第06章 重點突破訓練：實數(shù)的性質(zhì)及應用-簡單數(shù)學之2020-2021學年七年級下冊同步講練（原卷版）（人教版）

第六章重點突破訓練：實數(shù)的性質(zhì)及應用典例體系（本專題41題25頁）考點1：實數(shù)常規(guī)計算典例：（2020·邯鄲市復興區(qū)戶村中學初一期末）計算：（1）（2）方法或規(guī)律點撥本題考核知識點：實數(shù)運算.解題關鍵點：熟記實數(shù)運算法則.鞏固練習1．（2020·廣東陽東初一期末）計算：．2．（2020·遼寧西豐初一期末）計算：（1）（2）3．（2020·莆田第二十五中學初一期末）計算：．4．（2020·寧夏鹽池初一期末）計算：5．（2020·遼寧興城初二期末）計算：6．（2020·南丹縣八圩瑤族鄉(xiāng)初級中學初一期中）計算：考點2：自定義新運算典例：（2019·貴州安順初一期末）對于任意四個有理數(shù)a，b，c，d，可以組成兩個有理數(shù)對（a，b）與（c，d）．我們規(guī)定：（a，b）★（c，d）=bc－ad．例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題：（1）有理數(shù)對（2，－3）★（3，－2）=_______；（2）若有理數(shù)對（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，則x=_______；（3）當滿足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整數(shù)時，求整數(shù)k的值．方法或規(guī)律點撥定義新運算是一種人為的、臨時性的運算形式，是可以深刻理解數(shù)學本源的題型，它使用的是一些特殊的運算符號，如：*、△、⊙，等，解答定義新運算，關鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然后嚴格按照新定義的計算程序，將數(shù)值代入，轉化為常規(guī)的四則運算算式進行計算.鞏固練習1．（2020·金昌市金川總校第五中學初一期末）在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“△”，其規(guī)則為：a△b=a2﹣b2，根據(jù)這個規(guī)則：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．2．（2020·河北邢臺三中初一期末）對x，y定義一種新運算T，規(guī)定：T（x，y）＝ax＋2by－1，（其中a，b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0，1）＝a·0＋2b·1－1＝2b－1．已知T（1，－1）＝－2，T（－3，2）＝4．（1）求a，b的值；（2）利用（1）的結果化簡求值：（a－4b）（4a－3b）－（2a＋b）（2a－b）3．（2020·江蘇錫山初一期末）定義一種新運算“ab”：當a≥b時，ab=a+2b；當a＜b時，ab=a-2b．例如：3(-4)=3，．（1）填空：（-3）（-2）=；（2）若則x的取值范圍為；（3）已知，求x的取值范圍；（4）利用以上新運算化簡：．4．（2020·江蘇省泰興市濟川中學初二期末）定義新運算：對于任意實數(shù)，、，都有，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如：（1）求，求的值；（2）若的值小于10，請判斷方程：的根的情況．考點3：實數(shù)與數(shù)軸典例：（2020·江蘇鎮(zhèn)江中考真題）（算一算）如圖①，點A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點，點A表示﹣3，點B表示1，則點C表示的數(shù)為，AC長等于；（找一找）如圖②，點M、N、P、Q中的一點是數(shù)軸的原點，點A、B分別表示實數(shù)﹣1、+1，Q是AB的中點，則點是這個數(shù)軸的原點；（畫一畫）如圖③，點A、B分別表示實數(shù)c﹣n、c+n，在這個數(shù)軸上作出表示實數(shù)n的點E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（用一用）學校設置了若干個測溫通道，學生進校都應測量體溫，已知每個測溫通道每分鐘可檢測a個學生．凌老師提出了這樣的問題：假設現(xiàn)在校門口有m個學生，每分鐘又有b個學生到達校門口．如果開放3個通道，那么用4分鐘可使校門口的學生全部進校；如果開放4個通道，那么用2分鐘可使校門口的學生全部進校．在這些條件下，a、m、b會有怎樣的數(shù)量關系呢？愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b)，用點A表示；將2分鐘內(nèi)由4個開放通道檢測后進校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作﹣8a，用點B表示．①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+（m+2b）、﹣12a的點F、G，并寫出+(m+2b)的實際意義；②寫出a、m的數(shù)量關系：．方法或規(guī)律點撥本題考查了二元一次方程組的應用，實數(shù)與數(shù)軸，作圖．解決本題的關鍵是根據(jù)題意找到等量關系．鞏固練習1．（2020·廣西防城港初一期中）我們在學習“實數(shù)”時畫了這樣一個圖，即“以數(shù)軸上的單位長為‘1’的線段作一個正方形，然后以原點O為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交數(shù)軸于點A”，請根據(jù)圖形回答下列問題：(1)線段OA的長度是多少?(要求寫出求解過程)(2)這個圖形的目的是為了說明什么?(3)這種研究和解決問題的方式體現(xiàn)了的數(shù)學思想方法.(將下列符合的選項序號填在橫線上)A．數(shù)形結合B．代入C．換元D．歸納2．（2020·武漢七一華源中學初一月考）如圖，點A表示，一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右直爬2.5個單位到達點B，設點B所表示的數(shù)為m，且n+2.5的平方根是0．

(1)求m、n的值；(2)求???4????1+的值．3．（2020·四川三臺初二期中）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點A，B的位置如圖，化簡.4．（2019·浙江永康初一期末）如圖，點是數(shù)軸上的兩點，為原點，點表示的數(shù)是1，點在點的左側，．（1）求點表示的數(shù)；（2）數(shù)軸上的一點在點的右側，設點表示的數(shù)是，若點到，兩點的距離的和是15，求的值；（3）動點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右運動，設運動時間為秒，是否存在這樣的值，使，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．5．（2020·湖北茅箭初二期中）已知a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式-+|1-b|．6．（2019·湖北房縣初一期末）數(shù)軸上點A表示的數(shù)為10，點M，N分別以每秒a個單位長度、每秒b個單位長度的速度沿數(shù)軸運動，a，b滿足|a－3|+（b－4）2=0．（1）請直接寫出a=，b=；（2）如圖1，若點M從A出發(fā)沿數(shù)軸向左運動，到達原點后立即返回向右運動；同時點N從原點O出發(fā)沿數(shù)軸向左運動，運動時間為t，點P為線段ON的中點．若MP=MA，求t的值；（3）如圖2，若點M從原點向右運動，同時點N從原點向左運動，運動時間為t．當以M，N，O，A為端點的所有線段的長度和為94時，求此時點M對應的數(shù)．7．（2019·甘肅省慶陽市鎮(zhèn)原縣廟渠初級中學初一期中）如圖①,在直角三角形中，,則有,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是著名的“勾股定理”．請利用上面的“勾股定理”，解決下面的問題:如圖②，在三角形中,,求的長；如圖③，線段垂直于數(shù)軸,,請在數(shù)軸上找出表示的點．8．（2020·浙江東陽初一期末）教材中的探究：如圖1，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，所得的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方形．由此，得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對應點的方法．（1）圖2中A、B兩點表示的數(shù)分別為，；（2）請你參照上面的方法，把長為5，寬為1的長方形進行裁剪，拼成一個正方形．①在圖3中畫出裁剪線，并在圖4位置畫出所拼正方形的示意圖．②在數(shù)軸上分別標出表示數(shù)以及﹣3的點，（圖中標出必要線段長）考點4：實數(shù)運算與規(guī)律探究典例：．（2020·山西交城初二期中）觀察下列式子變形過程，完成下列任務：（1）類比上述變形過程的基本思路，猜想的結果并驗證；（2）算：.方法或規(guī)律點撥本題考查算術平方根，根據(jù)題目給出的規(guī)律得出算術平方根的運算結果是解題的關鍵，運用了類比的思想方法．鞏固練習1．（2020·吉林長嶺初二期末）觀察下列各式：①，②；③，…（1）請觀察規(guī)律，并寫出第④個等式：；（2）請用含n（n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律：；（3）請證明（2）中的結論．2．（2020·山東招遠初三期中）閱讀下列材料，并解答問題：①；②；③；④；……(1)直接寫出第⑤個等式___________________________________；(2)用含n(n為正整數(shù))的等式表示你探索的規(guī)律；(3)利用你探索的規(guī)律，求＋＋＋…＋的值．3．（2020·河北泊頭初二期中）大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，1＜＜2，于是可用來表示的小數(shù)部分．請解答下列問題：（1）的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求a+b﹣的值．（3）已知：90+＝x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，求x++59﹣y的平方根．4．（2020·沭陽縣修遠中學初二月考）觀察下列等式：回答下列問題：（1）化簡：（無需化為最簡二次根式）（2）化簡：（為正整數(shù)）（3）利用上面所揭示的規(guī)律計算（無需化為最簡二次根式）：5．（2020·云南西山初三學業(yè)考試）觀察下列等式：第個等式：第個等式：第個等式：第個等式：按上述規(guī)律，回答以下問題：（1）請寫出第個等式：_；（2）計算：．6．（2020·全國初一課時練習）閱讀下面的解答過程．計算：．解：因為，所以原式．根據(jù)以上解題方法計算：（1）________（n為正整數(shù)）；（2）．（3）．7．（2020·湖南茶陵初二期末）觀察下列各式及其驗證過程：按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想的變形結果并進行驗證；針對上述各式反應的規(guī)律，寫出用為任意自然數(shù)，且表示的等式，并說明它成立．考點5：實數(shù)的實際應用問題典例：（2020·河南鞏義初一期末）有一塊正方形鋼板，面積為16平方米．（1）求正方形鋼板的邊長．（2）李師傅準備用它裁剪出一塊面積為12平方米的長方形工件，且要求長寬之比為，問李師傅能辦到嗎？若能，求出長方形的長和寬；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）．方法或規(guī)律點撥本題考查了算術平方根的實際應用，靈活的利用算術平方根表示正方形和長方形的邊長是解題的關鍵.鞏固練習1．（2020·重慶綦江初二月考）（1）已知x=，求代數(shù)式x2+5x-6的值．（2）《九章算術》是我國古代最重要的數(shù)學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的長．2．（2020·山西興縣初二期中）為了打贏湖北保衛(wèi)戰(zhàn)、武漢保衛(wèi)戰(zhàn)，4萬多名醫(yī)護人員逆行出征，約4萬名建設者從八方趕來，并肩奮戰(zhàn)，搶建火神山和雷神山醫(yī)院．他們?nèi)找棍閼?zhàn)，與病毒競速，創(chuàng)造了10天左右時間建成兩座傳染病醫(yī)院的“中國速度”！他們不畏風險，同困難斗爭，充分展現(xiàn)團結起來打硬仗的“中國力量”，在建設過程中，有一位木工遇到了這樣一道數(shù)學題：有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個面積分別為和的正方形木板．（1）求剩余木料的面積？（2）如果木工想從剩余的木料中截出長為，寬為的長方形木條，最多能截出_________塊這樣的木條．3．（2019·重慶北碚西南大學附中初二月考）“格子乘法”是15世紀中葉，意大利數(shù)學家帕喬利在《算術幾何及比例性質(zhì)摘要》一書中介紹的一種兩個數(shù)的相乘的計算方法．這種方法傳入中國之后，在明朝數(shù)學家程大位的《算法統(tǒng)宗》書中被稱為“鋪地錦”具體步驟如下：①先畫一個矩形，把它分成p×q個方格（p，q分別為兩乘數(shù)的位數(shù)）在方格上邊、右邊分別寫下兩個因數(shù)；②再用對角線把方格一分為二，分別記錄上述各位數(shù)字相應乘積的十位數(shù)與個位數(shù)；③然后這些乘積由右下到左上，沿對角線方向相加，相加滿十時向前進一；④最后得到結果（方格左側與下方數(shù)字依次排列）．比如：（1）圖1是用“鋪地錦”計算x9×784的格子，則z＝，x9×784＝（2）圖2是用“鋪地錦”計算ab×cd的格子，已知ab×cd＝2176，求m和n的值．考點6：多項式化簡求值典例：（2020·廣東中考真題）先化簡，再求值：，其中，．方法或規(guī)律點撥本題考查了完全平方公式、平方差公式的運算，實數(shù)的化簡求值，熟練掌握公式及運算法則是解決此類題的關鍵．鞏固練