導(dǎo)數(shù)中兩種零點(diǎn)問題解決方法

導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題解決方法解決零點(diǎn)問題，需要采用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)函數(shù)的圖像或者趨勢(shì)圖像找出符合題意的條件即可，因此用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性作出函數(shù)圖像或趨勢(shì)圖像至關(guān)重要。一、能直接分離參數(shù)的零點(diǎn)題目此類問題較為簡(jiǎn)單，分離之后函數(shù)無參數(shù)，則可作出函數(shù)的準(zhǔn)確圖像，然后上下移動(dòng)參數(shù)的值，看直線與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。例1.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。二、不能直接分離參數(shù)的零點(diǎn)問題（包括零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題）這里需要注意幾個(gè)轉(zhuǎn)化，以三次函數(shù)為例，若三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)必定有兩個(gè)極值點(diǎn)，且極大值和極小值之積為負(fù)數(shù)，例如在區(qū)間上有零點(diǎn)，此時(shí)并不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只能說明至少有一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，只需要用零點(diǎn)存在性定理即可，但是若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則意味著在區(qū)間上存在極值點(diǎn)。在解決此類問題時(shí)常用的知識(shí)是零點(diǎn)存在定理和極限的相關(guān)知識(shí)，但必不可少的是求出函數(shù)的趨勢(shì)圖像，然后根據(jù)趨勢(shì)圖像找符合零點(diǎn)問題的條件即可，這里需要說明一下，參數(shù)影響零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題主要有兩個(gè)方向，一是參數(shù)影響單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)，二是參數(shù)影響函數(shù)的極值或最值，而通過這兩個(gè)方向就可以影響函數(shù)的趨勢(shì)圖像，進(jìn)而影響零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此分類討論思想在此類問題中必不可少。例2.已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是例3.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例4.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍恰好是，求的值。例5.已知函數(shù)（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍。答案導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題解決方法解決零點(diǎn)問題，需要采用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)函數(shù)的圖像或者趨勢(shì)圖像找出符合題意的條件即可，因此用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性作出函數(shù)圖像或趨勢(shì)圖像至關(guān)重要。一、能直接分離參數(shù)的零點(diǎn)題目此類問題較為簡(jiǎn)單，分離之后函數(shù)無參數(shù)，則可作出函數(shù)的準(zhǔn)確圖像，然后上下移動(dòng)參數(shù)的值，看直線與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。例1.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。解析：，令，，令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，注意這里的單調(diào)性不是硬解出來的，因?yàn)槟銜?huì)發(fā)現(xiàn)的式子很復(fù)雜，但是如果把當(dāng)成兩個(gè)函數(shù)的和，即，此時(shí)的單調(diào)性和極值點(diǎn)均相同，因此可以整體判斷出的單調(diào)性和極值點(diǎn)。所以（注意：有一個(gè)根轉(zhuǎn)化為圖像只有一個(gè)交點(diǎn)即可）二、不能直接分離參數(shù)的零點(diǎn)問題（包括零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題）這里需要注意幾個(gè)轉(zhuǎn)化，以三次函數(shù)為例，若三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)必定有兩個(gè)極值點(diǎn)，且極大值和極小值之積為負(fù)數(shù)，例如在區(qū)間上有零點(diǎn)，此時(shí)并不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只能說明至少有一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，只需要用零點(diǎn)存在性定理即可，但是若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則意味著在區(qū)間上存在極值點(diǎn)。在解決此類問題時(shí)常用的知識(shí)是零點(diǎn)存在定理和極限的相關(guān)知識(shí)，但必不可少的是求出函數(shù)的趨勢(shì)圖像，然后根據(jù)趨勢(shì)圖像找符合零點(diǎn)問題的條件即可，這里需要說明一下，參數(shù)影響零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題主要有兩個(gè)方向，一是參數(shù)影響單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)，二是參數(shù)影響函數(shù)的極值或最值，而通過這兩個(gè)方向就可以影響函數(shù)的趨勢(shì)圖像，進(jìn)而影響零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此分類討論思想在此類問題中必不可少。例2.已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是解析：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意當(dāng)時(shí)，，若，則若，則，此時(shí)函數(shù)在上單增，此時(shí)在上存在零點(diǎn)，不符合題意。當(dāng)時(shí)，若，則，若，則或此時(shí)要保證函數(shù)存在唯一的正零點(diǎn)，則，解得注意：如果不是的大題沒必要分類討論，做出符合題意的圖像反推即可例3.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解析：，可知函數(shù)在上遞減，在上遞增，要保證函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的趨勢(shì)圖像可得必須滿足例4.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍恰好是，求的值。解析：（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）只有當(dāng)時(shí)才有可能滿足有三個(gè)零點(diǎn)因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，要滿足有三個(gè)零點(diǎn)必須滿足，結(jié)合可得，因?yàn)榍∮腥齻€(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是所以題目可以轉(zhuǎn)化為在上恒成立，且在上恒成立設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)可得在遞增，在遞減，因此圖像必須滿足以下趨勢(shì)：所以驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)不相等且不等于-1的實(shí)數(shù)根，所以必須滿足綜上，第一問很簡(jiǎn)單，但是是解決第二問必要的前提，第二問題目中函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，但是題目中有兩個(gè)參數(shù)，類似于雙參數(shù)問題解決方法，最后將兩個(gè)參數(shù)中已知的那個(gè)作為自變量，然后轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可，三個(gè)零點(diǎn)意味著兩個(gè)極值的積為負(fù)值，然后再根據(jù)不同的的取值轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題，通過函數(shù)的趨勢(shì)圖像即可解出符合題意的條件。但是很多同學(xué)缺省最后檢驗(yàn)的步驟，同時(shí)也不理解為什么需要驗(yàn)證，如果不驗(yàn)證，則即便滿足有三個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)的的取值范圍也可以不是題目中給出的范圍，注意這個(gè)恰字就說明了必須要進(jìn)行最后的驗(yàn)證。例5.已知函數(shù)（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍。解析：（1）當(dāng)時(shí)，，在遞增，當(dāng)時(shí)，令，，此時(shí)位置不確定因此需要討論Case1:當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在遞減，Case1:當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上遞增，Case3:當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)綜上所述（2）本題目隱藏一個(gè)條件即，又知，所以如果在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則在內(nèi)至少有兩個(gè)極值點(diǎn)或者至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間或者說在內(nèi)不可以恒正也不可以恒負(fù)。（要好好理解這句話）題目中有兩個(gè)參數(shù)，根據(jù)可得，若當(dāng)或時(shí)，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意，故只能在內(nèi)取值，此時(shí)，且要滿足才可令，根據(jù)單調(diào)性可知，此時(shí)成立，因此要保證在上至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則需要滿足條件題目第二問的關(guān)鍵是理解原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，建