河北省衡水市武強中學高一下學期期中考試數(shù)學

武強中學2023—2024學年度下學期期中測試高一數(shù)學試題出題人：劉寬新一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.一正方體的各頂點都在同一球面上，用過球心的平面去截這個組合體，截面圖不能是（）A B. C. D.2.已知，則（）A. B. C. D.3.如圖，在中，是的中點，若，，則等于（）A. B.C. D.4.在中，若，，的面積為，則（）A.13 B. C.2 D.5.已知，向量在向量上的投影為，則與的夾角為（）A. B. C. D.6.如圖正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積A. B.1 C. D.7.在中，角所對的邊分別為，表示的面積，若，則A.90 B.60 C.45 D.308.已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，為z的共軛復數(shù)，復數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.對應的點在復平面的第二象限 B. C.的實部為 D.的虛部為10.如果平面向量，，那么下列結(jié)論中正確的是（）A.BC.與的夾角為D.在方向上的投影向量為11.在中，下列命題正確的是（）A若，則B.若，則定為等腰三角形C.若，則定為直角三角形D.若三角形的三邊的比是，則此三角形的最大角為鈍角三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________.13.水平放置的的直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實際長度為______．14.在同一個平面內(nèi)，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知，，.（1）求向量與的夾角；（2）當向量與垂直時，求實數(shù)值.16.復數(shù)，其中為虛數(shù)單位．（1）求及；（2）若，求實數(shù)，的值．17.的內(nèi)角所對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求面積．18.已知復數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)（是的共軛復數(shù)）（1）求實數(shù)及；（2）設復數(shù)，且復數(shù)對應的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍．19.在中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，現(xiàn)有下列四個條件：①；②;③；④．（1）③④兩個條件可以同時成立嗎？請說明理由；（2）已知同時滿足上述四個條件中的三個．請選擇使有解的三個條件，求的面積．武強中學2023—2024學年度下學期期中測試高一數(shù)學試題出題人：劉寬新一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.一正方體的各頂點都在同一球面上，用過球心的平面去截這個組合體，截面圖不能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：B是經(jīng)過正方體對角面的截面；C是經(jīng)過球心且平行于正方體側(cè)面的截面；D是經(jīng)過一對平行的側(cè)面的中心，但不是對角面的截面．考點：截面及其作法2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法和共軛復數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，故，故故選：C3.如圖，在中，是的中點，若，，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形法則與平行四邊形法則表示向量.【詳解】因為是的中點，，，所以，所以.故選：D.4.在中，若，，的面積為，則（）A.13 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先用面積公式求出c，再用余弦定理求出a.【詳解】在中，，，的面積為，所以,解得：c=4.由余弦定理得：所以.故選：B.5.已知，向量在向量上的投影為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的幾何意義，列出方程求出與夾角的余弦值，即可得出夾角大小.【詳解】記向量與向量的夾角為，在上的投影為.在上的投影為，，，.故選：B.6.如圖正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意求出直觀圖中OB的長度，根據(jù)斜二測畫法，求出原圖形平行四邊形的高，即可求出原圖形的面積．【詳解】解：由題意正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，所以OB，對應原圖形平行四邊形的高為：2，所以原圖形的面積為：1×22．故選A．點睛】本題考查斜二測直觀圖與平面圖形的面積的關系，斜二測畫法，考查計算能力．7.在中，角所對的邊分別為，表示的面積，若，則A.90 B.60 C.45 D.30【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sinA＝1，即A＝900，由余弦定理、三角形面積公式可求角C，從而得到B的值．【詳解】由正弦定理及得,因為，所以；由余弦定理、三角形面積公式及，得,整理得，又,所以,故.故選D【點睛】本題考查正、余弦定理、兩角和的正弦公式、三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．8.已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進行計算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標系，以中點為坐標原點，則，，，設，則，，，則當，時，取得最小值，故選：．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，為z共軛復數(shù)，復數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.對應的點在復平面的第二象限 B. C.的實部為 D.的虛部為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的概念求出，然后結(jié)合復數(shù)的除法運算求出，根據(jù)復數(shù)的概念以及幾何意義和模長公式逐項分析即可.【詳解】因為，所以，所以，對應點為在第三象限，，實部為，虛部為，選項B，C正確，選項A，D錯誤．故選：BC．10.如果平面向量，，那么下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.與的夾角為D.在方向上的投影向量為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量模、共線、夾角、投影向量等知識確定正確選項.【詳解】，A正確.，所以且反向，所以B正確，C錯誤.在方向上的投影向量為，D錯誤.故選：AB11.在中，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則定為等腰三角形C.若，則定為直角三角形D.若三角形的三邊的比是，則此三角形的最大角為鈍角【答案】ACD【解析】【分析】選項，由三角形邊角關系和正弦定理，可判斷為正確；選項，由三角函數(shù)確定角的關系，要結(jié)合角范圍，所以錯誤；選項，用正弦定理邊化角，再將代入展開，整理可得，所以正確；選項，用余弦定理求出最大邊所對的角，判斷正確.【詳解】在中，若，則，因此，A正確；若，則或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；若，則，所以，即，，所以定為直角三角形，C正確；三角形的三邊的比是，設最大邊所對的角為，則，因為，所以，D正確.故選:ACD.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判斷三角形的形狀，注意角的范圍及三角形內(nèi)角和等于，屬于中檔題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________.【答案】【解析】【詳解】由正弦定理，得，結(jié)合可得，則.【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.13.水平放置的的直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實際長度為______．【答案】

【解析】【分析】由已知中直觀圖中線段的長，可分析出實際為一個直角邊長分別為、的直角三角形，進而根據(jù)勾股定理求出斜邊，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案．【詳解】根據(jù)斜二測畫法的原則,由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且，,所以，所以，故邊上中線長為.故答案為：2.5.14.在同一個平面內(nèi)，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．【答案】【解析】【詳解】以為軸，建立直角坐標系，則，由的模為與與的夾角為，且知，，可得，，由可得，，故答案為.【方法點睛】本題主要考查向量的坐標運算及兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)之間的關系，屬于難題．向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標運算：建立坐標系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答，這種方法在求范圍與最值問題時用起來更方便．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知，，.（1）求向量與的夾角；（2）當向量與垂直時，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的性質(zhì)及運算律求出，再利用夾角公式計算作答；（2）利用垂直的向量表示及數(shù)量積的運算律求解作答.【小問1詳解】因，，，則有，解得，因此，而，于是得，所以向量與的夾角.【小問2詳解】因向量與垂直，由（1）知，則，解得，所以實數(shù)的值為.16.復數(shù)，其中為虛數(shù)單位．（1）求及；（2）若，求實數(shù)，的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)復數(shù)的運算求解出復數(shù)，進而根據(jù)復數(shù)的模長公式求解；（2）首先將代入等式，然后根據(jù)等式關系構(gòu)造方程組，解方程組即可得到實數(shù)，的值.【小問1詳解】∵，∴．【小問2詳解】由（1）可知，由，得：，即，∴，解得17.的內(nèi)角所對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理得，化簡即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面積．【詳解】（1）因為，根據(jù)正弦定理得，又，從而，由于，所以．（2）根據(jù)余弦定理，而，，，代入整理得，解得或（舍去）．故的面積為．【點睛】本題主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.18.已知復數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)（是的共軛復數(shù)）（1）求實數(shù)及；（2）設復數(shù)，且復數(shù)對應的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再根據(jù)復數(shù)的概念得到方程（不等式）組，求出的值，即可求出，從而求出其模；（2）根據(jù)復數(shù)的乘方及代數(shù)形式的除法運算化簡，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義得到不等式組，解得即可.【小問1詳解】∵，∴，，為純虛數(shù)，，解得，故，則【小問2詳解】，，復數(shù)所對應的點在第二象限，，解得，故實數(shù)取值范圍為.19.在中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，現(xiàn)有下列四個條件：①；②;③；④．（1）③④兩個條件可以同時成立嗎？請說明理由；（2）已知同時滿足上述四個條件中的三個．請選擇使有解的三個條件，求的面積．【答案】（1）不能同時成立，理由見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由③利用二倍角余弦公式推得，由④利用余弦定理可得，即可三角形內(nèi)角和可得結(jié)論；（2）確定滿足三角形有解的所有組合為①②③或①②④．若選①②③，則可由正弦定理求得B，即可由三角