八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十八章勾股定理18.2勾股定理的逆定理18.2.2勾股定理及其逆定理的應(yīng)用課件（新版）滬科版

第18章

勾股定理18.2勾股定理的逆定理第2課時(shí)

勾股定理及其逆定理

的應(yīng)用名師點(diǎn)金勾股定理及其逆定理的應(yīng)用：?jiǎn)我粦?yīng)用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形，再求這個(gè)直角三角形的角和面積；綜合應(yīng)用：先由勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，再由勾股定理的逆定理確定三角形的形狀，進(jìn)而解決其他問題；逆向應(yīng)用：如果一個(gè)三角形兩條較小邊長(zhǎng)的平方和不等于最大邊長(zhǎng)的平方，那么這個(gè)三角形不是直角三角形．1類型勾股定理的驗(yàn)證1.一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了一

種新的驗(yàn)證勾股定理的方法．如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)

面四邊形ABCD倒下到四邊形AB′C′D′的位置，連接

CC′，設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c.請(qǐng)利用四邊形

BCC′D′的面積證明勾股

定理：a2＋b2＝c2.由題易知Rt△C′D′A≌Rt△ABC，∴∠C′AD′＝∠ACB.又∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＋∠C′AD′＝90°.∴∠CAC′＝90°.∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC′D′＋SRt△CAC′，∴(a＋b)(a＋b)＝

ab＋

ab＋

c2.

∴(a＋b)2＝2ab＋c2.∴a2＋b2＝c2.證明：2勾股定理在折疊中的應(yīng)用類型2．(中考·泰州)如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE，BE分別與CD相交于點(diǎn)O，G，且OE＝OD，求AP的長(zhǎng)．∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，

AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.

根據(jù)題意得△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8.解：在△ODP和△OEG中，∴△ODP≌△OEG.∴OP＝OG，PD＝GE.∴DG＝EP.

設(shè)AP＝EP＝x，則GE＝PD＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.

根據(jù)勾股定理得BC2＋CG2＝BG2.

即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝，∴AP＝4.8.解：3勾股定理在最短路徑中的應(yīng)用類型3．(中考·資陽(yáng))如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒

需爬行的最短路徑的長(zhǎng)是(

)A．13cmB．2cmC.cmD．2cmA4勾股定理的逆定理在判斷方向中的應(yīng)用4．如圖，小明的家位于一條南北走向的河流MN的東側(cè)A處，某一天小明從家出發(fā)沿南偏西30°方向走60m到達(dá)河邊B處取水，然后

沿另一方向走80m到達(dá)菜地C

處澆水，最后沿第三方向走100m回到家A處．問小明在

河邊B處取水后是沿哪個(gè)方向

行走的？并說明理由．類型小明在河邊B處取水后是沿南偏東60°方向行走的．理由如下：∵AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.又∵AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°.∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.∴小明在河邊B處取水后是沿南偏東60°方向行走的．解：5勾股定理的逆定理在判斷構(gòu)成直角三角形條件中的應(yīng)用5．如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中有從點(diǎn)A出發(fā)的四條線段AB，AC，AD，AE，它們的另一個(gè)端點(diǎn)B，C，D，E均在格點(diǎn)(正方形網(wǎng)格的交點(diǎn))上．(1)若每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是1，分別求出AB，AC，AD，AE的長(zhǎng)度(結(jié)果保留根號(hào))．(2)在AB，AC，AD，AE四條線段中，是否存在三條線段，使它們能構(gòu)成直角三角形？如果存在，請(qǐng)指出是哪三條線段，并說明理由．類型(1)AB＝

AC＝

AD＝2AE＝2(2)存在，線段AB，AC，AD可以構(gòu)成直角三角形．

理由：∵AB＝

AD＝2AC＝

∴AD2＋AB2＝AC2，

由勾股定理的逆定理可知，

線段AB，AC，AD

可以構(gòu)成直角三角形．解：6勾股定理與它的逆定理的綜合應(yīng)用6．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，BE，CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度數(shù)．類型如圖，連接EE′.由題意可知△ABE≌△CBE′，∴E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2，∠ABE＝∠CBE′.

又∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠CBE′＋∠EBC＝90°，即∠EBE′＝90°，則由勾股定理，得EE′＝2.在△EE′C中，EE′＝2，E′C＝1，EC＝3.由勾股定理的逆定理可知∠EE′C＝90°.∵BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴∠BE′E＝

＝45°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.解：7勾股定理及其逆定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用7．如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上．(1)求四邊形ABCD的面積．(2)你能判斷AD與CD的位置關(guān)

系嗎？請(qǐng)說出你的理由．類型(1)如圖，將四邊形ABCD分成4個(gè)小直角三角形，發(fā)現(xiàn)

每個(gè)小直角三角形的面積恰好是其所在長(zhǎng)方形(或正

方形)面積的一半，因此四邊形ABCD的面積為整個(gè)

網(wǎng)格面積的一半，即×52＝12.5.(2)AD⊥CD.理由如下：

在△ADC中，因?yàn)锳D2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，

所以AD2＋CD2＝AC2，

即△ADC是直角三角形，且AD⊥CD.解：8勾股定理的逆定理的實(shí)際應(yīng)用8．如圖，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海.晚上10：28，我邊防反偷渡巡邏101號(hào)艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我國(guó)領(lǐng)?？拷懔⒓赐ㄖ赑Q上B處巡邏的103號(hào)艇注意其動(dòng)向．經(jīng)檢測(cè)，AC＝10nmile，AB＝6nmile，BC＝8nmile.若該可疑船只的速度為12.8nmile/h，則該可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我國(guó)