2024屆山東省聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024年全國(guó)普通高考模擬考試數(shù)學(xué)試題2024．5注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．3．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.樣本數(shù)據(jù)2，3，4，5，6，8，9的第30百分位數(shù)是（）A.3 B.3．5 C.4 D.52.已知集合，，若，則取值范圍是（）A. B. C. D.3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為5，則（）A.5 B.4 C.3 D.24.某所學(xué)校的3名同學(xué)和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學(xué)，則不同的站法種數(shù)為（）A.120 B.72 C.64 D.485.已知，，若在上的投影向量為，則與的夾角為（）A.60° B.120° C.135° D.150°6.已知圓圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A相離 B.相交 C.內(nèi)切 D.內(nèi)含7.已知等差數(shù)列滿足，則可能取的值是（）A. B. C.4 D.68.已知函數(shù)，則與圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A. B.2 C. D.3二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，為復(fù)數(shù)，則（）A. B.若，則C.若，則的最小值為2 D.若，則或10.袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（）A. B.C.事件與是互斥事件 D.事件與相互獨(dú)立11.已知雙曲線的漸近線方程為，過的右焦點(diǎn)的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓分別切直線，，于點(diǎn)，，，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則（）A.的離心率等于 B.切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為10，則___________．13.若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為___________．14.如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，若，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，則該四面體的內(nèi)切球半徑為___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（2）討論的單調(diào)性．16.如圖，在四棱臺(tái)中，底面為正方形，為等邊三角形，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，，求直線與平面所成角的余弦值．17.已知數(shù)列滿足，，．（1）若，為遞增數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，求；（2）若，，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18.已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，線段上存在點(diǎn)滿足，過與垂直的直線交軸于點(diǎn)，求面積的最小值．19.設(shè)點(diǎn)集，從集合中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，，定義A，兩點(diǎn)間的距離．（1）求中的點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)；（2）從集合中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)A，，用隨機(jī)變量表示他們之間的距離，①求的分布列與期望；②證明：當(dāng)足夠大時(shí)，．（注：當(dāng)足夠大時(shí)，）2024年全國(guó)普通高考模擬考試數(shù)學(xué)試題2024．5注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．3．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.樣本數(shù)據(jù)2，3，4，5，6，8，9的第30百分位數(shù)是（）A.3 B.3．5 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】利用百分位數(shù)的求法計(jì)算即可.【詳解】易知，則該組數(shù)據(jù)的第三個(gè)數(shù)4為第30百分位數(shù).故選：C2.已知集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，則集合中最小元素應(yīng)在集合中，即可得到的取值范圍.【詳解】由題意，再由，所以集合中最小元素應(yīng)在集合中，所以，即的取值范圍是.故選：B.3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為5，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】利用拋物線的定義先確定準(zhǔn)線及焦點(diǎn)，計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，拋物線準(zhǔn)線為，而與P到準(zhǔn)線的距離相等，所以.故選：C4.某所學(xué)校的3名同學(xué)和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學(xué)，則不同的站法種數(shù)為（）A.120 B.72 C.64 D.48【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用不相鄰的排列問題列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，兩名老師不相鄰，所以不同的站法種數(shù)為.故選：B5.已知，，若在上的投影向量為，則與的夾角為（）A.60° B.120° C.135° D.150°【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的定義計(jì)算即可.【詳解】易知在上的投影向量為，而，所以與的夾角為.故選：B6.已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交 C.內(nèi)切 D.內(nèi)含【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求的值，再利用幾何法判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓：，所以圓心，半徑為.由點(diǎn)到直線距離公式得：，且，所以.又圓的圓心，半徑為：1.所以，.由，所以兩圓內(nèi)含.故選：D7.已知等差數(shù)列滿足，則可能取的值是（）A. B. C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，令，，由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)，，則，所以，故選：A.8.已知函數(shù)，則與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)，然后變形成一致的結(jié)構(gòu)，再換元，轉(zhuǎn)化成新元方程根的橫坐標(biāo)之和，分別畫圖，找出交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，再和即可.【詳解】由題意化簡(jiǎn)，與圖象有交點(diǎn)，則有實(shí)根，令，則，則化為，即的所有實(shí)根之和，即與所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，顯然是周期為1的奇函數(shù)，為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，圖像如圖所示，顯然，一共有6個(gè)交點(diǎn)，它們的和為0，則，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，為復(fù)數(shù)，則（）A. B.若，則C.若，則的最小值為2 D.若，則或【答案】BD【解析】【分析】通過列舉特殊復(fù)數(shù)驗(yàn)證A；設(shè)，則，通過復(fù)數(shù)計(jì)算即可判斷B；設(shè)，由復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算模長(zhǎng)判斷C；由得，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則，所以，而，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以的最小值?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，所以，所以，所以或，所以至少有一個(gè)為0，故D正確.故選：BD10.袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（）A. B.C.事件與是互斥事件 D.事件與相互獨(dú)立【答案】AC【解析】【分析】分別求出事件概率，再根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)椤叭〕龅那蟮臄?shù)字之積為奇數(shù)”，就是“取出的兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)”，所以；故A正確；“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”就是“取出的兩個(gè)數(shù)不能都是奇數(shù)”，所以；“取出的兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”就是“取出的兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)或都是偶數(shù)”，所以；表示“取出的兩個(gè)數(shù)的積可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)”，所以；表示“取出的兩個(gè)數(shù)的積與和都是偶數(shù)”，就是“取出的兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)”，所以.因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以互斥，故C正確；因，所以不獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知雙曲線的漸近線方程為，過的右焦點(diǎn)的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓分別切直線，，于點(diǎn)，，，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則（）A.的離心率等于 B.切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)漸近線方程求出，得到離心率；B選項(xiàng)，由雙曲線定義和切線長(zhǎng)定理得到，得到切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合；C選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線定義和的內(nèi)切圓的半徑得到；D選項(xiàng)，作出輔助線，得到，利用萬能公式得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，解得，故離心率，A正確；B選項(xiàng)，，由雙曲線定義可得，，兩式相減得，即，故切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合，B正確；C選項(xiàng)，的內(nèi)切圓的半徑為，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，連接，則平分，其中，故，所以.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線定義和切線長(zhǎng)定理推出切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合，從而推理得到四個(gè)選項(xiàng)的正誤.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為10，則___________．【答案】2【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】易知二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為，顯然時(shí)，.故答案為：213.若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為___________．【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】【分析】利用和（差）角公式化簡(jiǎn)，再判斷，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合函數(shù)的最大值，求出.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以或，顯然不滿足的最大值為，所以，則，（其中），依題意可得，即，所以，所以，解得.故答案為：（答案不唯一，滿足即可）14.如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，若，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，則該四面體的內(nèi)切球半徑為___________．【答案】或【解析】【分析】先確定點(diǎn)的軌跡，確定四面體體積最大時(shí)，，點(diǎn)的位置，再利用體積法求內(nèi)切球半徑.【詳解】如圖：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，且，所以平?平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以.又在正方形及其內(nèi)部，所以點(diǎn)軌跡是如圖所示的以為直徑的半圓，作于，則是三棱錐的高.所以當(dāng)?shù)拿娣e和都取得最大值時(shí)，四面體的體積最大.此時(shí)點(diǎn)應(yīng)該與或重合，為正方形的中心.如圖：當(dāng)點(diǎn)與重合，為正方形的中心時(shí)：，，，，中，因?yàn)椋?，，所?設(shè)內(nèi)切球半徑為，由得：.如圖：當(dāng)點(diǎn)與重合，為正方形的中心時(shí)：，，，，.設(shè)內(nèi)切球半徑為，由得：.綜上可知，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，其內(nèi)切球半徑為：或.故答案為：或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)得到點(diǎn)在以為直徑的球面上，又點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部，所以點(diǎn)軌跡就是球面與平面的交線上，即以為直徑的半圓上.明確點(diǎn)軌跡是解決問題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若曲線在處切線與直線垂直，求的值；（2）討論的單調(diào)性．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合題意有，，即可求解值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種情況討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，曲線在處的切線與垂直，所以，得；【小問2詳解】由得，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，令得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，令得?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.16.如圖，在四棱臺(tái)中，底面為正方形，為等邊三角形，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，可得，由已知得，所以得平面，可得平面，則可得；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)及平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，由和夾角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角正弦值，由向量夾角的余弦公式算出，再算出直線與平面所成角的余弦值.【小問1詳解】連接，因?yàn)闉榈冗吶切危?，因?yàn)檎叫危栽谒睦馀_(tái)中，，所以，又平面，所以平面，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫妫裕?【小問2詳解】因?yàn)榈酌鏋檎叫?，為等邊三角形，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以，又由?），且，平面，所以平面，即平面，取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，所以，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，所以，即，得，直線與平面所成角正弦值為，則直線與平面所成角的余弦值為.17.已知數(shù)列滿足，，．（1）若，為遞增數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，求；（2）若，，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，得到，再根據(jù)2，，成等比數(shù)列，得到，即可求出的值.（2）由數(shù)列是遞增數(shù)列得出，可得，但，可得．可得；由數(shù)列是遞減數(shù)列得出，可得，再利用累加法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】因?yàn)?，且為遞增數(shù)列，所以，所以為等差數(shù)列，因?yàn)?，，成等比數(shù)列，所以，整理得，得，，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以.【小問2詳解】由于是遞增數(shù)列，因而，于是①但，所以．②又①，②知，，因此③因?yàn)槭沁f減數(shù)列，同理可得，故，④由③，④即知，，于是，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題可從以下方面解題.（1）數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可；（2）根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列得，，數(shù)列是遞減數(shù)列得，，綜合數(shù)列和即可得，最后利用累加法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.18.已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，線段上存在點(diǎn)滿足，過與垂直的直線交軸于點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和橢圓中的關(guān)系，求出的值，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線：，再設(shè)，，，把直線方程代入橢圓方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，表示出，，并用表示條件，整理得為定值；再結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出，利用兩點(diǎn)間的距離公式求，表示出的面積，利用基本（均值）不等式求最值.【小問1詳解】由題意知，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，由以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，知，得①，又②，由①②得，，所以的方程為：.【小問2詳解】如圖：由題意，直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，且，，，將代入，整理可得，，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，根