線性方程組解的結(jié)構(gòu)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)我們在第一節(jié)討論了線性方程組的解的情況，現(xiàn)在進(jìn)一步研究它的解的結(jié)構(gòu)。齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的矩陣形式為AX=0(1)其中,。齊次線性方程組(1)的解有下列性質(zhì)：(1)如果是齊次線性方程組(1)的兩個(gè)解，則也是它的解。證：因?yàn)槭驱R次線性方程組(1)的兩個(gè)解，因此有：,得：所以也是齊次線性方程組(1)的解。(2)如果是齊次線性方程組(1)的解，則也是它的解。（是常數(shù)）證：已知是齊次線性方程組(1)的解，所以有從而即也是齊次線性方程組(1)的解。由性質(zhì)(1),(2)可得：(3)如果都是齊次線性方程組(1)的解，則其線性組合也是它的解。其中都是任意常數(shù)。當(dāng)一個(gè)齊次線性方程組有非零解，即它有無窮多解，這無窮多解構(gòu)成了一個(gè)向量組（稱為解向量組）。若我們能求出這解向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，那么就能用它的線性組合表示這個(gè)齊次線性方程組的全部解。定義1：如果是齊次線性方程組(1)的解向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，則稱是齊次線性方程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系。定理1：如果齊次線性方程組(1)的系數(shù)矩陣A的秩，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系一定存在，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中恰恰含有個(gè)解。證：因?yàn)?，所以齊次線性方程組有無窮多解，且齊次線性方程組的一般解為：（1）其中為自由未知量。對n-r個(gè)自由未知量分別取代入(1)可得齊次線性方程組的n-r個(gè)解：下面證明是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，首先證明線性無關(guān)。因?yàn)橄蛄拷M是線性無關(guān)，則由上節(jié)所證明的性質(zhì)得線性無關(guān)。再證齊次線性方程組的任意一個(gè)解都可由線性表示。因?yàn)槭驱R次線性方程組的解，所以滿足(1)式：從而即是的線性組合，所以是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，因此齊次線性方程組的全部解為：式中為任意常數(shù)。例1：求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并用此基礎(chǔ)解系表示它的全部解。解：因?yàn)?，所以齊次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解對自由未知量分別取=，代入上式得到齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：則齊次線性方程組的全部解為：（為任意常數(shù)）例2：求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。解：因?yàn)?，所以齊次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解取自由未知量=1，代入上式得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：例3：求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。解：因?yàn)椋札R次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解對自由未知量為分別取和，代入上式得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)：非齊次線性方程組可表示為AX=b，稱齊次線性方程組AX=0為非齊次線性方程組AX=b的導(dǎo)出組。下面討論非齊次線性方程組的解和它的導(dǎo)出組解之間關(guān)系。(1)如果是非齊次線性方程組AX=b的解，是其導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)解，則是非齊次線性方程組AX=b的解。證：由已知得所以有即是非齊次線性方程組的解。(2)如果是非齊次線性方程組AX=b的兩個(gè)解，則是其導(dǎo)出組AX=0的解。證：由得：即是其導(dǎo)出組AX=0的解。定理2：如果是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，是其導(dǎo)出組的全部解，則是非齊次線性方程組的全部解。由此可知：如果非齊次線性方程組有無窮多解，則其導(dǎo)出組一定有非零解，且非齊次線性方程組的全部解可表示為：其中是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，是導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。例4：求非齊次線性方程組的解，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示其全部解。解：因?yàn)?，所以非齊次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解取自由未知量，代入上式得非齊次方程組的一個(gè)特解為：再求其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，其導(dǎo)出組與方程組同解對自由未知量為分別取，代入上式得到其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：則原方程組的全部解為：（為任意常數(shù)）例5：求非齊次線性方程組的解，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示其全部解。解：因?yàn)?，所以非齊次線性方程組有無窮多組解，取自由未知量為，原方程組與方程組同解取自由未知量為，得原方程組的一個(gè)特解：再求其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，其導(dǎo)出組與方程組同解對自由未知量分別取，代入上式得到其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：則原方程組的全部解為：練習(xí)：求解非齊次線性方程組：解：因?yàn)?，所以方程組有無窮多組解，取為自由未知量。得特解：和基礎(chǔ)解系：。即得方程組的全部解為：。例6：已知是齊次線性方程組AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明也是齊次線性方程組AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證：由已知可得：齊次線性方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系含有3個(gè)解向量，并且由齊次線性方程組解的性質(zhì)可知都是AX＝0的解；因此只要證明線性無關(guān)即可。設(shè)存在數(shù)使成立。整理得：（1）已知是齊次線性方程組AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，即得線性無關(guān)，則由(1)得，解得：所以線性無關(guān)。即也是齊次線性方程組AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。例7：設(shè)矩陣A＝。證：AB＝0的充分必要條件是矩陣B的每一列向量都是齊次方程組AX=0的解。證：把矩陣B按列分塊：，其中是矩陣B的第i列向量，零矩陣也按列分塊則必要性：AB＝0可得：，即是齊次方程組AX=0的解。充分性：矩陣B的每一列向量都是齊次方程組AX=0的解，即有得：，即證。例8：設(shè)是四元非