2020屆高考數(shù)學(xué)教研講義教學(xué)：解析幾何之綜合篇(無(wú)答案)

高考總復(fù)習(xí)之解析幾何專題

直線方程及直線與圓的方程

試題分析:

年份高考試題主要考點(diǎn)考查內(nèi)容

2011浙江文.12直線位置關(guān)系直線斜率和垂直條件

2013浙江文.13直線與圓位置關(guān)系弦長(zhǎng)公式

2013浙江理.15直線斜率與方程中點(diǎn)坐標(biāo)公式

點(diǎn)差法應(yīng)用

2014浙江文.5直線與圓位置關(guān)系弦長(zhǎng)公式和圓的一般

方程

2016浙江文10圓的一般方程圓的一般方程

2019浙江12直線與圓位置關(guān)系點(diǎn)到直線的距離

2019浙江15直線斜率與方程中位線，直線與圓

知識(shí)點(diǎn)：

1.直線方程

名稱方程適用條件

斜截式y(tǒng)=kx+b

與X軸不垂直的直線

點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)

y一必二.一2

兩點(diǎn)式與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線

y2f%一再

截距式-+^=l(aZ?*O)不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線

ab

一般式Ax+By+C=0（A2+*。0）所有直線

2.兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系/（:4工+gy+G=04:y=心+”

l2:\x+B2y+G=0l2'y=k2x+b2

4〃4A&k、=k2,b、芋b1

--------工--G--

4B2C2

44+4與=o&,k?=—1

3.距離問題

⑴兩點(diǎn)4(Xi，yJ,7^(%2,y2)之間的距離由周=-兀2『+(M-姬.

/、Ar+By+C

⑵點(diǎn)E）（xo，%）到直線1：Ax+By+C=O的距離d=l（'1「n°

A/A2+B2

c-cd

⑶兩條平行線間的距離：d=21..

VA2+B2

4.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a,>)，半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—a)2+(y—")2=，.

當(dāng)a=0=0時(shí)，方程為/+/=產(chǎn)，表示以原點(diǎn)為圓心、半徑為廠的圓

5.位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系幾何法代數(shù)法

點(diǎn)"(毛,%)在圓上一

點(diǎn)在圓上M4|=ro點(diǎn)M在圓A上

222

(x()-a)+(y0-b)=r

點(diǎn)M（玉P%）在圓內(nèi)O

點(diǎn)在圓內(nèi)＜廠o點(diǎn)M在圓A內(nèi)

（%一。f+（%一力了Vr

點(diǎn)M（玉p%）在圓外O

點(diǎn)在圓外網(wǎng)＞「。點(diǎn)M在圓A外

（題一。）2+（%一力）2＞戶

（2）直線與圓的位置關(guān)系

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—af+U—12=/，圓心A（a,＞）,半徑為八

設(shè)所給點(diǎn)為MG。,%），則:

位置關(guān)系幾何法

相切（直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)）d-r

相交（直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)）d<r

相離（直線與圓沒有公共點(diǎn)）d>r

（3）圓與圓的位置關(guān)系:

圓與圓的位置關(guān)系圓心距d與兩圓的半徑關(guān)系公切線條數(shù)

外離d>/+弓4

外切3

相交2

\r[-r^<d<r^r2

內(nèi)切d=|4-41

內(nèi)含d<,-目0

要點(diǎn)分析

利用幾何意義求最值

【典例分析】求y=Vx2+4x+9+Jx?+6x+12的最小值為

變式訓(xùn)練1：已知X,y為實(shí)數(shù)，求2=）1+（丫-2）2+,9+（3-X）2+//+y2的最小值是

變式訓(xùn)練2：已知正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=2,則x+收+y2的最小值為

變式訓(xùn)練3：已知實(shí)數(shù)m滿足21,且。=m。+〃，+2,則/的最小值為一

變式訓(xùn)練4：已知單位向量a,b,且a-b=O,若/￡[0,1],則

\t(b-a)+c^+^-b+(^-t)(a-b)的最小值為

曲線上動(dòng)點(diǎn)之間距離的最值

22

【典例分析】已知橢圓上+匕=1,直線/:4x—5y+40=0。求橢圓上的點(diǎn)到直線/上一

259

點(diǎn)距離的取值范圍______.

變式訓(xùn)練1：拋物線y=-f上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是（)

變式訓(xùn)練2：若點(diǎn)P(a,b)在函數(shù)y=-/+31nx的圖像上，點(diǎn)Q(c,d)在函數(shù)y=x+2

的圖像上，則(a—cP+0—dp的最小值為.

變式訓(xùn)練3：已知實(shí)數(shù)a,b滿足ln0+l)+a—3〃=O,實(shí)數(shù)c,d滿足2d—c+J5=0,則

(a-c)2+(b-dp的最小值為—

變式訓(xùn)練4：設(shè)P,。分別為圓f+(y—6)2=2和橢圓小y2=［上的點(diǎn)，則P,。兩點(diǎn)間

的最大距離是()

A.572B.J46+-\/2C.7+5/2D.6V2

相交弦長(zhǎng)度問題

【典例分析】圓(x—4)2+(y—1)2=5內(nèi)一點(diǎn)P(3,0),則過P點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)為

最短弦所在直線方程為.

變式訓(xùn)練1：直線y=kx+3與圓(x—3『+(y—2)2=4相交與卜1”兩點(diǎn)，若|MN|N2百，

則k的取值范圍是.

變式訓(xùn)練2：(2018全國(guó)卷3文.8理6)直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于4,B兩

點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x—2)?+y2=2上，則尸面積的取值范圍是()

A.P，6]B.4司

C[&，3&][)[2夜，3立]

變式訓(xùn)練3：已知直線x+y+機(jī)=0與圓X?+丁=4交于不同的兩點(diǎn)A、B,0是坐標(biāo)原點(diǎn),

若|豆+西N|同，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

變式訓(xùn)練4：已知I1：加工一丁一3m=0與12:x+my—3〃2—1=0相父于點(diǎn)P,線段AB是圓

c：(x+iy+(y+l)2=4的一條動(dòng)弦，且［4q=2有，則|麗+畫的最小值是

相切切線問題

【典例分析】在平面直角坐標(biāo)系中，A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓

C與直線2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為()

43

-n-

5B.4JI

5

n

D.4-

變式訓(xùn)練1：已知P(T,2)及圓(x—3y+(y—4)一=4,一光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)x軸上

一點(diǎn)Q反射后與圓相切于點(diǎn)T,則|PQ+|Q1的值為.

變式訓(xùn)練2：由點(diǎn)P向圓0：X?+丁=2引兩條切線，切點(diǎn)為A、B,貝IJ麗?麗的最小值是

變式訓(xùn)練3：設(shè)m,neR,若直線(m+l)x+(n+l)y—2=0與圓(x—葉+(y—=1相切,

則m+n的取值范圍是()

A.[1-73,1+73]

B.(—8,1—,\^3]U[1+^3,+°°)

C.[2-272,2+272]

D.(-8,2-2^2]U[2+272.+<=°)

變式訓(xùn)練4：已知點(diǎn)P(0,2)為圓C：(x—a)?+(y-a)2=2"外一點(diǎn)，若圓C上存在一

點(diǎn)Q,使得NCPQ=60°,則正數(shù)。的取值范圍是.

變式5：已知圓C：x2+y2=],點(diǎn)p為直線x+2y-4=0上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切

線PA,PB,A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn).

課后作業(yè)

1.直線雙+如一4=0被圓X?+y2+4x-2y+1=0截得的弦長(zhǎng)為4,則a?+〃的最小

值是（）

A.3B.V3C.2D.V2

2.由直線3x-4y+5=0上的一動(dòng)點(diǎn)P向圓X?+）?-4x+2y+4=0引切線，則切線長(zhǎng)的最小

值是.

3.過點(diǎn)尸（一3,0）做直線（。+3）%—（。+匕））一3。-48=0（a,b不同時(shí)為零）的垂線,

垂足為M,已知點(diǎn)N(2,3),則|MN|的取值范圍是.

meR,動(dòng)直線4：x+加y-1=0過定點(diǎn)A,動(dòng)直線4："ix-y-2加+3=0過定點(diǎn)8,

若4與交于點(diǎn)P(異于點(diǎn)A5),則儼4+|P且的取值范圍__________.

5.已知點(diǎn)A(2,0)B(l,3)是圓*2+丁=4上的定點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與該圓交于另一點(diǎn)C

當(dāng)AABC面積最大時(shí)，直線8C的方程是.

6.已知圓M:。-/)2+(?-%)2=8，點(diǎn)7(-2,4),從坐標(biāo)原點(diǎn)。向圓M作兩條切線

OP,OQ,切點(diǎn)分別為P,Q,若切線OP,OQ的斜率分別為4,右溫網(wǎng)=-1,則17Ml的取

值范圍為u

本專題例題/習(xí)題錯(cuò)題題序:

高考總復(fù)習(xí)之解析幾何專題

一一圓錐曲線定義應(yīng)用及軌跡方程

試題分析:

年度高考試題主要考點(diǎn)考察內(nèi)容

2010浙江理.8直線與雙曲線綜合雙曲線性質(zhì)，解三角形

2010浙江文.10雙曲線的性質(zhì)解三角形，漸近線方程

2011浙江理.17橢圓性質(zhì)，向量共線向量共線坐標(biāo)表示，焦半

徑公式

2011浙江理.8文9圓錐曲線綜合圓的性質(zhì)，漸近線方程

2012浙江文17理.16直線與曲線距離問題綜合點(diǎn)到直線距離，切線問題

2013浙江理.15直線與拋物線綜合,點(diǎn)差法中點(diǎn)坐標(biāo)公式，距離公式

2016浙江文.13雙曲線的定義與性質(zhì)解三角形，雙曲線性質(zhì)

2018浙江17橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，向量坐標(biāo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，向量坐標(biāo)，

二次函數(shù)求最值

2019浙江15直線與橢圓綜合中位線定理，解三角形

知識(shí)點(diǎn)：

1.平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)大，巴的距離之和為常數(shù)2M2。＞片與）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓

2.平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)片，入的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a（2a＜片乃）的點(diǎn)的軌跡叫做雙

曲線（定義式中去掉絕對(duì)值，則僅為雙曲線的一支）

3.平面內(nèi)，到一定點(diǎn)F和一直線/（F不屬于/）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。

求軌跡的常用方法

（1）直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是一些幾何量（如距離與角）的等量關(guān)系，或幾何條件

簡(jiǎn)單明了，易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x、y的等式就得到曲線的軌跡方程.

（2）待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程一一先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程,

再由條件確定其待定系數(shù).

(3)定義法：其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡(如直線或圓錐曲線)的定義，則可根據(jù)定義采

用設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)M是隨著另一動(dòng)點(diǎn)P(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng).如果相關(guān)

點(diǎn)P所滿足某一曲線方程，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再把相關(guān)點(diǎn)代入曲線

方程，就把相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法或

代入法.

求軌跡方程

1.定義法

【典例分析】如圖所示，已知C為圓(x+J2F+y2=4的圓心，點(diǎn)A(鏡，0),P是圓上

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線CP上，且前?扉=0,扉=2前.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方

程.

變式訓(xùn)練1：A4BC的頂點(diǎn)A(—5,0),B(5,0),A鉆C的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂

點(diǎn)C的軌跡方程是()

92

,X-V.

A.----z-=1BE*

916169

22D.J

C.土-匕=l(x>3)1(%>4)

916''916

變式訓(xùn)練2：已知點(diǎn)A(—1,0),B(l,0),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C滿足N4WB=2。，而|?|前

cos2（9=3,則曲線C的方程為.

2.直接法

【典例分析】（2013?陜西）己知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（4,0）,且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8,則動(dòng)

圓圓心的軌跡C的方程為.

變式訓(xùn)練1：設(shè)F（l,0）,M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且諭=2沛，PfllPF,當(dāng)點(diǎn)P在y軸

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程.

變式訓(xùn)練2：有一動(dòng)圓P恒過定點(diǎn)凡（。,0］。>0）且與y軸相交于點(diǎn)A、B,若A鋁尤為正三

角形，則點(diǎn)P的軌跡為（）

A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線

3.待定系數(shù)法

【典例分析】已知曲線E:ax2+"2=1（">0,人>0）,經(jīng)過點(diǎn)M（乎，0）的直線1與曲線

E交于點(diǎn)A,B,且誦=—2蕊.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2）,則曲線E的方程為.

變式訓(xùn)練1:（2013全國(guó)卷2理11）設(shè)拋物線/=2Px（p>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上，\MF\

=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0,2）,則C的方程為（）

（A）;/=4x或y2=8x（B）y?=2x或

(C)y2=4x或V=i6x(D)y2-2x^Ly2=16x

4.相關(guān)點(diǎn)法

【典例分析】已知點(diǎn)P是圓0：x2+y2=9上的任意一點(diǎn)，過P作PD垂直x軸于D,動(dòng)點(diǎn)

9

Q滿足旃=可而，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為.

變式訓(xùn)練1：設(shè)直線x-y=4a與拋物線y?=4ox交于兩點(diǎn)A,B（。為定值），C為拋物線

上任意一點(diǎn)，求A4BC的重心的軌跡方程.

變式訓(xùn)練2：已知拋物線C：y?=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線乙，乙分別交C于

A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).若APQ尸的面積是A4BE的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)

的軌跡方程.

定義的應(yīng)用

X2y2

【典例分析】【2008浙江12】已知耳、工2為橢圓石+\-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過百的直

線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若入A+入8=12,則

變式訓(xùn)練1：過雙曲線弓?-1-=1左焦點(diǎn)片的直線交雙曲線的左支于M,N兩點(diǎn)，工為其

右焦點(diǎn)，則M閭+|叫|-|同的值為

變式訓(xùn)練2：已知F是雙曲線=1左焦點(diǎn)，點(diǎn)A(l,4),點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，

412

則|產(chǎn)月+|/刑的最小值為..

變式訓(xùn)練3：【2016浙江13】設(shè)雙曲線x2—4=1上的左右焦點(diǎn)分別為《、工，若P點(diǎn)

在雙曲線上，且MP6為銳角三角形，則忸制+|尸閭的取值范圍為_

變式訓(xùn)練4：設(shè)橢圓。：會(huì)+七=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥，點(diǎn)M是橢圓上的任意一點(diǎn),

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),求制+|”用的取值范圍為.

變式訓(xùn)練5：已知直線4:4x—3y+6=0和直線L：x=-l,拋物線y?=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到

直線L和直線4的距離之和的最小值是一

角平分線、中位線相關(guān)問題

【典例分析】已知《、心為雙曲線。：5-^=1的左右焦點(diǎn)，A為C上的一點(diǎn)，點(diǎn)M坐

標(biāo)（2,0）,AM為ZF/K的角平分線，則|A閭長(zhǎng)為

22

變式訓(xùn)練1：已知耳、B為橢圓房+；］=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（2,3）在橢圓上，則NF；A居

的角平分線所在的直線/的方程為.

x2,

變式訓(xùn)練2：已知P是橢圓C：彳+：/=1上除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接尸片，Pg,

設(shè)/大2鳥的角平分線PM交橢圓C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（w,O）,求利的取值范圍.

【典例分析】從雙曲線55一二=1（。＞0,。＞0）的左焦點(diǎn)為大，引圓x2+y2=。2的

Q_b-

切線/,切點(diǎn)為T,且/交雙曲線的右支于點(diǎn)P,點(diǎn)V是耳尸的中點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

\OT\-\OM\-.

22

變式訓(xùn)練1：（2014遼寧15）已知橢圓C:二+.=1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合,若M關(guān)

94

于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A、B,線段MN的中點(diǎn)在C上，則同曰+怛川=一

變式訓(xùn)練2：（2019浙江.15）已知橢圓二+匕=1左焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸在橢圓上且在％軸

95

的上方，若線段尸F(xiàn)的中點(diǎn)在以原點(diǎn)。為圓心，|0月為半徑的圓上，則直線尸F(xiàn)的斜率是

變式訓(xùn)練3：已知拋物線C:：/=4x,尸是拋物線C的焦點(diǎn)，例是拋物線C上一點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，P(0,2),NQPM的平分線過FM的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為_________「

課后習(xí)題

1.已知圓G：(x+3)2+y2=4,圓C2:(x-3)2+/=9,動(dòng)圓同時(shí)與圓G及圓C2相外

切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.

2.已知圓M:卜+石丫+/=36,定點(diǎn)N(、后,0),點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上,

點(diǎn)G在MP上，且滿足訴=2而，血?詼=(),則點(diǎn)G的軌跡方程為

3.(2013?遼寧)已知F為雙曲線C：--—±=1的左焦點(diǎn)，P,Q為C上的點(diǎn).若PQ的長(zhǎng)等

916

于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則AP。產(chǎn)的周長(zhǎng)為

4.設(shè)片、尸2為橢圓卷+器=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),

則|尸朋)+歸用的最大值為-

5.已知橢圓器+卷二=1的左右焦點(diǎn)分別為《、尸2,點(diǎn)P在橢圓上，若P、片、鼻是一個(gè)

直角三角形的頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為().

9.9779

A.-B.3C.----D.一

574

6xv.已知P是橢圓1?+七=1上的一點(diǎn)，大、乃是橢圓的左右焦點(diǎn)，若“片鳥的內(nèi)切圓半

].--->

徑為3，則PF.?的值為.

PF2

7.(2015全國(guó)卷1文.16)已知尸是雙曲線C：V-二=1的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn),

8

A倒,6⑹，當(dāng)A4PF周長(zhǎng)最小B寸，該三角形的面積為

8.已知A是拋物線y2=」x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上的射影是點(diǎn)C,B是圓

￡>:(x-3)2+(y-2)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則|A5+|AC的最小值是,

xy

9.在平面直角坐標(biāo)系wy中，已知橢圓C：7+6=1（。>8>0）的半焦距為。，大，工分

別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作的外角平分線/的垂線，

2^FXPF2

交/于點(diǎn)。，若=貝!]/+。2-68-8。的取值范圍是,

本專題例題/習(xí)題錯(cuò)題題序:

高考總復(fù)習(xí)之解析幾何專題

面積或線段最值問題

試題分析:

年度高考試題主要考點(diǎn)考察內(nèi)容

2011浙江文.22圓錐曲線綜合直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用，以

及抽象函數(shù)的應(yīng)用

2012浙江文.22直線與拋物線問題綜點(diǎn)差法的應(yīng)用，以及復(fù)合函數(shù)

合的化簡(jiǎn)與求導(dǎo)來(lái)求最值

2012浙江理.21直線與橢圓問題綜合兩點(diǎn)之間距離，以及復(fù)合函數(shù)

的化簡(jiǎn)與求導(dǎo)來(lái)求最值

2013浙江文.22直線與拋物線問題綜弦長(zhǎng)公式，以及復(fù)合函數(shù)換元

化簡(jiǎn)求最值

2013浙江理.21直線與橢圓、圓問題弦長(zhǎng)公式，以及復(fù)合函數(shù)換元

綜合化簡(jiǎn)求最值

2014浙江文.22直線與拋物線問題綜向量坐標(biāo)運(yùn)算，以及復(fù)合函數(shù)

合的化簡(jiǎn)與求導(dǎo)來(lái)求最值

2014浙江理.21切線問題，直線與橢弦長(zhǎng)公式，換元基本不等式的

圓綜合應(yīng)用

2015浙江文.19切線問題，圓錐曲線切線問題，中點(diǎn)坐標(biāo)公式

綜合

2015浙江理.19直線與橢圓問題綜合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及復(fù)合函數(shù)

換元化簡(jiǎn)求最值

2016浙江理.19圓錐曲線綜合圓的相關(guān)性質(zhì)，以及對(duì)立問題

的考察

2017浙江21直線與拋物線問題綜直線斜率，弦長(zhǎng)公式復(fù)合函數(shù)

合的化簡(jiǎn)與求導(dǎo)來(lái)求最值

常用的技巧：

1.直譯：依照題意順勢(shì)做下去.

2.設(shè)直線、聯(lián)立方程、韋達(dá)定理求解.

3.設(shè)坐標(biāo)點(diǎn)，找相關(guān)點(diǎn)關(guān)系求解.

常用結(jié)論：

1.橢圓中左右頂點(diǎn)與曲線上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)連線的斜率滿足勺=一1

a

22

2.已知耳、工為橢圓C：=+二=1（?！?〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且

ab

90

F}PF2=0t則APE工的面積二從.tan5

22

3.已知耳、工為雙曲線C：=—4=l（a>0,。>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且

a/?"

90

ZFtPF2=2則"它的面積=〃/tan-

4.橢圓或者雙曲線中通徑均2為b'2L,拋物線中通徑為2P.

a

2

5.過(〃2,0),〃2>0的直線與y=2px交于AB,YA-YB=-2mp.(與斜率無(wú)關(guān))

6.承上當(dāng)M為焦點(diǎn)時(shí)，匕?匕=—p2.

117

7.拋物線中：—+—

AFBFp

8.設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為AB,則以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

9.圓錐曲線焦點(diǎn)弦A、B與另一頂點(diǎn)D連線交相應(yīng)準(zhǔn)線于M、N,則MN與相應(yīng)焦點(diǎn)連線垂直.

設(shè)直線、聯(lián)立方程、韋達(dá)定理求解最值問題

L與中點(diǎn)相關(guān)面積問題

x2y2

【典例分析】(2013全國(guó)卷2理.20)過橢圓M：L萬(wàn)=1(?！地埃?)右焦點(diǎn)的直線

x+y-j3=O交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn)，且0P的斜率為;.

(1)求M的方程;

(2)C,D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CDJ_AB,求四邊形面積的最大值.

變式訓(xùn)練1：（2019浙南名校聯(lián)盟21）已知點(diǎn)A（x。,%）在拋物線V=4x上，P,Q是直線

y=x+2上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段AP,AQ的中點(diǎn)都在拋物線上.

（1）求為的取值范圍；

（2）若4APQ的面積等于6應(yīng)，求%的值.

變式訓(xùn)練2：（2014浙江文.22）（本小題滿分14分）已知A鉆P的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線C：

f=4y上，/為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)"為AB的中點(diǎn)，PF=3FM；

（1）若|PF|=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)求A4BP面積的最大值.

線段長(zhǎng)度問題

3

【典例分析】(2019全國(guó)卷1理.19)(12分)已知拋物線C：y2=3%的焦點(diǎn)為F,斜率巧

的直線/與C的交點(diǎn)為A、B,與X軸的交點(diǎn)為P.

(1)若|A月+忸月=4,求/的方程；

(2)若AP=3PB,求|A4.

變式訓(xùn)練1：(2017?杭州模擬)已知拋物線C：幺=2〃乂〃>0),直線］:y=x+l與拋物

線C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA,OB的斜率分別為k1,k2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且

(1)求p的值；

(2)如圖，己知點(diǎn)M(Xo，y())為圓：X?+/一丁=0上異于o點(diǎn)的

動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線m交拋物線C于E,F兩點(diǎn).若M為線段EF的中點(diǎn)，求但耳的最大

值.

變式訓(xùn)練2：(2013浙江文.22)已知拋物線C的頂點(diǎn)為0(0,0),焦點(diǎn)F(0,1)

(1)求拋物線C的方程：

(2)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn).若直線AO、B0分別交直線/:y=x-2于

M、N兩點(diǎn)，求的最小值.

課后練習(xí)

1.（2015浙江理.19）（本題滿分15分）

v.21

已知橢圓萬(wàn)+V=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線y="zx+萬(wàn)對(duì)稱.

（1）求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）求A4OB面積的最大值（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

iiQ9

2.（2017浙江.21）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A（一；,；）3（級(jí)）

2424

拋物線上的點(diǎn)P（x,y）（-；<x<|）.過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.

（第21題圖）

（1）求直線AP斜率的取值范圍；

（2）求|「41|尸。|的最大值.

高考總復(fù)習(xí)之解析幾何專題

面積或線段最值問題

試題分析:

年度高考試題主要考點(diǎn)考察內(nèi)容

2010浙江文.22直線與拋物線綜合重心公式，點(diǎn)到直線距離

應(yīng)用

2010浙江理.21直線與橢圓問題綜合重心坐標(biāo)公式，直線與橢

圓位置關(guān)系

2011浙江理.21圓錐曲線問題綜合切線問題，根與系數(shù)關(guān)系

2016浙江文.19直線與拋物線問題綜合多點(diǎn)共線問題如何處理

2018浙江21圓錐曲線問題綜合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，復(fù)合函數(shù)

換元求最值

2019浙江21直線與拋物線問題綜合重心應(yīng)用，根與系數(shù)關(guān)系，

弦長(zhǎng)公式、基本不等式

常用的技巧：

1.直譯：依照題意順勢(shì)做下去.

2.設(shè)直線、聯(lián)立方程、韋達(dá)定理求解.

3.設(shè)坐標(biāo)點(diǎn)，找相關(guān)點(diǎn)關(guān)系求解.

常用結(jié)論：

L橢圓中左右頂點(diǎn)與曲線上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)連線的斜率滿足k、.h=-"

a-

22

2.己知耳、乃為桶圓C：5?+方=1（。＞。＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且

e

92

F'PFi，則"耳F2的面積=/7-tan-

22

xy

3.已知片、B為雙曲線C：=1（。＞0,。＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且

/一爐

00

/F】PF?=9,則F2的面積=從/tan2

2b2

4.橢圓或者雙曲線中通徑均為二，拋物線中通徑為2〃.

a

2

5.過（m。）加＞0的直線與y=2px交于AB,YA*YB=-2mp,（與斜率無(wú)關(guān)）

2

6.承上當(dāng)M為焦點(diǎn)時(shí)，YA-YB--p.

]12

7.拋物線中：—+—

AFBFp

8.設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為AB,則以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

9.圓錐曲線焦點(diǎn)弦A、B與另一頂點(diǎn)D連線交相應(yīng)準(zhǔn)線于M、N,則MN與相應(yīng)焦點(diǎn)連線垂直.

設(shè)坐標(biāo)點(diǎn)，找相關(guān)點(diǎn)關(guān)系求解

切線問題

【典例分析】（2007江蘇鎮(zhèn)江二模）過y軸正方向上一點(diǎn)C（O,c）作一直線與拋物線y=x?

交于A,B兩點(diǎn)，一條垂直于x軸的直線分別與線段AB和直線/：丫=-。交于巳、.

（1）若況?無(wú)=2求c的值

（2）若P為線段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線之切線.

（3）試問（2）的逆命題是否成立？

變式訓(xùn)練1：（2015東北育才五模）已知拋物線C：y?=2pMp>0）的焦點(diǎn)為F,A為C上

異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線/交C于另一點(diǎn)B,交x軸正半軸于點(diǎn)D,且有FA=FD,

當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，NADF為正三角形

（1）求C的方程

（2）若直線且4和C只有一個(gè)公共點(diǎn)E

①證明直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

②AABE的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，說(shuō)明理由

變式訓(xùn)練2：（2011浙江理.21）（本題滿分15分）已知拋物線G：f=y,圓C?：

/+（y—4/=1的圓心為點(diǎn)M.

（1）求點(diǎn)M到拋物線C,的準(zhǔn)線的距離;

（2）已知點(diǎn)P是拋物線6上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓G的兩條切線，交拋物線儲(chǔ)于

A,B兩點(diǎn)，若過M,P兩點(diǎn)的直線/垂足于AB,求直線/的方程.

重心問題

【典例分析】【浙江省杭州市2018屆高三第二次高考科目檢測(cè)】如圖，過拋物線加：y=V

上一點(diǎn)A（點(diǎn)A不與原點(diǎn)0重合）作拋物線M的切線AB交>軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C是拋物線M

上異于點(diǎn)A的點(diǎn)，設(shè)G為AABC的重心（三條中線的交點(diǎn)），直線CG交y軸于點(diǎn)D.

（1）設(shè)4（%0芯卜0*°），求直線A3的方程;

（2）求^\—O~B的\值.

變式訓(xùn)練1：（騰遠(yuǎn)2018年（浙江卷）紅卷）如圖，直線/：y=丘+機(jī)與拋物線￡：X2=4y

相交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線E的焦點(diǎn)，若拋物線E上存在點(diǎn)C,使點(diǎn)F恰為AA5c的重

心.

(1)求加的取值范圍；

(2)求AOLB面積的最大值.

變式訓(xùn)練2：(2010浙江文.22)(本題滿分15分)已知m是非零實(shí)數(shù)，拋物線C：

2

y2=2/?M〃>0)的焦點(diǎn)F在直線/:*-，〃^一胃-=0上.

(1)若機(jī)=2,求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線1與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，過A,B分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂直，垂足為4,4，

AAAF，ABqE的重心分別為G,H.求證.：對(duì)任意非零實(shí)數(shù)m,拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的

交點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓外.

課后作業(yè)

1.如圖，己知直線PA,PB與拋物線X?=4y分別相切于點(diǎn)A、B.

(1)若點(diǎn)P在直線y=-l上，求證：直線AB過定點(diǎn)

(2)若點(diǎn)P是半橢圓卷+5=1。<0)上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的取值范圍.

2.(2020七彩聯(lián)盟21)過拋物線X?=2p)(〃>0)外一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為

M,N,F為拋物線的焦點(diǎn)，證明：

(1)|PF|2=際卜|阿；

(2)ZPMF=ZFPN.

，九2

3.（2010浙江理.21）（本題滿分15分）已知陽(yáng)＞1,直線=O,橢圓

C:二+尸=1,片，鳥分別為橢圓C的左、.右焦點(diǎn).

（2）當(dāng)直線/過右焦點(diǎn)鳥時(shí)，求直線/的方程;

（2）設(shè)直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，AA6鳥,A4耳鳥的重心分別為G,".若原點(diǎn)。在

以線段G”為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)相的取值范圍.

4.（2019浙江.21）如圖，已知點(diǎn)F（1,O）為拋物線點(diǎn)/為焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸

的直線交拋物線于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得A45c的重心G在x軸上，直線AC

交x軸于點(diǎn)。，且。在點(diǎn)尸右側(cè).記MFG,ACQG的面積為S,,S2.

（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；

（2）求」的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo).

S2

高考總復(fù)習(xí)之解析幾何專題

——面積或線段最值問題

試題分析:

年度高考試題主要考點(diǎn)考察內(nèi)容

2011浙江文.22圓錐曲線綜合直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用，以

及抽象函數(shù)的應(yīng)用

2012浙江文.22直線與拋物線問題綜點(diǎn)差法的應(yīng)用，以及復(fù)合函數(shù)

合的化簡(jiǎn)與求導(dǎo)來(lái)求最值

2012浙江理.21直線與橢圓問題綜合兩點(diǎn)之間距離，以及復(fù)合函數(shù)

的化簡(jiǎn)與求導(dǎo)來(lái)求最值

2013浙江文.22直線與拋物線問題綜弦長(zhǎng)公式，以及復(fù)合函數(shù)換元

化簡(jiǎn)求最值

2013浙江理.21直線與橢圓、圓問題弦長(zhǎng)公式，以及復(fù)合函數(shù)換元

綜合化簡(jiǎn)求最值

2014浙江文.22直線與拋物線問題綜向量坐標(biāo)運(yùn)算，以及復(fù)合函數(shù)

合的化簡(jiǎn)與求導(dǎo)來(lái)求最值

2014浙江理.21切線問題，直線與橢弦長(zhǎng)公式，換元基本不等式的

圓綜合應(yīng)用

2015浙江文.19切線問題，圓錐曲線切線問題，中點(diǎn)坐標(biāo)公式

綜合

2015浙江理.19直線與橢圓問題綜合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及復(fù)合函數(shù)

換元化簡(jiǎn)求最值

2016浙江理.19圓錐曲線綜合圓的相關(guān)性質(zhì)，以及對(duì)立問題

的考察

2017浙江21直線與拋物線問題綜直線斜率，弦長(zhǎng)公式復(fù)合函數(shù)

合的化簡(jiǎn)與求導(dǎo)來(lái)求最值

常用的技巧：

1.直譯：依照題意順勢(shì)做下去.

2.設(shè)直線、聯(lián)立方程、韋達(dá)定理求解.

3.設(shè)坐標(biāo)點(diǎn)，找相關(guān)點(diǎn)關(guān)系求解.

常用結(jié)論：

b2

1.橢圓中左右頂點(diǎn)與曲線上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)連線的斜率滿足勺/2=一彳

a~

22

2.已知耳、工為橢圓C：=+斗=1卜>8>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且

ab

90

F}PF2=e,則AP耳B的面積二?tan,

22

3.已知《、居為雙曲線C：三—2=1（。>08>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且

a/r

90

ZF}PF2=仇則的面積=〃/tan-

2b2

4.橢圓或者雙曲線中通徑均為吆-，拋物線中通徑為2P.

a

5.過（〃2,0）〃2>0的直線與y2=2px交于AB,YA-YB=-Imp.（與斜率無(wú)關(guān)）

2

6.承上當(dāng)M為焦點(diǎn)時(shí)，YA-YB=-^.

119

7.拋物線中：—+—

AFBFp

8.設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為AB,則以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

9.圓錐曲線焦點(diǎn)弦A、B與另一頂點(diǎn)D連線交相應(yīng)準(zhǔn)線于M、N,則MN與相應(yīng)焦點(diǎn)連線垂直.

切線相關(guān)問題

【典例分析】（2011全國(guó)卷1理20