高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題七 解析幾何 7.2 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

7.2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)高考命題規(guī)律1.每年必考考題,多數(shù)年份有2道小題,主要考查圓錐曲線方程、性質(zhì)的應(yīng)用.2.選擇題或填空題,5分,中檔難度.3.全國(guó)高考有4種命題角度,分布如下表.2020年高考必備2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命題角度1圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1655命題角度2圓錐曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其應(yīng)用5121214610910命題角度3求橢圓、雙曲線的離心率5125114111012命題角度4圓錐曲線的中點(diǎn)弦與焦點(diǎn)弦問(wèn)題命題角度1圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2017全國(guó)Ⅰ·5)已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為(A.13 B.12 C.23答案D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0).將x=2代入x2-y23=1,得y=±3,所以PF=3.又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),故△APF的面積為12×3×(2-1)=2.(2016全國(guó)Ⅱ·5)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),曲線y=kx(k>0)與C交于點(diǎn)P,PF⊥x軸,則k=(A.12 B.1 C.32 D答案D解析因?yàn)镕為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),所以F(1,0).又因?yàn)榍€y=kx(k>0)與拋物線交于點(diǎn)P,PF⊥x如圖所示,可知P(1,2),故k1=2,解得k=2,故選D3.(2017北京·10)若雙曲線x2-y2m=1的離心率為3,則實(shí)數(shù)m=答案2解析由題意知a=1,b=m,m>0,c=a2+b2=1+m4.(2016山東·14)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=答案2解析由題意不妨設(shè)AB=3,則BC=2.設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,如圖,則在Rt△BMN中,MN=2,故BN=BM由雙曲線的定義可得2a=BN-BM=52-32=1,而2c=MN=2,所以雙曲線的離心率e=典題演練提能·刷高分1.已知橢圓C:x2a2+y2b2A.x236+y232=C.x29+y25=答案B解析∵橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分,∴2a=6,a=3,∴6c=6,c=1,b2=a2-1=8,∴橢圓方程為x29+2.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,則線段AB的中點(diǎn)M到直線x+1=0的距離為()A.2 B.4 C.8 D.16答案B解析如圖,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1,即x+1=0,分別過(guò)A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為C,D,則有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,過(guò)AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為N,則MN為直角梯形ABDC的中位線,則|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M到準(zhǔn)線x=-1的距離為4.故選B3.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,A.x212-y2=1 B.C.x2-y23=1 D.x答案C解析由雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2-y23=1.4.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>A.x2-y24=1 B.x2-y2C.x2-y23=1 D.x2-y答案B解析由點(diǎn)M在雙曲線上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,得|AB|=|BM|,∠ABM=120°,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸,垂足為N,則∠NBM=60°,如圖所示.在Rt△BNM中,|BM|=|AB|=2a,∠NBM=60°,則|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=3a,即M(2a,3a),代入雙曲線方程得4-3a2b2=1,即b∵點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)為雙曲線的左、右頂點(diǎn),∴a=b=1,∴雙曲線的方程為x2-y2=1.5.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠AFB=60°.設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N,則()A.|AB|≥2|MN| B.2|AB|≥3|MN|C.|AB|≥3|MN| D.|AB|≥|MN|答案D解析由拋物線定義得|AF|+|BF|=2|MN|,在△AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|·|BF|cos60°=|AF|2+|BF|2-|AF|·|BF|=(|AF|+|BF|)2-3|AF|·|BF|≥(|AF|+|BF|)2-3×|AF|+所以|AB|≥|MN|,故選D.6.已知拋物線C:y2=8x上一點(diǎn)P,直線l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,則P到這兩條直線的距離之和的最小值為()A.2 B.234 C.161534 D答案D解析由題意得直線l1:x=-2是拋物線的準(zhǔn)線,設(shè)P到直線l1的距離為PA,點(diǎn)P到直線l2的距離為PB,所以P到這兩條直線的距離之和為|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,當(dāng)P,B,F三點(diǎn)共線時(shí),距離之和最小.此時(shí),最小值為|3×7.如圖,橢圓x2a2+y24=1的焦點(diǎn)為F1,F2,過(guò)F1的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)H.若F1,H是線段MN的三等分點(diǎn),則A.20 B.10 C.25 D.45答案D解析由題意知H為線段F1N的中點(diǎn),且F1(-c,0),b=2,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為c,即NF2⊥x軸,所以Nc,4a,則H0,2a.又F1為線段HM的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M-2c,-2a,代入橢圓方程得4c2a∴a2=1+4c2,∴1+4c2=4+c2,∴c2=1,a2=b2+c2=5.由橢圓的定義可知,△F2MN的周長(zhǎng)為4a=45.命題角度2圓錐曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其應(yīng)用高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2019全國(guó)Ⅱ·9)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓x23p+y2A.2 B.3 C.4 D.8答案D解析∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為p2,0,橢圓x23p+y2p=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3p-p2.(2019全國(guó)Ⅲ·10)已知F是雙曲線C:x24-y25=1的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|OP|=|OF|A.32 B.52 C.72答案B解析設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則x024-y又|OP|=|OF|=4+5=3,∴x02+y0由①②得,y02=259,即∴S△OPF=12|OF|·|y0|=12×3×533.(2018全國(guó)Ⅲ·10)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,A.2 B.2 C.322 D.答案D解析∵雙曲線C的離心率為2,∴e=ca即c=2a,a=b.∴其漸近線方程為y=±x,則(4,0)到c的漸近線距離d=|4|2=4.(2018全國(guó)Ⅱ·6)雙曲線x2a2-y2b2=1(A.y=±2x B.y=±3xC.y=±22x D.y=±3答案A解析∵e=ca=3,∴c2a∴ba=±2∵雙曲線交點(diǎn)在x軸上,∴漸近線方程為y=±bax,∴漸近線方程為y=±2x5.(2017全國(guó)Ⅰ·12)設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)答案A解析由題意,可知當(dāng)點(diǎn)M為短軸的端點(diǎn)時(shí),∠AMB最大.當(dāng)0<m<3時(shí),橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°,則ab≥tan60°=3,即3m≥3,解得0<m≤1;當(dāng)m>3時(shí),橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°,則ab≥tan60°=3,即m3≥3,解得m≥9,綜上6.(2017全國(guó)Ⅱ·12)過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為3的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為()A.5 B.22 C.23 D.33答案C解析由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3因?yàn)镸在x軸的上方,所以M(3,23).因?yàn)镸N⊥l,且N在l上,所以N(-1,23).因?yàn)镕(1,0),所以直線NF:y=-3(x-1).所以M到直線NF的距離為|3×(37.(2019全國(guó)Ⅲ·15)設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2答案(3,15)解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則S△MF1F2=12×|F1F2又S△MF1F2=1∴4y0=415,解得y0=15.又點(diǎn)M在橢圓C上,∴x02解得x0=3或x0=-3(舍去).∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,15).典題演練提能·刷高分1.(2019安徽滁州一中高三模擬)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn).點(diǎn)A在拋物線上,若點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且|AF|=5,則|PA|+|PO|的最小值為()A.5 B.13 C.25 D.213答案D解析∵|AF|=5,∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為5,由拋物線焦半徑公式可知:點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.又點(diǎn)A在拋物線上,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,±4).∵坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B(-2,0),∴|PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|=(-2-4)2+2.(2019江西新八校高三第二次聯(lián)考)已知點(diǎn)P為拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是B,A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4).則|PA|+|PB|的最小值是()A.5 B.4 C.25 D.25-1答案D解析根據(jù)題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,焦點(diǎn)F(1,0),由拋物線定義可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=22+42-1=25-3.已知以原點(diǎn)為中心,實(shí)軸在x軸上的雙曲線的一條漸近線方程為y=34x,焦點(diǎn)到漸近線的距離為6,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A.x216-y29=C.x264-y236=答案C解析∵雙曲線的一條漸近線方程是y=34x∴ba=34.∵|3c∵c2=a2+b2,∴a2=64,b2=36,∴雙曲線方程為x264-4.(2019四川宜賓高三第三次診斷性考試)已知雙曲線x2a2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,以它的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心,半徑為a的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線分別切于A,B兩點(diǎn),則四邊形F1AFA.3 B.4 C.5 D.6答案D解析因?yàn)殡p曲線x2a2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0),雙曲線的漸近線方程為y=±3ax,即其中一條漸近線方程為3x-ay=0.以它的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心,半徑為a的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線分別切于A,B兩點(diǎn),根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離及雙曲線中a、b、c的關(guān)系,可得|3c|a2+3=a,c2=a2+3,所以解得a=3,c=5.如圖F1,F2是橢圓C1:x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的虛軸長(zhǎng)為答案2解析設(shè)雙曲線C2的半實(shí)軸長(zhǎng)為a,半虛軸長(zhǎng)為b,則|AF2|-|AF1|=2a,|AF2|+|AF1|=2×2=4,∵|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2=(24-1)2=12,∴42+(2a)22=12,∴a2=2,b2=c∴2b=2,即C2的虛軸長(zhǎng)為2.命題角度3求橢圓、雙曲線的離心率高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2019全國(guó)Ⅰ·10)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,A.2sin40° B.2cos40°C.1sin50° D答案D解析由已知可得-ba=tan130°=-則e=c=1+si故選D.2.(2019天津·6)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且A.2 B.3 C.2 D.5答案D解析由拋物線方程可得l的方程為x=-1.由y=bax,x=-1,得y1=-ba.由由|AB|=4|OF|得2ba=4,故baca2=a2+∴e=5,故選D.3.(2019全國(guó)Ⅱ·12)設(shè)F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn)A.2 B.3 C.2 D.5答案A解析如圖,設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱性可知PQ⊥x軸.∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2∴PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,A為圓心,∴|OA|=c2.∴Pc2,又點(diǎn)P在圓x2+y2=a2上,∴c24+c24=a2,即c22=a2,∴e2=4.(2018全國(guó)Ⅰ·4)已知橢圓C:x2a2+y2A.13 B.12 C.22答案C解析因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),所以其焦點(diǎn)在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca5.(2018全國(guó)Ⅱ·11)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為()A.1-32 B.2-C.3-12 D.答案D解析不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),則∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴3c+c=2a,即(3+1)c=2a.∴e=ca=26.(2017全國(guó)Ⅱ·5)若a>1,則雙曲線x2a2-y2=A.(2,+∞) B.(2,2)C.(1,2) D.(1,2)答案C解析由題意得e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.因?yàn)閍>1,所以1<1典題演練提能·刷高分1.(2019四川棠湖中學(xué)高三適應(yīng)性考試)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,一條漸近線方程為3x+4y=0,則該雙曲線的離心率是()A.53 B.5C.43或5答案D解析3x+4y=0?y=-34x,當(dāng)焦點(diǎn)位于x軸時(shí),ba=34?b2a2=916,而c2=a2+b2,所以c2-a2a2=9162.如圖所示,圓柱形玻璃杯中的水液面呈橢圓形狀,則該橢圓的離心率為()A.12 B.C.22 D.答案D解析橢圓的短軸長(zhǎng)為圓柱的直徑,橢圓的長(zhǎng)軸、圓柱底面的直徑和母線三者組成一個(gè)直角三角形,且長(zhǎng)軸與直徑的夾角為30°.b=r,a=rsin30°=2∴c=4r2-r2=33.(2019廣東揭陽(yáng)高考二模)設(shè)F1,F2是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=2a上一點(diǎn),△F2PF1是底邊為PF1的等腰三角形,且直線PFA.1013 B.58 C.35答案A解析由題意,因?yàn)椤鱂2PF1是底邊為PF1的等腰三角形,∴|PF2|=|F2F1|.因?yàn)镻為直線x=2a上一點(diǎn),直線PF1的斜率為13,△PDF2是直角三角形,所以2a+c32+(2a-c)2=4c2,可得13e2+16e-20=0,解得e=ca=104.(2019黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三下學(xué)期二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P為橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的下頂點(diǎn),M,N在橢圓上,若四邊形OPMN為平行四邊形,α為直線ON的傾斜角,若α∈A.0,63 B.0,32C.63,32 D.6答案A解析∵OP在y軸上,且平行四邊形中,MNOP,∴M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),即M,N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,而MN=OP=a,可設(shè)Mx,-a2,Nx,a2,代入橢圓方程得|x|=32b,得N32b,a2.因?yàn)棣翞橹本€ON的傾斜角,tanα=a232b=a3b,因?yàn)棣痢师?,π4,∴33<tanα≤1,∴33<a3b≤1.∴1<ab≤3.∴33≤ba<1.∴135.設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,其焦距為2c,點(diǎn)Qc,3c2在橢圓的內(nèi)部,點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),且|PF1|+|PQ|<4|F答案413,解析∵點(diǎn)Qc,3c2在橢圓的內(nèi)部,∴b2a>3c2.∴2b2>3ac,即2c2+3ac-2a2<0,∴2e2+解得0<e<12.|PF1|+|PQ|=2a-|PF2|+|PQ|∵|PQ|-|PF2|≤|QF2|,且|QF2|=3c2,要使|PF1|+|PQ|<4|F1F2|恒成立,即2a-|PF2|+|PQ|≤2a+3c2<4×2c,2a<13c則橢圓離心率的取值范圍是413,1命題角度4圓錐曲線的中點(diǎn)弦與焦點(diǎn)弦問(wèn)題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2014全國(guó)Ⅱ·10)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),則|AB|=()A.303 B.6 C.12 D.7答案C解析由已知得焦點(diǎn)F為34,0,則過(guò)F且傾斜角為30°的直線方程為y=33x-34.聯(lián)立方程y=33x設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=212又直線AB過(guò)焦點(diǎn)F,∴|AB|=x1+x2+32=212+2.(2013全國(guó)Ⅰ·10)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若A.x245+y236=C.x227+y218=答案D解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在橢圓上,∴x①-②,得(x1即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+而y1-y2x1-x又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴橢圓E的方程為x218+y2典題演練提能·刷高分1.已知雙曲線E:x24-y22=1,直線l交雙曲線于A,B兩點(diǎn),若A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)為12,-1A.4x+y-1=0 B.2x+y=0C.2x+8y+7=0 D.x+4y+3=0答案C解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x124-y∴x12-x224-y12-∴2×124-kl·-1×22=∴l(xiāng):y-(-1)=-14x-12,整理得2x+8y+7=0.2.以雙曲線的中心為原點(diǎn),F(0,-2)是雙曲線的焦點(diǎn),過(guò)F的直線l與雙曲線相交于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)為P(3,1),則雙曲線的方程為()A.x23-y2=1 B.y2-xC.y23-x2=1 D.x2-y答案B解析由題意設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),M(x1,y1),則y12a2-x12b2=1且y22a2-x22b2=1,則(y1+y2)(y1-即該雙曲線的方程為y2-x23=1.3.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,M(3,2),直線MF交拋物線于A,B兩點(diǎn),且M為AB的中點(diǎn),則p的值為()A.3 B.2或4 C.4 D.2答案B解析設(shè)A(x1