數(shù)學(xué)問題教學(xué)的內(nèi)涵特征及實踐路徑

【摘要】以問題解決為根本手段的數(shù)學(xué)問題教學(xué)一直都是數(shù)學(xué)教育的核心。本文通過對數(shù)學(xué)問題教學(xué)所蘊含的以情境生發(fā)問題、以互動促進(jìn)問題提出、以反思貫穿問題解決等過程的內(nèi)涵特征的透析，突顯問題教學(xué)獨特的育人特色。數(shù)學(xué)問題教學(xué)的實施有助于提高學(xué)生的抽象與概括能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，提升思維品質(zhì)。在遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的前提下，數(shù)學(xué)問題教學(xué)應(yīng)遵從“發(fā)現(xiàn)問題—建構(gòu)問題—解決問題—反思問題”的實施邏輯，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展奠基?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題教學(xué)；內(nèi)涵；價值；實踐；反思一、引言加涅認(rèn)為，學(xué)習(xí)發(fā)展是一種循序漸進(jìn)的過程。學(xué)習(xí)應(yīng)處于有序（知識發(fā)展邏輯有序、學(xué)生認(rèn)知發(fā)展有序）且螺旋上升（知識學(xué)習(xí)的每一階段都是促進(jìn)理解的過程）的進(jìn)程中。作為知識掌握的重要階段之一，知識運用不僅能檢驗知識的理解與鞏固水平，還能促進(jìn)對原有問題的理解及新問題的發(fā)現(xiàn)。運用知識的過程一般要通過審題（建立問題的初步表征形式，包括問題的目的與要求、已知與未知的關(guān)系）、聯(lián)想（確定解決問題所需的知識）、解析（尋找解決問題的具體思路與辦法）及類化（概括當(dāng)前問題與原有知識的共性、本質(zhì)特征，以建構(gòu)新知識結(jié)構(gòu)）等四個環(huán)節(jié)來完成。知識運用過程即發(fā)現(xiàn)問題、分析與解決問題、理解并反思問題的問題研究全過程，因此本文聚焦數(shù)學(xué)問題教學(xué)的內(nèi)涵與實踐路徑，以期通過問題教學(xué)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。二、數(shù)學(xué)問題教學(xué)的內(nèi)涵透析數(shù)學(xué)問題教學(xué)，顧名思義，是圍繞數(shù)學(xué)問題而展開的教學(xué)。蘇格拉底使用問答的形式進(jìn)行教學(xué)，強(qiáng)調(diào)師生雙方共同探討，尋求問題的正確答案，這可視作問題教學(xué)的起源。當(dāng)下，問題導(dǎo)向下的問題鏈教學(xué)已成為各學(xué)科教學(xué)的重要方法之一。問題解決過程中，通過描述思維過程的心理學(xué)行為并總結(jié)規(guī)律，以發(fā)展學(xué)生的智力和能力，與馬赫穆托夫所提出的問題式教學(xué)理論是高度契合的。馬赫穆托夫認(rèn)為教學(xué)的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，以達(dá)到對教學(xué)過程的有效控制；問題的提出要經(jīng)歷分析問題情境、“看出”問題的本質(zhì)、用語言概述問題等三個循序漸進(jìn)的階段；問題的解決由若干環(huán)節(jié)構(gòu)成，即擬訂問題的解決計劃，提出推測并論證假想，證明假想，檢驗問題的解決結(jié)果，重溫和分析解決過程。（一）以問題為中心：由情境生發(fā)以問題為中心的教學(xué)模式將問題界定為一種教學(xué)設(shè)計與實施的情境，它聚焦的問題具備四項特質(zhì)［1］：能統(tǒng)攝學(xué)科知識，貫穿學(xué)習(xí)全程；能促進(jìn)能力形成，培養(yǎng)學(xué)習(xí)方法；能順應(yīng)學(xué)生身心發(fā)展特點，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；能培養(yǎng)意志品質(zhì)，形成質(zhì)疑精神。蘇霍姆林斯基認(rèn)為，脫離情境的問題是難以產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)的。情境，尤其是含有真實事件或真實問題的情境，能有效影響個體的行為方式，影響他們的情感認(rèn)知傾向，對于個體自主進(jìn)行知識內(nèi)涵理解及意義建構(gòu)有特定的作用?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》著重指出，情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在教學(xué)活動中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情境（如現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等），讓問題能多樣化、多層次地生發(fā)出來。問題情境要作為問題教學(xué)的邏輯起點，教師創(chuàng)設(shè)問題情境的根本目的在于以情境為載體連接學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗與外部經(jīng)驗，以問題為線索貫穿學(xué)生探究與思考的全過程。情境作為知識意義建構(gòu)、情感積極體驗的教學(xué)場，實為知識學(xué)習(xí)的明線，亦是課堂演進(jìn)邏輯的暗線。因為師生共同親歷融入情境、轉(zhuǎn)譯情境、走出情境及反思情境的情境化步驟，認(rèn)知能在無形中得到豐富和超越。數(shù)學(xué)教學(xué)的根本旨趣在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。問題情境既外顯為可遷移的學(xué)習(xí)條件，又內(nèi)蘊問題的可探究性，具備發(fā)展學(xué)生思維的特質(zhì)。教師從衍生性主題的設(shè)計、數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的把握、數(shù)學(xué)關(guān)系的轉(zhuǎn)化以及問題結(jié)構(gòu)的明確等方面去創(chuàng)設(shè)情境，有助于彰顯問題情境對學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)意義［2］。（二）以問題提出為核心：因互動所致問題提出一度被視為是比解決問題更具有創(chuàng)新價值的研究行為，問題的提出尤其是數(shù)學(xué)問題的提出更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的獨特屬性：問題的產(chǎn)生一定是基于真實的疑惑，具備客觀性；有價值的問題不僅能揭示知識的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，而且能為進(jìn)一步的研究指明方向或做出預(yù)測；問題提出著眼的不是單一的知識情境，涉及的數(shù)學(xué)對象較多，因而具備廣泛性和聯(lián)結(jié)性。問題提出作為問題學(xué)習(xí)的一種追求，它并非總能達(dá)成，因而問題提出的另一價值便是伴隨這一過程的有效的數(shù)學(xué)交流。有效的數(shù)學(xué)交流依賴于獨到的數(shù)學(xué)眼光、縝密的數(shù)學(xué)思維以及精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言。問題提出中構(gòu)建數(shù)學(xué)交流的一般模式可分為三個階段：（1）輸入階段。表征問題情境中元素和元素間的關(guān)系，以理解問題情境。（2）過程階段。確定新問題中元素與元素間的關(guān)系，以建構(gòu)新問題的心理結(jié)構(gòu)。（3）輸出階段。表征新問題中元素與元素間的關(guān)系，以表達(dá)新問題［3］。因而，數(shù)學(xué)問題的提出可視作是問題提出者對已有問題進(jìn)行加工、編碼所得新問題的過程，是與問題情境或?qū)W習(xí)同伴互動的產(chǎn)物。師生間、生生間、生本間的互動是指多感官、全方位、全過程的參與，是促使師生自覺主動發(fā)展的有效路徑。有意義的問題能激發(fā)互動，互動反過來又深化了對問題本質(zhì)的探尋，故問題提出機(jī)制的精髓在于“問題互動化”。教學(xué)實踐也表明，學(xué)習(xí)動機(jī)的激發(fā)源于對問題的質(zhì)疑，強(qiáng)烈的探究欲望始于問題的提出。（三）以問題解決為旨趣：將反思貫穿問題提出后便直接指向問題解決過程。數(shù)學(xué)問題解決是以思考為內(nèi)涵，以問題目標(biāo)為走向的心理活動過程，其實質(zhì)是運用已有的知識去探索新情境中的問題結(jié)果，使問題由初始狀態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的一種活動過程［4］?？v觀學(xué)界對問題解決過程的研究，較為經(jīng)典的主要有三種模型：杜威的“五步問題解決過程”，即呈現(xiàn)問題、定義問題、形成假設(shè)、測驗假設(shè)、選擇最佳的假設(shè)；波利亞的“怎樣解題表”模型，即弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧解題的全過程；匈菲爾德的數(shù)學(xué)解題模式，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)解題的研究方向需要考慮知識基礎(chǔ)、解題策略、自我控制、信念系統(tǒng)等四個因素。具體到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題解決，除以上基本流程外，對問題解決的后續(xù)部分和反思環(huán)節(jié)也體現(xiàn)出了強(qiáng)烈的關(guān)注。數(shù)學(xué)問題得到解決后，一般要進(jìn)行問題的推廣和引申，方能在“成堆成長的蘑菇周圍找到更多的蘑菇”，這是波利亞生動闡述的數(shù)學(xué)問題間的緊密聯(lián)系性。弗賴登塔爾認(rèn)為，反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力。反思是促使思維走向完備、有序的必要環(huán)節(jié)，反思的過程不僅能提升問題意識，同樣也是問題解決的過程。數(shù)學(xué)問題教學(xué)實質(zhì)上是一種有強(qiáng)烈問題意識、問題導(dǎo)向思維的科學(xué)探究方式，主要包括兩個方面：（1）強(qiáng)烈的問題意識不僅要求對問題解決過程應(yīng)有堅持不懈的探索精神，還應(yīng)通過觀察、對比、分析等一系列推理形式洞察問題的生長點并抽象出合適的數(shù)學(xué)問題，即問題意識支持并維持從問題提出到問題解決的全過程。（2）從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題到解決問題、反思問題的全過程可以映射出數(shù)學(xué)思維有序推進(jìn)的過程，問題既是有效的思維訓(xùn)練載體，又是重要的思維工具或方式。毫無疑問，數(shù)學(xué)問題教學(xué)的各個階段都應(yīng)看作是從問題生發(fā)到問題解決，從問題意識到科學(xué)研究意識的認(rèn)知進(jìn)階過程。三、數(shù)學(xué)問題教學(xué)的實踐路徑“問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)”道出了問題教學(xué)的真諦，數(shù)學(xué)問題教學(xué)的價值伴隨著問題的提出、分析與解決的整個過程，學(xué)習(xí)真正發(fā)生并達(dá)成目標(biāo)，具體體現(xiàn)在三個方面：（1）有助于提高學(xué)生的抽象與概括能力。問題蘊含在問題情境中，需要借助抽象才能剝離出來，因而問題情境是促進(jìn)學(xué)生在情境中將默會知識外顯化的重要途徑［5］。（2）有助于增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。能否提出問題尤其是提出高質(zhì)量的問題直接制約著問題教學(xué)的價值上限。只有對數(shù)學(xué)本原性問題有了理性的判斷后，有一般的觀念來引領(lǐng)，有一定的數(shù)學(xué)思想作為指導(dǎo)，有一定的思維策略作為支撐，才能提出有含金量的問題［6］。問題作為教學(xué)過程中的主題，應(yīng)聚焦復(fù)雜的、有意義的問題情境的創(chuàng)設(shè)，并導(dǎo)向獨立探索或合作式的問題解決過程［7］，能有效地組織教師、學(xué)生等一系列教學(xué)要素有機(jī)、融洽地交互。（3）有助于提升學(xué)生的思維品質(zhì)。以發(fā)現(xiàn)問題、建構(gòu)問題、解決問題、反思問題為邏輯主線的問題化學(xué)習(xí)能提升學(xué)生的思維敏捷性、深刻性、靈活性、批判性和獨創(chuàng)性等優(yōu)良思維品質(zhì)，有助于形成分析與綜合、抽象與概括、比較與分類等科學(xué)基本思維方式?；诖?，問題教學(xué)應(yīng)滿足不同層次學(xué)生的發(fā)展需求，能激發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑、聯(lián)想能力，引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)、多視角地理解問題和重構(gòu)知識關(guān)聯(lián)，從而讓核心素養(yǎng)真正落地，彰顯問題教學(xué)的診斷價值。（一）發(fā)現(xiàn)問題問題，作為問題教學(xué)的基點，直接決定著問題教學(xué)的有效性。問題的源頭一般分為四種：教學(xué)中的重點、難點和關(guān)鍵點；知識的銜接點；學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑點和盲點；教師預(yù)設(shè)的補償點。教學(xué)中的重點、難點、關(guān)鍵點是共性的問題，是知識內(nèi)在屬性的外在表現(xiàn)。如對函數(shù)概念的理解就是難點問題，因為學(xué)生的思維水平（尤其是抽象思維）還不夠成熟，還不能突破由結(jié)構(gòu)分析（函數(shù)的“三要素”）到本質(zhì)揭示（特殊的對應(yīng)關(guān)系）的困境，所以需要格外關(guān)注概念的深化過程。知識的銜接點同樣也是問題教學(xué)的基點，相較而言，它更為隱蔽，需要做深刻的教材內(nèi)容分析。如“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”是體現(xiàn)知識應(yīng)用性較廣的一個重要內(nèi)容，主要包含導(dǎo)數(shù)知識在函數(shù)問題中的應(yīng)用，囿于中學(xué)生認(rèn)知水平等因素，函數(shù)極限的基本概念已從新課標(biāo)教材中剔去，旨在不增加學(xué)生的理解難度，但極限思想是問題解決過程中不可或缺的一種重要數(shù)學(xué)思想，因此自然要進(jìn)一步追問這些有著極限背景的高等數(shù)學(xué)知識的基本可教性和可學(xué)性。在數(shù)學(xué)邏輯和認(rèn)知邏輯的演進(jìn)過程中，學(xué)習(xí)中的疑點和盲點不可避免。教師可以主動傾聽和觀察，提出引導(dǎo)性問題幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題所在，也可以創(chuàng)設(shè)問題情境或設(shè)計開放性問題促使學(xué)生聚焦疑點和盲點。如“二次曲線聯(lián)立后為什么會出現(xiàn)增根？”“點差法為什么不適用于雙曲線中的中點弦問題？”等。補償性教學(xué)立足于學(xué)生已掌握的知識與教學(xué)目標(biāo)的差異，旨在通過對典型問題的糾偏與強(qiáng)化，在問題解決的過程中加深理解和提高數(shù)學(xué)思維能力。以聯(lián)系的視角審視補償點，可以豐富學(xué)習(xí)內(nèi)容，擴(kuò)充學(xué)習(xí)領(lǐng)域。以對話與合作的方式實施補償過程，利于破解疑難，養(yǎng)成樂于探究的科學(xué)品質(zhì)。在正常教學(xué)活動中，補償教學(xué)以上述問題生發(fā)源頭作為出發(fā)點，也極易走向另一個極端，即完全的教師經(jīng)驗主義。在學(xué)生沒有出現(xiàn)教師預(yù)設(shè)的錯誤前，教師的提前預(yù)警或干擾會剝奪學(xué)生犯錯的權(quán)利，也相應(yīng)地關(guān)閉了他們通向真知的理解之門。因此，教師應(yīng)基于實況調(diào)查（或借用大數(shù)據(jù)統(tǒng)計手段）開展以釋疑解惑、糾偏糾錯為主的鞏固性、補償性教學(xué)，促進(jìn)數(shù)學(xué)深度理解。值得一提的是，有目的地創(chuàng)設(shè)結(jié)構(gòu)不良的問題或開放性的問題更能激發(fā)學(xué)生的探知欲，幫助學(xué)生多角度把握問題本質(zhì)，追尋知識背后的價值，形成跨學(xué)科綜合解決問題的關(guān)鍵能力。［8］（二）建構(gòu)問題確定問題主題后，便要圍繞其建構(gòu)教學(xué)的策略。教學(xué)應(yīng)把握問題的層次性和系統(tǒng)性，即注重從具體問題到一般性問題的遷移，利用結(jié)構(gòu)化的視角剖析問題的內(nèi)涵特征。我們首先要明確教學(xué)總目標(biāo)，即培養(yǎng)學(xué)生的“三會”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和運用數(shù)學(xué)的自覺意識。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，每個人都應(yīng)得到不同程度的發(fā)展，因而首先要分析學(xué)生的內(nèi)在需求及發(fā)展路徑。波利亞說過，學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由自己發(fā)現(xiàn)的。因為自己發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)途徑往往能理解得最深，也最容易掌握知識的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。因此，教師應(yīng)盡可能少告知學(xué)生知識，多創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生探索未知知識的欲望。實踐表明，學(xué)生自主、深刻的思考與探索是形成科學(xué)有效的思維方式的重要途徑。思維方式?jīng)Q定發(fā)展上限，學(xué)生的文化知識學(xué)習(xí)中，對于知識的認(rèn)知是最重要的思維方式。知識是通過建構(gòu)的方式深入化和擴(kuò)大化的，因而正確的知識觀在本質(zhì)上蘊含著在學(xué)習(xí)方式上對研究性學(xué)習(xí)的必然選擇。隨著知識細(xì)節(jié)的不斷補充，加工知識的方式和手段趨于完備化、模式化，最終奠定思維方式的雛形，發(fā)展便成為可能。其次，育人的具體表達(dá)便是課程的制訂與實施。依托課程標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)教是培養(yǎng)學(xué)科視野、學(xué)科典型思想方法的重要舉措，這屬于分析問題的第二層次。課程理念是教學(xué)理念的先導(dǎo)，課程理念要經(jīng)由課程設(shè)計轉(zhuǎn)化為課程實踐，我們在課程標(biāo)準(zhǔn)里可以找到充分的理據(jù)和可行的建議。具體地，要實現(xiàn)教、學(xué)、評一致性，就應(yīng)把握好課程標(biāo)準(zhǔn)這一中軸基準(zhǔn)。如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）》在“一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教學(xué)提示部分指出，“學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解不可能一步到位，導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該貫穿在一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)的始終”［9］，并在學(xué)業(yè)要求部分提出要求：能夠通過具體情境，直觀理解導(dǎo)數(shù)概念，感悟極限思想，知道極限思想是人類深刻認(rèn)識和表達(dá)現(xiàn)實世界必備的思維品質(zhì)。因而對蘊含極限思想的高等數(shù)學(xué)知識的初等化處理和近似詮釋就顯得合理且必要。最后才是教，教的復(fù)雜性遠(yuǎn)甚于學(xué)。教師對課程標(biāo)準(zhǔn)、教材的理解作為教的開端，后續(xù)知識的處理、教法的選用等都影響著教的效果，故而要確定教學(xué)的側(cè)重。知識的發(fā)生過程是知識介入認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“第一印象”，也應(yīng)是教學(xué)的側(cè)重。囿于學(xué)生認(rèn)知水平與知識的難度、深度的差異，發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)也并非適用于任何數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，那么教學(xué)的側(cè)重便轉(zhuǎn)移到了“教如何理解”上。理解是通過對事物的觀察分析，將有關(guān)聯(lián)的事物相互聯(lián)系，通過自我消化、整合，形成新認(rèn)識的心理過程。理解是指能夠在給定的資訊以外有所超越，并且能夠創(chuàng)造性地去運用自己的知識。理解可以表現(xiàn)為不同的程度，對于任何問題，在思考、討論及將理論用于實踐的過程中，伴隨著疑問和回答，理解程度將不斷深入。有學(xué)者對理解進(jìn)行了層次化劃分，將理解劃分為工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)新性理解［10］。因而用復(fù)雜觀念或高觀念對知識進(jìn)行深入淺出的介紹與點評，利用多元方法促進(jìn)學(xué)生理解是打造理解性課堂的關(guān)鍵。（三）解決問題解決問題要講究方式方法，步驟組成或階段分析尤為關(guān)鍵。解決數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知過程包含問題表征、模式識別、解題遷移和解題監(jiān)控四個步驟。［11］問題表征形式?jīng)Q定了問題所屬領(lǐng)域及思考的大致范疇，模式識別是對已有相關(guān)經(jīng)驗的調(diào)用與確認(rèn)，解題遷移是對經(jīng)驗的匹配、認(rèn)知過程的加工以及相應(yīng)解題方案的踐行，解題監(jiān)控則是對問題解決整個過程的回顧與反思。同樣地，按“研究問題—研究對象—研究工具”［12］的程式尋求問題的解決策略，不僅可操性強(qiáng)，而且能加深教師對教育研究方法以及數(shù)學(xué)本身的理解。具體而言，可對照波利亞的“怎樣解題表”實踐解決問題的全過程。在此，本文呈現(xiàn)一個經(jīng)典問題的解決過程。例春運期間，各車站通過增加售票窗口、檢票窗口、班次等方式來減少旅客的滯留量。旅客在車站排隊購票，并且排隊的旅客可視為均勻增加。若只開設(shè)1個售票窗口，需要40分鐘將等待購票的旅客的車票全部售出（假設(shè)每名排隊旅客只能購買1張所需車票）；若只開設(shè)2個售票窗口，只需15分鐘將等待購票的旅客的車票全部售出。現(xiàn)有一班增開客車進(jìn)站運送旅客，因時間緊張，所有排隊購票的旅客必須在5分鐘內(nèi)全部購票上車（假設(shè)等待購票的旅客都乘坐該車，并且購票后立即上車），問此時車站最少要同時開放幾個售票窗口？［13］鑒于本題的變量關(guān)系具有一定的隱蔽性，故搜集信息、加工信息是解決本題過程中的一大難點。相較于以自主發(fā)現(xiàn)問題解決策略為特質(zhì)的“問題本位”模式，以問題驅(qū)動為活動中心的“問題引領(lǐng)”式更能提升學(xué)生的問題研究意識和能力［14］。因此，在學(xué)生先行審題的基礎(chǔ)上，教師搭設(shè)必要的腳手架，提出三個輔助性問題供學(xué)生思考：（1）本題要解決的問題是什么？（2）問題如何用文字語言表述？（3）文字語言中的量如何用數(shù)學(xué)符號語言表示？用表格呈現(xiàn)出來。（四）反思問題反思問題應(yīng)是問題研究中最重要的一個環(huán)節(jié)。反思是促使知識類化、知識結(jié)構(gòu)重建的實踐活動，教師的專業(yè)發(fā)展及學(xué)生的認(rèn)知能力的提升都離不開反思。1.回歸知識教學(xué)的根本目的問題教學(xué)是借由對問題的探索以實現(xiàn)知識教學(xué)的根本目的，即發(fā)展并完善認(rèn)知方式，實現(xiàn)自我全面發(fā)展。如數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，意義在于促成學(xué)習(xí)者將正確方法的盲目、不自覺的應(yīng)用向有意識、自覺的應(yīng)用轉(zhuǎn)化。某一種思想方法的領(lǐng)會與掌握，僅靠幾節(jié)課的教學(xué)往往不能奏效，要靠教師長期有意識、有目的地啟發(fā)誘導(dǎo)，還要靠學(xué)生不斷體會、挖掘、領(lǐng)悟、深化。通俗地講，數(shù)學(xué)思想方法的下沉不能是直接貫穿，而應(yīng)是滲透。如何滲透？教師可對同一主題下的不同內(nèi)容進(jìn)行練習(xí)與強(qiáng)化，也可把任務(wù)投入更具針對性的作業(yè)訓(xùn)練中去。概言之，滲透的過程是思維借由訓(xùn)練得以進(jìn)階的過程。加強(qiáng)思維訓(xùn)練，要遵循以下三個基本原則。第一，序進(jìn)原則。思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性在于思維層次一定是由低到高依次發(fā)展的。最熟悉的事物、最簡單的變化是思維的開端，高等數(shù)學(xué)知識是研究受阻、方法亟待優(yōu)化等前提下相機(jī)而生的，其背后的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)也要經(jīng)歷潛意識階段、明朗化階段、深刻化階段等不同階段。如函數(shù)極限的學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者先是對函數(shù)極限有“朦朦朧朧”的感覺，接著能利用恰當(dāng)?shù)姆绞綄λM(jìn)行概括總結(jié)，最后能運用它解決問題，乃至形成方法。第二，多思維協(xié)作原則。思維的復(fù)雜性在于思維的動態(tài)變化及各種思維的交織。一般的數(shù)學(xué)思維方法有分析、綜合、比較、抽象、概括、聯(lián)想、想象、類比、猜想等，在進(jìn)行有意識的思維訓(xùn)練時，它們往往是共同協(xié)作與轉(zhuǎn)換的，因而以不同視角審視研究對象的內(nèi)涵與外延是很有必要的。第三，不斷變換問題原則。實踐表明，不斷變換問題能保持問題間的自然關(guān)聯(lián)性，利于知識的加工、拓展與整合。此外，隨著問題的不斷演變，方法與思想會一次次接受檢驗或矯正，高階思維也更易形成。歸根結(jié)底，學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高要靠教師的數(shù)學(xué)教學(xué)視野來造就。教師要正確看待數(shù)學(xué)教學(xué)中過程與結(jié)論的辯證關(guān)系：不經(jīng)歷思想概括的過程，結(jié)論難以牢固；不預(yù)想可能的結(jié)論，過程也多是盲目不定。2.學(xué)會方法的演進(jìn)、規(guī)律的總結(jié)數(shù)學(xué)方法論作為數(shù)學(xué)教育界的一個重要內(nèi)容，在其他學(xué)科和領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。張奠宙先生