八年級數(shù)學最短路徑問題綜合專項練習（解析版）

最短路徑問題綜合專項練習（解析版）

一、單選題

1.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，有A,B兩點,在直線a上求一點P,使/%+尸8最

短，則點尸的位置應選在（）

A.C點B.。點C.E點D.尸點

【標準答案】A

【思路點撥】

首先求得點A關于直線a的對稱點A，，連接AB,即可求得答案.

【精準解析】

如圖，

點A是點A關于直線a的對稱點，連接A'B,則與直線a的交點即為點P,此時

R4+P3最短.

???A3與直線a交于點C,

.??點P的位置應選在C點.

故選：A.

【名師指路】

本題考查了軸對稱的性質,最短路徑問題.注意首先作出其中一點關于直線。的對稱點,

對稱點與另一點的連線與直線?的交點就是所要找的點.

2.如圖，在AABC中，點A、B、C的坐標分別為（〃?,0）、（0,2）和（5,3）,則當AABC的

周長最小時，加的值為（）

【標準答案】c

【思路點撥】

做出B關于x軸對稱點為B，，連接B，C,交x軸于點A，，此時的周長最小，由等

腰直角三角形的性質可求/OBA，=/OAB=45。，WOB'=OA'=1,即可求解.

【精準解析】

解：如圖所示，做出B關于x軸對稱點為連接BC,交x軸于點A：此時AABC

周長最小

過點C作CH_Lx軸，過點B彳乍BHLy軸，交CH于H,

VB(0,2),

.?.B((0,-2),

VC(5,3),

，CH=B'H=5,

/.ZCB'H=45°,

/.ZBB'A'=45°,

NOB'A'=/OAB=45。，

...OB'=OA'=2，

則此時A，坐標為（2,0）.

m的值為2.

故選：C.

【名師指路】

此題考查了軸對稱-最短路徑問題，考查了軸對稱的性質，等腰直角三角形的性質等知

識，根據(jù)已知得出A點位置是解題關鍵.

3.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=110°,ZB=ZD=9O0,在BC、8上分別找一點M、

N,使AAMN周長最小，則NM+4WM的度數(shù)為（）

C

A.110°B.120°C.130°D.140°

【標準答案】D

【思路點撥】

作點A關于BC的對稱點A,關于CD的對稱點A”，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連

接44”與2C、CD的交點即為所求的點M、N,利用三角形的內角和定理列式求出

4V+乙T,再根據(jù)軸對稱的性質和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可

得ZAMV+Z/WM=2（ZA，+ZA”）,然后計算即可得解.

【精準解析】

解：如圖，作點A關于8c的對稱點A,關于C。的對稱點A”,

連接AA"與8C、8的交點即為所求的點〃、N,

???Za4￡>=110°,ZB=Z￡>=90°,

,,,o

.?.ZA+ZA=180°-110°=70）

由軸對稱的性質得：ZA=ZAAM,ZA"=Z4”4V,

ZAMN+ZANM=2(ZA'+ZA")=2x70°=140°.

故選：D.

【名師指路】

本題考查了軸對稱確定最短路線問題，軸對稱的性質，三角形的內角和定理，三角形的

一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，確定出點M、N的位置是解題的關

鍵，要注意整體思想的利用.

4.如圖，在五邊形ABCDE中，ZBAE=]52°,NB=NE=90,AB=BC,AE=DE在BC,

DE上分別找一點M,N,使得AAMN的周長最小時,則ZAMN+ZANM的度數(shù)為（）

A.55°B.56°C.57°D.58°

【標準答案】B

【思路點撥】

作A關于8c的對稱點G,A關于。E的對稱點“，的周長為

AM+MN+AN=MG+MN+NH,根據(jù)兩點之間，線段最短即可.

【精準解析】

解：作A關于BC的對稱點G,A關于DE的對稱點H,連接MG,NH,

則AM=MG,AN=NH,

：.△4MN的周長為AM+MN+AN=MG+MN+NH,

由兩點之間，線段最短可知：當G、M、N、H共線時，AAMN的周長最小，

,：ZBAE=}52°,

.,.ZG+ZW=28°,

AN=NH,

：.ZG=ZGAM,/H=NHAN,

ZAMN+NANM=2ZG+2N〃=2x28°=56°,

故選：B.

【名師指路】

本題考查了軸對稱的性質，等腰三角形的性質，兩點之間，線段最短等知識，正確找出

周長最小時，點M,N的位置是解題的關鍵.

5.如圖，在AA5C中，AB^AC,BC=10,5“叱=60,。是BC中點，EF垂直平分

AB,交A8于點E,交AC于點F,在所上確定一點P,使尸3+尸。最小，則這個最

小值為（）

A.10B.11C.12D.13

【標準答案】C

【思路點撥】

根據(jù)三角形的面積公式得到AD=12,由EF垂直平分AB,得到點A,B關于直線EF對

稱，于是得到A。的長為P8+P。的最小值，即可得到結論.

【精準解析】

?：AB=AC,3c=10,SA,SC=60,。是8c中點，

..AO_L8C于點。，

S^ABC——BC-AD=60,

,43=12,

設A。與EF的交點為P,

垂直平分AB,

.??點4,8關于直線E尸對稱，

：.PA=PB,

此時AD的長為PB+PD的最小值，

即PB+PD的最小值為12,

故選：C.

【名師指路】

本題考查了軸對稱-最短路線問題，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質的運

用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決,

多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點.

6.如圖，在AABC中，AC=BC=8,ZACB=120°,平分NA8C交AC于點。，

點E、尸分別是線段BD,BC上的動點,則CE+EF的最小值是（）

A.2B.4C.5D.6

【標準答案】B

【思路點撥】

從已知條件結合圖形，利用對稱性和三角形的三邊關系確定線段和的最小值.

【精準解析】

解：作C點關于8。的對稱點C,過。作CT，8c交6。于點心交BC于點F,

：.CE+EF=CE+EF^CF,

：.CE^EF的最小值CF的長,

：.CCVBD,

?:BD平分乙43C,

:?/CBG=/GBC,

在aCBG和aCBG中，

/C'BG=NGBC

BG=BG,

ZBGCf=ZBGC

:?ACBG0/XCBG(ASA),

：.BC=BCy

\9AC=BC=S,ZACB=120°,

AZABC=30°,BC=8,

在RS8CC中，CF=；8C=8x；=4,

.?.CE+E尸的最小值為4,

故選：B.

【名師指路】

本題考查的是軸對稱-最短路線的問題，角平分線的性質，解題關鍵是學會添加常用的

輔助線，利用角平分線的性質解決問題.

7.如圖，等腰三角形48c的底邊3c長為3,面積是18,腰4c的垂直平分線E尸分

別交AC,48邊于E,f點.若點。為5c邊的中點，點M為線段E尸上一動點，則

△CDM周長的最小值為()

A.7.5B.8.5C.10.5D,13.5

【標準答案】D

【思路點撥】

連接AM、AD,則可得CM=AM,則當A、M、。三點在一直線上且與A。重合時，

最小，且最小值為線段4。的長，從而AC。歷周長最小，由面積可求

得AD的長,從而求得周長的最小值.

【精準解析】

如圖，連接AM、AD

???EP垂直平分線段AC

二CM^AM

：.CM+MD=AM+MD>AD

即當A、M、。三點在一直線上且與A。重合時，CM+M。取得最小值，且最小值為線

段A。的長

VACMD的周長=CM+M￡)+C￡>=AA/+MO+A。

4CMD的周長的最小值為AD+CD

?.?。為BC的中點，AB=AC

：.CD=^BC=\.5,ADIBC

SAABC=-x3xAD=18

：.AD=\2

???AQ+C￡>=12+1.5=13.5

即△COM周長的最小值為13.5

故選：D.

B

【名師指路】

本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，兩點間距離最短等知識，關鍵

是把求周長的最小值轉化為求AM+DM的最小值.

8.如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（1,4）和（3,0）,點C是y軸

上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上，當AABC的周長最小時，點C的

坐標是

A.（0,0）B.（0,1）C.（0,2）D.（0,3）

【標準答案】D

【精準解析】

解：作B點關于y軸對稱點B，點，連接AB，，交y軸于點C，，

此時AABC的周長最小，

???點A、B的坐標分別為（1,4）和（3,0）,

??B點坐標為:（-3,0）,則OB，=3

過點A作AE垂直x軸，則AE=4,OE=1

則B，E=4,即B，E=AE,NEB，A=NB，AE,

'.'CO//AE,

：.ZB'C'O=ZB'AE,

：./BCO=NEB，A

B,O=C'O=3,

???點C的坐標是（0,3）,此時AABC的周長最小.

故選D.

9.如圖，某工廠有三個住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工15人、20人、45人，且

這三個區(qū)在一條大道上（A、B、C三點共線），已知A5=1500m,5c=1000機，為了

方便職工上下班，該工廠打算從以下四處中選一處設置接送車?？奎c，為使所有的人步

行到?？奎c的路程之和最小，那么該?？奎c的位置應設在（）

ABC

住宅區(qū)住宅區(qū)住宅區(qū)

A.4住宅區(qū)B.B住宅區(qū)C.C住宅區(qū)D.5、C住宅區(qū)中

間。處

【標準答案】C

【思路點撥】

根據(jù)題意分別計算停靠點分別在各點時員工步行的路程和,選擇最小的路程和即可解答

【精準解析】

解：當停靠點在A區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是:20x1500+45x2500=142500”?;

當?？奎c在8區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是：15x1500+45x1000=67500〃?；

當?？奎c在C區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是：15x2500+20x1000=57500〃］；

當?？奎c在。區(qū)時，設距離8區(qū)x米，所有員工步行到?？奎c路程和是：

15x2000+20x500+45x500=62500/n.

/.當?？奎c在C區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和最小.

故選：C.

【名師指路】

本題是數(shù)學知識的應用題，考查的知識點是兩點之間線段最短定理.

10.如圖，在銳角AABC中，ZACB=50°；邊43上有一定點尸，M、N分別是4C和

8c邊上的動點，當△口1/N的周長最小時，NA/PN的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【標準答案】D

【思路點撥】

根據(jù)軸對稱的性質作PD_LAC于點E,PGLBC于點F,連接DG交AC、BC于點M、

N,連接MP、NP,得到APMN,由此解答.

【精準解析】

解：過點P作PDLAC于點E,PGLBC于點F,連接DG交AC、BC于點M、N,連

接MP、NP,

'：PD±AC,PGA.BC,

：.ZPEC=ZPFC=90°,

.?.NC+NEP尸=180°,

VZC=50°,

ZD+ZG+NEPF=180°,

AZD+ZG=50°,

由對稱可知：NG=NGPN,ZD=ZDPM,

：.ZGPN+ZDPM=50°,

：.NMPN=130°-50°=80°,

故選：D.

【名師指路】

此題考查最短路徑問題,根據(jù)題意首先作出對稱點,連接對稱點得到符合題意的三角形,

再根據(jù)軸對稱的性質解答，正確掌握最短路徑問題的解答思路是解題的關鍵.

11.如圖，AI）為等腰AABC的高，其中N4c5=50。，AC=BC,E,F分別為線段A。,

AC上的動點，且AE=CF,當BF+CE取最小值時，NAF3的度數(shù)為（）

【標準答案】C

【思路點撥】

先構造ACFH全等于AAEC,得到ABCH是等腰直角三角形且FH=CE,當FH+BF最小

時，即是BF+CE最小時，此時求出/AFB的度數(shù)即可.

【精準解析】

解：如圖，作CHLBC,且CH=BC,連接HB,交AC于F,此時ABCH是等腰直角三

角形且FH+BF最小，

VAC=BC,

；.CH=AC,

VZHCB=90°,AD±BC,

.,.AD//CH,

VZACB=50°,

/.ZACH=ZCAE=40°,

.,.△CFH^AAEC,

；.FH=CE,

；.FH+BF=CE+BF最小，

此時/AFB=/ACB+/HBC=500+45°=95。.

故選：C.

【名師指路】

本題考查全等三角形的性質和判定、等腰三角形的性質、最短路徑問題，關鍵是作出輔

助線，有一定難度.

二、填空題

12.如圖，等腰三角形ABC的底邊8C長為10,面積是40,腰AC的垂直平分線EF分

別交AC,AB邊于E,尸點.若點。為8c邊的中點，點”為線段比'上一動點，則

7CDM周長的最小值為.

c

【標準答案】13

【思路點撥】

連接由于ZiABC是等腰三角形，點。是BC邊的中點，故AOLBC,再根據(jù)三角

形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關于直

線EF的對稱點為點4,故AO的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結論.

【精準解析】

解：連接A。，AM.

???△48C是等腰三角形，點。是8c邊的中點，

：.ADLBC,

：.S=-BC.AD=2x10xA￡>=40,

△內4c22

解得4D=8,

?；EF是線段AC的垂直平分線，

/.點C關于直線EF的對稱點為點A,

：.MA=MC,

'：MC+MD=MA+MD>AD,

'.AD的長為CM+MD的最小值，

.?.△COM的周長最短=(CM+MO)+CO=AO+g8C=8+gxlO=13.

故答案為：13.

【名師指路】

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關

鍵.

13.如圖，點尸是NAQB內任意一點，0P=9,M、N分別是射線。4和QB上的動點,

若△尸MN周長的最小值為9,則N408=—。.

B

當

0WA

【標準答案】30

【思路點撥】

分別分別作點P關于。8、AO的對稱點產(chǎn)、P",分別連OP、OP",P'P"交OB、于

M、N,則可證明此時APMN周長的最小，由軸對稱性，可證明△P'OP"為等邊三角形，

NAO8=gNP'O產(chǎn)'=30°.

【精準解析】

解：分別作點尸關于。8、A。的對稱點P、P",

分別連OP'、。尸"、P'P"交OB、OA于M、N,

由軸對稱△PMN周長等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P",

由兩點之間線段最短可知，此時APM/V周長的最小，

：.P'P"=9,

由對稱OP=OP'=OP"=9,

△產(chǎn)OQ為等邊三角形，

：.ZP'OP"=60°,

"：ZP'OB=ZPOB,ZP"OA=ZPOA,

：.NAOB=gZP'OP"=30°.

故答案為:30。.

【名師指路】

本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱的性質，全等三角形的判斷和性質是解題

的關鍵.

14.如圖，等腰AA5C的底邊5c長為4,面積是16,腰A5的垂直平分線E尸分別交

AB.AC于點AE,若點。為8c邊上的中點，M為線段上一動點，則△皮)M的周長

的最小值是.

【標準答案】10

【思路點撥】

如圖，連接A。，由題意點8關于直線EF的對稱點為點A,推出AO的長為BM+MO

的最小值.

【精準解析】

解：如圖，連接AD.

?:△ABC是等腰三角形，點。是8c邊的中點，

：.AD±HC,

：.SAABC=\,BC，AD=gX4XAD=16.

AA￡)=8.

???EF是線段A8的垂直平分線，

點B關于直線EF的對稱點為點A,

：.AD的長為BM+MD的最小值，

的周長最短=(BM+MD)+BD=AD+BC=6+1x8=10.

故答案為：10.

【名師指路】

本題考查軸對稱-最短問題，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質等知識，解

題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考點型.

15.如圖，在AABC中，AB=AC,BC=4,面積是10.AB的垂直平分線分別交

AC,A3邊于E、O兩點，若點尸為邊的中點，點尸為線段E。上一動點，則AM尸

周長的最小值為.

【標準答案】7

【思路點撥】

如圖，連接連接ARAP,利用三角形的面積公式求出AF,求出的最小值即可

解決問題.

【精準解析】

如圖，連接4尸，AP

：.AF1BC,

?/SMBC=-BCAF=10,BC=4,

：.AF=5,

?.?Ob垂直平分線段A8,

\PBF的周長=尸8+P尸+8尸=R4+Pk+2,

■.PA+PF>AF,

r.H+PF的最小值為5,

"BF的周長的最小值為7.

故答案為：7.

【名師指路】

本題考查對稱軸-最短問題，三角形的面積等知識，解題關鍵是學會添加常用的輔助線,

利用線段垂直平分線的性質解決問題.

16.如圖，等腰三角形ABC的底邊8c長為4,面積是12,腰45的垂直平分線E/分

別交于點E、/若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF1上一動點，則A8OM

的周長的最小值為.

BD

【標準答案】8

【思路點撥】

連接A。交EF與點連接AM,由線段垂直平分線的性質可知AM=MB,則3M+

DM=AM+DM,故此當4、M、。在一條直線上時，M8+0M有最小值，然后依據(jù)要

三角形三線合一的性質可證明為AABC底邊上的高線，依據(jù)三角形的面積為12可

求得A。的長.

【精準解析】

解：連接A。交EF與點M，，連接AM.

???△ABC是等腰三角形，點。是BC邊的中點，

：.AD1BC,

二S.c=1BC*AD=yx4xAD=12,解得AD=6,

???EF是線段AB的垂直平分線，

：.AM=BM.

：.BM+MD=MD+AM.

當點M位于點M處時，MB+MD有最小值，最小值6.

:.ABDM的周長的最小值為DB+AD=2+6=S,

故答案為：8.

【名師指路】

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關

鍵.

17.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,NB=30。，BC=S,AO是NBAC的平分線,

若點P,。分別是A。和4c上的動點，則PC+P。的最小值是.

p

【標準答案】4

【思路點撥】

過C作CMLAB,交A。于尸，交ABJ：M,過尸作尸。，4c于Q,根據(jù)垂直平分線的

性質得到PC+PQ的最小值即CM的長，再根據(jù)30。角的直角三角形的性質即可求得結

果.

【精準解析】

解：如圖，過C作CMLA8,交AQ于P,交AB于M,過P作PQLAC于Q,

?；A。是/BAC的平分線，

:.PQ=PM,

這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，

CMLAB,ZB=30°,BC=8,

/.CM=—BC=4,

2

.?.PC+PQ的最小值為4.

故答案為:4.

【名師指路】

本題考查了角平分線的性質，30。角的直角三角形的性質，正確作出輔助線，熟練掌握

各性質是解題的關鍵.

18.如圖，AA8c是等邊三角形，AO是8c邊上的高，E是AC的中點，尸是AO上的

一個動點，當尸C+PE的和最小時，ZACP=.

A

A

BD

【標準答案】300

【思路點撥】

連接8E,則BE的長度即為PC+PE最小值，再利用等邊三角形的性質可得/PBC=/

PCB=30°,最后根據(jù)角的和差解題.

【精準解析】

解：連接BE,與AO交于點P,此時尸C+PE最小值，

???MBC是等邊三角形，4。是BC邊上的高，

PC=PB,

PE+PC=PE+PB=BE

即BE就是PC+PE的最小值，

???A/18C是等邊三角形，

.-.ZBCE=60°,BA=BC

???E是AC的中點，

:.AE=EC

：.BE±AC

.-.ZBEC=90°

：.ZEBC=30°

?;PB=PC

NPCB=NPBC=30。

.-.ZACP=60°-3O°=3O°

故答案為：30°.

【名師指路】

本題考查最短線路問題、等邊三角形的性質等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題

關鍵.

19.如圖，在Rtz^ABC中，ZACB=90°,AC=3C,以5c為邊在8c的右側作等邊

△BCD,點E為BO的中點，點尸為CE上一動點，連結AP,BP.當AP+BP的值最

小時，/C8P的度數(shù)為.

【標準答案】15。

【思路點撥】

連接P。、AD,設A。與CE交于點外，利用等邊三角形的性質證得/CB￡>=/8C￡>=/

8/5C=60。，PD=BP,根據(jù)兩點之間線段最短得出當點A、P、O共線時即點尸運動到P

時，”+律有最小值，連接陰，根據(jù)等邊對等角證得/C8P尸NCDP產(chǎn)/CAD,再根

據(jù)三角形的外角性質即可求解.

【精準解析】

解：連接尸。、AD,設與CE交于點

???△8CO是等邊三角形，點E為8c的中點，

AZCBD=ZBCD=ZBDC=60°,BC=CD,CEYBD,BE=DE,

：.CE為線段BD的垂直平分線，

:.PD=BP,

，當點尸運動時，AP+BP=AP+PD,^]AP+PD>AD,

當點A、P、。共線時即點P運動到Pi時，AP+8P有最小值，

連接陰，則BPi=Z)P,

:.NPiBANPiDB,又NCBD=NBDC,

；.NCBPi=NCDPi,

'：AC=BC=CD,

：.ZCDPt=ZCAD,即

延長AC至Q,

VZACB=90°,ZBCD=60°,

ZDCQ=900-60°=30°,又NOCQ=NCOPi+NG4D=2NO)Pi,

：.ZCDPi=\50,即NCBPi=15°,

二當”+BP的值最小時，NCBP=15°,

故答案為：15。.

B

【名師指路】

本題考查等邊三角形的性質、線段垂直平分線的性質.、最短路徑問題、等腰三角形的性

質、三角形的外角性質，熟練掌握相關性質的聯(lián)系與運用，會利用兩點之間線段最短解

決最值問題是解答的關鍵.

7

20.如圖，銳角AABC中，ZA=30°,BC=-,AABC的面積是E,尸分別

是三邊上的動點，則肝周長的最小值是.

【標準答案】y>/3

【思路點撥】

作ADLBC于。，作。關于A8和4c的對稱點G和H,連接G"交A8于E,交AC于

F,DE+EF+DF=GE+EF+FH=GH,求得GH即可；

【精準解析】

解：如圖2,作4U8C于。，作。關「A3和AC的對稱點G和

A

連接交45于E,交AC于產(chǎn)，

由對稱性得，

NGAE=ZBAD,ZHAC=ZCAD,

GE=DE,FH=DF,AG=AD,AD=AH,

DE+EF+DF=GE+EF+FH=GH,即△￡>￡：/周長的最小值是GH的長,

AG=AD=AH,

ZGAH=Z.GAE+^BAD+ZHAC+Z.CAD

=2ZBAD+2ZGW

=2ZBAC

=2x30°

=60°,

??.AAG”是正三角形，

:.DE+EF+DF=GH=AD,

■-SMBC=^BCAD,

-x-AD=6y/3,

22

AD=—24x/r3,

7

:.DE+EF+DF=-43,

7

.?.ADE尸的周長的最小值是,6；

故答案為：y^3

【名師指路】

本題考查了軸對稱的性質，等邊三角形的判定和性質，解決問題的關鍵是運用“將軍飲

馬”模型和將問題轉化為AD的最值問題.

三、解答題

21.要在一條筆直的公路/邊上建一個快遞配送點，方便為同側的A,8兩個居民小區(qū)

發(fā)送快件.

(1)試確定快遞配送點尸的位置，使它分別到A,5的兩個居民小區(qū)的距離相等，請

(2)試確定快遞配送點M的位置，使它到A,B的兩個居民小區(qū)的距離之和最短.請

在如圖中畫出點M的大致位置；

(3)如圖，。是AABC內一點，連接延長8。交AC于點E.

,在SEC中，DE+EC>DC?,

在zMBE中，AB+AE>BD+DE②;

：.?+?^DE+EC+AB+AE>DC+BD+DE；

：.AB+AOBD+DC.

如果在A,8兩個居民區(qū)之間規(guī)劃一個正方形生態(tài)保護區(qū)，送快件的路線不能穿過該區(qū)

域.請同學們用以上這個結論，在圖中畫出快遞配送點。的大致位置，使得它到兩個

居民小區(qū)路程之和最短.

r------1

??

：

A?

【標準答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.

【思路點撥】

(1)根據(jù)線段垂直平分線點性質點P在線段AB的垂直平分線上，作AB的垂直平分線,

與/的交點即為所求；

(2)根據(jù)兩點之間線段最短的性質，作點A關于I的對稱點4,連接BA,與I的交點Q

即為所求；

(3)如圖，作點A關于/的對稱點左，連接。4，BD,與/交于點Q,由已知可

得QE+BE>QD+BD,可得QD+BD是點B到點Q的最短距離，點Q即為所求.

【精準解析】

(1)如圖，點P即為所求：

(2)如圖，點M即為所求:

【名師指路】

本題考查軸對稱——最短路徑，熟練掌握軸對稱性質是解題關鍵.

22.已知點P在ZMON內.

(1)如圖1,點P關于射線QM的對稱點是G,點尸關于射線QN的對稱點是H,連接

OG、OH、OP.

@^ZMON=50°,則NGQ，=;

②若PO=5,連接G〃，請說明當ZMON為多少度時，GH=10;

(2)如圖2,若NMON=60。，A、8分別是射線OM、QN上的任意一點，當△PA8的

周長最小時，求ZAP3的度數(shù).

【標準答案】(1)①100°；②當ZMON=90。時，G〃=10;(2)ZAPB=60°.

【思路點撥】

(1)依據(jù)軸對稱可得OG=OP，OM_LGP,即可得到OM平分NPOG,ON平分NPOH,

進而得出/GOH=2/例ON=2x50o=100。；②當NMCW=90。時，ZGOH=\SO0,此時點G,

O,〃在同一直線上，WGH=GO+HO=lO;

(2)設點P關于。M、ON對稱點分別為尸、P",當點A、B在PT"上口寸，△雨B周長

為/，此時周長最小.根據(jù)軸對稱的性質，可求出N4P8的度數(shù).

【精準解析】

(1)①；點P關于射線OM的對稱點是G,點尸關于射線ON的對稱點是H,

：.OG=OP,OMLGP,

.?.OM平分NPOG,

同理可得ON平分NPOH,

二NGOH=2NMON=2x50°=100°,

故答案為：100°；

?-.-OG=OP=OH=5,GW=10,

r.G、0、"三點其線，

NGOH=180°=2ZMON,

.?.ZMON=90°,

當NMON=90。時，GH=IO;

(2)如圖所示：分別作點尸關于OM、QN的對稱點P，、P",

M

連接。尸，OP'、OP"、戶產(chǎn)，PP交OM、ON于點A、B,

則APuAP7,BP=BP",

此時周長的最小值等于PP"的長.

由軸對稱性質可得，OP'=OP"=OP,

ZP'OA=ZPOA,

^P"OB=ZPOB,

4Pop'=2ZMON=2x60°=120°,

ZOPP"=NO產(chǎn)尸=(180°-120°)4-2=30°,

由軸對稱性質可得ZAPO=ZOP,A=30°,

NBPO=NO產(chǎn)3=30。

.-.ZAPB=30°+30°=60°.

【名師指路】

本題主要考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的

性質定理，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點.

23.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、M、N都在格點上.

(1)作AA8C關于直線MN對稱的圖形AA，B77；

(2)若網(wǎng)格中最小正方形的邊長為1,求AA8C的面積;

(3)在直線MN上找一點P,使PA+PC的值最小，標出點P的位置(保留作圖痕跡).

【標準答案】(1)見解析(2)4.5(3)見解析

【思路點撥】

(1)根據(jù)軸對稱的性質即可作出6'U；

(2)根據(jù)網(wǎng)格即可求AA8C的面積；

(3)連接4c交直線于點尸，此時朋+PC的值最小.

【精準解析】

解：(1)如圖，即為所求；

Xlx2-yx|x5=10-2-1-2.5=4.5;

本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路徑問題，三角形的面積，解決本題的關鍵

是掌握軸對稱的性質準確作出點P.

24.如圖，在8x8的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都為1,網(wǎng)格中有一個格點AABC

(1)在圖中作出A48c關于直線/對稱的△4B1G；(要求：4與4,B與Bi,C與

G相對應)

(2)若有一格點P到點4、5的距離相等(抬=尸5),則網(wǎng)格中滿足條件的點尸共有

________個；

(3)在直線/上找一點。，使。3+QC的值最??；

(4)求AABC的面積.

【標準答案】(1)見解析；(2)4;(3)見解析；(4)5

【思路點撥】

(1)利用軸對稱的性質，即可作出AABC關于直線/對稱的△48G;

(2)依據(jù)點尸到點A、B的距離相等，作出A8的垂直平分線，經(jīng)過的格點即為所求;

(3)根據(jù)兩點之間，線段最短，連接田C,與直線/的交點。即為所求；

(4)依據(jù)割補法進行計算，即可得到AABC的面積.

【精準解析】

解：(1)如圖所示，△43。即為所求；

(2)如圖所示，網(wǎng)格中滿足條件的點P共有4個；

故答案為:4;

(3)如圖所示，點Q即為所求；

(4)4ABC的面積=3x4-gx2x4-gxlx3-|xlx3=5.

【名師指路】

本題主要考查了利用軸對稱變換作圖，線段垂直平分線的性質的運用.凡是涉及最短距

離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于

某直線的對稱點.

25.如圖，正方形網(wǎng)格中每個小