第3章圓的基本性質【單元提升卷】（解析版）

第3章圓的基本性質【單元提升卷】（浙教版）（滿分120分，完卷時間100分鐘）考生注意：1．本試卷含三個大題，共28題．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出解題的主要步驟．一、單選題1．若扇形的半徑為4，圓心角為90°，則此扇形的弧長是（

）A．π B．2π C．4π D．8π【答案】B【詳解】試題分析：扇形的弧長=，把相應數值代入即可求解．扇形的弧長=，故選B．考點:圓錐的計算．2．如圖，BC是⊙O的直徑，點A是⊙O上異于B，C的一點，則∠A的度數為（）A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】D【詳解】試題分析：∵BC是⊙O的直徑，∴∠A=90°．故選D．考點：圓周角定理．3．如圖，AB是半圓的直徑，點D是弧AC的中點，∠ABC＝50°，則∠DAB等于()A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】C【詳解】試題分析：如圖，連接BD，∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB=90°.∵點D是AC的中點，∴∠ABD=∠CBD．∵∠ABC=50°，∴∠ABD=25°.∴∠DAB=90°－25°=65°,故選C.4．已知圓O的半徑是3，A，B，C三點在圓O上，∠ACB=60°，則弧AB的長是（）A．2π B．π C．π D．π【答案】A【詳解】分析：先根據同弧所對的圓心角是其所對圓周角的2倍求出∠AOB的度數，再根據扇形的弧長公式計算.詳解：如圖，∵∠AOB與∠ACB對的弧相同，∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∴．故選A．點睛：本題考查了圓周角定理和弧長的計算公式，熟記弧長計算公式是解答本題的關鍵，如果扇形的圓心角是no，扇形的半徑是R，則扇形的弧長l的計算公式為：.5．如圖，一把折扇展開后是一個扇形，其中圓心角為120°，OB=2，AB=3，則折扇紙面部分的面積為（

）A．1 B．π C．7 D．7π【答案】D【詳解】因為OB=2，AB=3，所以OA=AB+OB=5，因為貼紙部分的面積等于扇形OAD減去小扇形的面積，所以兩面貼紙部分的面積S=﹣=7π（cm2），故選D．6．如圖，在圓中，為直徑，點為圓上一點，將劣弧沿弦翻折交于點，連接.如果，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】連接BC，根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據翻折的性質得到所對的圓周角，然后根據∠ACD等于所對的圓周角減去所對的圓周角可得出∠DAC的度數，由三角形外角的性質即可得出結論．【詳解】如圖，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°．根據翻折的性質，所對的圓周角為∠B，所對的圓周角為∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=70°，故選B．7．如圖(十六)，有一圓內接正八邊形ABCDEFGH，若△ADE的面積為10，則正八邊形ABCDEFGH的面積為何？A．40 B．50 C．60 D．80【答案】A【詳解】設圓心為O,擇O為AE（直徑）連接OD則OD為RT△ADE的中線∴△ODE的面積=5而正八邊形ABCDEFGH由8個△ODE組成，∴正八邊形ABCDEFGH的面積=8×5=40故選A8．如圖，AB是⊙O的直徑，點E為BC的中點，AB=4，∠BED=120°，則圖中陰影部分的面積之和為【

】A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】連接AE，OD，OE．∵AB是直徑，∴∠AEB=90°．又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD．∴△AOD是等邊三角形．∴∠A=60°．又∵點E為BC的中點，∠AED=90°，∴AB=AC．∴△ABC是等邊三角形，∴△EDC是等邊三角形，且邊長是△ABC邊長的一半2，高是．∴∠BOE=∠EOD=60°，∴和弦BE圍成的部分的面積=和弦DE圍成的部分的面積．∴陰影部分的面積=．故選C．9．已知的半徑為，點是內一點，且，過作互相垂直的兩條弦、，則四邊形面積的最大值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】如圖：連接OA、OD，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分別為E.

F，∵AC⊥BD，∴四邊形OEPF為矩形，已知設OE為x,則∴如設OF為y，同理可得：∴由此可知AC與BD兩線段的平方和為定值，又∵任意對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的當AC=BD時,即∴四邊形ABCD的面積等于5.故選B.10．如圖△ABC與△CDE都是等邊三角形,且∠EBD=65°,則∠AEB的度數是(

)A．115° B．120° C．125° D．130°【答案】C【詳解】∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC,CE=CD,∠BAC=60°,∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB?∠ECB=∠ECD?∠ECB，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠CAE=∠CBD，∵∠EBD=65°，∴65°?∠EBC=60°?∠BAE，∴65°?(60°?∠ABE)=60°?∠BAE，∴∠ABE+∠BAE=55°，∴∠AEB=180°?(∠ABE+∠BAE)=125°.故選C.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質，根據等邊三角形性質得出AC=BC，CE=CD，∠BAC=60°，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠ACE=∠BCD，證△ACE≌△BCD，根據全等三角形的性質得出∠CAE=∠CBD，求出∠ABE+∠BAE=55°，根據三角形內角和定理求出即可．二、填空題11．如圖，⊙O的半徑為2，點A，B在⊙O上，∠AOB=90°，則陰影部分的面積為_____．【答案】π﹣2【分析】根據∠AOB=90°，OA=OB可知△OAB是等腰直角三角形，根據S陰影=S扇形OAB-S△OAB即可得出結論．【詳解】解：∵∠AOB=90°，OA=OB，∴△OAB是等腰直角三角形．∵OA=2，∴S陰影=S扇形OAB﹣S△OAB==π﹣2．故答案為：π﹣2．【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵．12．如圖，在⊙O中，圓心角∠AOB=70°，那么圓周角∠C=_____．【答案】35°．【詳解】試題分析：根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半,可得∠C=∠AOB=×70°=35°．考點：圓周角定理.13．已知⊙O的半徑為5，若P到圓心O的距離是4，則點P與⊙O的位置關系是________．【答案】點P在⊙O內【分析】直接根據點與圓的位置關系的判定方法進行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為4，∴點P到圓心O的距離小于圓的半徑，∴點P在⊙O內．故答案為點P在⊙O內.【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內?d＜r．14．已知如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠A＝60°，則∠DCE＝________.【答案】60°【詳解】∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠A．∴∠A=60°，∴∠DCE=60°．故答案為60°．點睛：此題考查圓的內接四邊形的性質，先根據圓內接四邊形的對角互補及鄰補角互補得出∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°，然后根據同角的補角相等得出∠DCE=∠A=60°．15．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠C=65°，則∠A=________°．【答案】115o．【詳解】試題分析：因為圓內接四邊形對角互補，∠C=65°，所以∠A=180°-65°=115°，故答案為115o．考點：圓內接四邊形性質．16．廣告設計人員進行圖案設計，經常將一個基本圖案進行軸對稱、平移和________等．【答案】旋轉【詳解】試題分析：熟練掌握幾種幾何變換的類型即可作出回答．試題解析：幾何變換包括：平移、軸對稱、旋轉．故答案為旋轉．考點:利用旋轉設計圖案．17．已知點P為平面內一點，若點P到⊙O上的點的最長距離為5，最短距離為1，則⊙O的半徑為________．【答案】2或3【詳解】試題解析：當點P在圓內時，則直徑=5+1=6，因而半徑是3；當點P在圓外時，直徑=5-1=4，因而半徑是2．所以⊙O的半徑為2或3．18．一條弦分圓周成兩部分，其中一部分是另一部分的3倍，則這條弦所對的圓周角為________．【答案】45°或135°【分析】先根據題意求出∠AOB=90°，再由一條弦對兩個圓周角，再由圓周角定理求解即可．【詳解】解：如圖，∵弧ACB=3弧AB，∴∠AOB=90°，∴∠C=45°，∴∠D=135°，故答案為45°或135°．【點睛】此題主要考查了圓周角定理和等弧對等弦，是基礎知識要熟練掌握．19．如圖，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO繞點O旋轉150°后得到△A1B1O，則點A1坐標為________．【答案】（﹣1，）或（﹣2，0）【分析】需要分類討論：在把△ABO繞點O順時針旋轉150°和逆時針旋轉150°后得到△A1B1O時點A1的坐標．【詳解】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，∴tan∠AOB=＝，∴∠AOB=30°．如圖1，當△ABO繞點O順時針旋轉150°后得到△A1B1O，則∠A1OC=150°-∠AOB-∠BOC=150°-30°-90°=30°，則易求A1（-1，?）；如圖2，當△ABO繞點O逆時針旋轉150°后得到△A1B1O，則∠A1OC=150°-∠AOB-∠BOC=150°-30°-90°=30°，則易求A1（-2，0）；綜上所述，點A1的坐標為（-1，?）或（-2，0）；故答案為（-1，?）或（-2，0）．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉．解題時，注意分類討論，以防錯解．20．如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長的最大值為________．【答案】##【詳解】解：如圖，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，連接OP，則CO＝2CE，∵AB=4，BC=2，∠COE=90°-60°=30°，∴OC=4，∴CE=2，OE＝2，∵∠DCP=60°=∠ECO，∴∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴，∴△COP∽△CED，∴，即ED＝OP＝1（定長），∵點E是定點，DE是定長，∴點D在半徑為1的⊙E上，∵OD≤OE＋DE，∴OD≤，∴OD的最大值為，故答案為：.三、解答題21．如圖所示，方格紙中的每個小方格都是邊長為個單位長度的正方形，在建立平面直角坐標系后，的頂點均在格點上．①以原點為對稱中心，畫出與關于原點對稱的．②將繞點沿逆時針方向旋轉得到，畫出，并求出的長．【答案】①見解析；②【詳解】試題分析：（1）根據對稱點平分對應點連線可找到各點的對應點，從而順次連接即可得出△A1B1C1；（2）根據圖形旋轉的性質畫出△A2B2C2，并求得的長.試題解析：①②∴即為所求設點為點，∵，，∴，．∵，∴．∵旋轉，∴，．∵，，∴，．∵，∴．22．已知：如圖，⊙O中弦．求證：AD=BC．【答案】見解析【分析】先根據等弦所對的劣弧相等得到，從而得到，再由等弧所對的弦相等即可得到．【詳解】證明：∵AB=CD，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了弧與弦之間的關系，解題的關鍵在于能夠熟練掌握等弦所對的劣弧相等，等弧所對的弦相等．23．如圖，在⊙O中，AD是直徑，弧AB=弧AC，求證：AO平分∠BAC．【答案】見解析【分析】由等弧所對的圓周角相等得∠AOB=∠AOC，由邊角邊證得△AOB≌△AOC，再由全等三角形的對應角相等得證.【詳解】解：∵弧AB=弧AC，∴∠AOB=∠AOC，在△AOB與△AOC中，∵OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC，∴△AOB≌△AOC（SAS）.

∴∠OAB=∠OAC.∴AO平分∠BAC.24．如圖,P是⊙O的直徑AB延長線上一點,點C在⊙O上,AC=PC，∠ACP=120°．（1）求證：CP是⊙O的切線；（2）若AB=4cm，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）陰影部分的面積=2﹣．【詳解】試題分析：（1）根據等腰三角形中等邊對等角即可求得∠OCP的度數，即可證得；（2）利用扇形的面積公式，以及陰影部分的面積=S△OCP﹣S扇形OCB即可求解．試題解析：（1）連接OC．∵∠ACP=120°，AC=PC，∴∠A=∠P==30°，∴∠COP=2∠A=60°，在△OCP中，∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°．∴OC⊥CP，∴CP是⊙O的切線；（2）AB=4cm，則OC=AB=2cm，∵直角△OCP中，∠P=30°，∴OP=2OC=4，∴CP=2，∴S△OCP=OC?CP=×2×2=2（cm2），S扇形OCB=（cm2），則陰影部分的面積=2﹣（cm2）．考點：切線的判定．25．在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若點E在上，求∠E的度數．【答案】125°【分析】連接BD，先根據圓內接四邊形的性質計算出∠BAD=180°-∠C=70°，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理計算出∠ABD=55°，然后再根據圓內接四邊形的性質可得∠E的度數．【詳解】解：連接BD，∵∠C+∠BAD=180°，∴∠BAD=180°﹣110°=70°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=（180°﹣70°）=55°，∵四邊形ABDE為圓的內接四邊形，∴∠E+∠ABD=180°，∴∠E=180°﹣55°=125°．【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質以及等腰三角形的性質，關鍵是掌握圓內接四邊形的對角互補．26．已知△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，D是弧AB的中點．過點D作CB的垂線，分別交CB、CA延長線于點F、E．(1)判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若CF＝6，∠ACB＝60°，求陰影部分的面積．【答案】(1)直線EF與⊙O相切，理由見解析(2)8-【分析】(1)首先根據直徑所對的圓周角為直角得出∠ABC=∠F=90°，從而得出ABEF，根據弧的中點得出OD⊥AB，從而根據平行線得出OD⊥EF，從而得出切線；(2)首先根據勾股定理求出CE、EF和CF的長度，然后根據題意得出△ODE和△CEF相似求出DE的長度，最后根據陰影部分的面積等于△ODE的面積減去扇形OAD的面積求出答案.（1）解：直線EF與⊙O相切，理由為：連接OD，交AB于點M，如圖所示：

∵AC為⊙O的直徑，∴∠CBA=90°，

又∵∠F=90°，∴∠CBA=∠F=90°，

∴ABEF，

∴∠AMO=∠EDO，

又∵D是弧AB的中點．∴，

∴OD⊥AB，

∴∠AMO=90°，

∴∠EDO=90°，

∵OD是⊙O的半徑，∴EF為圓O的切線；（2）解：在Rt△CEF中，∠ACB=60°，∴∠E=30°，又∵CF=6，

∴CE=2CF=12，根據勾股定理得：EF==6，在Rt△ODE中，∠E=30°，

∴OD=OE，∵OE＝OA＋AE＝OD＋AE＝2OD，∴OD＝OA＝OC＝AE＝4，OE=8，又∵∠ODE=∠F=90°，∠E=∠E，

∴△ODE∽△CFE，

∴，即，解得：DE=4，

又∵Rt△ODE中，∠E=30°，

∴∠DOE=60°，則S陰影=S△ODE-S扇形OAD=×4×4-=8-.【點睛】本題主要考查了切線的判定與性質、圓周角定理、含30°角直角三角形的性質、垂徑定理的的推論、勾股定理、相似三角形的判定和性質、扇形的面積計算，熟練掌握性質與定理是解本題的關鍵．27．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BC的延長線與AD的延長線相交于點E，且DC=DE．求證：∠A=∠AEB．【答案】見解析【分析】根據圓內接四邊形的對角互補可得∠A+∠BCD=180°，再由鄰補角互補可得∠BCD+∠