2020-2021學(xué)年吉林省長春某中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年吉林省長春實驗中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共12小題）.

1.已知，?是虛數(shù)單位，則等=()

1-1

A.-1B.1C.-/D.i

2.若向量彳=(3,m),三=(2,-1),則實數(shù)加的值為()

32

A.--B.—C.2D.6

22

3.某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，隨機抽取了20名學(xué)生的考試成績（單位：分），成績

的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.頻率分布直方圖中“的值為0.004

B.估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的第60百分位數(shù)為80

C.估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為80

D.估計總體中成績落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為160

4.設(shè)a,0是空間兩個不重合的平面，I,m是空間兩條不重合的直線，下列命題不正確的

是（）

A.若/J_a,Zip,則&〃0B.若/_La,mj,a,則/〃機

C.若LLa,/〃,則D.若Ua,a±p,則/〃0

5.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田.這〃塊地的畝產(chǎn)量（單位：依）

分別是笛，X2,…，X",下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

()

A.X,,X2,???,X”的平均數(shù)B.Xi,X2,-",X"的標(biāo)準(zhǔn)差

C.X|,X2,X"的最大值D.Xl,X2,X"的中位數(shù)

6.如圖，在直三棱柱ABC-A山Cl中，AC=BC=4,AC±BC,CC=5,D,E分別是AB,

BG的中點，則異面直線BE與C￡＞所成的角的余弦值為（)

29。?雪

7.隨著高中新課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)試題的命題形式正在發(fā)生著變化.某省示范性高

中在數(shù)學(xué)試卷中加入了多項選擇題.每道多項選擇題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.一同學(xué)解答一道多選題時，隨機選了兩個選項，若答案恰為兩個選項，則該同

學(xué)做對此題的概率為（）

8.唐狩獵紋高足銀杯如圖1,1963年出土于陜西省西安市沙坡村容藏，為唐代的酒具.它

的盛酒部分可以近似地看作半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），

如圖2所示已知半球的半徑為R,酒杯內(nèi)壁表面積為竽兀R2,設(shè)酒杯上部分圓柱的體

0

積為下部分半球的體積為丫2,)

2

C.1D.—

4

9.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為b,c,若。=2,3=2A,貝h

的取值范圍為（）

A.（0,4）B.（2,25/3）C.(2&,273)D.(2&,4)

10.已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為“、b、c,滿足cos2A-cos28+cos2c

=l+sinAsinC,且sinA+sinC=1,則△ABC的形狀為()

A.等邊三角形

B.等腰直角三角形

C.頂角為150°的等腰三角形

D.頂角為120°的等腰三角形

11.在如圖所示的電路中，5只箱子表示保險厘，箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的

則當(dāng)開關(guān)合上時，電路暢通的概率是（）

B.也

A?鬻144。溪。謁

12.如圖，在棱長為1的正方體中，P為正方形ABCQ內(nèi)（包括邊界）的

一動點，E,尸分別為棱A8,BC的中點，若直線。儼與平面E/G無公共點，則線段9P

的長的范圍是（）

A.［亭,B.與］C.D.11,除

二、填空題

13.在AABC中，點。在直線AC上，且標(biāo)得正，點E在直線8。上，且麗=2而，若

AE=入1AB+入2屹，則入i+入2=.

JT

14.三棱錐P-ABC中，平面ABC,ZBAC=—,AP=3,BC=6,則該三棱錐外接

球的表面積為.

15.如圖，二面角a-/-B為60°,Aea,Bep,C,D,Eel,ZBCD=45°,ZAE￡>=30",

AE=2&BC，/J_平面ABD,則直線AB與平面B所成的角為

1T

16.己知△A8C三個內(nèi)角A,B,C的對應(yīng)邊分別為mb,c,且NC=？",c=2,則下列

結(jié)論正確的序號是

（1）△ABC面積的最大值為?；

（2）正.靛的最大值為24^

（3）bcosA+acosB=V2!

（4）里平的取值范圍（-8,g）u（g,一）.

cosA2

三、解答題

17.己知向量之與E的夾角e￡二且J1=3,|b|=2-

（1）求W?祓E在Z上的投影向量；

（2）求向量；與Z+%夾角的余弦值.

18.在平行六面體ABC。-AIBIGOI中，AAy=AB,AB|J_5G.求證:

(1)AB〃平面45C；

(2)平面ABBiA_L平面ABC.

19.從一批蘋果中，隨機抽取50個，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下:

分組（重量）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

頻數(shù)（個）5102015

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在［90,95）的頻率；

（2）用分層抽樣的方法從重量在［80,85）和［95,100）的蘋果中共抽取4個，其中重量

在［80,85）的有幾個？

（3）在（2）中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在［80,85）和［95,100）中各有

1個的概率.

20.如圖，在aABC中，點尸在2C邊上，ZPAC=60°,PC=2,AP+AC=4.

（I）求邊AC的長；

（II）若△APB的面積是2?,求sin/84P的值.

21.隨著社會的進步、科技的發(fā)展，人民對自己生活的環(huán)境要求越來越高，尤其是居住環(huán)境

的環(huán)保和綠化受到每一位市民的關(guān)注.因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法,

提倡每位居民做好垃圾分類儲存、分類投放，方便工作人員分類搬運，提高垃圾的資源

價值和經(jīng)濟價值，力爭物盡其用.市環(huán)衛(wèi)局在A、B兩個小區(qū)分別隨機抽取6戶，進行生

活垃圾分類調(diào)研工作，依據(jù)住戶情況對近期一周（7天）進行生活垃圾分類占用時間統(tǒng)計

如表：

住戶編號123456

A小區(qū)（分鐘）220180210220200230

B小區(qū)（分鐘）200190240230220210

（1）分別計算A、8小區(qū)每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差;

（2）如果兩個小區(qū)住戶均按照1000戶計算，小區(qū)的垃圾也要按照垃圾分類搬運，市環(huán)

衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商，初步實施下列方案：

①4小區(qū)方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每200位住戶至

少需要一名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按

照28天計算標(biāo)準(zhǔn)）計算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費是多少？

②8小區(qū)方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點，物業(yè)讓專職人員進行

生活垃圾分類，一位專職工作人員對生活垃圾分類的效率相當(dāng)于4位普通居民對生活垃

圾分類效率，每位專職工作人員（每天工作8小時）月工資按照4000元（按照28天計

算標(biāo)準(zhǔn)）計算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費是多少？

③市環(huán)衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商分別試行一個月，根據(jù)實施情況，試分析哪個方

案惠民力度大，值得進行推廣？

22.如圖,已知三棱柱4BC-AiBiG,平面AiACG_L平面ABC,ZABC=90",

/BAC=30°,AiA=AC=AC,E,尸分別是AC,A山?的中點.

(I)證明：EF_LBC；

(II)求直線EF與平面ABC所成角的余弦值.

(III)求二面角4-AC-8的正弦值.

參考答案

一、選擇題(60分)

1.已知i是虛數(shù)單位，則誓=(

)

1-1

A.-1B.1C.-iD.i

【分析】利用兩個復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時乘以分母的共加復(fù)數(shù)，計算求得結(jié)果.

解：...坦=(l+i)2=1一,

1-i(l-i)(l+i)2

故選：D.

2.若向量之=(3,,石=(2,-1),則實數(shù)加的值為()

33

A.--B.—C.2D.6

22

【分析】利用即可得出.

解：???”總

??a?b6—，”—■0,

解得m=6.

故選：D.

3.某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，隨機抽取了20名學(xué)生的考試成績(單位：分)，成績

的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是()

A.頻率分布直方圖中。的值為0.004

B.估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的第60百分位數(shù)為80

C.估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為80

D.估計總體中成績落在［60,70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為160

【分析】對于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程能求出。；對于8,求出［50,80）的

頻率為0.6,由此能估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的第60百分位數(shù)為80；對于C,［70,

80）對應(yīng)的小矩形最高，由此能估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)；對于O,求出總

體在［60,70）的頻率，由此能估計總體中成績落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù).

解：對于4由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：

（2a+3“+7a+6a+2a）X10=1,解得a=0.005,故A錯誤；

對于B,［50,80）的頻率為：10（2a+30+7a）=10X12X0.005=0.6,

???估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的第60百分位數(shù)為80,故8正確；

對于C,估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為：理普=75,故C錯誤：

對于力，估計總體中成績落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為：

3X0.005X10X1000=150,故￡）錯誤.

故選：B.

4.設(shè)a,0是空間兩個不重合的平面，/,小是空間兩條不重合的直線，下列命題不正確的

是（）

A.若/_La,/±p,貝ija〃0B.若/J_a,mVa,則/〃zn

C.若/La,/〃B，則D.若/La,alp,則/〃0

【分析】A,由面面平行的判定定理判定；

B,由直線與平面垂直的性質(zhì)定理判定；

C,由面面垂直的判定可判定；

D,若/La,a±p,則/〃0或/邙；

解：對于A,由面面平行的判定定理得A正確；

對于8,由直線與平面垂直的性質(zhì)定理得8正確；

對于C,11a,/〃0,則在B中一定。存在直線與/平行，由面面垂直的判定可得

故C正確；

對于。，若/_La,a±p,則/〃0或/u0,故。正確；

故選：D.

5.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田.這〃塊地的畝產(chǎn)量（單位：依）

分別是由，X2,…，x“，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

()

A.Xl,X2,X"的平均數(shù)B.X\,X2,???,X"的標(biāo)準(zhǔn)差

C.Xl,XI,???,X"的最大值D.X\,X2,???,X”的中位數(shù)

【分析】利用平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、最大值、中位數(shù)的定義和意義直接求解.

解：在A中，平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指

標(biāo)，

故A不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度；

在B中，標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度，故8可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)

定程度；

在C中，最大值是一組數(shù)據(jù)最大的量，故C不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度;

在。中，中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”，

故D不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度.

故選：B.

6.如圖，在直三棱柱ABC-中，AC=BC=4,AC±BC,CG=5,D,E分別是AB,

8G的中點，則異面直線BE與CO所成的角的余弦值為（）

【分析】根據(jù)題意可分別以CA，CB,CG三直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

從而可得出C,D,B,E的坐標(biāo)，進而得出向量而，而的坐標(biāo)，從而可求出

cos<BE,而〉的值，進而得出異面直線BE與CO所成的角的余弦值?

解：可知CA,CB,CG三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x,y,z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，貝h

C(0,0,0),B(0,4,0),A(4,0,0),。(2,2,0),E(0,2,5),

???BE=(O,-2,5),CD=(2,2,0)，

?COS〈前口〉-血?而--4_屈

BE，CD-豆而倔*2&一29

.?.異面直線BE與CD所成的角的余弦值為返.

29

7.隨著高中新課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)試題的命題形式正在發(fā)生著變化.某省示范性高

中在數(shù)學(xué)試卷中加入了多項選擇題.每道多項選擇題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.一同學(xué)解答一道多選題時，隨機選了兩個選項，若答案恰為兩個選項，則該同

學(xué)做對此題的概率為（）

A.-B.——C.—D.——

611410

【分析】基本事件總數(shù)〃=C：=6,答案恰為兩個選項，由此能求出該同學(xué)做對此題的概

率.

解：每道多項選擇題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.一同學(xué)解答一道多選題

時，隨機選了兩個選項，

基本事件總數(shù)〃=（：彳=6,

答案恰為兩個選項，則該同學(xué)做對此題的概率為：

「2

工

-

C26-

故選：A.

8.唐狩獵紋高足銀杯如圖1,1963年出土于陜西省西安市沙坡村容藏，為唐代的酒具.它

的盛酒部分可以近似地看作半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），

如圖2所示已知半球的半徑為R,酒杯內(nèi)壁表面積為弓兀R2,設(shè)酒杯上部分圓柱的體

積為％,下部分半球的體積為匕,)

3

C.1D.

4

【分析】設(shè)圓柱的高為人，根據(jù)題意可求得力=^R,再分別表示出吻即可得解.

解：設(shè)酒杯上部分(圓柱)的高為/?,

則酒杯內(nèi)壁表面積為s=[2學(xué)火,解得/7=^R，

乂4兀區(qū)+2兀班=

O

?1/q-]-D2J4—.-317_]y4q-p03

??V]:兀Rhq-兀R，匕一不乂百兀區(qū)，

故選：A.

9.設(shè)銳角三角形48c的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,B=2A,則匕

的取值范圍為()

A.(0,4)B.(2,273)C.(2&,273)D.(2&,4)

jrjr

【分析】由銳角△ABC,可得Ae(勺，:)，再結(jié)合正弦定理和二倍角公式，推出。

64

=4cosA,從而得解.

解：因為銳角△A8C,且8=24

2

<0<B=2A<~^~,解得Ae,

264

0<C=%-3A<T^T

2

所以cosAE(返，瓜)，

22

a_b_b_b

由正弦定理知,

sinAsinBsin2A2sinAcosA

'.b=2acosA=4cosAG(21/^,2^/3).

故選：C.

10.已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,滿足cc^A-cos2B+cos2c

=l+sinAsinC,且sinA+sinC=1,則△ABC的形狀為()

A.等邊三角形

B.等腰直角三角形

C.頂角為150。的等腰三角形

D.頂角為120°的等腰三角形

【分析】利用正弦定理把題設(shè)等式中的角的正弦轉(zhuǎn)化成邊，求得m6和C關(guān)系式，代入

余弦定理中求得cosA的值，進而求得A,由sin2B=sin24+sin2C+sinAsinC,與sinA+sinC

=1聯(lián)立求得sinA和sinC的值，進而根據(jù)A,C的范圍推斷出A=C,即可判斷得解.

解：’.?cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC,

(1-sin2A)-(1-sin2B)+(1-sin2C)=l+sinAsinC,

，可得sin2A+sin2C-sin2B=-sinAsinC,

.?.根據(jù)正弦定理得序+。2-R=-ac,

222

，由余弦定理得cos3=.a-b-A,

2ac2ac2

■:Bw(0°,180°),

:.B=no°,

Vsin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC.

；?變形得3=(sin/l+sinC)2-sin/lsinC,

4

又VsirL4+sinC=L得sinAsinC=—,

4

???上述兩式聯(lián)立得sinA=sinC=-^,

V0°<A<60°,0°<C<60°,

.\A=C=30°,

???△48C是頂角為120。的等腰三角形.

故選：D.

11.在如圖所示的電路中，5只箱子表示保險匣，箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的

概率，若各保險匣之間互不影響，則當(dāng)開關(guān)合上時，電路暢通的概率是（)

A「

551n2929n29

7201447236

【分析】前兩個盒子為串聯(lián)線路，求出它們不暢通的概率，利用對立事件的概率求出前3

個暢通的概率，后2個盒子為并聯(lián)線路，求出它們不暢通的概率，前3個盒子和后2個

盒子又是串聯(lián)線路，利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求電路暢通的概率.

解：前兩個盒子暢通的暢通的概率為所以不暢通的概率為1-4=自

NJJoO

則前三個盒子暢通的概率為1-苒

346

后兩個盒子暢通的概率為1

5630

所以當(dāng)開關(guān)合上時，電路暢通的概率是段x^=空，

30636

故選：D.

12.如圖，在棱長為1的正方體ABCO-A4C0I中，尸為正方形ABC。內(nèi)（包括邊界）的

一動點，E,尸分別為棱AB,8c的中點，若直線￡＞由與平面EFG無公共點，則線段。尸

的長的范圍是（）

C.D.[1,除

【分析】取AZ）的中點為G,取C。的中點為H,連接DiG,DxH,GH,證明平面GGH

〃平面CiEF,結(jié)合直線9P與平面EFG無公共點，可得點P在線段GH上，由此求得

線段的長的范圍.

解：如圖，取A。的中點為G,取C￡>的中點為H,

連接。iG,D\H,GH,AC,

由三角形中位線的性質(zhì)可得，EF//AC,GH//AC,

貝I]GH//EF,

平面C\EF,GHC平面GEF,可得GH〃平面C\EF,

連接GF,可得GF〃2G且GF=AG,則四邊形GFGA為平行四邊形，可得GD\I/

CiF,

；GFu平面GERGGC平面GEF,.?.GG〃平面CiEF,

又DiGCGH=G,D\G,GHu平面QG”，平面出GH〃平面GEr,

直線D\P與平面EFC\無公共點，二點戶在線段GH上，

當(dāng)P為GH的中點時，UP取得最小值為加1D2+DP2=JF+（近）2J12.

當(dāng)尸與G或，重合時，AP取最大值為F+（?吟

故選：B

Dv

二、填空題

13.在AABC中，點。在直線AC上，且AD^AC，點E在直線8。上，且BD=2DE，若

0

AE=入1AB+入川&則入i+入2=《

12~2~

【分析】根據(jù)三角形法則可得而+標(biāo)=2五+2標(biāo)，從而瓦=[（3菽-族），結(jié)合

AD=*AC即可用AB與AC表示出AE，進一步即可得出入i+杷的值.

解：由麗=2而，得忌+標(biāo)=2底+2元，故標(biāo)=尚（3標(biāo)-瓦），

LLI|'?*1*>*!.1.'?.

所以AE=5X2AC_qAB=_qAB+AG

故入1=-5，入2=1,所以入1+入2=5.

22

故答案為：

K

14.三棱錐P-ABC中，粗，平面ABC,ZBAC=—,AP=3,BC=6,則該三棱錐外接

球的表面積為45n.

【分析】由題意可知，AB.AC、AP兩兩互相垂直，把三棱錐P-ABC變形為長方體，

則長方體的外接球即三棱錐P-ABC的外接球，求出長方體的對角線長，可得外接球的

半徑，代入球的表面積公式得答案.

解：如圖，

TT

???PAL平面ABC,ZBAC=—,.-.AB.AC,4P兩兩互相垂直，

2

把三棱錐尸-ABC變形為長方體，則長方體的外接球即三棱錐P-ABC的外接球，

長方體的對角線長為A?+AB2+AC2={pA?+BC2=A/9+36=V45>

...三棱錐外接球的表面積為4nx(Yp_)2=45n.

故答案為：45n.

15.如圖，二面角a-/-0為60°,Aea,8印,C,D,Eel,ZBCD=45°,ZAED=30°,

AE=2V2BC，5平面ABD,則直線AB與平面B所成的角為90°?

【分析】由二面角的平面角的定義得到/BD4即為二面角a-/-0的平面角，由線面角

的定義可得NA8。為直線AB與平面0所成的角，在△AB。中，利用余弦定理求解即可.

解：因為L平面ABD,又AD,BOu平面AB。，

貝|J/_L8￡),IVAD,

故NBD4即為二面角a-/-0的平面角,

所以NAQB=60°,

因為/J_平面/cp,

則平面■平面ABD,

故AB在平面0上的射影為BD,

所以ZABD為直線AB與平面0所成的角,

設(shè)8c=1,則AE=26BC=2&,

又NBC￡>=45°,ZAED=30°,所以,AD=A/2,

在△ABD中，AB=7AD2+BD2-2AD'BD-COSZADE

2X亞X-^-Xcos60°'V6

-2'

f4-2

則8S/ABD另需普

-~~7-=0.

2X率X孚

故N4BO=90°,

所以直線48與平面0所成的角為90。.

故答案為：90。.

TT

16.已知△A5C三個內(nèi)角A,B,。的對應(yīng)邊分別為db,c,且NC=《-,c=2.則下列

0

結(jié)論正確的序號是（1）（2）

(1)△ABC面積的最大值為

(2)AC?瓦的最大值為

(3)bcosA+acosB=V2；

鬻的取值范圍（-8,孚）U/Q）.

(4)

【分析】由余弦定理結(jié)合基本不不等式求得外的最大值，即可得出面積的最大值，進而

可判斷（1）是否正確;

由正弦定理結(jié)合二倍角公式，兩角和與差的正弦公式，正弦函數(shù)性質(zhì)求得bcosA的最大

值，從而可得數(shù)量積的最大值，即可判斷（2）是否正確;

利用余弦定理變形判斷（3）是否正確;

根據(jù)A,8關(guān)系，結(jié)合兩角差的余弦公式，正切函數(shù)性質(zhì)求解判斷（4）是否正確.

IT

解：對于(1)：由余弦定理可得22=次+62-2〃加os--=t/2+/?2-ab^2ab-ab=ab,

3

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立,

[1TT

S_M8C=爭慶inCW/X4XsinF-=?,最大值為故(1)正確;

NN。

對于(2)：正?標(biāo)=Z?ccosA=2Z?cosA,

______b_2_

在△ABC中，2兀冗，

sin.-A)sinCsi叼33

iA473?,2兀.W3cosA+—sin4)cosA=^3.

bcosA=―竺巳sin(-----A)cosA=(返

43223

(^~^cos2A+工inAcosA)

2

^&sin(2A+-)+1,

(1+cos2A)+sin2A]=

33

IT

因為C39

所以0<A〈等，

所以4<2A+V<殍，

333

所以4=2時，sin（2A+3）取得最大值1,即灰：osA的最大值為2返+1,

1233

所以菽?瓦的最大值為2+2號，故（2）正確；

222222

對于(3)：由余弦定理灰：osA+acosB=〃Xb+c-a+4><a+c-b=。=2,故(3)

2bc2ac

錯誤;

包卓上一14aM

cos(^-A)=

對于（4）：B=”一人,迪=

3cosA

cosAcosA

"），A=3時，此式無意義,

AG(0,

32

/八兀、.人、八cosB、1

AE(0,---)tanA>0,----->---,

2fcosA2

亭）時，tanAV-如,-2,故（4）錯誤.

3cosA

故答案為：（1）（2）.

三、解答題

17.已知向量之與E的夾角0與二且1=3，lb|=2-

（1）求之后及E在之上的投影向量；

（2）求向量；與W+E夾角的余弦值.

【分析】（1）先由平面向量數(shù)量積的定義求出Z?E的值，再根據(jù)平面向量的幾何意義，

即可得解；

（2）先求得（Z+E）的值，再由用+%={（Z+E）2,求出1之+力的值，最后由cosa

IaI?Ia+bI

解：(1)a'b=|aI,lb|cos=3X2X=_3>

E在；上的投影向量為|b|-COS-^p---^--2X(-y)Xy=-yl.

，IaI233

(2)afc(a+b)=a2+afcb=9-3=6,

或+bl=V(a+b)2=Va2+2a*b+bZ=V9-2X3+4=V?，

設(shè)向量之與Z+E夾角為a,貝Ucosa="Z=^/7z

|aMa+b|3XV7(

18.在平行六面體ABC。-AiBiCQi中，AAi=AB,AB\LB\C\.求證:

(1)AB〃平面48|C；

(2)平面A88i4_L平面418c.

/ti

AB//AjBt、

【分析】⑴由AB不在平面A[B[C內(nèi)=A8〃平面4SC；

A]B]U平面A[B[C

(2)可得四邊形ABBA是菱形，ABtlAtB,

由ABi_LBIG=ABI_L8C=AS_L面AtBC,=平面ABfitAt_L平面A]BC.

【解答】證明：（1）平行六面體A8CD-48IGZ）I中，平行六面體可得每個面均為平行

四邊形，所以

AB//A\B\,A8C平面ABC,平面A|BjC=AB〃平面A/C；

(2)在平行六面體A5CC-AiBCQi中，AA\=AB,=四邊形AB8A是菱形，ABt±AiB.

在平行亦面體ABCD-481CD中,B\C\//CB,ABi±B|Ci=>ABi±BC.

‘ABilAiB,ABjlBC

A1BCIBC=B

A]B<=面ARC,BC<=面A〔BC

=A8|_L面A\BC,且AB|U平面平面平面A\BC.

19.從一批蘋果中，隨機抽取50個，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下:

分組（重量）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

頻數(shù)（個）5102015

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在［90,95）的頻率；

（2）用分層抽樣的方法從重量在［80,85）和［95,100）的蘋果中共抽取4個，其中重量

在［80,85）的有幾個?

（3）在（2）中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在［80,85）和［95,100）中各有

1個的概率.

【分析】（1）用蘋果的重量在［90,95）的頻數(shù)除以樣本容量，即為所求.

（2）根據(jù)重量在［80,85）的頻數(shù)所占的比例，求得重量在［80,85）的蘋果的個數(shù).

（3）用列舉法求出所有的基本事件的個數(shù)，再求出滿足條件的事件的個數(shù)，即可得到所

求事件的概率.

解：（1）蘋果的重量在［90,95）的頻率為羽=0.4.

5。

（2）重量在［80,85）的有4?三3=1個.

5+15

（3）設(shè)這4個蘋果中，重量在［80,85）段的有1個，編號為1.重量在［95,100）段

的有3個，編號分別為2、3、4,從中任取兩個，可能的情況有：

（1,2）（1,3）（1,4）（2,3）（2,4）（3,4）共6種.

設(shè)任取2個，重量在［80,85）和［95,100）中各有1個的事件為A,則事件A包含有（1,

2）（1,3）（1,4）共3種，

所以P(A)=H

0N

20.如圖，在△ABC中，點尸在8C邊上，ZPAC=60°,PC=2,AP+AC=4.

(I)求邊AC的長；

(II)若△APB的面積是20求sinZBAP的值.

【分析】(I)利用三角形的邊角關(guān)系式，利用余弦定理求出結(jié)果.

(II)利用三角形的面積公式和正弦定理求出結(jié)果.

解：(I)在△A8C中，點P在BC邊上，ZPAC=60°,PC=2,AP+AC=4.

則：設(shè)AC=x,

利用余弦定理得：PC2=AP2+/1C2-24P?AUcosNPAC,

則：4=X2+(4-X)2-2x(4-x)*y>

整理得：3f-12x+12=0,

解得：x—2

故：AC=2.

(II)由于AC=2,AP+AC=4,

所以：AP—2,

所以△APC為等邊三角形.

由于：ZVIPB的面積是

則：y,AP,BP*sinZBPA=2\/3,

解得：BP=4.

在△APB中，

利用余弦定理：AB2=BP2+AP2-2?BP?AP?cosNBPA,

解得：AB=25

在AAPB中，

BPAB

利用正弦定理得：

sinZBAP-sinZBPA'

4二.

所以：sin/BAPV3，

解得：sin/BAP=^^

21.隨著社會的進步、科技的發(fā)展，人民對自己生活的環(huán)境要求越來越高，尤其是居住環(huán)境

的環(huán)保和綠化受到每一位市民的關(guān)注.因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法,

提倡每位居民做好垃圾分類儲存、分類投放，方便工作人員分類搬運，提高垃圾的資源

價值和經(jīng)濟價值，力爭物盡其用.市環(huán)衛(wèi)局在A、B兩個小區(qū)分別隨機抽取6戶，進行生

活垃圾分類調(diào)研工作，依據(jù)住戶情況對近期一周（7天）進行生活垃圾分類占用時間統(tǒng)計

如表：

住戶編號123456

A小區(qū)（分鐘）220180210220200230

B小區(qū)（分鐘）200190240230220210

（1）分別計算4、8小區(qū)每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差;

（2）如果兩個小區(qū)住戶均按照1000戶計算，小區(qū)的垃圾也要按照垃圾分類搬運，市環(huán)

衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商，初步實施下列方案：

①A小區(qū)方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每200位住戶至

少需要一名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按

照28天計算標(biāo)準(zhǔn)）計算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費是多少？

②8小區(qū)方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點，物業(yè)讓專職人員進行

生活垃圾分類，一位專職工作人員對生活垃圾分類的效率相當(dāng)于4位普通居民對生活垃

圾分類效率，每位專職工作人員（每天工作8小時）月工資按照4000元（按照28天計

算標(biāo)準(zhǔn)）計算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費是多少？

③市環(huán)衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商分別試行一個月，根據(jù)實施情況，試分析哪個方

案惠民力度大，值得進行推廣？

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)和方差公式即可求解；

（2）①由題意可得A小區(qū)至少需要5名工作人員，乘以每位的月工資，再除以1000即

可求得每位用戶需要承擔(dān)的生活垃圾分類費；

②先求出B小區(qū)一個月用于生活垃圾分類所用的平均時間，從而可得B小區(qū)一個月需要

專職工作人員數(shù)，乘以每位的月工資，再除以1000即可求得每位用戶需要承擔(dān)的生活垃

圾分類費；

③根據(jù)①②中的條件和結(jié)論，分析可得結(jié)論.

11

解:⑴“節(jié)(22。+18。+21。+22。+2。。+23。)=2