第03講 直線與圓的位置關(guān)系-【寒假預(yù)習(xí)】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測試（滬教版）（原卷版）

第03講直線與圓的位置關(guān)系目錄考點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二：切線的性質(zhì)考點(diǎn)三：切線的判定考點(diǎn)四：切線的判定與性質(zhì)【基礎(chǔ)知識】一．直線與圓的位置關(guān)系（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn)．②相切：一條直線和圓只有一個公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．③相交：一條直線和圓有兩個公共點(diǎn)，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．二．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問題．三．切線的判定（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時注意：①切線必須滿足兩個條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結(jié)論直接得出來的．③在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．四．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”．【考點(diǎn)剖析】一．直線與圓的位置關(guān)系（共14小題）1．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE，點(diǎn)O是線段AE上一點(diǎn)，⊙O的半徑為1，如果⊙O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段AO長的取值范圍是．2．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）點(diǎn)A在圓O上，已知圓O的半徑是4，如果點(diǎn)A到直線a的距離是8，那么圓O與直線a的位置關(guān)系可能是（）A．相交 B．相離 C．相切或相交 D．相切或相離3．（2022?金山區(qū)二模）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，），圓P的半徑為2，下列說法正確的是（）A．圓P與x軸有一個公共點(diǎn)，與y軸有兩個公共點(diǎn) B．圓P與x軸有兩個公共點(diǎn)，與y軸有一個公共點(diǎn) C．圓P與x軸、y軸都有兩個公共點(diǎn) D．圓P與x軸、y軸都沒有公共點(diǎn)4．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）如圖在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，那么以點(diǎn)C為圓心、DC長為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長為半徑的圓E的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．不能確定5．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑r的取值范圍是（）A．0≤r≤ B．≤r≤3 C．≤r≤4 D．3≤r≤46．（2022春?普陀區(qū)期中）已知在等邊△ABC中，AB＝2，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與邊AB有且只有一個公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑是．7．（2022?寶山區(qū)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，AD＝2，cotC＝，圓O是以AB為直徑的圓．如果以點(diǎn)C為圓心作圓C與直線AD相交，與圓O沒有公共點(diǎn)，那么圓C的半徑長可以是（）A．9 B． C．5 D．8．（2022春?金山區(qū)校級月考）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果⊙O的半徑為6cm，線段OA＝10cm，線段OB＝6cm，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切9．（2022春?徐匯區(qū)期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)O是邊BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點(diǎn)，則OC的取值范圍是（）A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC≤10．（2022春?金山區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，點(diǎn)P在邊AC上，⊙P的半徑為1．如果⊙P與邊BC和邊AB都沒有公共點(diǎn)，那么線段PC長的取值范圍是．11．（2022?青浦區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝4，AD＝1（如圖）．點(diǎn)O是邊CD上一點(diǎn)，如果以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓與邊BC有交點(diǎn)，那么OD的取值范圍是（）A．2≤OD≤5 B．≤OD≤ C．≤OD≤ D．≤OD≤12．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如果x的取值范圍是a＜x＜b，我們就將b與a的差叫做x的變化區(qū)間長度．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC交BD于點(diǎn)O，且AC＝16，BD＝12．如果以O(shè)為圓心，r為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有8個公共點(diǎn)，那么r的變化區(qū)間長度是（）A． B． C． D．13．（2022春?浦東新區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，CD為AB邊上的中線，CD＝5，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B．如果⊙B與中線CD有且只有一個公共點(diǎn)，那么⊙B的半徑r的取值范圍為．14．（2022春?青浦區(qū)期中）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E是AD上一定點(diǎn)，AB＝3，BC＝6，AD＝8，AE＝2．點(diǎn)P是BC上一個動點(diǎn)，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點(diǎn)，且⊙P與線段AD只有一個交點(diǎn)，則PC長度的取值范圍是．二．切線的性質(zhì)（共6小題）15．（2022?徐匯區(qū)校級自主招生）如圖，一個較大的圓內(nèi)有15個半徑為1的小圓，所有的交點(diǎn)都為切點(diǎn)，圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為．16．（2022春?長寧區(qū)校級期中）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AC是弦，將圖形ABC沿直線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，過點(diǎn)D作DE∥AB．如果DE與圓O相切，那么∠BAC的度數(shù)等于．17．（2022?黃浦區(qū)校級二模）已知點(diǎn)P是直線y＝2上一點(diǎn)，⊙P與y軸相切，且與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，如果AB＝2，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是．18．（2022?上海）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為．19．（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，如果以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相切，那么⊙A的半徑r的值是．20．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，⊙O是以BC為直徑的圓，如果⊙O與⊙A相切，那么⊙A的半徑長為．三．切線的判定（共2小題）21．（2019秋?金山區(qū)期末）已知在矩形ABCD中，AB＝5，對角線AC＝13．⊙C的半徑長為12，下列說法正確的是（）A．⊙C與直線AB相交 B．⊙C與直線AD相切 C．點(diǎn)A在⊙C上 D．點(diǎn)D在⊙C內(nèi)22．（2019秋?嘉定區(qū)期末）下列四個選項(xiàng)中的表述，正確的是（）A．經(jīng)過半徑上一點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 B．經(jīng)過半徑的端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 C．經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 D．經(jīng)過一條弦的外端且垂直于這條弦的直線是圓的切線四．切線的判定與性質(zhì)（共2小題）23．（2017?閔行區(qū)二模）下列關(guān)于圓的切線的說法正確的是（）A．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線 B．與圓只有一個公共點(diǎn)的射線是圓的切線 C．經(jīng)過半徑的一端且垂直于半徑的直線是圓的切線 D．如果圓心到一條直線的距離等于半徑長，那么這條直線是圓的切線24．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）如圖所示，AB為⊙O的直徑，C在⊙O上，OD∥BC，AD是切線，延長DC、AB交于點(diǎn)E．（1）求證：DE是切線；（2）＝，求cos∠ABC的值．【過關(guān)檢測】1．（2021·上海金山·一模）如圖，已知中，，，，如果以點(diǎn)為圓心的圓與斜邊有公共點(diǎn)，那么⊙的半徑的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2021·上海楊浦·二模）下列命題中，真命題是（）A．平分弦的直徑垂直于弦B．垂直平分弦的直線平分這條弦所對的弧C．在同圓中，相等的弦所對的弧也相等D．經(jīng)過半徑一端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線3．（2021·上海崇明·二模）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果O的半徑為3cm，線段OA＝5cm，線段OB＝3cm，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切4．（2018·上海長寧·九年級期末）已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以點(diǎn)P（﹣2，3）為圓心，2為半徑的圓P與x軸的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切C．相交 D．相離、相切、相交都有可能5．（2021·上海·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點(diǎn)O在邊AB上，且BO＝2OA．以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點(diǎn)，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（）A．6 B．10 C．15 D．166．（2014·上海金山·九年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-（x-2）2+1的頂點(diǎn)是點(diǎn)P，對稱軸與x軸相交于點(diǎn)Q，以點(diǎn)P為圓心，PQ長為半徑畫⊙P，那么下列判斷正確的是（

）A．x軸與⊙P相離； B．x軸與⊙P相切； C．y軸與⊙P與相切； D．y軸與⊙P相交．二、填空題7．（2021·上海寶山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作⊙A，將⊙A繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜90°），若⊙A與直線BC相切，則∠α的余弦值為_______．8．（2020·上海閔行·九年級期末）已知在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=3，BC=4，⊙C與斜邊AB相切，那么⊙C的半徑為______.9．（2019·上海嘉定·九年級期末）如圖，在圓中，是弦，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，平分，聯(lián)結(jié)、，那么__________度．10．（2019·上?！ぞ拍昙壠谀┮阎猂t△ABC中，，，，如果以點(diǎn)為圓心的圓與斜邊有唯一的公共點(diǎn)，那么的半徑的取值范圍為____.11．（2018·上海上?！ぞ拍昙壠谥校┮阎谥?，，，如果以點(diǎn)為圓心的圓與斜邊有且只有一個交點(diǎn)，那么的半徑是________12．（2018·上海深圳·九年級期末）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)A作AP的垂線交射線PB于點(diǎn)C，當(dāng)△PAB是等腰三角形時，線段BC的長為______．三、解答題13．（2018·上海深圳·九年級期末）如圖，⊙O的直徑為，點(diǎn)在圓周上（異于），是的平分線，.（1）求證：直線是⊙O的切線；（2）若=3，，求的值.14．（2019·上海嘉定·九年級期末）如圖，在圓中，弦，點(diǎn)在圓上（與，不重合），聯(lián)結(jié)、，過點(diǎn)分別作，，垂足分別是點(diǎn)、．（1）求線段的長；（2）點(diǎn)到的距離為3，求圓的半徑．15．（2020·上海青浦·二模）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝6，點(diǎn)C在半圓O上．過點(diǎn)A作AD⊥OC，垂足為點(diǎn)D，AD的延長線與弦BC交于點(diǎn)E，與半圓O交于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合）．（1）當(dāng)點(diǎn)F為的中點(diǎn)時，求弦BC的長；（2）設(shè)OD＝x，＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)△AOD與△CDE相似時，求線段OD的長．16．（2019·上海長寧·二模）如圖1，在中，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），以點(diǎn)為圓心，為半徑作⊙交邊于另一點(diǎn)，，交邊于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；（3）延長交的延長線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，若與相似，求線段的長．17．（2020·上海嘉定·二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，cosB．動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿著射線AC的方向以每秒1cm的速度移動，動點(diǎn)E