第10章 分式（教師版）

2023-2024學年蘇科版數(shù)學八年級下冊章節(jié)培優(yōu)復習知識講練第10章分式（思維導圖+知識梳理+十二大重點考向舉一反三講練）1.理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件.2．了解分式的基本性質，掌握分式的約分和通分法則．3．掌握分式的四則運算．4．結合分析和解決實際問題，討論可以化為一元一次方程的分式方程，掌握這種方程的解法，體會解方程中的化歸思想．知識點01：分式的有關概念及性質【高頻考點精講】1．分式一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.【易錯點剖析】分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當B≠0時，分式才有意義.2.分式的基本性質

（M為不等于0的整式）.

3．最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式，要進行約分化簡.知識點02：分式的運算【高頻考點精講】1．約分利用分式的基本性質，把一個分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.2．通分利用分式的基本性質，使分子和分母同乘適當?shù)恼?，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．3．基本運算法則分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.（2）乘法運算，其中是整式，.兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算，其中是整式，.兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘.（4）乘方運算分式的乘方，把分子、分母分別乘方.

4.分式的混合運算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的.知識點03：分式方程【高頻考點精講】1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉化為整式方程．3．分式方程的增根問題增根的產生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當把分式方程轉化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根－－－增根.【易錯點剖析】因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解.知識點04：分式方程的應用

列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些．解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數(shù)、確定主要等量關系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進行求解.重點考向01：分式有意義的條件重點考向02：分式的值重點考向03：分式的基本性質重點考向04：分式的乘除法重點考向05：分式的加減法重點考向06：分式的混合運算重點考向07：分式的化簡求值重點考向08：分式方程的解重點考向09：解分式方程重點考向10：換元法解分式方程重點考向11：分式方程的增根重點考向12：分式方程的應用重點考向01：分式有意義的條件【典例精講】（2023春?高明區(qū)月考）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠0 B．x≠5 C．x≠﹣5 D．x≠﹣10【思路點撥】根據(jù)分式有意義的條件，即分母不為0，可得2x+10≠0，即可解出x的范圍．【規(guī)范解答】解：由題意得：2x+10≠0，解得：x≠﹣5．故選：C．【考點評析】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件即分式的分母不為0是解題的關鍵．【變式訓練1-1】（2023春?都昌縣期末）當x＝﹣3時，分式無意義．【思路點撥】分式無意義則分式的分母為0，據(jù)此求得x的值即可．【規(guī)范解答】解：∵分式無意義，∴x+3＝0，解得x＝﹣3．故答案為：＝﹣3．【考點評析】此題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．【變式訓練1-2】當x滿足什么條件時，下列分式有意義？（1）；（2）；（3）；（4）．【思路點撥】分別根據(jù)分式有意義，分母不等于0列式計算即可得解．【規(guī)范解答】解：（1）x+1≠0，解得x≠﹣1；（2）∵x2+1≥1，∴x為任意實數(shù)；（3）1﹣|x|≠0，解得x≠±1；（4）（x+2）（x﹣1）≠0，解得x≠﹣2且x≠1．【考點評析】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．重點考向02：分式的值【典例精講】（2024?開州區(qū)開學）若a2﹣2a﹣4＝0，則的值為．【思路點撥】將已知條件變形，然后整體代入求解即可．【規(guī)范解答】解：∵a2﹣2a﹣4＝0，∴a2﹣2a＝4，∴＝＝＝，故答案為：．【考點評析】本題主要考查求代數(shù)式的值，利用整體法求解是解題關鍵．【變式訓練2-1】．（2023秋?河北區(qū)校級期末）已知x為整數(shù)，且分式的值也為整數(shù)，則滿足條件的所有x的值之和為0．【思路點撥】根據(jù)x為整數(shù)，分式的意義一一分析可能成立的情況，選出x的值再求和即可．【規(guī)范解答】解：＝＝3﹣，∵x為整數(shù)，分式的值也為整數(shù)，∴當x＝0時，分式＝﹣7，符合題意；當x＝﹣1時，分式值＝8，符合題意；當x＝﹣2時，分式值＝5，符合題意；當x＝3時，分式值＝2，符合題意；∴滿足條件的x的值為0、﹣1、﹣2、3，所有滿足條件的數(shù)的和為0﹣1﹣2+3＝0，故答案為：0．【考點評析】本題考查了分式的值，解題的關鍵是讀懂題意能按要求分情況討論分式的值．【變式訓練2-2】（2023春?武侯區(qū)校級期中）關于x的不等式組恰有兩個整數(shù)解，且的值為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為5．【思路點撥】解不等式組求得解集，從而確定m的值，代入分式驗證即可．【規(guī)范解答】解：不等式組的解集為：≤x≤3，∵關于x的不等式組恰有兩個整數(shù)解，∴1＜≤2．∴3＜m≤6，∴整數(shù)m的值為4，5，6，∵當m＝5時，的值為正整數(shù)，∴整數(shù)m的值為5．故答案為：5．【考點評析】本題主要考查了分式的值，一元一次不等式組的整數(shù)解，準確求得不等式組的解集是解題的關鍵．重點考向03：分式的基本性質【典例精講】（2023秋?官渡區(qū)期末）將分式中的x、y的值同時擴大為原來的2倍，則分式的值（）A．擴大為原來的2倍 B．縮小為原來的一半 C．保持不變 D．無法確定【思路點撥】根據(jù)題意把x，y的值均擴大為原來的2倍，然后約分化簡與原式進行比較即可．【規(guī)范解答】解：由題意得：＝，分式的值保持不變．故選：C．【考點評析】此題主要考查了分式的性質，關鍵是掌握分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．【變式訓練3-1】（2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）簡單的規(guī)則可以涌現(xiàn)出豐富的代數(shù)結構．對單項式x進行如下操作：規(guī)定a1＝b1＝c1＝x，計算，，稱為第一次操作：計算，，，稱為第二次操作；以此類推：①a5＝﹣x；②；③當x＝2，c2401＝﹣698；④對任意正整數(shù)n，等式b4n+3（c4n﹣c4n+1）＝b4n+2總成立．以上說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】①根據(jù)題中公式求出a4，a5，再作判斷；②根據(jù)a1，a2，a3，a4……的值找到規(guī)律，再進行判斷；③把x＝2代入，找到規(guī)律，再進行計算；④根據(jù)an，bn，cn的規(guī)律，進行計算判斷．【規(guī)范解答】解：①a4＝＝，a5＝＝x，故①是錯誤的；②a1，a2，a3，a4……是x，，﹣，，∴四個為一個循環(huán)出現(xiàn)，∴a5＝a1，a6＝a2，a7＝a3，a8＝a4，∴＝，＝，∴②是正確的；③當x＝2時，a1，a2，a3，a4……是2，﹣3，﹣，，四個為一個循環(huán)出現(xiàn)，2401÷4＝600……1，c2401＝600×（2﹣3﹣+）+2＝﹣698，故③是正確的；④∵b4n+3（c4n﹣c4n+1）＝b3?（﹣c1）＝，b4n+2＝b2＝，∴b4n+3（c4n﹣c4n+1）＝b4n+2，故④是正確的，故選：C．【考點評析】本題考查了數(shù)字的變化類，找到變化規(guī)律和掌握分式的運算是解題的關鍵．【變式訓練3-2】（2023?石家莊模擬）我們知道：分式和分數(shù)有著很多的相似點．如類比分數(shù)的基本性質，我們得到了分式的基本性質，等等．小學里，把分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)．類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如．（1）下列分式中，屬于真分式的是CA、B、C、D、（2）將假分式，化成整式和真分式的和的形式．【思路點撥】（1）根據(jù)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式得到只有﹣是真分式；（2）先把m2+3化為m2﹣1+4得到＝，然后分成兩個分式+，其中前面一個分式約分后化為整式m﹣1，后面一個是真分式．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意得﹣是真分式．故選C．（2）＝＝+＝m﹣1+．【考點評析】本題考查了分式的基本性質：分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．【變式訓練3-3】（2023春?沈丘縣月考）已知分式A＝．（1）當a＞2時，把分式A的分子、分母同時加上3后得到分式B，分式B的值較原來的分式A的值是變大了還是變小了，試說明理由；（2）若A的值是整數(shù)，且a也是整數(shù)，求出符合條件的所有a的值．【思路點撥】（1）把分式化簡后分子分母同時加上3得分式B，再根據(jù)求差法進行大小比較即可；（2）根據(jù)（1）的化簡結果，分情況計算出a和A都是整數(shù)即可．【規(guī)范解答】解：（1）A＝，A的分子與分母同時加上3后得到分式B，∴，∴，∵a＞2，∴a﹣2＞0，a+1＞0，∴A﹣B＞0，∴A＞B．答：分式B的值較原來分式A的值是變小了；（2）A＝1+是整數(shù)，a也是整數(shù)，所以a﹣2是4的因數(shù)，所以a﹣2＝±1，±2，±4，∴a＝3，1，4，0，6，﹣2，所以所有符合條件的a的值為3，1，4，0，6，﹣2．【考點評析】本題主要考查分式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．重點考向04：分式的乘除法【典例精講】（2023春?晉江市期末）計算：＝﹣．【思路點撥】根據(jù)分式的乘方的運算法則進行運算求解．【規(guī)范解答】解：原式＝﹣，故答案為：﹣．【考點評析】本題考查了分式發(fā)乘方，掌握運算法則是解題的關鍵．【變式訓練4-1】（2023春?長安區(qū)月考）甲、乙兩個工程隊合修一條公路，已知甲工程隊每天修（a2﹣4）m，乙工程隊每天修（a﹣2）2m（其中a＞2），則甲工程隊修900m所用時間是乙工程隊修600m所用時間的多少倍？【思路點撥】根據(jù)題意，分別表示出甲工程隊修900m所用時間和乙工程隊修600m所用時間，再作兩時間的比值即可求解．【規(guī)范解答】解：甲工程隊修900m所用時間為，乙工程隊修600m所用時間為，由題意可得：÷＝＝，∴甲工程隊修900m所用時間是乙工程隊修600m所用時間的倍．【考點評析】本題考查分式的應用，熟練掌握分式的乘除法運算，讀懂題目，根據(jù)題意能列出分式是解題的關鍵．【變式訓練4-2】（2022春?天橋區(qū)校級期中）化簡下列分式．（1）；（2）÷；（3）÷．【思路點撥】（1）約去分子分母中的公因式即可；（2）利用分式的除法法則轉化成乘法，再約去分子分母中的公因式即可；（3）利用分式的除法法則轉化成乘法，將分子與分母中進行因式分解后約去分子分母中的公因式即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝ac；（2）原式＝＝；（3）原式＝?＝．【考點評析】本題主要考查了分式的乘除法，正確使用約分的法則進行化簡是解題的關鍵．【變式訓練4-3】（2021?市中區(qū)校級開學）已知：A＝xy﹣x2，B＝，C＝，若A÷B＝C×D，求D．【思路點撥】根據(jù)所給出的條件A÷B＝C×D列出式子，經過運算即可求出D的值．【規(guī)范解答】解：A＝xy﹣x2＝x（y﹣x），B＝＝，C＝；∵A÷B＝C×D，∴x（y﹣x）÷＝×D，所以D＝x（y﹣x）×＝﹣y；∴D＝﹣y．【考點評析】本題綜合地考查了化簡分式以及分式的乘除法運算的知識，分式的乘除混合運算一般是統(tǒng)一為乘法運算，找出分子分母中能約分的公因式，然后進行約分．重點考向05：分式的加減法【典例精講】（2023?景縣校級模擬）已知a≠﹣1，b≠﹣1，設M＝，N＝，結論Ⅰ：當ab＝1時，M＝N；結論Ⅱ：當a+b＝0時，M?N≤0，對于結論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ對 D．Ⅰ對Ⅱ不對【思路點撥】根據(jù)分式的加法法則解決此題．【規(guī)范解答】解：結論Ⅰ：當ab＝1，則M＝＝＝＝N．∴當ab＝1時，M＝N，即結論Ⅰ正確．結論Ⅱ：當a+b＝0時，則b＝﹣a．∴M＝＝，N＝＝．∴MN＝≤0．∴結論Ⅱ正確．綜上：結論Ⅰ正確，結論Ⅱ正確．故選：A．【考點評析】本題主要考查分式的加法運算，熟練掌握分式的加法法則是解決本題的關鍵．【變式訓練5-1】（2023秋?無棣縣期末）閱讀下面的材料，并解答問題：分式的最大值是多少？解：，因為x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4．根據(jù)上述方法，試求分式的最小值是．【思路點撥】先按照已知條件中的方法，把所求分式寫成一個整數(shù)與一個分式差的形式，然后求出分式的最大值，從而求出原分式的最小值即可．【規(guī)范解答】解：＝＝＝，∵m2≥0，∴m2+2的最小值為2，∴的最大值為，∴的最小值為：，故答案為：．【考點評析】本題主要考查了分式的加減運算，解題關鍵是熟練掌握把分式寫成一個整數(shù)與一個分式和差的形式．【變式訓練5-2】（2023春?開江縣校級期末），則A+B＝2．【思路點撥】根據(jù)分式的基本性質解決此題．【規(guī)范解答】解：＝．∵，∴A（x+3）+B（x﹣1）＝2x﹣5．∴（A+B）x+3A﹣B＝2x﹣5．∴A+B＝2，3A﹣B＝﹣5．∴A＝，B＝．∴A+B＝2．故答案為：2．【考點評析】本題主要考查分式的加法，熟練掌握分式的基本性質是解決本題的關鍵．【變式訓練5-3】（2023春?玄武區(qū)校級期中）深化理解：閱讀下列材料，并解答問題：材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．解：由分母x+1，可設x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；則x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．∵對于任意x上述等式成立，∴解得：．∴＝x﹣2+．這樣，分式就拆分成一個整式x﹣2與一個分式的和的形式．（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式為x+7+；（2）已知整數(shù)x使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x的值．【思路點撥】（1）利用題干中的方法進行變形即可得出結論；（2）利用（1）中的方法將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式，利用整除性質即可得出結論．【規(guī)范解答】解：（1）由分母x﹣1，可設x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b，則x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．∵對于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝x+7+．故答案為：x+7+．（2）由分母x﹣3，可設2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b，則2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，∵對于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝2x+11+．∵x為整數(shù)，分式的值為整數(shù)，∴為整數(shù)，∴x＝4或16或2或﹣10．【考點評析】本題主要考查了分式的加減法，整式的加減，分式的值，本題是閱讀型題目，連接題干中的方法并熟練應用是解題的關鍵．重點考向06：分式的混合運算【典例精講】（2023秋?白河縣期末）下列分式化簡正確的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)分式化簡的性質進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：A、C、D中無法化簡，錯誤，故不符合要求；B正確，故符合要求；故選：B．【考點評析】本題考查了分式化簡．解題的關鍵在于熟練掌握分式化簡時，分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．【變式訓練6-1】（2023秋?靖宇縣期末）式子稱為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為＝ad﹣bc，則二階行列式＝﹣．【思路點撥】先根據(jù)題意進行變形，再根據(jù)分式的乘法法則和整式的乘法法則算乘法，最后算減法即可．【規(guī)范解答】解：＝（a2﹣a）?﹣a×1＝a（a﹣1）?﹣a＝﹣a＝＝﹣，故答案為：﹣．【考點評析】本題考查了分式的混合運算和整式的混合運算，能正確根據(jù)運算法則進行化簡是解此題的關鍵．【變式訓練6-2】（2023?朝陽區(qū)校級開學）計算：（1）；（2）．【思路點撥】（1）除法轉換為乘法，再約分即可；（2）根據(jù)分式的減法法則計算，再約分即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝?＝；（2）原式＝＝＝a﹣b．【考點評析】本題主要考查分式的混合運算，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．【變式訓練6-3】（2022秋?文登區(qū)期中）我們知道：分式和分數(shù)有著很多的相似點．如類比分數(shù)的基本性質，我們得到了分式的基本性質；類比分數(shù)的運算法則，我們得到了分式的運算法則，等等．小學里，把分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)．類似地，我們把分子整式的次數(shù)小于分母整式的次數(shù)的分式稱為真分式；反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：＝＝+＝1+；＝＝+＝2+（﹣）．（1）下列分式中，屬于真分式的是：③（填序號）；①②③④（2）將假分式化成整式與真分式的和的形式為：＝2+，若假分式的值為正整數(shù)，則整數(shù)a的值為﹣2、1或3；（3）將假分式化成整式與真分式的和的形式：＝a+1+．【思路點撥】（1）根據(jù)題意可以判斷題目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；（2）根據(jù)題意可以將題目中的式子寫出整式與真分式的和的形式；（3）根據(jù)題意可以將題目中的式子化簡變?yōu)檎脚c真分式的和的形式．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意可得，、、都是假分式，是真分式，故答案為：③；（2）由題意可得，＝，若假分式的值為正整數(shù)，則或2a﹣1＝1或2a﹣1＝5，解得，a＝﹣2或a＝1或a＝3，故答案為：2、，﹣2、1或3；（3）＝，故答案為：a+1+．【考點評析】本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中的新規(guī)定解答問題．重點考向07：分式的化簡求值【典例精講】（2023秋?右玉縣期末）若分式，則分式的值等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．【思路點撥】根據(jù)已知條件，將分式整理為y﹣x＝2xy，再代入則分式中求值即可．【規(guī)范解答】解：整理已知條件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy將x﹣y＝﹣2xy整體代入分式得＝＝＝＝．故選：B．【考點評析】由題干條件找出x﹣y之間的關系，然后將其整體代入求出答案即可．【變式訓練7-1】．（2023秋?漢陽區(qū)期末）實數(shù)a、b滿足ab＝1，記M＝+，N＝+，則M，N大小關系M＝N．【思路點撥】將M、N分別進行通分，代入已知ab＝1，化簡整理后比較一下結果即可．【規(guī)范解答】解：∵M＝+＝＝，又∵ab＝1，∴M＝1；同理可得N＝+＝＝＝1．故M＝N．【考點評析】此題考查了分式的加減運算，運用了整體代入的數(shù)學思想．【變式訓練7-2】（2023秋?成武縣期末）（1）化簡：；（2）先化簡，再求值：，其中a在﹣1，1，2中選取一個．【思路點撥】（1）先通分，再根據(jù)分式的減法法則進行計算即可；（2）先分解因式和根據(jù)分式的除法法則進行計算，再約分和根據(jù)分式的乘法法則進行計算，算減法，根據(jù)分式有意義的條件求出a不能為1和﹣1，取a＝2，最后代入求出答案即可．【規(guī)范解答】解：（1）＝﹣＝＝＝＝﹣；（2）＝﹣?＝﹣＝＝，要使分式有意義，必須a﹣1≠0且a+1≠0，所以a不能為1和﹣1，取a＝2，原式＝＝＝0．【考點評析】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運算法則進行計算是解此題的關鍵，注意運算順序．【變式訓練7-3】（2023秋?襄城縣期末）閱讀理解材料：為了研究分式與分母x的關系，小明制作了表格，并得到如下數(shù)據(jù)：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1無意義10.50.0.25…從表格數(shù)據(jù)觀察，當x＞0時，隨著x的增大，的值隨之減小，并無限接近0；當x＜0時，隨著x的增大，的值也隨之減?。牧?：對于一個分子、分母都是多項式的分式，當分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時，我們把這個分式叫做真分式．當分母的次數(shù)不低于分子的次數(shù)時，我們把這個分式叫做假分式．有時候，需要把一個假分式化成整式和真分式的代數(shù)和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：．根據(jù)上述材料完成下列問題：（1）當x＞0時，隨著x的增大，的值減?。ㄔ龃蠡驕p小）；當x＜0時，隨著x的增大，的值減小（增大或減?。唬?）當x＞1時，隨著x的增大，的值無限接近一個數(shù)，請求出這個數(shù)；（3）當0≤x≤2時，求代數(shù)式值的范圍．【思路點撥】（1）由、的變化情況，判斷1+、1+的變化情況即可；（2）由＝2+，即可求解；（3）由＝2+，再結合x的取值范圍即可求解．【規(guī)范解答】解：（1）∵當x＞0時隨著x的增大而減小，∴隨著x的增大，1+的值減?。弧弋攛＜0時隨著x的增大而減小，∵＝1+，∴隨著x的增大，的值減小，故答案為：減小，減小．（2）∵＝＝2+，∵當x＞1時，的值無限接近0，∴的值無限接近2．（3）∵＝＝5+，又∵0≤x≤2，∴﹣13≤≤﹣，∴﹣8≤≤．【考點評析】本題考查分式的性質，熟練掌握分式的基本性質，理解題中的變量分離的方法是解題的關鍵．重點考向08：分式方程的解【典例精講】（2023秋?納溪區(qū)期末）已知關于x的分式方程＝1的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1【思路點撥】由分式方程的解為非負數(shù)得到關于m的不等式，進而求出m的范圍即可．【規(guī)范解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，即x＝m+1，由分式方程的解為非負數(shù)，得到m+1≥0，且m+1≠1，解得：m≥﹣1且m≠0，故選：C．【考點評析】此題考查了分式方程的解，在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【變式訓練8-1】（2023秋?綦江區(qū)期末）若整數(shù)m既能使關于x的不等式組有解，也能使關于y的分式方程有整數(shù)解，則整數(shù)m的值為﹣1．【思路點撥】先解一元一次不等式組得到，根據(jù)不等式組有解求出m的范圍，再解分式方程，再由解為整數(shù)且y≠3，m≠2，即可求出m的值．【規(guī)范解答】解：解關于x的不等式組得：，∵不等式組有解，∴m﹣3＜﹣1，解得：m＜2，解關于y的分式方程得：y＝，∵y≠3，m≠2，∴≠3，m≠2，∴m≠1且m≠2，∵為整數(shù)，且m為整數(shù)，∴m＝﹣1，∴整數(shù)m的值為﹣1．故答案為：﹣1．【考點評析】本題考查了分式方程的解，一元一次不等式組的解，正確求出分式方程的解和一元一次不等式組的解是解決問題的關鍵．【變式訓練8-2】（2023秋?陽新縣期末）若關于y的不等式組無解，且關于x的分式方程1的解為負數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是3．【思路點撥】根據(jù)一元一次不等式組的解集確定a的取值范圍，再根據(jù)分式方程的解以及增根的定義求出a的取值范圍，綜合得出a的取值范圍，進而確定整數(shù)a的值即可．【規(guī)范解答】解：不等式≥y+的解集為y≥2，不等式﹣（y﹣a）＞0的解集為y＜a，∵關于y的不等式組無解，∴a≤2，將關于x的分式方程1的兩邊都乘以x+1得，x+4a+1＝﹣x﹣1，解得x＝﹣2a﹣1，由于分式方程有增根x＝﹣1，即﹣2a﹣1＝﹣1，解得a＝0，又由于分式方程的解為負數(shù)，即﹣2a﹣1＜0，解得a＞﹣，∴﹣＜a≤2，且a≠0，∴a的整數(shù)值為a＝1或a＝2，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是1+2＝3．故答案為：3．【考點評析】本題考查一元一次不等式組的解，分式方程的解，掌握一元一次不等式組的解法，分式方程的解法以及分式方程增根的定義是正確解答的關鍵．【變式訓練8-3】（2022秋?濟寧期末）閱讀：對于兩個不等的非零實數(shù)a、b，若分式的值為零，則x＝a或x＝b．又因為﹣（a+b），所以關于x的方程x+＝a+b有兩個解，分別為x1＝a，x2＝b．應用上面的結論解答下列問題：（1）方程x+＝q的兩個解分別為x1＝﹣2、x2＝3，則p＝﹣6，q＝1；（2）方程x+＝8的兩個解中較大的一個為7；（3）關于x的方程2x+＝2n的兩個解分別為x1，x2（x1＜x2），求的值．（用含有字母n的式子表示）【思路點撥】（1）利用題干中的方法解答即可；（2）將原方程變形為題干中的模式，利用題干中的方法解答即可；（3）利用換元的思想，把2x﹣1看成一個未知數(shù)，將原方程變形，利用（2）值的方法解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵方程x+＝q的兩個解分別為x1＝﹣2、x2＝3，∴x+＝﹣2+3，即：x+＝1．∴p＝﹣6，q＝1．故答案為：﹣6；1；（2）∵方程x+＝8，∴x+＝7+1，∴關于x的方程x+＝7+1有兩個解，分別為x1＝7，x2＝1，∴方程x+＝8的兩個解中較大的一個為7，故答案為：7；（3）關于x的方程2x+＝2n就是：2x﹣1+＝2n﹣1，∴2x﹣1+＝n+n﹣1．∴2x﹣1＝n或2x﹣1＝n﹣1，∴x＝或x＝．∵x1＜x2，∴x1＝，，∴原式＝＝．【考點評析】本題主要考查了分式方程的解，本題是閱讀型題目，理解題干中的方法并熟練應用是解題的關鍵．重點考向09：解分式方程【典例精講】（2023秋?佳木斯期末）對于實數(shù)a，b定義一種新運算“?”：a?b＝，例如，1?3＝＝﹣．則方程x?2＝﹣1的解是x＝5．【思路點撥】已知等式利用題中的新定義化簡，求出分式方程的解即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題中的新定義，化簡得：＝﹣1，去分母得：1＝2﹣x+4，解得：x＝5，經檢驗，x＝5是分式方程的解，故答案為：x＝5．【考點評析】此題考查了解分式方程以及實數(shù)的運算，解分式方程時，一定要檢驗．弄清題中的新定義是解本題的關鍵．【變式訓練9-1】（2023秋?海陵區(qū)校級期末）（1）計算：；（2）解方程：．【思路點撥】（1）先利用絕對值、零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，然后把化簡后進行有理數(shù)的加減運算；（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝2023+1﹣6+4＝2022；（2）兩邊都乘以2x﹣1，得：x＝2（2x﹣1）+3，解得x＝﹣，當x＝﹣時，2x﹣1＝﹣﹣1＝﹣≠0，∴原分式方程的解為x＝﹣．【考點評析】本題主要考查實數(shù)的運算，解分式方程，熟練掌握實數(shù)的運算法則和解分式方程的方法是解題的關鍵．【變式訓練9-2】（2023秋?高郵市期末）解方程：（1）（2）﹣＝1．【思路點撥】兩分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【規(guī)范解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，移項合并得：x＝0，經檢驗x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括號得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，經檢驗x＝1是增根，分式方程無解．【考點評析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．【變式訓練9-3】（2022秋?平城區(qū)校級期末）請閱讀下列材料并回答問題：在解分式方程時，小明的解法如下：解：方程兩邊同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①去括號，得2x﹣1＝3﹣1②解得x＝檢驗：當x＝時，（x+1）（x﹣1）≠0③所以x＝是原分式方程的解④（1）你認為小明在哪里出現(xiàn)了錯誤①②（只填序號）（2）針對小明解分式方程出現(xiàn)的錯誤和解分式方程中的其他重要步驟，請你提出三條解分式方程時的注意事項；（3）寫出上述分式方程的正確解法．【思路點撥】（1）觀察解方程過程，找出錯誤步驟即可；（2）針對小明解分式方程出現(xiàn)的錯誤和解分式方程中的其他重要步驟，寫出三條注意事項即可；（3）寫出正確的解答過程即可．【規(guī)范解答】解：（1）小明在①②出現(xiàn)了錯誤；故答案為：①②；（2）三條注意事項：去分母時，注意方程中的每項都要乘以最簡公分母；去括號時，注意正確運用去括號法則；解整式方程求出x要進行檢驗；（3）正確解法為：去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+1）＝1，去括號得：2x﹣2﹣3x﹣3＝1，移項合并得：﹣x＝6，解得：x＝﹣6，經檢驗x＝﹣6是分式方程的解．【考點評析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．重點考向10：換元法解分式方程【典例精講】（2023春?青浦區(qū)期末）用換元法解分式方程時，如果設，那么原方程可以化為關于y的整式方程是y2﹣2y﹣3＝0．【思路點撥】由已知＝y(tǒng)，則原方程化為y﹣＝2，方程兩邊乘y即可得答案．【規(guī)范解答】解：，設＝y(tǒng)，則原方程化為：y﹣＝2，方程兩邊乘y得：y2﹣3＝2y，即y2﹣2y﹣3＝0，故答案為：y2﹣2y﹣3＝0．【考點評析】本題考查了解分式方程，能正確換元是解此題的關鍵．【變式訓練10-1】（2022春?靜安區(qū)校級期中）用換元法解分式方程+3＝0時，如果設＝y(tǒng)，將原方程化為關于y的整式方程，那么這個整式方程是y2﹣9y﹣6＝0．【思路點撥】設＝y(tǒng)，可得＝，進而將原方程變?yōu)椹亂+3＝0，再去分母即可．【規(guī)范解答】解：設＝y(tǒng)，則＝，原方程可變?yōu)?，﹣y+3＝0，，兩邊都乘以3y得，y2﹣9y﹣6＝0，故答案為：y2﹣9y﹣6＝0．【考點評析】本題考查換元法解分式方程，設＝y(tǒng)，得到＝，進而將原方程變?yōu)椹亂+3＝0是解決問題的關鍵．【變式訓練10-2】（2023春?西安校級月考）閱讀下面材料，解答后面的問題．解方程：．解：設，則原方程化為，方程兩邊同時乘y，得y2﹣4＝0，解得y＝±2．經檢驗：y＝±2都是方程的解．當y＝2時，，解得x＝﹣1；當y＝﹣2時，，解得．經檢驗：x＝﹣1和都是原分式方程的解，所以原分式方程的解為x＝﹣1或．上述這種解分式方程的方法稱為換元法．用換元法解：．【思路點撥】按照材料中分式方程換元的方法，可設，原方程化為，按照解分式方程的方法，可求得y的值，進而求得x的值．【規(guī)范解答】解：設，則原方程化為．方程兩邊同時乘y，得：y2﹣1＝0，解得y＝±1．經檢驗：y＝±1都是的解．當y＝1時，，解得x＝2．當y＝﹣1時，，解得x＝0．經檢驗：x＝2和x＝0都是原分式方程的解．所以原分式方程的解為x＝2和x＝0．【考點評析】本題主要考查分式方程的解法，牢記分式方程的解題步驟是解答的關鍵．重點考向11：分式方程的增根【典例精講】（2023秋?林州市期末）已知關于x的分式方程有增根，則k的值為（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【思路點撥】把分式方程化成整式方程得k+3＝x﹣2，由分式方程有增根得出x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2，即可求出k的值．【規(guī)范解答】解：去分母得：k+3＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2，解得：k＝﹣3，故選：C．【考點評析】本題考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含義是解決問題的關鍵．【變式訓練11-1】（2023秋?定陶區(qū)期末）若關于x的分式方程有增根，則m的值是1．【思路點撥】先把分式方程去分母變?yōu)檎椒匠?，然后把x＝2代入計算，即可求出m的值．【規(guī)范解答】解：∵，去分母，得：1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2）；∵分式方程有增根，∴x＝2，把x＝2代入1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2），則1﹣2＝﹣m﹣2（2﹣2），解得：m＝1；故答案為：1．【考點評析】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．【變式訓練11-2】（2021春?城關區(qū)校級期末）已知關于x的分式方程+＝（1）若方程的增根為x＝1，求m的值（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程無解，求m的值．【思路點撥】方程去分母轉化為整式方程，（1）根據(jù)分式方程的增根為x＝1，求出m的值即可；（2）根據(jù)分式方程有增根，確定出x的值，進而求出m的值；（3）分m+1＝0與m+1≠0兩種情況，根據(jù)分式方程無解，求出m的值即可．【規(guī)范解答】解：方程兩邊同時乘以（x+2）（x﹣1），去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，移項合并得：（m+1）x＝﹣5，（1）∵x＝1是分式方程的增根，∴1+m＝﹣5，解得：m＝﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣2或x＝1，當x＝﹣2時，m＝1.5；當x＝1時，m＝﹣6；（3）當m+1＝0時，該方程無解，此時m＝﹣1；當m+1≠0時，要使原方程無解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，綜上，m的值為﹣1或﹣6或1.5．【考點評析】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．重點考向12：分式方程的應用【典例精講】（2023秋?夏津縣期末）贛南臍橙果大形正，橙紅鮮艷，肉質脆嫩化渣，風味濃甜芳香.2023年贛南臍橙需求量猛增，某水果批發(fā)商用40000元購進一批贛南臍橙后，該水果批發(fā)商又用90000元購進第二批這種贛南臍橙，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的2倍，但每箱貴了10元．（1）該水果批發(fā)商購進的第一批贛南臍橙每箱多少元？（2）為運輸兩批水果從A市到相距160km的B市，批發(fā)商租用了甲、乙兩種貨車來運輸兩批贛南臍橙，其中甲貨車運輸?shù)谝慌邑涇囘\輸?shù)诙?，已知甲、乙貨車的速度比?：5，兩車先后出發(fā)，當甲車到達B市后乙車立即出發(fā)，兩車共用4.5小時，求甲、乙兩貨車的速度．【思路點撥】（1）設該水果批發(fā)商購進的第一批贛南臍橙每箱x元，則該水果批發(fā)商購進的第二批贛南臍橙每箱（x+10）元，根據(jù)某水果批發(fā)商用40000元購進一批贛南臍橙后，該水果批發(fā)商又用90000元購進第二批這種贛南臍橙，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的2倍，列出分式方程，解方程即可；（2）設甲貨車的速度為4ykm/h，則乙貨車的速度為5ykm/h，根據(jù)當甲車到達B市后乙車立即出發(fā)，兩車共用4.5小時，列出分式方程，解方程，即可解決問題．【規(guī)范解答】解：（1）設該水果批發(fā)商購進的第一批贛南臍橙每箱x元，則該水果批發(fā)商購進的第二批贛南臍橙每箱（x+10）元，由題意得：＝×2，解得：x＝80，經檢驗，x＝80是原方程的解，且符合題意，答：該水果批發(fā)商購進的第一批贛南臍橙每箱80元；（2）設甲貨車的速度為4ykm/h，則乙貨車的速度為5ykm/h，由題意得：+＝4.5，解得：y＝16，經檢驗，y＝16是原方程的解，且符合題意，∴4y＝4×16＝64，5y＝5×16＝80，答：甲貨車的速度為64km/h，乙貨車的速度為80km/h．【考點評析】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．【變式訓練12-1】（2023秋?贛州期末）甲乙兩地相距19千米，某人從甲地出發(fā)去乙地，先步行7千米，然后改騎自行車，共用2小時到達乙地，已知這個人騎自行車的速度是步行速度的4倍．若設這個人步行的速度為x千米/小時，（1）這個人步行時間為小時，騎車時間為小時．（