cm，點C不在直線AB上時，1＜AC＜9，所以，A、C兩點間的距離為1≤AC≤9，故無法確定．故選：D．7．（2022秋?伊川縣期末）如圖，一只螞蟻外出覓食，它與食物間有三條路徑，從上到下依次記為①，②，③，則螞蟻選擇第②條路徑的理由是（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間線段最短 C．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線 D．兩點之間線段的長度叫做兩點間的距離【答案】B【解答】解：一只螞蟻外出覓食，它與食物間有三條路徑，從上到下依次記為①，②，③，則螞蟻選擇第②條路徑的理由是兩點之間，線段最短．故選：B．8．（2022秋?隆回縣期末）如圖，點C是線段AB上一點，D為BC的中點，且AB＝12cm，BD＝5cm．若點E在直線AB上，且AE＝3cm，則DE的長為（）A．4cm B．15cm C．3cm或15cm D．4cm或10cm【答案】D【解答】解：∵D為BC的中點，BD＝5cm，∴BC＝10cm，CD＝BD＝5cm，∵AB＝12cm，∴AC＝2cm，如圖1，∵AE＝3cm，∴CE＝1cm，∴DE＝4cm，如圖2，∵AE＝3cm，∴DE＝AE+AC+CD＝3+2+5＝10cm，故DE的長為4cm或10cm，故選：D．9．（2022秋?邢臺期末）小明在設(shè)計黑板報時，想在黑板上畫出一條筆直的參照線，由于尺子不夠長，他想出了如下方法：①在一根長度合適的毛線上涂滿粉筆末；②由兩個同學(xué)分別按住毛線兩端，并繃緊；③捏起毛線后松開，便可在黑板上彈出一條筆直的參照線．上述方法的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．線段中點的定義 D．兩點間距離的定義【答案】B【解答】解：這種畫法的數(shù)學(xué)依據(jù)是：兩點確定一條直線．故選：B．10．（2023春?綏化期末）如圖：A、B、C、D四點在同一直線上．（1）若AB＝CD．①比較線段的大?。篈C＝BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若BC＝AC，且AC＝12cm，則AD的長為15cm；（2）若線段AD被點B、C分成了3：4：5三部分，且AB的中點M和CD的中點N之間的距離是16cm，求AD的長．【答案】（1）①＝；②15；（2）24cm．【解答】解：（1）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即，AC＝BD，故答案為：＝；②∵BC＝AC，且AC＝12cm，∴BC＝×12＝9（cm），∴AB＝CD＝AC﹣BC＝12﹣9＝3（cm），∴AD＝AC+CD＝12+3＝15（cm），故答案為：15；（2）如圖1所示，設(shè)每份為x，則AB＝3xcm，BC＝4xcm，CD＝5xcm，AD＝12xcm，∵M是AB的中點，點N是CD的中點N，∴AM＝BM＝xcm，CN＝DN＝xcm，又∵MN＝16cm，∴x+4x+x＝16，解得，x＝2，∴AD＝12x＝24（cm）．11．（2023春?榮成市期末）如圖，已知線段AB、a、b．（1）請用尺規(guī)按下列要求作圖：（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）①延長線段AB到C，使BC＝a；②反向延長線段AB到D，使AD＝b．（2）在（1）的條件下，如果AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，且點E為CD的中點，求線段AE的長度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①如圖所示，線段BC即為所求，②如圖所示，線段AD即為所求；（2）∵AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，∴CD＝8+6+10＝24cm，∵點E為CD的中點，∴DE＝DC＝12cm，∴AE＝DE