2019年甘肅省中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2019年甘肅省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小只有一個正確選項.

1.（3分）（2019?甘肅）下列四個圖案中，是中心對稱圖形的是（）

【考點】R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；64：幾何直觀.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：A.此圖案是中心對稱圖形，符合題意；

B.此圖案不是中心對稱圖形，不合題意；

C.此圖案不是中心對稱圖形，不合題意；

D.此圖案不是中心對稱圖形，不合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180

度后兩部分重合.

2.（3分）（2019?甘肅）在0,2,-3,-［這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）

2

A.0B.2C.-3D.-J-

2

【考點】18：有理數(shù)大小比較.

【專題】511：實數(shù).

【分析】正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值

大的反而小，據(jù)此判斷即可.

【解答】解：根據(jù)實數(shù)比較大小的方法，可得

-3<-1<0<2,

2

所以最小的數(shù)是-3.

故選：C.

【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：

正實數(shù)>0>負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小.

3.（3分）（2019?甘肅）使得式子下口有意義的龍的取值范圍是（)

V4-X

A.x24B.x>4C.xW4D.x<4

【考點】72：二次根式有意義的條件.

【專題】514：二次根式；62：符號意識；66：運算能力.

【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案.

【解答】解:使得式子^^=有意義,則：4-x>0,

V4-x

解得：x<4,

即x的取值范圍是：x<4.

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

4.（3分）（2019?甘肅）計算（-2a）294的結(jié)果是（）

A.-4（z6B.4a6C.-2a6D.-4a8

【考點】47：號的乘方與積的乘方；49：單項式乘單項式.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用積的乘方運算法則化簡，再利用同底數(shù)累的乘法運算法則計算得出答

案.

【解答】解：（-2a）2,<74=4cz2,a4=4o6.

故選：B.

【點評】此題主要考查了積的乘方運算以及同底數(shù)哥的乘法運算，正確掌握相關(guān)運算法

則是解題關(guān)鍵.

5.（3分）（2019?甘肅）如圖，將一塊含有30°的直角三角板的頂點放在直尺的一邊上，若

Nl=48°,那么N2的度數(shù)是（）

A.48°B.78°C.92°D.102°

【考點】JA：平行線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】直接利用己知角的度數(shù)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：：將一塊含有30°的直角三角板的頂點放在直尺的一邊上，Zl=48°,

；./2=/3=180°-48°-30°=102°.

故選：D.

【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出N3的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

6.（3分）（2019?甘肅）已知點P（加+2,2/77-4）在無軸上，則點尸的坐標(biāo)是（）

A.（4,0）B.（0,4）C.（-4,0）D.（0,-4）

【考點】D1：點的坐標(biāo).

【專題】531：平面直角坐標(biāo)系.

【分析】直接利用關(guān)于x軸上點的坐標(biāo)特點得出機的值，進而得出答案.

【解答】解：；點P（m+2,2m-4）在無軸上，

2m-4=0,

解得:m—2,

.■.771+2=4,

則點尸的坐標(biāo)是：（4,0）.

故選：A.

【點評】此題主要考查了點的坐標(biāo)，正確得出機的值是解題關(guān)鍵.

7.（3分）（2019?甘肅）若一元二次方程2日+后=0的一根為尤=-1,則上的值為（）

A.-1B.0C.1或-1D.2或0

【考點】A3：一元二次方程的解.

【專題】11：計算題；521：一次方程（組）及應(yīng)用.

【分析】把尤=-1代入方程計算即可求出k的值.

【解答】解：把x=-1代入方程得：1+2行后=0,

解得：k=-1,

故選：A.

【點評】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值.

8.（3分）（2019?甘肅）如圖，是。。的直徑，點C、。是圓上兩點，且NAOC=126°,

則NC￡(B=()

A.54°B.64°C.27°D.37°

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系；M5：圓周角定理.

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】由NAOC=126°,可求得N80C的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得NCDB的

度數(shù).

【解答】解：：/AOC=126°,

/.ZBOC=180°-ZAOC=54°,

VZCDB=LZBOC=27°.

2

故選：c.

【點評】此題考查了圓周角定理.注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等,

都等于這條弧所對的圓心角的一半.

9.（3分）（2019?甘肅）甲，乙兩個班參加了學(xué)校組織的2019年“國學(xué)小名士”國學(xué)知識

競賽選拔賽，他們成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下表所示，規(guī)定成績大于等于95分為

優(yōu)異，則下列說法正確的是（）

參加人數(shù)平均數(shù)中位數(shù)方差

甲4594935.3

乙4594954.8

A.甲、乙兩班的平均水平相同

B.甲、乙兩班競賽成績的眾數(shù)相同

C.甲班的成績比乙班的成績穩(wěn)定

D.甲班成績優(yōu)異的人數(shù)比乙班多

【考點】W1：算術(shù)平均數(shù)；W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)；W7：方差.

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用.

【分析】由兩個班的平均數(shù)相同得出選項A正確；由眾數(shù)的定義得出選項8不正確；由

方差的性質(zhì)得出選項C不正確；由兩個班的中位數(shù)得出選項。不正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：A、甲、乙兩班的平均水平相同；正確；

8、甲、乙兩班競賽成績的眾數(shù)相同；不正確；

C、甲班的成績比乙班的成績穩(wěn)定；不正確；

。、甲班成績優(yōu)異的人數(shù)比乙班多；不正確；

故選：A.

【點評】本題考查了平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差；正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

10.（3分）（2019?甘肅）如圖是二次函數(shù)y=af+Zzx+c的圖象，對于下列說法：@ac>0,

@2a+b>0,@4ac<b2,（4）a+b+c<0,⑤當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小，其中正確

的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；67：推理能力；68：模型思想.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：①由圖象可知：a>0,c<0,

.,.ac<0,故①錯誤；

②由于對稱軸可知：—1,

2a

/.2a+b>0,故②正確；

③由于拋物線與x軸有兩個交點，

/\—b~-4ac>0,故③正確；

④由圖象可知：x=l時，y—a+b+c<0,

故④正確；

⑤當(dāng)尤>_L時，y隨著x的增大而增大，故⑤錯誤；

2a

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于

基礎(chǔ)題型.

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.

11.（3分）（2019?甘肅）分解因式：/y-4xy=xy（x+2）（x-2）.

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用.

【分析】先提取公因式孫，再利用平方差公式對因式4進行分解.

【解答】解：舟-4孫,

=xy（/-4）,

=xy（尤+2）（x-2）.

【點評】本題是考查學(xué)生對分解因式的掌握情況.因式分解有兩步，第一步提取公因式

孫，第二步再利用平方差公式對因式7-4進行分解，得到結(jié)果孫（x+2）（尤-2）,在作

答試題時，許多學(xué)生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式.

12.（3分）（2019?甘肅）不等式組的最小整數(shù)解是o.

[2x>x-l

【考點】CC：一元一次不等式組的整數(shù)解.

【專題】11：計算題；524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】求出不等式組的解集，確定出最小整數(shù)解即可.

【解答】解：不等式組整理得：，

[x>-l

???不等式組的解集為-1<XW2,

則最小的整數(shù)解為0,

故答案為：0

【點評】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

13.（3分）（2019?甘肅）分式方程工=工的解為_L_.

x+1x+22

【考點】B3：解分式方程.

【專題】11：計算題；522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：3x+6=5x+5,

解得：x=—,

2

經(jīng)檢驗X=L是分式方程的解.

2

故答案為：1.

2

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

14.（3分）（2019?甘肅）在△ABC中，ZC=90°,tanA=1,則cosB=1.

3—2―

【考點】KQ：勾股定理；T1：銳角三角函數(shù)的定義；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】11：計算題.

【分析】法一：本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，也可以利用互為余角的三角函

數(shù)關(guān)系式求解；

法二：利用正切求出/A=30°,ZB=60°,再求cosB的值.

【解答】解：法一：

利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解.

;在RtA4BC中，ZC=90°,tanA=2/l,

3

設(shè)a=b=3x,貝Uc=2j^x,

cosB=—.

c2

法二：

利用特殊角的三角函數(shù)值求解.

VtanA=2/l

3

AZA=30°,

VZC=90°

???N5=60°,

/.cosB=cos60°=—.

2

故答案為：1.

2

【點評】此題考查的知識點是銳角三角函數(shù)的定義：在直角三角形中，一個銳角的余弦

等于這個角的鄰邊與斜邊的比值，一個銳角的正切等于這個角的對邊與鄰邊的比值；也

可利用特殊角的三角函數(shù)值求解.

15.（3分）（2019?甘肅）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，則

該幾何體的左視圖的面積為3日加2

主視圖左視圖

俯視圖

【考點】U2：簡單組合體的三視圖；U3：由三視圖判斷幾何體.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象

幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀.

【解答】解：該幾何體是一個三棱柱，底面等邊三角形邊長為2cm,高為心利，三棱柱

的高為3,所以，其左視圖的面積為3X丁5=3-5（。后），

故答案為3小層.

【點評】本題考查了三視圖，三視圖是中考經(jīng)?？疾榈闹R內(nèi)容，難度不大，但要求對

三視圖畫法規(guī)則要熟練掌握，對常見幾何體的三視圖要熟悉.

16.（3分）（2019?甘肅）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8C=2,點。是A8的

中點，以A、B為圓心，AD.長為半徑畫弧，分別交AC、BC于點E、F,則圖中陰

影部分的面積為2-工.

2—

【考點】KW：等腰直角三角形；MO：扇形面積的計算.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計算.

【分析】根據(jù)S陰=-2?s扇形ADE,計算即可.

【解答】解：在RtZXABC中，VZACB=90°,CA=CB=2,

:.AB=2近,ZA=ZB=45°,

?。是A3的中點，

：.AD=DB=yf2>

145?兀?（A萬產(chǎn)7T

'S陰=SAABC-2.S扇形ADE=LX2X2-2X_--------=2--,

23602

故答案為：2-工.

2

【點評】本題考查扇形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分

割法求面積，屬于中考常考題型.

17.（3分）（2019?甘肅）如圖，在矩形A8CD中，AB=1O,AD=6,E為BCk一點,把

△CDE沿DE折疊，使點C落在AB邊上的F處,則CE的長為_也__.

【考點】LB：矩形的性質(zhì)；PB：翻折變換（折疊問題）.

【分析】設(shè)CE=x,則BE=6-x由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=W,所

以AF=8,BF=AB-AF^IQ-8=2,在RtzXBEF中，B￡2+BF2=EF2,即（6-x）2+22

=/,解得x=W.

3

【解答】解：設(shè)CE=x,則BE=6-x由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x,DF^CD^AB=1Q,

在RtZkZM尸中，AD=6,DF=1O,

；"=8,

：.BF^AB-AF^IQ-8=2,

在Rt/XBEF中，BEL+BF1=EF2,

即（6-x）2+22=X2,

解得

3

故答案為W.

3

【點評】本題考查了矩形，熟練掌握矩形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

18.（3分）（2019?甘肅）如圖，每一圖中有若干個大小不同的菱形，第1幅圖中有1個菱

形，第2幅圖中有3個菱形，第3幅圖中有5個菱形，如果第〃幅圖中有2019個菱形，

則”=1010.

?0<380???咨??

第1幅第1幅第3幅第乃幅

【考點】38：規(guī)律型：圖形的變化類.

【專題】2A：規(guī)律型.

【分析】根據(jù)題意分析可得：第1幅圖中有1個，第2幅圖中有2X2-1=3個，第3幅

圖中有2X3-1=5個，…，可以發(fā)現(xiàn)，每個圖形都比前一個圖形多2個，繼而即可得出

答案.

【解答】解：根據(jù)題意分析可得：第1幅圖中有1個.

第2幅圖中有2X2-1=3個.

第3幅圖中有2X3-1=5個.

第4幅圖中有2X4-1=7個.

可以發(fā)現(xiàn)，每個圖形都比前一個圖形多2個.

故第"幅圖中共有個.

當(dāng)圖中有2019個菱形時，

2〃-1=2019,

^=1010,

故答案為：1010.

【點評】本題考查規(guī)律型中的圖形變化問題，難度適中，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸

納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

三、解答題（一）本大共5小題，共26分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程成演算步

驟.

19.（4分）（2019?甘肅）計算：（-1■）△+（2019-Tt）°-叵an60°-|-3|.

23

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)幕；6F：負整數(shù)指數(shù)幕；T5：特殊角的三角函數(shù)

值.

【專題】11：計算題；511：實數(shù).

【分析】本題涉及零指數(shù)哥、負整數(shù)指數(shù)塞、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值等4個考點.在

計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果.

【解答】解：原式=4+1-返x?-3，

3

=1.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

20.（4分）（2019?甘肅）如圖，在△ABC中，點P是AC上一點，連接BP,求作一點

使得點〃到A8和AC兩邊的距離相等，并且到點8和點P的距離相等.（不寫作法，保

留作圖痕跡）

A

上

BC

【考點】KF：角平分線的性質(zhì)；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；N3：作圖一復(fù)雜作圖.

【專題】13：作圖題.

【分析】根據(jù)角平分線的作法、線段垂直平分線的作法作圖即可.

【解答】解：如圖，點M即為所求，

【點評】本題考查的是復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握基本

尺規(guī)作圖的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

21.（6分）（2019?甘肅）中國古代入民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問題，

其中《孫子算經(jīng)》中有個問題，原文：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問

人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車，若每2

人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？

【考點】8A：一元一次方程的應(yīng)用.

【專題】12：應(yīng)用題；521：一次方程（組）及應(yīng)用.

【分析】設(shè)共有x人，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果.

【解答】解：設(shè)共有x人，

根據(jù)題意得：三+2=三2,

32

去分母得：2x+12=3x-27,

解得：尤=39,

.FT=15,

2

則共有39人，15輛車.

【點評】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

22.（6分）（2019?甘肅）為了保證人們上下樓的安全，樓梯踏步的寬度和高度都要加以限

制.中小學(xué)樓梯寬度的范圍是?3OO7WM1含（300：”?）,高度的范圍是120mm~150mm

（含150功加）.如圖是某中學(xué)的樓梯扶手的截面示意圖，測量結(jié)果如下：AB,CD分別垂

直平分踏步ERGH,各踏步互相平行，AB=CD,AC^9QQmm,/AC￡>=65°,試問該

中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度是否符合規(guī)定.（結(jié)果精確到1版"，參考數(shù)據(jù)：sin65°心0.906,

cos65°g0.423）

【考點】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得8M和。M的

長，然后計算出該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度，再與規(guī)定的比較大小，即可解答本題.

【解答】解：連接BD,作DM1AB于點M,

-：AB=CD,AB,CO分別垂直平分踏步ERGH,

：.AB//CD,AB=CD,

二四邊形ABCD是平行四邊形，

：.ZC=ZABD,AC=BD,

VZC=65°,AC=900,

AZABD=65°,80=900,

：.cos650=900X0.423心381,DM=BD'sin65°=900X0.906弋815,

V3814-3=127,120<127<150,

該中學(xué)樓梯踏步的高度符合規(guī)定，

V8154-3?272,260<272<300,

該中學(xué)樓梯踏步的寬度符合規(guī)定，

由上可得，該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度都符合規(guī)定.

F

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函

數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

23.(6分)(2019?甘肅)在甲乙兩個不透明的口袋中，分別有大小、材質(zhì)完全相同的小球,

其中甲口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,乙口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字2,3,

4,先從甲袋中任意摸出一個小球，記下數(shù)字為根，再從乙袋中摸出一個小球，記下數(shù)字

為n.

(1)請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有(m,n)可能的結(jié)果；

(2)若"z,〃都是方程/-5x+6=0的解時，則小明獲勝；若"3"都不是方程龍2-5x+6

=0的解時，則小利獲勝，問他們兩人誰獲勝的概率大？

【考點】A8：解一元二次方程-因式分解法；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖可得所有可能的結(jié)果；

(2)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，a都是方程/-5x+6=0的解的結(jié)果

有2個，形,〃都不是方程/-5x+6=0的解的結(jié)果有2個，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：(1)樹狀圖如圖所示：

(2)\'m,w都是方程/-5x+6=0的解，

..m--2,"=3,m=3,〃=2,

由樹狀圖得：共有12個等可能的結(jié)果，w都是方程7-5x+6=0的解的結(jié)果有2個,

m,n都不是方程%2-5尤+6=0的解的結(jié)果有2個,

小明獲勝的概率為2=工，小利獲勝的概率為2=L,

126126

小明、小利獲勝的概率一樣大.

加！224

…個42個4

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法、一元二次方程的解法以及概率公式；畫出樹狀

圖是解題的關(guān)鍵.

四、解答題（二）：本大題共5小題，共40分解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演

算步驟

24.（7分）（2019?甘肅）良好的飲食對學(xué)生的身體、智力發(fā)育和健康起到了極其重要的作

用，葷菜中蛋白質(zhì)、鈣、磷及脂溶性維生素優(yōu)于素食，而素食中不飽和脂肪酸、維生素

和纖維素又優(yōu)于葷食，只有葷食與素食適當(dāng)搭配，才能強化初中生的身體素質(zhì).某校為

了了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，以便食堂為學(xué)生提供合理膳食，對本校七年級、八年級學(xué)

生的體質(zhì)健康狀況進行了調(diào)查，過程如下：

收集數(shù)據(jù)：

從七、八年級兩個年級中各抽取15名學(xué)生，進行了體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）

如下：

七年級：748175767075757981707480916982

八年級：819483778380817081737882807050

整理數(shù)據(jù)：

年級x<6060?8080?9090^x^100

七年級01041

八年級1581

（說明：90分及以上為優(yōu)秀，80?90分（不含90分）為良好，60?80分（不含80分）

為及格，60分以下為不及格）

分析數(shù)據(jù)：

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

七年級76.87575

八年級77.58081

得出結(jié)論：

(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，將表格補充完整；

(2)可以推斷出—工年級學(xué)生的體質(zhì)健康狀況更好一些，并說明理由；

(3)若七年級共有300名學(xué)生，請估計七年級體質(zhì)健康成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).

【考點】V5：用樣本估計總體；V7：頻數(shù)(率)分布表；W1：算術(shù)平均數(shù)；W4：中位

數(shù)；W5：眾數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用.

【分析】(1)由平均數(shù)和眾數(shù)的定義即可得出結(jié)果；

(2)從平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)的角度分析，即可得到哪個年級學(xué)生的體質(zhì)健康情況更

好一些；

(3)由七年級總?cè)藬?shù)乘以優(yōu)秀人數(shù)所占比例，即可得出結(jié)果.

【解答】解：(1)七年級的平均數(shù)為工

15

(74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82)=76.8,

八年級的眾數(shù)為81；

故答案為：76.8；81；

(2)八年級學(xué)生的體質(zhì)健康狀況更好一些；理由如下：

八年級學(xué)生的平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)均高于七年級，說明八年級學(xué)生的體質(zhì)健康情況

更好一些；

故答案為：八；

(3)若七年級共有300名學(xué)生，則七年級體質(zhì)健康成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)=300義」_=20

15

(人).

【點評】本題主要考查了統(tǒng)計表，眾數(shù)，中位數(shù)以及方差的綜合運用，利用統(tǒng)計圖獲取

信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題.求一組

數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時

眾數(shù)就是這多個數(shù)據(jù).

25.(7分)(2019?甘肅)如圖，一次函數(shù)〉=丘+6的圖象與反比例函數(shù)>=皿的圖象相交于

x

A(-1,w)、B(2,-1)兩點，與y軸相交于點C.

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點。與點C關(guān)于x軸對稱，求△A3。的面積；

(3)若M(xi,yi)、N(%2,”)是反比例函數(shù)y=皿上的兩點，當(dāng)2Vo時，比較

x

”與yi的大小關(guān)系.

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決求問題.

(2)根據(jù)對稱性求出點。坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)5D〃x軸，利用三角形的面積公式計算即可.

(3)利用反比例函數(shù)的增減性解決問題即可.

【解答】解：(1)?.?反比例函數(shù)>=皿經(jīng)過點B(2,-1),

x

*.m=-2,

?點A(-1,幾)在丁=二？■上，

x

?"=2,

?'A(-1,2),

把A,B坐標(biāo)代入丫=履+乩貝U有J-k+b=2,

[2k+b=-l

解得(k=T,

lb=l

一次函數(shù)的解析式為y=-x+l,反比例函數(shù)的解析式為y=-2.

(2):直線y=-x+1交y軸于C,

：.C(0,1),

V￡),C關(guān)于x軸對稱，

：.D(0,-1),,:B(2,-1)

無軸，

：.SAABD=^X2X3=3.

2

（3）'.'M（xi,yi）、N（無2,>2）是反比例函數(shù)y=-上上的兩點，且xi<x2<0,

x

【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)

法解決問題，學(xué)會利用函數(shù)的增減性，比較函數(shù)值的大小.

26.（8分）（2019?甘肅）如圖，在正方形A8C。中，點E是BC的中點，連接。E,過點A

作AGLED交?！暧邳cF交C。于點G.

（1）證明：AADG當(dāng)ADCE；

（2）連接8尸，證明：AB=FB.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì).

【專題】553：圖形的全等；556：矩形菱形正方形.

【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到NAOG=NC=90°,AD=

DC,/DAG=NCDE,即可得出△AOG四△OCE；

（2）延長。E交A8的延長線于“，根據(jù)即可得出8是AH的中點，

進而得到AB=FB.

【解答】解：（1）???四邊形ABCO是正方形，

ZADG=ZC^90°,AD=DC,

X".'AG1.DE,

：.ZDAG+ZADF=90°=ZCDE+ZADF,

：.ZDAG=ZCDE,

.?.△ADG咨ADCE（ASA）；

（2）如圖所示，延長DE交AB的延長線于H,

是BC的中點，

：.BE=CE,

又〈NC=/HBE=90°,NDEC=NHEB,

:.ADCE冬AHBE(ASA),

:.BH=DC=AB,

即8是AH的中點，

又；NAf7f=90°,

.?.Rt/XAFH中，BF=1AH=AB.

2

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角

形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

27.(8分)(2019?甘肅)如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以8C為直徑的。0交A8于

點、D,切線。E交AC于點E.

(1)求證：ZA=ZAD￡；

(2)若AO=8,DE=5,求BC的長.

【考點】M5：圓周角定理；MC：切線的性質(zhì).

【專題】1：常規(guī)題型.

【分析】(1)只要證明/A+/B=90°,ZADE+ZB=90°即可解決問題；

(2)首先證明AC=2DE=10,在RtzXADC中，DC=6,設(shè)BD=x,在RtZiBOC中，

222222

BC^+6,在RtaABC中，BC?=(x+8)-10,可得尤2+6?=(x+8)-10,解方

程即可解決問題.

【解答】(1)證明：連接OD,

E是切線，

：.ZODE=90°,

；?NADE+NBDO=90°,

VZACB=90°,

ZA+ZB=90°,

OD=OB,

：.ZB=ZBDO,

：.ZADE=ZA.

(2)解：連接CD

,?ZADE=ZA,

；?AE=DE,

???5C是OO的直徑，ZACB=90°,

???EC是(DO的切線，

:?ED=EC,

：.AE=EC,

?:DE=5,

：.AC=2DE=10f

在Rt^AOC中，DC=6,

設(shè)瓦)=x,在RtZXBDC中，BC2=X2+62,在Rt^ABC中，BC2=(x+8)2-102,

：.^62=(x+8)2-102,

解得尤=g,

2

???BC=/2+居產(chǎn)號

【點評】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

28.(10分)(2019?甘肅)如圖，己知二次函數(shù)y=，+6x+c的圖象與x軸交于點A(1,0)、

B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若點P為拋物線上的一點，點B為對稱軸上的一點，且以點A、B、P、尸為頂點的

四邊形為平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；

(3)點E是二次函數(shù)第四象限圖象上一點，過點E作x軸的垂線，交直線8c于點

求四邊形面積的最大值及此時點E的坐標(biāo).

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合；32：分類討論；65：數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】(1)用交點式函數(shù)表達式，即可求解；

(2)分當(dāng)為平行四邊形一條邊、對角線，兩種情況，分別求解即可；

(3)禾!|用S四邊形(yo-yE),即可求解.

2

【解答】解：(1)用交點式函數(shù)表達式得：y=(x-1)(尤-3)=/-4x+3；

故二次函數(shù)表達式為：y=7-4x+3；

(2)①當(dāng)A8為平行四邊形一條邊時，如圖1,

則點尸坐標(biāo)為(4,3),

當(dāng)點尸在對稱軸左側(cè)時，即點C的位置，點A、B、P、尸為頂點的四邊形為平行四邊形,

故：點尸(4,3)或(0,3)；

②當(dāng)A8是四邊形的對角線時，如圖2,

設(shè)點P的橫坐標(biāo)為機，點尸的橫坐標(biāo)為2,其中點坐標(biāo)為：空2

2

即：過2=2,解得：m=2,

2

故點P(2,-1)；

故：點P(4,3)或(0,3)或(2,-1)；

S四邊形AEBZ)=—AB(yo-yE)——x+3-x^+4x-3=-/+3%，

2

V-1<0,故四邊形面積有最大值，

當(dāng)天=二，其最大值為2,此時點E(W,-1).

2424

【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要

會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長

度，從而求出線段之間的關(guān)系.

考點卡片

1.有理數(shù)大小比較

(1)有理數(shù)的大小比較

比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序(在數(shù)軸上表示

的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大)；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及。的大小,

利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小.

(2)有理數(shù)大小比較的法則：

①正數(shù)都大于0；

②負數(shù)都小于0；

③正數(shù)大于一切負數(shù)；

④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小.

【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法

1.法則比較：正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù).兩個負數(shù)比較大小，絕對

值大的反而小.

2.數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù).

3.作差比較：

若a-b>0,則a>b；

若a-b<0,則a<b；

若a-b=0,貝！Ia=b.

2.實數(shù)的運算

(1)實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

(2)在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)(特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度.

3.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化

規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

4.暴的乘方與積的乘方

(1)幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

S)n=amnQm,〃是正整數(shù))

注意：①塞的乘方的底數(shù)指的是塞的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是幕的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)哥的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

(2)積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘.

Cabyn=anbn("是正整數(shù))

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結(jié)果.

5.單項式乘單項式

運算性質(zhì)：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式

里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

注意：①在計算時，應(yīng)先進行符號運算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；②注意按順序運

算；③不要丟掉只在一個單項式里含有的字母因式；④此性質(zhì)對于多個單項式相乘仍然成

立.

6.提公因式法與公式法的綜合運用

提公因式法與公式法的綜合運用.

7.零指數(shù)嘉

零指數(shù)累：a°=l(aWO)

由"可推出a°=lQW0)

注意：O°W1.

8.負整數(shù)指數(shù)累

負整數(shù)指數(shù)哥：a'P=lapQWO,p為正整數(shù)）

注意：①°力0；

②計算負整數(shù)指數(shù)嘉時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)嘉的意義計算，避免出現(xiàn)（-3）一2=（-

3）X（-2）的錯誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

9.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如爪（?>0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù).

（3）二次根式具有非負性.4（a>0）是一個非負數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利

用二次根式的非負性解決相關(guān)問題.

【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開

方數(shù)都必須是非負數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零.

10.一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=您（義100%）；（4）工程問題（①工作量

迸價

=人均效率X人數(shù)義時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=

工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度義時間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題;

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下:首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，

直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為了,然后用含尤的式子表示相關(guān)的量，找出

之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹（J、解、答.

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟

1.審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系.

2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x）,根據(jù)實際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知

數(shù).

3.列:根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數(shù)的值.

5.答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

11.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解?又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有兩個解,但不一定有兩個實數(shù)解.這XI,X2是一元二次方程a^+bx+c

=0QW0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

axi2+bxi+c—O（aWO）,ax22+bx2+c—0（aWO）.

12.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因

式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程

的解.

13.解分式方程

(1)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

(2)解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

14.一元一次不等式組的整數(shù)解

(1)利用數(shù)軸確定不等式組的解(整數(shù)解).

解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集,然后再根據(jù)題目中對于解集的

限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解.

(2)已知解集(整數(shù)解)求字母的取值.

一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根

據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案.

15.點的坐標(biāo)

(1)我們把有順序的兩個數(shù)。和b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a,b).

(2)平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念

①建立平面直角坐標(biāo)系的方法：在同一平面內(nèi)畫；兩條有公共原點且垂直的數(shù)軸.

②各部分名稱：水平數(shù)軸叫x軸(橫軸)，豎直數(shù)軸叫y軸(縱軸)，龍軸一般取向右為正方

向，y軸一般取象上為正方向，兩軸交點叫坐標(biāo)系的原點.它既屬于x軸，又屬于y軸.

(3)坐標(biāo)平面的劃分

建立了坐標(biāo)系的平面叫做坐標(biāo)平面，兩軸把此平面分成四部分，分別叫第一象限，第二象限,

第三象限，第四象限.坐標(biāo)軸上的點不屬于任何一個象限.

(4)坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的關(guān)系.

16.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程

組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.

（2）判斷正比例函數(shù)y^kix和反比例函數(shù)y=_2在同一直角坐標(biāo)系中的交點個數(shù)可總結(jié)

為：

①當(dāng)ki與fe同號時，正比例函數(shù)y=kix和反比例函數(shù)>=絲在同一直角坐標(biāo)系中有2個

X

交點；

②當(dāng)ki與42異號時，正比例函數(shù)y=k\x和反比例函數(shù)y=±2在同一直角坐標(biāo)系中有0個

x

交點.

17.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)（aWO）

①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.

當(dāng)a>Q時，拋物線向上開口；當(dāng)a<Q時，拋物線向下開口；⑷還可以決定開口大小，\a\

越大開口就越小.

②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.

當(dāng)a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y

軸右.（簡稱：左同右異）

③.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于（0,c）.

④拋物線與x軸交點個數(shù).

△=啟-4℃>0時，拋物線與x軸有2個交點；△=/-4ac=0時，拋物線與無軸有1個交

點；△=信-4℃<0時，拋物線與無軸沒有交點.

18.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于