人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修二）同步講義第04講 4.3.1等比數(shù)列的概念（原卷版）

第04講4.3.1等比數(shù)列的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解等比數(shù)列的定義.會推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡單的問題.掌握等比中項(xiàng)的概念。②能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的常用性質(zhì).能運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.。能應(yīng)用等比數(shù)列的定義判斷等比數(shù)列，會應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量的求解，能應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決與等比數(shù)列相關(guān)的問題知識點(diǎn)01：等比數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母SKIPIF1<0表示(SKIPIF1<0)符號語言SKIPIF1<0（或者SKIPIF1<0）(SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)知識點(diǎn)02：等比中項(xiàng)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項(xiàng)．即：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項(xiàng)?SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列?SKIPIF1<0.【即學(xué)即練1】（2023秋·福建漳州·高二?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：D知識點(diǎn)03：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式一般地，對于等比數(shù)列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0項(xiàng)SKIPIF1<0有公式SKIPIF1<0.這就是等比數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，其中SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比．知識點(diǎn)04：等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<01、當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，等比數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列；2、當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，等比數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列；3、當(dāng)SKIPIF1<0時，等比數(shù)列SKIPIF1<0為常數(shù)列（SKIPIF1<0）4、當(dāng)SKIPIF1<0時，等比數(shù)列SKIPIF1<0為擺動數(shù)列.【即學(xué)即練2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為遞增數(shù)列”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【詳解】當(dāng)公比SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不遞增，充分性不成立，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列時，SKIPIF1<0，顯然必要性成立.綜上所述：“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為遞增數(shù)列”的必要而不充分條件.故選：A知識點(diǎn)05：等比數(shù)列的判斷（證明）1、定義：SKIPIF1<0（或者SKIPIF1<0）（可判斷，可證明）2、等比中項(xiàng)法：驗(yàn)證SKIPIF1<0（特別注意SKIPIF1<0）（可判斷，可證明）3、通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證通項(xiàng)是關(guān)于SKIPIF1<0的指數(shù)型函數(shù)（只可判斷）知識點(diǎn)06：等比數(shù)列常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項(xiàng)和．（1）SKIPIF1<0(2)若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.特別地，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…仍是等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).(4)若數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．【即學(xué)即練3】（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【詳解】SKIPIF1<0是等比數(shù)列，依題意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B題型01等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用【典例1】（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·北京東城·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0；數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列SKIPIF1<0是公比為q的等比數(shù)列．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求n．【變式1】（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【變式3】（2023秋·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(4)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．題型02等比中項(xiàng)【典例1】（2023秋·江蘇宿遷·高三校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）若a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項(xiàng)．(1)求45和80的等比中項(xiàng)；(2)已知兩個數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等比中項(xiàng)是2k，求k．【變式1】（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差不為0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【變式2】（2023春·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)分別是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型03等比數(shù)列的判斷與證明【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如果數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，那么（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列【典例2】（2023·高二課時練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列．【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；題型04等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（

）A．24 B．32 C．36 D．40【典例2】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．12 B．18 C．24 D．36【典例3】（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個根，則SKIPIF1<0.【變式1】（2023秋·遼寧沈陽·高三新民市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個實(shí)數(shù)根，則SKIPIF1<0．【變式3】（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是．題型05構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式（構(gòu)造法求通項(xiàng)）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為.【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；【典例3】（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和Sn．【變式1】（2023秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0為等比數(shù)列；(2)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)寫出該數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.題型06等比數(shù)列在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用1．（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構(gòu)造方法如下：取一個實(shí)心等邊三角形（如圖1），沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個小三角形，挖去中間小三角形（如圖2），對剩下的三個小三角形繼續(xù)以上操作（如圖3），按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形．如果圖1三角形的邊長為2，則圖4被挖去的三角形面積之和是（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·全國·高三專題練習(xí)）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段SKIPIF1<0等分為線段SKIPIF1<0，如圖2.以SKIPIF1<0為底向外作等邊三角形SKIPIF1<0，并去掉線段SKIPIF1<0，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成如圖3的曲線.設(shè)線段SKIPIF1<0的長度為1，則圖3中曲線的長度為（

）

A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．33．（2023·北京·高三專題練習(xí)）“十二平均律”

是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于SKIPIF1<0.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）在第24屆北京冬奧會開幕式上，一朵朵六角雪花飄拂在國家體育場上空，暢想著“一起向未來”的美好愿景.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程，若第1個圖中的三角形的周長為3，則第4個圖形的周長為.

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．24 B．36 C．48 D．642．（2023秋·西藏林芝·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列1，1，1，…，1，…必為（

）A．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 B．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列4．（2023秋·河北石家莊·高三石家莊市第十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．27 D．SKIPIF1<05．（2023秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．12 D．366．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知公差不為SKIPIF1<0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）分形幾何是一門新興學(xué)科，圖1是長度為1的線段，將其三等分，以中間線段為邊作無底邊正三角形得到圖2，稱為一次分形；同樣把圖2的每一條線段重復(fù)上述操作得到圖3，稱為二次分形；……，則第5次分形后圖形長度為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023秋·山東濰坊·高三?？茧A段練習(xí)）正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值等于（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題9．（2023春·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為4，且滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0為等差數(shù)列 B．SKIPIF1<0為遞增數(shù)列C．SKIPIF1<0為等比數(shù)列 D．SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<010．（2023秋·甘肅·高二校考階段練習(xí)）下列命題中，正確的有（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0中，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0C．等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根，則SKIPIF1<0D．等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則通項(xiàng)公式SKIPIF1<0.12．（2023春·江西·高二統(tǒng)考期末）記等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.四、解答題13．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列SKIPIF1<0中去掉數(shù)列SKIPIF1<0的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來的順序組成數(shù)列SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前50項(xiàng)和SKIPIF1<0．14．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．B能力提升1．（2023秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）0.618是無理數(shù)SKIPIF1<0的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，SKIPIF1<0是頂角為SKIPIF1<0，底SKIPIF1<0的第一個黃金三角形，SKIPIF1<0是頂角為SKIPIF1<0的第二個黃金三角形，SKIPIF1<0是頂角為SKIPIF1<0的第三個黃金三角形，SKIPIF1<0是頂角為SKIPIF1<0的第四個黃金三角形SKIPIF1<0，那么依次類推，第2023個黃金三角形的周長大約為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）符號SKIPIF1<0表示不超過實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最大整數(shù)，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1