2022-2023學年江蘇省揚州市高一下學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚州市2022-2023學年高一下學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題（全卷滿分150分，考試時間120分鐘）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面上所對應的點位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因為，則，所以在復平面上所對應的點為，位于第三象限.故選：C.2.已知一組數(shù)據(jù)分別是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，則它們的75百分位數(shù)為（）.A.2.75 B.2.80 C.2.81 D.2.82〖答案〗B〖解析〗因為10個樣本數(shù)據(jù)是從小到大排列的，且，所以第75百分位數(shù)是第8個數(shù)2.80．故選：B3.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，，求角B時，解的情況是（）.A.無解 B.一解 C.兩解 D.無數(shù)解〖答案〗C〖解析〗因為，，，由正弦定理可得：，則，所以，因為，所以，所以角B有兩解.故選：C.4.已知向量與的夾角為，，，則（）.A. B. C.或 D.以上都不對〖答案〗B〖解析〗因為，所以，又，所以，因為向量與的夾角為，所以，所以.故選：B5.已知、m為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）.A.若，，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，，則〖答案〗A〖解析〗對于選項A，因為，則垂直平面內(nèi)任意一條線，又，所以，所以，則有，所以選項A正確；對于選項B，當，時，有或，所以選項B錯誤；對于選項C，當，，，時，與可以相交，所以選項C錯誤；對于選項D，若，，時，有或與異面，所以選項D錯誤.故選：A.6.如圖，大運塔是揚州首座以鋼結(jié)構(gòu)為主體建設(shè)的直塔，為揚州中國大運河博物館的主體建筑之一.小強同學學以致用，欲測量大運塔的高度.他選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點，測得，，在兩觀測點處測得大運塔頂部的仰角分別為，則大運塔的高為（）.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，在直角中，，所以，在直角，，所以，即，中，，，由余弦定理得，即，因為，所以解得.即大運塔高為.故選：B7.已知，，則（）.A. B.C. D.或〖答案〗C〖解析〗因為，所以，即，所以，所以，即，即，所以，因為，所以，又，所以，即，所以，所以，所以.故選：C8.如圖，在一個質(zhì)地均勻的正八面體木塊的八個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8.連續(xù)拋擲這個正八面體木塊兩次，并記錄每次正八面體與地面接觸的面上的數(shù)字，記“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”為事件A，“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”為事件B，“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”為事件C，則下列結(jié)論正確的是（）.A.B與C是互斥事件 B.A與B不是相互獨立事件C. D.A與C是相互獨立事件〖答案〗D〖解析〗對于選項A，事件C，兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)，說明是一奇一偶，即事件B與事件C可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故選項A錯誤；對于選項B，對于事件A與事件B，，，，滿足，故A與B是相互獨立事件，選項B錯誤；對于選項C，由題意可得，，，，，故，選項C錯誤；對于選項D，，，，滿足，故A與C是相互獨立事件，選項D正確；故選：D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.如圖，在平行四邊形中，E、F分別是邊上的兩個三等分點，則下列選項正確的有（）.A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗選項A：由題意知，E、F分別是邊上的兩個三等分點，且與方向相同，則，故A正確；選項B：由圖可知，，，所以，故B正確；選項C：，所以C錯誤；選項D：，故D錯誤.故選：AB.10.從甲廠和乙廠生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取10件，對其使用壽命（單位：年）的檢測結(jié)果如下表：甲廠產(chǎn)品35677888910乙廠產(chǎn)品4667888888記甲工廠樣本使用壽命的眾數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為；乙工廠樣本使用壽命的眾數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為.則下列選項正確的有（）.A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由題意可得，，，，，，，，，則，，，，故選：BD11.在中，已知，AD為的內(nèi)角平分線且，則下列選項正確的有（）.A. B.C. D.的面積最小值為〖答案〗ACD〖解析〗依題意，即，所以，所以，故A正確；，所以，當且僅當時取等號，所以或（舍去），則，當且僅當時取等號，故D正確；又，，即，，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正確；由余弦定理，即，所以，由于由已知條件無法得知的值，故無法確定的值，故B錯誤.故選：ACD.12.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個不同零點，則下列選項正確的有（）.A.在區(qū)間上有且僅有3條對稱軸B.的最小正周期不可能是C.的取值范圍是D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗令,則，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個不同零點,即有3個整數(shù)符合,由,得，則，即,,故C正確;對于A，,,,當時,在區(qū)間上有且僅有3條對稱軸；當時,在區(qū)間有且僅有4條對稱軸，故A錯誤；對于B,周期,由,則,,又,所以的最小正周期不可能是，故B正確;對于D,,,,,又,所以區(qū)間上單調(diào)遞增,故D正確.故選:BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，雙空題第一空2分，第二空3分.13.已知非零向量與的夾角為45°，，向量在向量上投影向量為，則_____________.〖答案〗2〖解析〗由題意可知：.故〖答案〗為：2.14.寫出一個同時具有下列兩個性質(zhì)的復數(shù)______.性質(zhì)1：性質(zhì)2：〖答案〗（寫出其中一個即可）〖解析〗設(shè)，則，從而，因為，所以，解得，因為，所以，解得，所以.故〖答案〗為：（寫出其中一個即可）.15.已知角的終邊經(jīng)過點，且滿足，則實數(shù)______.〖答案〗〖解析〗因為角的終邊上有一點，所以，因為點在第一象限，不妨取，所以等價于.因為，所以，所以，所以，解得.故〖答案〗為：16.已知正方體的棱長為2，點是底面（含邊界）上一個動點，直線AP與平面ABCD所成的角為45°，則的取值范圍為____________；當取得最小值時，四棱錐的外接球表面積為____________.〖答案〗①.②.〖解析〗連接，因為⊥平面，所以即為線AP與平面所成的角，因為平面平面，故直線AP與平面所成的角等于直線AP與平面所成的角，故，在中，，故點軌跡為以為圓心，2為半徑的圓位于底面內(nèi)的部分，故連接，與圓弧交于點，當與重合時，取得最小值，最小值為，當與或重合時，取得最大值，最大值為2，故的取值范圍是；連接相交于點，連接與相交于點，連接，則，，球心在上，連接，則，其中，設(shè)，則，由勾股定理得，，故，解得，則，當取得最小值時，四棱錐的外接球表面積為.故〖答案〗為：，四、解答題：本大題共6小題，計70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，.（1）若，試判斷，能否構(gòu)成平面的一組基底？并請說明理由.（2）若，且，求與的夾角大小.解：（1）當時，，，因為，所以向量，不共線，所以，能構(gòu)成平面的一組基底；（2）因為，，所以，又，且，所以，所以，此時，，則，又因為，所以，即向量與的夾角為.18.如圖，在棱長為1的正方體中，E為棱的中點.（1）求證：平面；（2）求點D到平面的距離.（1）證明：連接BD交AC于O，連接EO，由正方體可知底面ABCD為正方形，所以O(shè)為BD中點，因為E為棱的中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：設(shè)點D到平面的距離為，由正方體可知平面ABCD，底邊ABCD為正方形，所以三棱錐的體積，又在中，，O為AC中點，所以，又，所以三棱錐的體積，因為，所以，解得，所以點D到平面EAC的距離.19.某村為響應國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，扎實推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)，提高村民收益，種植了一批琯溪蜜柚.現(xiàn)為了更好地銷售，從該村的蜜柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進行測重，測得其質(zhì)量（單位：千克）均分布在區(qū)間內(nèi)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）按分層隨機抽樣的方法從質(zhì)量落在區(qū)間，的蜜柚中隨機抽取5個，再從這5個蜜柚中隨機抽取2個，求這2個蜜柚質(zhì)量至少有一個小于3.5千克的概率；（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的蜜柚樹上大約還有5000個蜜柚待出售，某電商提出兩種收購方案：A.所有蜜柚均以20元/千克收購；B.低于4.5千克的蜜柚以70元/個的價格收購，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/個的價格收購.請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.解：（1）由題意得：所以蜜柚質(zhì)量在區(qū)間和的比為2：3，所以應分別在質(zhì)量為，的蜜柚中抽取2個和3個.記抽取的2個蜜柚中質(zhì)量至少有一個小于3.5千克為事件A抽取的質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別記為，，質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別記為，，，則從這5個蜜柚中隨機抽取2個，樣本空間，共10個樣本點解法一：事件，共7個樣本點，所以.解法二：事件A對立事件，共3個樣本點，所以.（2）方案A好，由題中頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在區(qū)間，，，，，的頻率依次為0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案A收購：由題意知各區(qū)間蜜柚個數(shù)依次為500，500，750，2000，1000，250，于是總收益為（元）.若按方案B收購：由題意知蜜柚質(zhì)量低于4.5千克的個數(shù)為1750，蜜柚質(zhì)量高于或等于4.5千克的個數(shù)為，所以總收益為（元）.因為，所以方案A的收益比方案B的收益高，應該選擇方案A.20.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，D、E分別為SB，AB的中點.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：∵，D為SB的中點，∴，∵平面平面SBC，平面SAB，平面平面，∴平面，又平面，∴，∵，∴，又，平面SAB，平面SAB，∴平面SAB，又平面SAB，∴；（2）解：取BD中點H，過H作于K，連接EK，因為E、H分別為AB、BD的中點，∴，由（1）知，，∴，，又，平面SBC，平面SBC，∴平面SBC，即平面BDC，又平面BDC，∴，∵，，平面EHK，平面EHK，∴平面EHK，又平面EHK，∴，∴為二面角的平面角，在中，，，，∴，在中，，，∴，由（1）可知平面SAB，平面SAB，∴，又，平面ABC，平面ABC，∴平面ABC，∵平面ABC，∴，∵D、E分別為SB、AB的中點，∴且，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，∴，在中，，∴，由HK在面SBC內(nèi)，則EH⊥HK，∴在中，，即二面角的正弦值.21.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C的大小；（2）若D是邊AB的三等分點（靠近點A），.求實數(shù)t的取值范圍.解：（1）由正弦定理可得：，∴，∴，又∵，∴.（2）設(shè)，，，則，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：.又，由，得.因為，所以.因為，所以，∴，，，∴，.22.已知函數(shù)，（，）（1）若，，證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有個零點；（2）若對于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.（1）證明：當，時，，則，，，且是一個不間斷的函數(shù)，在上存在零點，，，∴在上單調(diào)遞增，在上有且僅有1個零點.（2）解：由（1）知，令，則，∴，∵對于任意的，恒成立，∴恒成立.令，則時，恒成立.即，令，解得或.當時，解得，取，成立，則恒成立，，當時，解得，取，成立，則恒成立.，綜上，的最小值為，的最大值為.江蘇省揚州市2022-2023學年高一下學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題（全卷滿分150分，考試時間120分鐘）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面上所對應的點位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因為，則，所以在復平面上所對應的點為，位于第三象限.故選：C.2.已知一組數(shù)據(jù)分別是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，則它們的75百分位數(shù)為（）.A.2.75 B.2.80 C.2.81 D.2.82〖答案〗B〖解析〗因為10個樣本數(shù)據(jù)是從小到大排列的，且，所以第75百分位數(shù)是第8個數(shù)2.80．故選：B3.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，，求角B時，解的情況是（）.A.無解 B.一解 C.兩解 D.無數(shù)解〖答案〗C〖解析〗因為，，，由正弦定理可得：，則，所以，因為，所以，所以角B有兩解.故選：C.4.已知向量與的夾角為，，，則（）.A. B. C.或 D.以上都不對〖答案〗B〖解析〗因為，所以，又，所以，因為向量與的夾角為，所以，所以.故選：B5.已知、m為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）.A.若，，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，，則〖答案〗A〖解析〗對于選項A，因為，則垂直平面內(nèi)任意一條線，又，所以，所以，則有，所以選項A正確；對于選項B，當，時，有或，所以選項B錯誤；對于選項C，當，，，時，與可以相交，所以選項C錯誤；對于選項D，若，，時，有或與異面，所以選項D錯誤.故選：A.6.如圖，大運塔是揚州首座以鋼結(jié)構(gòu)為主體建設(shè)的直塔，為揚州中國大運河博物館的主體建筑之一.小強同學學以致用，欲測量大運塔的高度.他選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點，測得，，在兩觀測點處測得大運塔頂部的仰角分別為，則大運塔的高為（）.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，在直角中，，所以，在直角，，所以，即，中，，，由余弦定理得，即，因為，所以解得.即大運塔高為.故選：B7.已知，，則（）.A. B.C. D.或〖答案〗C〖解析〗因為，所以，即，所以，所以，即，即，所以，因為，所以，又，所以，即，所以，所以，所以.故選：C8.如圖，在一個質(zhì)地均勻的正八面體木塊的八個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8.連續(xù)拋擲這個正八面體木塊兩次，并記錄每次正八面體與地面接觸的面上的數(shù)字，記“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”為事件A，“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”為事件B，“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”為事件C，則下列結(jié)論正確的是（）.A.B與C是互斥事件 B.A與B不是相互獨立事件C. D.A與C是相互獨立事件〖答案〗D〖解析〗對于選項A，事件C，兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)，說明是一奇一偶，即事件B與事件C可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故選項A錯誤；對于選項B，對于事件A與事件B，，，，滿足，故A與B是相互獨立事件，選項B錯誤；對于選項C，由題意可得，，，，，故，選項C錯誤；對于選項D，，，，滿足，故A與C是相互獨立事件，選項D正確；故選：D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.如圖，在平行四邊形中，E、F分別是邊上的兩個三等分點，則下列選項正確的有（）.A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗選項A：由題意知，E、F分別是邊上的兩個三等分點，且與方向相同，則，故A正確；選項B：由圖可知，，，所以，故B正確；選項C：，所以C錯誤；選項D：，故D錯誤.故選：AB.10.從甲廠和乙廠生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取10件，對其使用壽命（單位：年）的檢測結(jié)果如下表：甲廠產(chǎn)品35677888910乙廠產(chǎn)品4667888888記甲工廠樣本使用壽命的眾數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為；乙工廠樣本使用壽命的眾數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為.則下列選項正確的有（）.A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由題意可得，，，，，，，，，則，，，，故選：BD11.在中，已知，AD為的內(nèi)角平分線且，則下列選項正確的有（）.A. B.C. D.的面積最小值為〖答案〗ACD〖解析〗依題意，即，所以，所以，故A正確；，所以，當且僅當時取等號，所以或（舍去），則，當且僅當時取等號，故D正確；又，，即，，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正確；由余弦定理，即，所以，由于由已知條件無法得知的值，故無法確定的值，故B錯誤.故選：ACD.12.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個不同零點，則下列選項正確的有（）.A.在區(qū)間上有且僅有3條對稱軸B.的最小正周期不可能是C.的取值范圍是D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗令,則，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個不同零點,即有3個整數(shù)符合,由,得，則，即,,故C正確;對于A，,,,當時,在區(qū)間上有且僅有3條對稱軸；當時,在區(qū)間有且僅有4條對稱軸，故A錯誤；對于B,周期,由,則,,又,所以的最小正周期不可能是，故B正確;對于D,,,,,又,所以區(qū)間上單調(diào)遞增,故D正確.故選:BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，雙空題第一空2分，第二空3分.13.已知非零向量與的夾角為45°，，向量在向量上投影向量為，則_____________.〖答案〗2〖解析〗由題意可知：.故〖答案〗為：2.14.寫出一個同時具有下列兩個性質(zhì)的復數(shù)______.性質(zhì)1：性質(zhì)2：〖答案〗（寫出其中一個即可）〖解析〗設(shè)，則，從而，因為，所以，解得，因為，所以，解得，所以.故〖答案〗為：（寫出其中一個即可）.15.已知角的終邊經(jīng)過點，且滿足，則實數(shù)______.〖答案〗〖解析〗因為角的終邊上有一點，所以，因為點在第一象限，不妨取，所以等價于.因為，所以，所以，所以，解得.故〖答案〗為：16.已知正方體的棱長為2，點是底面（含邊界）上一個動點，直線AP與平面ABCD所成的角為45°，則的取值范圍為____________；當取得最小值時，四棱錐的外接球表面積為____________.〖答案〗①.②.〖解析〗連接，因為⊥平面，所以即為線AP與平面所成的角，因為平面平面，故直線AP與平面所成的角等于直線AP與平面所成的角，故，在中，，故點軌跡為以為圓心，2為半徑的圓位于底面內(nèi)的部分，故連接，與圓弧交于點，當與重合時，取得最小值，最小值為，當與或重合時，取得最大值，最大值為2，故的取值范圍是；連接相交于點，連接與相交于點，連接，則，，球心在上，連接，則，其中，設(shè)，則，由勾股定理得，，故，解得，則，當取得最小值時，四棱錐的外接球表面積為.故〖答案〗為：，四、解答題：本大題共6小題，計70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，.（1）若，試判斷，能否構(gòu)成平面的一組基底？并請說明理由.（2）若，且，求與的夾角大小.解：（1）當時，，，因為，所以向量，不共線，所以，能構(gòu)成平面的一組基底；（2）因為，，所以，又，且，所以，所以，此時，，則，又因為，所以，即向量與的夾角為.18.如圖，在棱長為1的正方體中，E為棱的中點.（1）求證：平面；（2）求點D到平面的距離.（1）證明：連接BD交AC于O，連接EO，由正方體可知底面ABCD為正方形，所以O(shè)為BD中點，因為E為棱的中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：設(shè)點D到平面的距離為，由正方體可知平面ABCD，底邊ABCD為正方形，所以三棱錐的體積，又在中，，O為AC中點，所以，又，所以三棱錐的體積，因為，所以，解得，所以點D到平面EAC的距離.19.某村為響應國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，扎實推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)，提高村民收益，種植了一批琯溪蜜柚.現(xiàn)為了更好地銷售，從該村的蜜柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進行測重，測得其質(zhì)量（單位：千克）均分布在區(qū)間內(nèi)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）按分層隨機抽樣的方法從質(zhì)量落在區(qū)間，的蜜柚中隨機抽取5個，再從這5個蜜柚中隨機抽取2個，求這2個蜜柚質(zhì)量至少有一個小于3.5千克的概率；（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的蜜柚樹上大約還有5000個蜜柚待出售，某電商提出兩種收購方案：A.所有蜜柚均以20元/千克收購；B.低于4.5千克的蜜柚以70元/個的價格收購，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/個的價格收購.請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.解：（1）由題意得：所以蜜柚質(zhì)量在區(qū)間和的比為2：3，所以應分別在質(zhì)量為，的蜜柚中抽取2個和3個.記抽取的2個蜜柚中質(zhì)量至少有一個小于3.5千克為事件A抽取的質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別記為，，質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別記為，，，則從這5個蜜柚中隨機抽取2個，樣本空間，共10個樣本點解法一：事件，共7個樣本點，所以.解法二：事件A對立事件，共3個樣本點，所以