考研數(shù)學一(常微分方程)模擬試卷15(題后含答案及解析)

考研數(shù)學一（常微分方程）模擬試卷15(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．微分方程①=cosy+x，③y2dx一(y2+2xy一y)dy=0中，屬于一階線性微分方程的是()A．①。B．②。C．③。D．①②③均不是。正確答案：C解析：可直接觀察出方程①②不是一階線性微分方程。對于方程③，將其變形為將x看成未知函數(shù)，y為自變量，則該方程就是一階線性微分方程。故應(yīng)選C。知識模塊：常微分方程2．已知微分方程y”一4y’+4y=0，函數(shù)C，C2xe2x(C1，C2為任意常數(shù))為()A．方程的通解。B．方程的特解。C．非方程的解。D．是解，但不是通解也不是特解。正確答案：D解析：令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2為任意常數(shù)，將f(x)，f’(x)及f”(x)代入已知微分方程，經(jīng)計算，滿足方程y”一4y’+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因為含有任意常數(shù)，所以不是特解，又因為C1C2實質(zhì)上是一個任意常數(shù)，而方程是二階微分方程，由通解的結(jié)構(gòu)知應(yīng)含有兩個任意常數(shù)，故C1C2xe2x不是通解，故選D。知識模塊：常微分方程3．設(shè)φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為二階非齊次線性方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)的解，則該方程的通解為()A．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)。B．C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)。C．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]。D．C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1。正確答案：D解析：因為φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)為所對應(yīng)齊次方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=0的兩個線性無關(guān)解。根據(jù)非齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu)，方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解為C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)一φ3(x)]+φ3(x)，即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1—C2或C1+C2+C3=1，故選D。知識模塊：常微分方程4．設(shè)三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex，則該微分方程為()A．y”‘一y”一y’+y=0。B．y”‘+y”一y’一y=0。C．y”‘一6y”+11y’一6y=0。D．y”‘一2y”一y’+2y=0。正確答案：B解析：由三個特解的形式知λ1，2，3=一1，一1，1為所求齊次線性微分方程對應(yīng)特征方程的3個根，即(λ+1)2(λ一1)=λ3+λ2一λ一1。因此微分方程形式為y”‘+y”一y’一y=0，應(yīng)選B。知識模塊：常微分方程5．如果y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一個特解，則該方程滿足初始條件y(0)=2的特解為()A．y=eos2x+2。B．y=cos2x+1。C．y=2cosx。D．y=2cos2x。正確答案：D解析：因為y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一個特解。將其代入微分方程，得一2sin2x+P(x)cos2x=0，所以得P(x)=2tan2x。則原微分方程為y’+2tan2x．y=0，這是一個變量可分離的微分方程，分離變量得=一2tan2xdx，等式兩邊積分，得=一2∫tan2xdx，即ln｜y｜=ln｜cos2x｜+ln｜C｜，于是得y=Ccos2x。由y(0)=2，得C=2．故所求特解為y=2cos2x。知識模塊：常微分方程6．設(shè)y=y(x)是二階線性常系數(shù)非齊次微分方程y”+Py’+Qy=3e2x滿足初始條件y(0)=y’(0)=0的特解，則極限=()A．B．C．D．正確答案：B解析：在微分方程y”+Py’+Qy=3e2x中，取x=0得y”(0)+Py’(0)+Qy(0)=3，由已知條件y(0)=y’(0)=0，得y”(0)=3。則由等價無窮小代換及洛必達法則故選B。知識模塊：常微分方程7．方程y”‘+2y”=x2+xe-2x的特解形式為()。A．y=ax2+bx+c+x(dx+e)e-2x。B．y=x2(ax2+bx+c)+x2e-2x。C．y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x。D．y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x。正確答案：D解析：原方程對應(yīng)的齊次微分方程y”‘+2y”=0的特征方程為λ3+2λ2=0。其特征根為λ=λ=0，λ=一2，因此方程y”‘+2y”=x2特解的形式為x2(ax2+bx+c)，方程y”‘+2y”=xe-2x特解的形式為xe-2x(dx+e)，由疊加原理可知方程y”‘+2y”=x2+xe-2x的特解形式為y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x，故選D。知識模塊：常微分方程填空題8．設(shè)y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為___________。正確答案：y”一2y’+2y=0解析：由y=ex(C1sinx+C2cosx)，等式兩邊對戈求一階、二階導數(shù)，得y’=ex(C1sinx+C2cosx)+ex(C1cosx—C2sinx)，y”=2ex(C1cosx—C2sinx)，聯(lián)立上述三式消去C1，C2，得y”一2y’+2y=0。知識模塊：常微分方程9．微分方程y”一y’一2y=e2x的通解為一___________。正確答案：y=C1e-x+C2e2x+e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)解析：對應(yīng)齊次方程的特征方程為λ2一λ一2=0，特征根為λ1=一1，λ2=2，因λ=2是特征方程的一個單根，故令特解為y*=Axe2x，代入原方程得A=。則通解為y=C1e-x+C2e2x+xe2x，其中C1，C2為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程10．微分方程y’+y=e-xcosx滿足條件y(0)=0的解為y=___________。正確答案：e-xsinx解析：由一階線性微分方程通解公式，原方程的通解為y=e-∫1dx[∫e-xcosx．e∫1dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x(sinx+C)，由y(0)=0，得C=0，故所求特解為y=e-xsinx。知識模塊：常微分方程11．微分方程y”一2y’+2y=ex的通解為___________。正確答案：y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2為任意常數(shù)解析：原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為λ2—2λ+2=0，特征根為λ1，2=1±i，故對應(yīng)的齊次方程的通解為Y=ex(C1cosx+C2sinx)。由于α=1不是特征根，可設(shè)特解形式為y*=Aex，代入原方程可得A=1。故原方程的通解為y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程12．設(shè)y=y(x)可導，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且△y=△x+α，其中α是當△x→0時的無窮小量，則y(x)=___________。正確答案：解析：由△y=+α(其中α是當△x→0時的無窮小量)，得y’==0，由一階線性微分方程的通解公式得y=，再由y(0)=2，得C=2，所以y=。知識模塊：常微分方程13．設(shè)y(x)為微分方程y”一4y’+4y=0滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=2的特解，則∫01y(x)dx=___________。正確答案：(e2—1)解析：經(jīng)計算得，微分方程y”一4y’+4y=0的通解為y=(C+C2x)e2x。且由初始條件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，即y=e2x。于是∫01y(x)dx=(e2一1)。知識模塊：常微分方程14．方程(xy2+x)dx+(y—x2y)dy=0的通解是___________。正確答案：y2+1=C(x2一1)，C為任意常數(shù)解析：此為可分離變量的微分方程，由題干可得(y2+1)xdx+(1一x2)ydy=0，分離變量得所以通解為y2+1=C(x2一1)，C為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程15．微分方程yy”+(y’)2=0滿足條件y(0)=1，y’(0)=的解是___________。正確答案：y2=x+1解析：原微分方程可以變形為(yy’)’=0，兩邊同時積分可得yy’=C1，此為可分離變量的微分方程。分離變量得ydy=C1dx，兩邊同時積分得y2=C1x+C2，代入初值條件y(0)=1，y’(0)=。所以滿足初值條件的解是y2=x+1。知識模塊：常微分方程16．微分方程y’+ytanx=cosx的通解為y=___________。正確答案：(x+C)cosx，C為任意常數(shù)解析：此一階線性微分方程的p(x)=tanx，q(x)=cosx，則由通解公式y(tǒng)=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dxdx+C]=e-∫tanxdx[∫cosxe∫tanxdxdx+C]=cosx[∫cosx+C]=(x+C)cosx，C為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程17．設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=∫02xf()dt+ex，則f(x)=___________。正確答案：2e2x—ex解析：因∫02xf()dt=2∫0xf(t)dt，所以f(x)=∫02xf()dt+ex可化為f(x)=2∫0xf(t)dt+ex，兩邊求導數(shù)得f’(x)一f(x)=ex，解此一階微分方程得f(x)=[∫ex．e∫—2dxdx+C]e-∫—2dx=(一e-x+C)e2x=Ce2x—ex。因為f(0)=1，所以有f(0)=C一1=1，即C=2，于是f(x)=2e2x—ex。知識模塊：常微分方程解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18．設(shè)單位質(zhì)點在水平面內(nèi)做直線運動，初速度v｜t=0=v0。已知阻力與速度成正比(比例常數(shù)為1)，問t為多少時，此質(zhì)點的速度為，并求到此時刻該質(zhì)點所經(jīng)過的路程。正確答案：設(shè)該單位質(zhì)點的速度為v，則加速度為v’。根據(jù)題意可知，該質(zhì)點受到的阻力F=一v(負號表示阻力的方向與運動方向相反)。由牛頓第二定律F=ma可得一v=v’，結(jié)合初值條件v｜t=0=v0。解此方程，得v=v0e-t。由v0e-t=解得，t=ln3。到此時刻該質(zhì)點所經(jīng)過的路程s=∫0ln3v0e-tdt=v0。涉及知識點：常微分方程19．已知y1=xex+e2x，y2=xex一e-x，y3=xex+e2x+e-x為某二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的特解，求此微分方程。正確答案：因y1，y3線性無關(guān)，則y3一y1=e-x為對應(yīng)齊次方程的解，那么y2+e-x=xex為非齊次解，而y0—xex=e2x為齊次解。則齊次方程的特征方程為(λ+1)(λ一2)=0，即λ2一λ一2=0。故齊次方程為y”一y一2y=0。設(shè)所求的二階線性非齊次方程為y”一y’一2y=f(x)。將y=xex，y’=ex+xex及y”=2ex+xex代入該方程得f(x)=ex(1—2x)。故所求方程為y”一y’一2y=ex(1—2x)。涉及知識點：常微分方程20．求解二階微分方程滿足初始條件的特解正確答案：令u==uu’，則原方程化為ucosy．u’+u2siny=u。當u=0，y=c不符合初始條件，舍去。當u≠0時，得到u’+utany=，解為u=e-∫tanydy[e∫tanydydy+C]=cosy(C+tany)，y’=cosy(C+tany)，由y(一1)=，得C=0。因此y’=siny。解方程=siny得ln｜cscy—coty｜=x+C2，由y(一1)=，則所求微分方程滿足初始條件的解為涉及知識點：常微分方程21．設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足∫0xf(t)dt=x+∫0xtf(x一t)dt，求f(x)。正確答案：令x一t=u，則∫0xtf(x一t)dt=∫0x(x一u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，所以有∫0xf(t)dt=x+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，在等式兩端求導得f(x)=1+∫0xf(u)du+xf(x)一xf(x)，即f(x)=1+∫0xf(u)du，等式兩端再次求導f’(x)=f(x)。解此微分方程得f(x)=Cex。又由f(0)=1，得C=1，故f(x)=ex。涉及知識點：常微分方程22．設(shè)函數(shù)y=y(x)在(一∞，+∞)內(nèi)具有二階導數(shù)，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)。(Ⅰ)試將x=x(y)所滿足的微分方程=0變換為y=y(x)滿足的微分方程；(Ⅱ)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=的解。正確答案：(Ⅰ)由反函數(shù)求導法則，將以上兩式代入所給微分方程得y”一y=sinx。(Ⅱ)由(Ⅰ)中結(jié)果，則對應(yīng)齊次方程的特征方程為λ2一1=0，特征根為λ1，2=±1。由于i不是特征方程的根，故設(shè)非齊次待定特解為y*=Acosx+Bsinx，并將y*，(y*)’及(y*)”代入y”一y=sinx，得A=0，B=一。則非齊次方程通解為y=C1ex+C2e-x一sinx。又由y(0)=0，y’(0)=，可得C1=1，C2=一1。則所求特解為y=ex一e-x一sinx。涉及知識點：常微分方程23．設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導數(shù)，而z=f(exsiny)滿足=e2xz，求f(u)。正確答案：由復合函數(shù)求導法則，=f’(u)excosy。故=f”(u)e2xsin2y+f’(u)exsiny，=f”(u)e2xcos2y—f’(u)exsiny。代入原方程，得f”(u)e2x=e2xf(u)，即有f”(u)一f(u)=0，其特征方程為λ2—1=0，特征根為λ1，2=±1，因此其通解為f(u)=C1eu+C2eu，其中C1，C2為任意常數(shù)。涉及知識點：常微分方程24．設(shè)有連接兩點A(0，1)與B(1，0)且位于弦AB上方的一條上凸的曲線，P(x，y)為曲線上任一點。已知曲線與弦AP之間的面積為P點橫坐標的立方，求曲線方程。正確答案：如圖8—1，設(shè)曲線方程為y=f(x)，則弦AP的方程為由一階線性微分方程通解公式，得f(x)==Cx一6x2+1。由f(1)=0，得C=5，因此所求曲線方程為f(x)=一6x2+5x+1。涉及知識點：常微分方程25．求微分方程xy”+3y’=0的通解。正確答案：令y’=p，則y”==0。解得p=C1+C2)其中C1，C2為任意常數(shù)。涉及知識點：常微分方程26．設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且f(0)＞0，設(shè)