高考數(shù)學復習 專題一 高頻客觀命題點 1.8 排列、組合、二項式定理練習 理-人教版高三數(shù)學試題

1.8排列、組合、二項式定理命題角度1計數(shù)原理、排列與組合問題高考真題體驗·對方向1.(2017全國Ⅱ·6)安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有()A.12種 B.18種C.24種 D.36種答案D解析先把4項工作分成3份有C42C21C12.(2016全國Ⅱ·5)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9答案B解析由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再從F處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3=18,故選B.3.(2016全國Ⅲ·12)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個 B.16個 C.14個 D.12個答案C解析由題意知a1=0,a8=1,則滿足題意的a1,a2,…,a8的可能取值如下:綜上可知,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有14個.4.(2017浙江·16)從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務隊,要求服務隊中至少有1名女生,共有種不同的選法.(用數(shù)字作答)

答案660解析由題意可得,總的選擇方法為C84C41C35.(2018全國Ⅰ·15)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)

答案16解析方法一:①當3人中恰有1位女生時,有C21C②當3人中有2位女生時,有C22C故不同的選法共有12+4=16種.方法二:6人中選3人共有C63種選法,當3人全是男生時有C43種選法,所以至少有1位女生入選時有6.(2017天津·14)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有個.(用數(shù)字作答)

答案1080解析①沒有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有A54②有且只有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有C41C53A44=典題演練提能·刷高分1.有5名同學站成一排照畢業(yè)紀念照,其中甲必須站在正中間,并且乙、丙兩位同學不能相鄰,則不同的站法有()A.8種 B.16種 C.32種 D.48種答案B解析首先將甲排在中間,乙、丙兩位同學不能相鄰,則兩人必須站在甲的兩側(cè),選出一人排在左側(cè),有C21A21種方法,另外一人排在右側(cè),有A212.上海某小學組織6個年級的學生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個博物館,每個年級任選一個博物館參觀,則有且只有兩個年級選擇甲博物館的方案有()A.A62×A54種 BC.C62×A54種 D答案D解析因為有且只有兩個年級選擇甲博物館,所以參觀甲博物館的年級有C62種情況,其余年級均有5種選擇,所以共有54種情況,根據(jù)乘法原理可得C62×3.將5個不同的球放入4個不同的盒子中,每個盒子至少放一個球,則不同放法共有()A.480種 B.360種C.240種 D.120種答案C解析第一步:先從4個盒子中選一個盒子準備裝兩個球,有4種選法;第二步:從5個球里選出兩個球放在剛才的盒子里,有C52種選法;第三步:把剩下的3個球全排列,有A33種排法,由乘法分步原理得不同方法共有44.福州西湖公園花展期間,安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務,要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人,剩下兩個展區(qū)各安排兩個人,不同的安排方案共有()A.90種 B.180種 C.270種 D.360種答案B解析第一步,為甲地選一名志愿者,有C61=6種選法;第二步,為乙地選一名志愿者,有C51=5種選法;第三步,為剩下兩個展區(qū)各安排兩個人,有C42C22=6種選法.故不同的安排方案共有65.用6種不同的顏色對正四棱錐的8條棱染色,每個頂點出發(fā)的棱的顏色各不相同,不同的染色方案共有()A.14400種 B.28800種C.38880種 D.43200種答案C解析從P點出發(fā)的4條側(cè)棱一定要用4種不同的顏色,有A64接下來底面的染色根據(jù)是否使用剩下的2種顏色分類計數(shù):(1)不使用新的顏色,有2種顏色分類方案;(2)使用1種新的顏色,分為2類:第一類,染一條邊,有2×4×4=32種方案;第二類,染兩條對邊,有2×2×4=16種方案.(3)使用2種新的顏色,分為4類:第一類,染兩條鄰邊,有4×2×3=24種方案;第二類,染兩條對邊,有2×2×4=16種方案;第三類,染三條邊,有4×2×2=16種方案;第四類,染四條邊,有2種方案.因此不同的染色方案總數(shù)為360×[2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38880,故選C.6.根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門決定派出五位相關專家對三個貧困地區(qū)進行調(diào)研,每個地區(qū)至少派遣一位專家,其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū),則不同的派遣方案種數(shù)為(用數(shù)字作答).

答案36解析由題意可知,可分為兩類:第一類:甲乙在一個地區(qū)時,剩余的三類分為兩組,再三組派遣到三個地區(qū),共有C32A33=18種不同的派遣方式;第二類:甲乙和剩余的三人中的一個人同在一個地區(qū),另外兩人分別在兩個地區(qū),共有C31命題角度2求展開式中的指定項或其系數(shù)高考真題體驗·對方向1.(2018全國Ⅲ·5)x2+2x5的展開式中A.10 B.20 C.40 D.80答案C解析由展開式知Tr+1=C5r(x2)5-r(2x-1)r=C5r2rx10-3r.當r=2時,x4的系數(shù)為C52.(2019全國Ⅲ·4)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為()A.12 B.16 C.20 D.24答案A解析(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為C43+2C41=4+8=3.(2017全國Ⅲ·4)(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A.-80 B.-40 C.40 D.80答案C解析(2x-y)5的展開式的通項公式Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)當r=3時,x(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為C53×22×(-1)3當r=2時,y(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為C52×23×(-1)2=故展開式中x3y3的系數(shù)為80-40=40.4.(2015全國Ⅰ·10)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.60答案C解析由于(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展開式的通項為Tr+1=C5r(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,…,5),因此只有當r=2,即T3=C52(x2+x)3y2中才能含有x5y2項.設(x2+x)3的展開式的通項為Si+1=C3i(x2)3-i·xi=C3ix6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,則(x2+x)3的展開式中x5項的系數(shù)是C31=3,故(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)是5.(2019浙江·13)在二項式(2+x)9的展開式中,常數(shù)項是,系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是.

答案1625解析(2+x)9的通項為Tr+1=C9r(2)9-rxr(r=0,1,2,…,9),可得常數(shù)項為T1=C90(2)9=162.因為系數(shù)為有理數(shù),所以r=1,3,5,7,9,即T2,T4,T66.(2019天津·10)2x-18x38的展開式中的常數(shù)項為.答案28解析Tr+1=C8r(2x)8-r1-=C8r·28-r·-18r·x8-4r需8-4r=0,r=2.常數(shù)項為C8226-182=C82261典題演練提能·刷高分1.(x2+2)1x-15展開式中的常數(shù)項是()A.12 B.-12 C.8 D.-8答案B解析由1x-15展開式的第r+1項Tr+1=C5r1x5-r(-1)r=(-1)rC5rxr-5,得(x2+2)1x-15展開式的通項為x2·(-1)rC5rxr-5=(-1)rC5rxr-3或2(-1)rC5rxr-5,則當r-3=0或r-5=0,即r=3或r=5時,為展開式的常數(shù)項,即(-1)3C532.x2+1x6展開式的常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)

答案15解析由題得x2+1x6展開式的通項為Tr+1=C6r(x2)6-r1xr=C6rx12-3r(r=0,1,2,3,4,5,6),令12-3r=0,得r=4.所以x2+1x6展開式的常數(shù)項為C643.在2x+1x26的展開式中x-3的系數(shù)為.

答案160解析展開式的通項為Tr+1=C6r(2x)6-r·1x2r=C6r·26-r·x6-3r,令6-3r=-3?4.(x+y)(x-y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

答案20解析(x-y)8展開式的通項公式為Tr+1=C8rx8-r(-y)r=(-1)rC8rx8-ryr,令r=7,則展開項為(-1)7C87x8-7y7=-8xy7,令r=6,則展開項為(-1)6C86x8-6y6=28x2y6,據(jù)此可得展開式中x2y75.(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)是5,則a=.

答案-1解析(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)是1×C52+a×C51=10+5a,所以10+5a=命題角度3二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題高考真題體驗·對方向1.(2015湖北·3)已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A.212 B.211 C.210 D.29答案D解析由條件知Cn3=Cn7,∴n=10.∴(1+x)10中二項式系數(shù)和為210,其中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2102.(2015全國Ⅱ·15)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=.

答案3解析一∵(1+x)4=x4+C43x3+C42x2+C41x+C40x0=x4+4x3+6x2+4x+1,∴(a+x)(1+x)4的奇數(shù)次冪項的系數(shù)為4a+4a+1+6解析二設(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,①令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,②由①-②,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.典題演練提能·刷高分1.已知x3+2xn的展開式的各項系數(shù)和為243,則展開式中x7的系數(shù)為()A.5 B.40 C.20 D.10答案B解析由題意,二項式x3+2xn的展開式中各項的系數(shù)和為243,令x=1,則3n=243,解得n=5,所以二項式x3+2x5的展開式為Tr+1=C5r(x3)5-r2xr=2rC5rx15-4r,令r=2,則T3=22C52x15-4×2=40x7,即x2.若多項式(2x+3y)n展開式僅在第5項的二項式系數(shù)最大,則多項式x2+1x2-4n-4展開式中x2的系數(shù)為()A.-304 B.304 C.-208 D.208答案A解析多項式(2x+3y)n展開式僅在第5項的二項式系數(shù)最大,故n=8,多項式x2+1x2-44展開式中x2的系數(shù)為C41·(-4)3+C42·C21·(-4)=-3.記(2-x)7=a0+a1(1+x)2+…+a7(1+x)7,則a0+a1+a2+…+a6的值為()A.1 B.2 C.129 D.2188答案C解析(2-x)7=a0+a1(1+x)2+…+a7(1+x)7中,令x=0,得27=a0+a1+…+a7=128.∵(2-x)7展開式中含x7項的系數(shù)為C7720(-1)7=-1,∴a7=-1,∴a0+a1+…+a6=128-a7=4.在二項式ax+bx8的展開式中,所有項的系數(shù)之和記為S,第r項的系數(shù)記為Pr,若SP9=38,則ab的值為(A.2 B.-4C.2或-2 D.2或-4答案D解析在ax+bx8中,令x=1,所以S=(a+b)8,又其通項公式為Tr+1=C8r(ax)8-rbxr即Tr+1=C8ra8-r·brx8-32r,所以P9=C88a8-8b8=b8,因此依題有(a+∴1+ab=±3,∴ab=2或-4.5.(2x-1)6的展開式中,二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

答案-160解析(2x-1)6的展開式中,二項式系數(shù)最大的項是第四