2023年安徽宣城中學(xué)高一自主招生考試數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2023宣城中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題本卷共分兩大部分共計(jì)4頁(yè)溫馨提示：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.試卷包括試題和答題卷兩部分.請(qǐng)務(wù)必在答題卷上答題，在試題卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試題卷和答題卷一并交回.第Ⅰ部分客觀題（共40分）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.）1．已知實(shí)數(shù)a，b，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．若，，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．1或3．?dāng)?shù)的個(gè)位數(shù)字為（

）A．1 B．3 C．7 D．94．平面四邊形中，，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．關(guān)于x、y的二元二次方程正整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．3組 B．4組 C．5組 D．6組6．從0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字中，取三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)和百位數(shù)的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．40 B．48 C．55 D．707．已知實(shí)數(shù)a、b滿足，，且.則（

）A． B． C．4 D．8．在凸四邊形中，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．3第Ⅱ部分主觀題（共110分）二、填空題（共10小題，每小題5分，共計(jì)50分）9．若關(guān)于x的不等式組有且僅有四個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.10．計(jì)算：.11．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：.12．已知函數(shù)和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一數(shù).則這兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)的概率為.13．已知，則.14．已知，則.15．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形，分別是上兩點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，若圖中陰影部分面積是正方形面積的，則的周長(zhǎng)為.

17．如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E在邊AD上，且，M為CD的中點(diǎn)，P在線段BM上，則EP的最小值為.

18．如圖，中，，，，分別為邊上三點(diǎn)，在邊上，且和均為等邊三角形.則邊上的高為.三、解答題（共5小題，每小題12分，共計(jì)60分.解答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)出必要的步驟或文字說(shuō)明）19．已知二次函數(shù)（a為常數(shù)）.(1)當(dāng)，時(shí)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為，求a的值.20．在平面直角坐標(biāo)系中，直線交曲線于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，且，連接BD.(1)若A點(diǎn)的坐標(biāo)為，求線段AB的長(zhǎng)；(2)若，且的面積為3，求k的值.21．解下列關(guān)于x、y、z的方程組：.22．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，G為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作交AC于E，且，F(xiàn)在線段GD上，且，連接CF.(1)求證：；(2)求證：.23．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，是軸上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求直線l和拋物線的解析式；(2)如圖1，為拋物線上位于直線l下方一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作垂直于x軸交直線l于，當(dāng)線段長(zhǎng)度最大時(shí)，求的最大值；(3)如圖2，為拋物線的頂點(diǎn)，y軸上是否存在點(diǎn)M，使得？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．C【分析】賦值判斷A，B，D，利用不等式性質(zhì)判斷C.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，滿足，此時(shí)，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，滿足，此時(shí)，不滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，滿足，此時(shí)，不滿足，故D錯(cuò)誤，故選：C.2．B【分析】等式兩邊同時(shí)平方，或，驗(yàn)證即可.【詳解】由題意知，等式兩邊同時(shí)平方，得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以與矛盾.所以.故選：B3．C【分析】先將轉(zhuǎn)化為，用二項(xiàng)式定理展開(kāi)可知，的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，將化為，再將用二項(xiàng)式定理展開(kāi)可知所以的個(gè)位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，即可求解.【詳解】因?yàn)槎?、、個(gè)位數(shù)均為，所以的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，而因?yàn)椤€(gè)位數(shù)均為，所以的個(gè)位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，故的個(gè)位數(shù)字為.故選：C4．D【分析】如圖，由題意可得，，結(jié)合，計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，延長(zhǎng)、，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，

由，得，，所以，，得，，所以.故選：D5．B【分析】對(duì)變形為，根據(jù)x、y為正整數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)閤、y為正整數(shù)，所以和為30的約數(shù)，當(dāng)，時(shí)，即，符合題意，當(dāng)，時(shí)，即，不符合題意，當(dāng)，時(shí)，即，符合題意，當(dāng)，時(shí)，即，符合題意，當(dāng)，時(shí)，即，不符合題意，當(dāng)，時(shí)，即，不符合題意，當(dāng)，時(shí)，即，符合題意，當(dāng)，時(shí)，即，不符合題意，綜上，二元二次方程正整數(shù)解的組數(shù)為4組，故選：B.6．C【分析】由題意分兩種情況討論：選出的數(shù)字中含有0與不含有0.分別求出對(duì)應(yīng)滿足題意的三位數(shù)，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意知，分兩種情況討論：若選出的數(shù)字中含有0，則0必須在個(gè)位上，此時(shí)只需在其它6個(gè)數(shù)中選出2個(gè)，大的放在十位，小的放在百位，共有個(gè)三位數(shù)；若選出的數(shù)字中不含有0，此時(shí)只需在0以外得其它6個(gè)數(shù)中選出3個(gè)，最大的放在十位，其他兩個(gè)放在百位和個(gè)位，共有個(gè)三位數(shù)，綜上，滿足題意得三位數(shù)共有55個(gè).故選：C7．D【分析】根據(jù)已知條件化為，得，是方程的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，，所以有：，是方程的兩根，所以，，所?故選：D8．C【分析】如圖，作的外接圓圓O，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最大值，結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，，所以是直角三角形，，作的外接圓，為圓心，延長(zhǎng)，取，則，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，故為等邊三角形，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最大值.此時(shí)，為的中點(diǎn)，所以，故，又，所以.故選：C9．【分析】根據(jù)題意，求得不等式組的解集，結(jié)合題意，得到，即可求解.【詳解】由不等式組，解得，要使得不等式組的解集中有且僅有四個(gè)正整數(shù)解，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.10．【分析】利用特殊角三角函數(shù)值、根式與指數(shù)冪的運(yùn)算和絕對(duì)值求解即可.【詳解】，故答案為：11．【分析】將原式分解成，即可求解.【詳解】原式.故答案為：12．【分析】根據(jù)已知條件聯(lián)立兩函數(shù)，解得，結(jié)合、的取值，根據(jù)古典概型求概率公式即可求解.【詳解】根據(jù)已知條件聯(lián)立，即，整理有：，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象有交點(diǎn)，所以，即，當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，滿足條件的、共對(duì)，又根據(jù)已知條件、的所有取值情況為種，所以兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)的概率為.故答案為：13．【分析】借助賦值法，分別令、、計(jì)算即可得.【詳解】令，則有，令，則有，令，則有，故.故答案為：.14．##【分析】對(duì)變形為，配方成，得到，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故答案為?15．【分析】根據(jù)已知條件分，兩種情況討論，結(jié)合題意方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則，均為方程的根，根據(jù)題意兩種情況下的取值范圍取交集即可.【詳解】根據(jù)已知條件：當(dāng)時(shí)，為，整理有，若，則方程無(wú)解，若，解得，若是方程的解，則且，，，，解得；當(dāng)時(shí)，為，整理有，若，則方程無(wú)解，若，解得，若是方程的解，則，，，，解得或；因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，所以以上兩個(gè)根都是方程的根，取交集則.故答案為：.16．##【分析】由題意，易證，設(shè)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得、、，進(jìn)而由陰影部分的面積建立關(guān)于x得方程，得，表示出的周長(zhǎng)為，求出即可求解.【詳解】由題意知，在和中，，所以，則，又，所以，故，即，所以，得，設(shè)，則，所以，得，所以，所以陰影部門(mén)的面積為，又，所以，整理得，得，所以的周長(zhǎng)為，又，所以，故的周長(zhǎng)為.故答案為：17．【分析】依題意，當(dāng)時(shí)，EP最小，利用，求解即可.【詳解】

當(dāng)時(shí)，EP最小，因?yàn)檫呴L(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E在邊AD上，且，M為CD的中點(diǎn)，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，所以EP的最小值為，故答案為：.18．【分析】根據(jù)三角形相似得到，再根據(jù)銳角三角形中的正弦和余弦，求得，作出中上的高，利用的正弦，即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)，，因?yàn)椋?，則；對(duì)，，因?yàn)?，故，則；故，即，故，故；取中點(diǎn)為，連接，如下所示：因?yàn)闉榈冗吶切?，故；在中，；在中，，解得；，解得；在中，，即，解得，故；過(guò)作，垂足為，在中，，即，解得.故邊上的高為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)三角形相似得到，進(jìn)而求得，從而利用銳角三角形的正弦和余弦解決問(wèn)題.19．(1)2(2)或【分析】把換成后代入所求算式后計(jì)算即可；先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再分對(duì)稱軸的值與給定區(qū)間的大小關(guān)系分別討論最值，求出符合條件的即可.【詳解】（1）即且，又.（2），對(duì)稱軸為，①當(dāng)時(shí)，即

故當(dāng)時(shí)，符合②當(dāng)時(shí)，即

故當(dāng)時(shí)，（舍去）③當(dāng)時(shí)，即

故當(dāng)時(shí)，符合綜上：或.20．(1)(2)6【分析】（1）將點(diǎn)代入曲線可得，由點(diǎn)坐標(biāo)可求出點(diǎn)，進(jìn)而得到直線的方程，聯(lián)立方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，線段長(zhǎng)度即可求.（2）由題意，由直線的方程可依次得到點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，借助韋達(dá)定理，可求點(diǎn)的坐標(biāo)，由得到，由此求出k的值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，，因?yàn)椋?，由得，，故，由得，所以線段AB的長(zhǎng)為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，，，由得，所以，故，所以，，所以，故.21．答案見(jiàn)解析【分析】由題意，結(jié)合平方和、立方和公式，解方程組即可求解.【詳解】由，得，∵，∴，∴，即，∴，解得或3或4，∴或或或或或.22．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合題意可證明，結(jié)合平行線的性質(zhì)與相似三角形的判定定理即可得；（2）借助相似三角形的性質(zhì)與判定定理即可得.【詳解】（1），，在和中，有，，，四邊形為平行四邊形，，，，，；（2），，，，即，，，.23．(1)，(2)(3)存在，【分析】（1