2024年中考數(shù)學二輪專題 壓軸題培優(yōu)練習05（含答案）

2024年中考數(shù)學二輪專題壓軸題培優(yōu)練習05LISTNUMOutlineDefault\l3拋物線y=ax2＋bx＋3經(jīng)過點A(1，0)和點B(5，0)．(1)求該拋物線所對應的函數(shù)解析式；(2)該拋物線與直線y=eq\f(3,5)x＋3相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N.①連接PC、PD，如圖①，在點P運動過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．②連接PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，如圖②，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，點P為拋物線y＝eq\f(1,4)x2上一動點．(1)若拋物線y＝eq\f(1,4)x2是由拋物線y＝eq\f(1,4)(x＋2)2﹣1通過圖象平移得到的，請寫出平移的過程；(2)若直線l經(jīng)過y軸上一點N，且平行于x軸，點N的坐標為(0，﹣1)，過點P作PM⊥l于M．①問題探究：如圖一，在對稱軸上是否存在一定點F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出點F的坐標：若不存在，請說明理由．②問題解決：如圖二，若點Q的坐標為(1，5)，求QP＋PF的最小值．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐標系中，拋物線y=x2＋(k－1)x－k與直線y=kx＋1交于A，B兩點，點A在點B的左側.(1)如圖1，當k=1時，求A，B兩點的坐標；(2)如圖2，拋物線y=x2＋(k－1)x－k(k＞0)與x軸交于點C，D兩點(點C在點D的左側)，在直線y=kx＋1上是否存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖1，拋物線y=ax2＋bx＋3(a≠0)與x軸、y軸分別交于點A(﹣1，0)、B(3，0)、點C三點．(1)試求拋物線的解析式；(2)點D(2，m)在第一象限的拋物線上，連接BC、BD．試問，在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P，滿足∠PBC=∠DBC？如果存在，請求出點P點的坐標；如果不存在，請說明理由；(3)如圖2，在(2)的條件下，將△BOC沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，記平移后的三角形為△B′O′C′．在平移過程中，△B′O′C′與△BCD重疊的面積記為S，設平移的時間為t秒，試求S與t之間的函數(shù)關系式？LISTNUMOutlineDefault\l3如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝﹣ax2＋6ax＋6與y軸交于點B，交x軸的負半軸于點A，交x軸的正半軸于點C，且S△ABC＝30．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，點P為第一象限拋物線上一點，其橫坐標為t，PD⊥x軸于點D，設tan∠PAD等于m，求m與t之間的函數(shù)關系式；(3)如圖3，在(2)的條件下，當m＝eq\f(4,3)時，過點B作BN⊥AB交∠PAC的平分線于點N，點K在線段AB上，點M在線段AN上，連接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于點T，延長MT交BN于點H，若NH＝4BH，求直線KN的解析式．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，關于y=﹣x2+bx+c的二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3，0)，點C(0，3)，點D為二次函數(shù)的頂點，DE為二次函數(shù)的對稱軸，點E在x軸上．(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；(2)在圖中求一點G，使以G、A、E、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點G的坐標；(3)在拋物線A、C兩點之間有一點F，使△FAC的面積最大，求該點坐標；(4)直線DE上是否存在點P到直線AD的距離與到軸的距離相等？若存在，請求出點P，若不存在，請說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三點.(1)求拋物線解析式；(2)若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△MOA的面積為S.求S關于m的函數(shù)關系式，并求出當m為何值時，S有最大值，這個最大值是多少？(3)若點Q是直線y=﹣x上的動點，過Q做y軸的平行線交拋物線于點P，判斷有幾個Q能使以點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形的點，直接寫出相應的點Q的坐標.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，拋物線M：y＝ax2＋bx＋b﹣a經(jīng)過點(1，﹣3)和(﹣4，12)，與兩坐標軸的交點分別為A，B，C，頂點為D．(1)求拋物線M的表達式和頂點D的坐標；(2)若拋物線N：y＝﹣eq\f(1,2)(x﹣h)2＋與拋物線M有一個公共點為E，則在拋物線N上是否存在一點F，使得以B、C、E、F為頂點的四邊形是以BC為邊的平行四邊形？若存在，請求出h的值；若不存在，請說明理由．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵拋物線y=ax2＋bx＋3經(jīng)過點A(1，0)和點B(5，0)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋3＝0,25a＋5b＋3＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5),b＝－\f(18,5)))，∴該拋物線對應的函數(shù)解析式為y=eq\f(3,5)x2－eq\f(18,5)x＋3；(2)∵點P是拋物線上的動點，且位于x軸下方，∴可設點P(t，eq\f(3,5)t2－eq\f(18,5)t＋3)(1＜t＜5)，∵PM∥y軸，分別與x軸和直線CD相交于點M、N，∴M(t，0)，N(t，eq\f(3,5)t＋3)．①∵點C，D是直線與拋物線的交點，∴令eq\f(3,5)x2－eq\f(18,5)x＋3=eq\f(3,5)x＋3，解得x1=0，x2=7.當x=0時，y=eq\f(3,5)x＋3=3，當x=7時，y=eq\f(3,5)x＋3=eq\f(36,5).∴點C(0，3)，D(7，eq\f(36,5))．如圖，分別過點C和點D作直線PN的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則CE=t，DF=7－t，SΔPCD=SΔPCN＋SΔPDN=eq\f(1,2)PN·CE＋eq\f(1,2)PN·DF=eq\f(1,2)PN(CE＋DF)=eq\f(7,2)PN，當PN最大時，△PCD的面積最大．∵PN=eq\f(3,5)t＋3－(eq\f(3,5)t2－eq\f(18,5)t＋3)=－eq\f(3,5)(t－eq\f(7,2))2＋eq\f(147,20)，∴當t=eq\f(7,2)時，PN取最大值為eq\f(147,20)，此時△PCD的面積最大，最大值為eq\f(1,2)×7×eq\f(147,20)=eq\f(1029,40)；②存在.∵∠CQN=∠PMB=90°，∴當eq\f(NQ,CQ)=eq\f(PM,BM)或eq\f(NQ,CQ)=eq\f(BM,PM)時，△CNQ與△PBM相似．∵CQ⊥PM，垂足為點Q，∴Q(t，3)．且C(0，3)，N(t，eq\f(3,5)t＋3)，∴CQ=t，NQ=(eq\f(3,5)t＋3)－3=eq\f(3,5)t.∴eq\f(NQ,CQ)=eq\f(3,5).∵P(t，eq\f(3,5)t2－eq\f(18,5)t＋3)，M(t，0)，B(5，0)．∴BM=5－t，PM=－eq\f(3,5)t2＋eq\f(18,5)t－3.情況1：當eq\f(NQ,CQ)=eq\f(PM,BM)時，PM=eq\f(3,5)BM，即－eq\f(3,5)t2＋eq\f(18,5)t－3=eq\f(3,5)(5－t)，解得t1=2，t2=5(舍去)，此時，P(2，－eq\f(9,5))；情況2：當eq\f(NQ,CQ)=eq\f(BM,PM)時，BM=eq\f(3,5)PM，即5－t=eq\f(3,5)(－eq\f(3,5)t2＋eq\f(18,5)t－3)，解得t1=eq\f(34,9)，t2=5(舍去)．此時，P(eq\f(34,9)，－eq\f(55,27))．綜上所述，存在點P(2，－eq\f(9,5))或者P(eq\f(34,9)，－eq\f(55,27))，使得△CNQ與△PBM相似．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵拋物線y＝eq\f(1,4)(x＋2)2﹣1的頂點為(﹣2，﹣1)，∴拋物線y＝eq\f(1,4)(x＋2)2﹣1的圖象向上平移1個單位，再向右2個單位得到拋物線y＝eq\f(1,4)x2的圖象．(2)①存在一定點F，使得PM＝PF恒成立．如圖一，過點P作PB⊥y軸于點B，設點P坐標為(a，eq\f(1,4)a2)，∴PM＝PF＝eq\f(1,4)a2＋1，∵PB＝|a|，∴Rt△PBF中，BF＝|eq\f(1,4)a2﹣1|，∵BF＝|eq\f(1,4)a2﹣1|，OB＝eq\f(1,4)a2，∴OF＝1，∴點F坐標為(0，1)．②如圖二中，由①，PM＝PF，QP＋PF的最小值為QP＋PM的最小值，當Q、P、M三點共線時，QP＋PM有最小值，最小值為點Q縱坐標加M縱坐標的絕對值．∴QP＋PF的最小值為6．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)A(－1，0)，B(2，3)(2)設直線AB：y=kx＋1與x軸，y軸分別交于點E，F(xiàn)，則E(－eq\f(1,k)，0)，F(xiàn)(0，1)，OE=eq\f(1,k)，OF=1.在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=eq\r(（\f(1,k)）2＋1)=eq\f(\r(1＋k2),k).令y=x2＋(k－1)x－k=0，得：x=－k或x=1.∴C(－k，0)，OC=k.①假設存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，如圖，則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，此時∠OQC=90°.設點N為OC中點，連結NQ，則NQ⊥EF，NQ=CN=ON=eq\f(k,2).∴EN=OE－ON=eq\f(1,k)－eq\f(k,2).∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴eq\f(NQ,OF)=eq\f(EN,EF)，即：eq\f(\f(k,2),1)=eq\f(\f(1,k)－\f(k,2),\f(\r(1＋k2),k))，解得：k=±eq\f(2\r(5),5)，∵k>0，∴k=eq\f(2\r(5),5).∴存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，此時k=eq\f(2\r(5),5).②若直線AB過點C時，此時直線與圓的交點只有另一點Q點，故亦存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，將C(－k，0)代入y=kx＋1中，可得k=1，k=－1(舍去)，故亦存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，此時k=1.綜上所述，k=eq\f(2\r(5),5)或1時，存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)將A(﹣1，0)、B(3，0)代入拋物線y=ax2＋bx＋3(a≠0)，，解得：a=﹣1，b=2．故拋物線解析式為：y=﹣x2＋2x＋3．(2)存在將點D代入拋物線解析式得：m=3，∴D(2，3)，令x=0，y=3，∴C(0，3)，∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，如圖，設BP交y軸于點G，∵CD∥x軸，∴∠DCB=∠BCO=45°，在△CDB和△CGB中：∵∠∴△CDB≌△CGB(ASA)，∴CG=CD=2，∴OG=1，∴點G(0，1)，設直線BP：y=kx＋1，代入點B(3，0)，∴k=﹣eq\f(1,3)，∴直線BP：y=﹣eq\f(1,3)x＋1，聯(lián)立直線BP和二次函數(shù)解析式：，解得：或(舍)，∴P(﹣eq\f(2,3)，eq\f(11,9))．(3)直線BC：y=﹣x＋3，直線BD：y=﹣3x＋9，當0≤t≤2時，如下圖：設直線C′B′：y=﹣(x﹣t)＋3聯(lián)立直線BD求得F(3﹣eq\f(1,2)t，eq\f(3,2)t)，S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=eq\f(1,2)×2×3﹣eq\f(1,2)×t×t﹣eq\f(1,2)×(2﹣t)(3﹣eq\f(3,2)t)整理得：S=﹣eq\f(5,4)t2＋3t(0≤t≤2)．當2＜t≤3時，如圖：H(t，﹣3t＋9)，I(t，﹣t＋3)S=S△HIB=eq\f(1,2)[(﹣3t＋9)﹣(﹣t＋3)]×(3﹣t)整理得：S=t2﹣6t＋9(2＜t≤3)綜上所述：S=．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)令x＝0，則y＝6，∴B(0，6)，令y＝0，則﹣ax2＋6ax＋6＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝﹣，∴|x1﹣x2|＝，∵S△ABC＝30＝6×，解得a＝eq\f(3,8)，∴y＝﹣eq\f(3,8)x2＋eq\f(9,4)x＋6；(2)∵P點橫坐標為t，∴P(t，﹣eq\f(3,8)t2＋eq\f(9,4)t＋6)，∵PD⊥x軸，∴PD＝﹣eq\f(3,8)t2＋eq\f(9,4)t＋6，令y＝0，則﹣eq\f(3,8)x2＋eq\f(9,4)x＋6，解得x＝﹣2或x＝8，∴A(﹣2，0)，C(8，0)，∴AD＝t＋2，∵tan∠PAD＝m，∴＝m，整理得，m＝﹣eq\f(3,8)(t﹣8)(0＜t＜8)；(3)連接BC與AP交于點E，∵A(﹣2，0)，B(0，6)，C(8，0)，∴AC＝10，BC＝10，∴AC＝BC，∴∠BAO＝∠ABE，∵OB＝6，OC＝8，∴tan∠OCB＝eq\f(4,3)，∵m＝eq\f(4,3)，∴∠PAD＝∠OBC，∴∠BCO＝∠APD，∴∠PAD＋∠BCO＝90°，∴BC⊥AP，∴∠BEA＝90°，∴△ABO≌△EAB(AAS)，∴∠BAE＝∠ABO，∵AN平分∠PAC，∴∠EAN＝∠NAC，∴2∠OAE＋2∠EAN＝90°，∴∠BAN＝45°，∴△ABN是等腰直角三角形，∴BN＝AB＝2eq\r(10)，在Rt△APD中，設AN與PD交于Z，過Z作ZY⊥AP交于Y，∵AZ是∠PAD的平分線，∴YZ＝ZD，∵tan∠PAD＝eq\f(4,3)，設PD＝4，ZD＝y(tǒng)，則AD＝3，AP＝5，YZ＝y(tǒng)，在Rt△PYZ中，(4﹣y)2＝y(tǒng)2＋22，∴y＝eq\f(3,2)，∴tan∠ZAD＝eq\f(1,2)，設N(m，n)，則＝，∵2eq\r(10)＝，解得m＝6，n＝4，∴N(6，4)，過A作AL⊥AB交于HM的延長線于L，過B作BS∥HL交AL于點S，交KN于點Q，∵MT⊥KN，∴∠NHT＝90°﹣∠HNT，∠BKN＝90°﹣∠HNT，∵∠MKN＝2∠BNK，∴∠AKM＝180°﹣(∠BKN＋∠NKM)＝90°﹣∠HNT，∴∠AKM＝∠HTN，∵∠BAN＝∠BNA＝45°，∴∠HMN＝∠KMA，∵∠HMN＝∠AML，∴∠KMA＝∠AML，∵AL⊥AB，∠PAN＝∠CAN，∴∠CAL＝∠BAE，∴∠KAM＝∠MAL，∴△AKM≌△ALM(ASA)，∴AK＝AL，∠ALM＝∠AKN，∵BN⊥AB，AL⊥AB，∴BN∥AL，∵BS∥HL，∴四邊形BHLS是平行四邊形，∴∠ALM＝∠BSA，∴∠BKN＝∠BSA，∵AB＝BN，∠ABN＝∠BAS＝90°，∴△NBK≌△BAS(ASA)，∴BK＝AS，∴HL＝KN，∵NH＝4BH，設BH＝a，KB＝b，則NH＝4a，AB＝5a，∵AK＝AL，∴5a﹣b＝a＋b，∴b＝2a，∴BK：AB＝2：5，過K作KG⊥x軸交于G，∴△ABO∽△AKG，∴＝＝＝，∴KG＝eq\f(18,5)，AG＝eq\f(6,5)，∴K(﹣eq\f(4,5)，eq\f(18,5))，設直線KN的解析式為y＝sx＋h，∴，解得，∴y＝x＋．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)把A(﹣3，0)，C(0，3)代入y=﹣x2+bx+c得，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，∴D(﹣1，4)；(2)拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，則E(﹣1，0)，如圖1，∴AE=2，當把C點向右平移2個單位得到G點，則四邊形AEGC為平行四邊形，此時G(2，3)；當把C點向左平移2個單位得到G′點，則四邊形AECG′為平行四邊形，此時G(﹣2，3)；由于點C向下平移3個單位，向左平移1個單位得到E點，則點A向下平移3個單位，向左平移1個單位得到G″點，則四邊形ACEG″為平行四邊形，此時G″(﹣4，﹣3)，綜上所述，G點坐標為(﹣2，3)或(2，3)或(﹣4，﹣3)；(3)如圖2，作FQ∥y軸交AC于Q，設直線AC的解析式為y=mx+n，把A(﹣3，0)，C(0，3)代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=x+3，設F(x，﹣x2﹣2x+3)，則Q(x，x+3)，∴FQ=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x，∴S△FAC=eq\f(1,2)×3×FQ=eq\f(3,2)×(﹣x2﹣3x)=﹣eq\f(3,2)x2﹣eq\f(9,2)x=﹣eq\f(3,2)(x+eq\f(3,2))2+，當x=﹣eq\f(3,2)時，△FAC的面積最大，此時F點坐標為(﹣eq\f(3,2)，eq\f(15,4)；(4)存在．∵D(﹣1，4)，A(﹣3，0)，E(﹣1，0)，∴AD=2eq\r(5)，設P(﹣1，t)，則PE=PH=|t|，DP=4﹣t，∵∠HDP=∠EDA，∴Rt△DHP∽Rt△DEA，∴PH：AE=DP：DA，即|t|：2=(4﹣t)：2eq\r(5)，當t＞0時，t：2=(4﹣t)：2eq\r(5)，解得t=eq\r(5)﹣1；當t＜0時，﹣t：2=(4﹣t)：2eq\r(5)，解得t=﹣eq\r(5)﹣1，綜上所述，滿足條件的P點坐標為(﹣1，eq\r(5)﹣1)或(﹣1，﹣eq\r(5)﹣1)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，∵拋物線經(jīng)過A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=eq\f(1,2)x2+x﹣4；(2)∵點M的橫坐標為m，∴點M的縱坐標為eq\f(1,2)m2+m﹣4，又∵A(﹣4，0)，∴AO=0﹣(﹣4)=4，∴S=eq\f(1,2)×4×|eq\f(1,2)m2+m﹣4|=﹣(m2+2m﹣8)=﹣m2﹣2m+8，∵S=﹣(m2+2m﹣8)=﹣(m+1)2+9，點M為第三象限內拋物線上一動點，∴當m=﹣1時，S有最大值，最大值為S=9；故答案為：S關于m的函數(shù)關系式為S=﹣m2﹣2m+8，當m=﹣1時，S有最大值9；(3)∵點Q是直線y=﹣x上的動點，∴設點Q的坐標為(a，﹣a)，∵點P在拋物線上，且PQ∥y軸，∴點P的坐標為(a，eq\f(1,2)a2