第1講數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的應(yīng)用（原卷版）

第1講數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想,又是常用的數(shù)學(xué)方法。把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究,或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究,這種解決問題過程中"數(shù)"與"形"相互轉(zhuǎn)化的研究策略,就是數(shù)形結(jié)合的思想。平面向量加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積等運(yùn)算中既有幾何意義又有代數(shù)意義。因此，在進(jìn)行有關(guān)向量的運(yùn)算時(shí)將“數(shù)”與“形”有機(jī)地結(jié)合起來，有時(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為形、有時(shí)形轉(zhuǎn)化為數(shù)，通過這種轉(zhuǎn)化可以更好求解相關(guān)問題，而本文會(huì)重點(diǎn)就數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的幾類應(yīng)用展開詳細(xì)講解?！緫?yīng)用一】數(shù)形結(jié)合思想在平面向量建系問題中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)平面向量的綜合運(yùn)用時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到求數(shù)量積最值及范圍的綜合問題，這類問題如果用平面向量的基本定理及相關(guān)數(shù)量積的幾何運(yùn)算，計(jì)算量往往偏大且不易求得答案；那有沒有簡(jiǎn)潔且方便的解題方法呢，通過細(xì)心讀題我們會(huì)發(fā)現(xiàn)題干中包含“正方形、矩形、菱形、等邊三角形、等腰三角形”等特殊幾何圖形，于是我們可以想到從建系角度建立平面直角坐標(biāo)系來求解，例如下面這道例題：【例1】（2017·全國·高考真題）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．本題以等邊三角形為載體，是特殊幾何圖形，如圖所示：我們可以以BC邊的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，即，，，設(shè)，則，，，所以，即可求得最值。【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定“正方形、矩形、菱形、等邊三角形、等腰三角形”等特殊幾何圖形，我們可以依據(jù)圖形的特殊性來建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解相關(guān)問題，可通過學(xué)習(xí)這一道題會(huì)一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究稍復(fù)雜型建系問題?！咀兪?.1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．5【變式1.2】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1.3】（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖所示，梯形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，若向量在向量上的投影向量的模為4，設(shè)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【應(yīng)用二】數(shù)形結(jié)合思想在平面向量投影問題中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積及向量投影時(shí)，可以運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算求解，但有時(shí)不具備坐標(biāo)運(yùn)算條件或不具備建系條件時(shí)，我們也可以從定義角度來求解，而向量投影的本質(zhì)及運(yùn)算就很重要了，我們不妨先回顧下向量投影的相關(guān)知識(shí)。（1）若a在b方向上的投影向量為m,則a（2）b在a方向上的投影向量為bcosθ?a在b方向上的投影向量為acosθ?（3）設(shè)a在b上的投影向量為λb,則a對(duì)于向量投影或數(shù)量積問題求解時(shí)，我們可以從定義角度求解，例如下面這道例題：【例2】（2019秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考）在中，已知為邊上的高，為的平分線，，，，則______本題以數(shù)量積為背景，實(shí)則考查向量的投影問題，如圖所示由向量投影可知:AE?過點(diǎn)E作EF垂直于AB，交AB于點(diǎn)F,則ABBE所以∠BAE=所以AB【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定數(shù)量積為背景考查向量投影問題，我們可以用定義來求解，可通過學(xué)習(xí)這一道題會(huì)一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究稍復(fù)雜型投影問題。【變式2.1】（2020春·四川眉山·高一期中）如圖，在半徑為的圓中，已知弦的長(zhǎng)為，則A． B． C． D．【變式2.2】（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考）已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式】（2022·江西南昌·高三南?？迹┤鐖D，三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上有10個(gè)不同的點(diǎn)，記，則的值為A． B．45 C． D．180【應(yīng)用三】數(shù)形結(jié)合思想在平面向量隱圓問題中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)平面向量模長(zhǎng)及其相關(guān)最值的求解計(jì)算中，會(huì)遇到形如“的最大值、的最小值”等問題，我們?cè)谟米鴺?biāo)運(yùn)算或向量線性運(yùn)算把模長(zhǎng)表示出來后會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的幾何意義為對(duì)應(yīng)圓及圓上一點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)或?qū)?yīng)直線的最值問題，我們稱隱藏的圓為“隱圓”，進(jìn)而我們可以利用數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合幾何意義快速求解，例如下面這道例題：【例】（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知，是單位向量，且．若向量滿足，則的最大值是．本題由，得，我們可以先建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨記，設(shè)，由，得，所以點(diǎn)C在以Q(1,2)為圓心，1為半徑的圓上，進(jìn)而結(jié)合幾何意義可求得的最大值【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在平面向量模長(zhǎng)及其最值的運(yùn)算中，我們都可以用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合具體隱圓作出圖象，從而可直觀用幾何意義求解出對(duì)應(yīng)問題，未來我們也可以用同樣的方法來研究較為復(fù)雜型的隱圓綜合問題?！咀兪?.1】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知均為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3.3】（2016·四川·高考真題）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為，平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P，M滿足，，則的最大值是A． B． C． D．鞏固練習(xí)1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）正八邊形上存在一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），已知正八邊形邊長(zhǎng)為2，則的最大值為（

）A． B．C． D．2．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，，分別是邊，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．484．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知向量，的夾角為，且，，則向量在向量上的投影向量為．（用表示）5．（2018秋·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谥校┰谶呴L(zhǎng)為1的正方形中，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則6．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，已知半圓的直徑，點(diǎn)是弦（包含端點(diǎn)，）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在弧上．若是等邊三角形，且滿足，則的最小值為.7．（2020秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知半圓的直徑，是等邊三角形，若點(diǎn)是邊（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在弧上，且滿足，則的最小值為．8．（浙江·高考真題）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最