重慶市榮昌中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

榮昌中學(xué)高2024級(jí)高二（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（共40分）1.在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系.該運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度（單位：m/s）為（）A.10.9 B.10.9 C.5 D.5【答案】D【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入即可求解．【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，得瞬時(shí)速度為．故選：D.2.已知，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算．【詳解】由，可得.故選：C.3.離散型隨機(jī)變量的分布列為下表，則常數(shù)的值為（）01A. B. C.或 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)概率之和為1，簡(jiǎn)單計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)離散型隨機(jī)變量分布列的認(rèn)識(shí)，熟知所有概率之和為1，重在計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.4.在的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出展開(kāi)式的通項(xiàng)為，展開(kāi)式中的項(xiàng)有和，系數(shù)相加即可求解.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，展開(kāi)式中項(xiàng)為和，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故選：C5.等差數(shù)列、中的前項(xiàng)和分別為、，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其前項(xiàng)和公式可得，將代入即可求解.【詳解】∵等差數(shù)列、中的前項(xiàng)和分別為、，，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及其前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.6.2020年疫情的到來(lái)給我們生活學(xué)習(xí)等各方面帶來(lái)種種困難.為了順利迎接高考，省里制定了周密的畢業(yè)年級(jí)復(fù)學(xué)計(jì)劃.為了確保安全開(kāi)學(xué)，全省組織畢業(yè)年級(jí)學(xué)生進(jìn)行核酸檢測(cè)的篩查.學(xué)生先到醫(yī)務(wù)室進(jìn)行咽拭子檢驗(yàn)，檢驗(yàn)呈陽(yáng)性者需到防疫部門做進(jìn)一步檢測(cè).已知隨機(jī)抽一人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為0.2%，且每個(gè)人檢驗(yàn)是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立，若該疾病患病率為0.1%，且患病者檢驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為99%.若某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性，則他確實(shí)患病的概率（）A.0.99% B.99% C.49.5%. D.36.5%【答案】C【解析】【分析】利用條件概率可求某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性時(shí)他確實(shí)患病的概率.【詳解】設(shè)為“某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性”，為“此人患病”.則“某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性時(shí)他確實(shí)患病”為，又，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算及其應(yīng)用，此題需將題設(shè)的各個(gè)條件合理轉(zhuǎn)化為事件的概率或條件概率.7.如圖，洛書(shū)古稱龜書(shū)，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖像，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中隨機(jī)選取個(gè)數(shù)，則選取的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的方法數(shù)為（）A.60 B.61 C.5 D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知，陰數(shù)為，，，，陽(yáng)數(shù)為，，，、，由條件可知個(gè)數(shù)都為偶數(shù)，或是個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，或是個(gè)數(shù)都為奇數(shù)，列式即得答案.【詳解】由題意可知，陰數(shù)為，，，，陽(yáng)數(shù)為，，，、.若選取得個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)，①個(gè)數(shù)都為偶數(shù)，共有種方法，②個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，共有種方法，③個(gè)數(shù)都為奇數(shù)，共有種方法，綜上共有種方法.故選：D8.已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是A.[–1，0） B.[0，+∞） C.[–1，+∞） D.[1，+∞）【答案】C【解析】【詳解】分析：首先根據(jù)g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，即直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖像（將去掉），再畫(huà)出直線，并將其上下移動(dòng)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，滿足與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得結(jié)果.詳解：畫(huà)出函數(shù)圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫(huà)出直線，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下可以無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿足，即，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，解題的思路是將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，將式子移項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為兩條曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)的圖像以及相應(yīng)的直線，在直線移動(dòng)的過(guò)程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應(yīng)的結(jié)果.二、多項(xiàng)選擇題（共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意結(jié)合離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得，即可判斷A、D；由即可判斷B；由即可判斷C；即可得解.【詳解】隨機(jī)變量的分布列為,，解得，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故答案為：A、B、C.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)與應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10.一箱產(chǎn)品共有16件，其中有14件合格品，2件次品，從這16件產(chǎn)品中任意抽取3件，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法表述正確的是（）．A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】有3種抽法，第一種方法分為兩類，3件中有1件次品或2件次品；第二種方法，考慮間接抽法，用16件產(chǎn)品任抽3件的總情況數(shù)減去不含次品的情況數(shù)；第三種方法，先任抽一件次品，再?gòu)氖Ｏ碌?5件產(chǎn)品中隨機(jī)抽2件，但有2件次品的情況算了兩次，故需減去多余的抽法數(shù).據(jù)此可得答案.【詳解】由題，當(dāng)3件產(chǎn)品中有1件次品時(shí)，情況數(shù)為，當(dāng)3件產(chǎn)品中有兩件次品時(shí)，情況數(shù)為，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法數(shù)為；16件產(chǎn)品任抽3件的總情況數(shù)為，3件產(chǎn)品中不含次品的抽法數(shù)為，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法數(shù)為；從產(chǎn)品中任取1件次品的情況數(shù)為，在從剩下產(chǎn)品中任抽2件的情況數(shù)為，則兩步的總情況數(shù)為，又有2件次品的情況算了兩次，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法數(shù)為.故選：ABD11.（多選）甲罐中有個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球，乙罐中有個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙罐，分別以事件、、表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一個(gè)球，以事件表示由乙罐取出的球是紅球，下列結(jié)論正確的是（）A.事件與事件不相互獨(dú)立 B.、、是兩兩互斥的事件C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用事件獨(dú)立性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用互斥事件的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用全概率公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用條件概率公式可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A，由題意可知，事件發(fā)生與否影響事件的發(fā)生，故事件與事件不相互獨(dú)立，故A正確;對(duì)于B，、、兩兩不可能同時(shí)發(fā)生，故B正確；對(duì)于C，，故C不正確；對(duì)于D，已知從甲罐中取出一個(gè)紅球放入乙罐，這時(shí)乙罐中有個(gè)球，其中紅球有個(gè)，因此，在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率為，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.在處的切線方程為B.在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增C.設(shè)，若對(duì)任意，都存在，使成立，則D.【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算切線得到A正確，根據(jù)定義域排除B，分別計(jì)算最值得到C正確，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)性計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】，則，，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.對(duì)選項(xiàng)A：，，故切線方程，正確；對(duì)選項(xiàng)B：函數(shù)定義域?yàn)?，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，，故，正確；對(duì)選項(xiàng)D：根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性知，，，即，故，即，故，正確.故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，是，的等差中項(xiàng)，則____.【答案】54【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而可得數(shù)列的公比，即可求．【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，則，由是，的等差中項(xiàng)，則，∴，解得，或舍去，∴．故答案為：54．14.把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件為“兩次所得點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，為“至少有一次點(diǎn)數(shù)是5”，則______.【答案】【解析】【分析】列出所有可能的基本事件，進(jìn)而求出事件M發(fā)生的基本事件數(shù)，以及在此條件下發(fā)生的事件N的基本事件數(shù).【詳解】連拋擲一枚骰子兩次，所有可能的結(jié)果如下表：骰子1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(42)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(66)其中發(fā)生事件M的結(jié)果有9種，在事件M的條件下發(fā)生事件N的結(jié)果有5種，所有.故答案為：.15.為了加強(qiáng)新型冠狀病毒疫情防控，某社區(qū)派遣甲?乙?丙?丁?戊五名志愿者參加三個(gè)小區(qū)的防疫工作，每人只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少去1人，且甲?乙兩人約定去同一個(gè)小區(qū)，則不同的派遣方案共有_____（用數(shù)字作答）.【答案】36【解析】【分析】分與分配進(jìn)行選派，結(jié)合分類與分步計(jì)數(shù)原理、排列組合知識(shí)計(jì)算即可.【詳解】不同的派遣方案可分兩類：人可分與進(jìn)行派遣.若按照分三組再進(jìn)行分配，第一步：甲乙兩人從其余人中再選人合成一組，剩余兩人一人一組，有種方案；第二步：三組人員分配到三個(gè)小區(qū)，有種方案；則由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的方案；若按照分三組再進(jìn)行分配，第一步：甲乙兩人是一組，再?gòu)钠溆嗳酥羞x人一組，剩余一人為一組，有種方案；第二步：三組人員分配到三個(gè)小區(qū)，有種方案；則由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的方案；所以由分類計(jì)數(shù)原理共有種派遣方案.故答案為：.16.數(shù)列中，，（），則________【答案】454【解析】【分析】由，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可求出，結(jié)合二項(xiàng)式定理可求出的值.【詳解】解：因?yàn)?，所以以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則又，，所以原式，故答案為：454.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是求出數(shù)列通項(xiàng)公式后，結(jié)合二項(xiàng)式定理對(duì)所求式子進(jìn)行合理變形，減少計(jì)算量.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知函數(shù)，的圖象在點(diǎn)處的切線為．（1）求a，b的值;（2）設(shè)，求最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用切線的斜率以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可求解，（2）求導(dǎo)得單調(diào)性，即可求解最值.【小問(wèn)1詳解】，，由已知，得，解得，∴函數(shù)的解析式為．【小問(wèn)2詳解】，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，∴．18.已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）－2（2）1093（3）2187【解析】【分析】運(yùn)用賦值法結(jié)合二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開(kāi)式中部分項(xiàng)的系數(shù)之和．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，；由（1）知，所以；【小問(wèn)3詳解】由展開(kāi)式可知均為負(fù)值，均為正值，結(jié)合（1）（2）可知，故.19.兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.02．加工出來(lái)的零件放在一起，并且已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍．（1）求任意取出1個(gè)零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的1個(gè)零件是廢品，求它是第二臺(tái)車床加工的概率．【答案】（1）（2）0.25【解析】【分析】（1）設(shè)表示“第i臺(tái)機(jī)床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出現(xiàn)廢品”；C表示“出現(xiàn)合格品”，再根據(jù)概率的公式求解即可；（2）同（1），結(jié)合條件概率的公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)表示“第i臺(tái)機(jī)床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出現(xiàn)廢品”；C表示“出現(xiàn)合格品”．．【小問(wèn)2詳解】．20.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可,小問(wèn)1詳解】在中，令，得，當(dāng)時(shí)，由，于是有，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以由，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以有，顯然適合，因此；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，所以，.21.設(shè)甲盒有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，乙盒有4個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再?gòu)囊液腥稳汕颍?）記隨機(jī)變量表示從甲盒取出的紅球個(gè)數(shù)，求期望的值；（2）求從乙盒取出2個(gè)紅球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)超幾何分布概率求解；（2）根據(jù)甲盒任取2球放入乙盒的不同情況，分類討論，利用超幾何分布概率模型求解.【小問(wèn)1詳解】由題可知，隨機(jī)變量可能的取值有，所以分布列如下：012所以.【小問(wèn)2詳解】(i)若，則此時(shí)甲盒取出來(lái)了2個(gè)白球放入乙盒，此時(shí)乙盒有6個(gè)白球，1個(gè)紅球，所以從乙盒取出2個(gè)紅球的概率為0；(ii)若，則此時(shí)甲盒取出來(lái)了1個(gè)白球，1個(gè)紅球放入乙盒，此時(shí)乙盒有5個(gè)白球，2個(gè)紅球，所以從乙盒取出2個(gè)紅球的概率為；(iii)若，則此時(shí)甲盒取出來(lái)了2個(gè)紅球放入乙盒，此時(shí)乙盒有4個(gè)白球，3個(gè)紅球，所以從乙盒取出2個(gè)紅球的概率為；所以從乙盒取出2個(gè)紅球的概率為.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（2）若不等式在上恒成立，求的取值