北京西城長(zhǎng)安中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

北京西城長(zhǎng)安中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則2．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，，則()A． B． C． D．3．從A，B，C三個(gè)同學(xué)中選2名代表，則A被選中的概率為（）A． B． C． D．4．已知a，b為不同的直線，為平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，依此類推，記此數(shù)列為，則()A．1 B．2 C．4 D．86．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則使成立的最小正整數(shù)n為（）A．6 B．7 C．8 D．97．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，有觀測(cè)數(shù)據(jù)，已知它們之間的線性回歸方程是，若，則（）A． B． C． D．8．已知，，則（）A． B． C． D．9．函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()A． B． C． D．10．在ΔABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，A=45°，B=30°，b=2，則a=（）A．2 B．63 C．22二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的值為_____________12．函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到．13．已知函數(shù)在時(shí)取得最小值，則________．14．函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上（其中m，n＞0），則的最小值等于__________.15．己知函數(shù)，，則的值為______.16．某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)三棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該幾何體的體積是___三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．某種汽車,購(gòu)車費(fèi)用是10萬(wàn)元,每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)和汽油費(fèi)為萬(wàn)元,年維修費(fèi)第一年為萬(wàn)元,以后逐年遞增萬(wàn)元,問這種汽車使用多少年時(shí),它的年平均費(fèi)用最少?18．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，為常數(shù)，且（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）是數(shù)列的前項(xiàng)的和，若是遞增數(shù)列，求的取值范圍.19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，與交于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求證：平面.20．?dāng)?shù)列中，，（為常數(shù)，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求證：①；②；（3）比較++…+與的大小，并加以證明.21．在相同條件下對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)員甲?乙兩人進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們的最大速度（單位:）的數(shù)據(jù)如下:甲273830373531乙332938342836試判斷選誰(shuí)參加某項(xiàng)重大比賽更合適.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【詳解】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，若，，則或，故B錯(cuò)誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．2、C【解析】

直接利用余弦定理得到答案.【詳解】故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，意在考查學(xué)生計(jì)算能力.3、D【解析】

先求出基本事件總數(shù)，被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出被選中的概率．【詳解】從，，三個(gè)同學(xué)中選2名代表，基本事件總數(shù)為：，共個(gè)，被選中包含的基本事件為：，共2個(gè)，被選中的概率．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查列舉法和運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、D【解析】

根據(jù)線面垂直與平行的性質(zhì)與判定分析或舉出反例即可.【詳解】對(duì)A,根據(jù)線線平行與線面垂直的性質(zhì)可知A正確.對(duì)B,根據(jù)線線平行與線面垂直的性質(zhì)可知B正確.對(duì)C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知C正確.對(duì)D,當(dāng),時(shí),也有可能.故D錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中平行垂直的判定與性質(zhì),屬于中檔題.5、C【解析】

將數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，根據(jù)，進(jìn)而得到數(shù)列的2017項(xiàng)為，數(shù)列的第2018項(xiàng)為，數(shù)列的第2019項(xiàng)為，即可求解.【詳解】將所給的數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，則數(shù)列的前n組共有項(xiàng)，又由，所以數(shù)列的前63組共有2016項(xiàng)，所以數(shù)列的2017項(xiàng)為，數(shù)列的第2018項(xiàng)為，數(shù)列的第2019項(xiàng)為，所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)所給數(shù)列合理分組，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.6、C【解析】

利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可確定，，，由此可確定最小正整數(shù).【詳解】且，使得成立的最小正整數(shù)故選：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)化簡(jiǎn)前項(xiàng)和公式.7、A【解析】

先求出，再由線性回歸直線通過樣本中心點(diǎn)即可求出.【詳解】由題意，，因?yàn)榫€性回歸直線通過樣本中心點(diǎn)，將代入可得，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸直線通過樣本中心點(diǎn)這一知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，屬常規(guī)考題.8、C【解析】

由放縮法可得出，再利用特殊值法以及不等式的基本性質(zhì)可判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】，，可得.取，，，則A、D選項(xiàng)中的不等式不成立；取，，，則B選項(xiàng)中的不等式不成立；且，由不等式的基本性質(zhì)得，C選項(xiàng)中的不等式成立.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用不等式的性質(zhì)或特殊值法進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.9、B【解析】

先求出變換后的函數(shù)的解析式，求出所得函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)，可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為，令，得，因此，所得函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的變換以及三角函數(shù)的對(duì)稱中心，解題的關(guān)鍵就是求出變換后的三角函數(shù)解析式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10、C【解析】

利用正弦定理得到答案.【詳解】asin故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用和差化積公式將兩式化簡(jiǎn)，然后兩式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．【詳解】由得，，，兩式相除得，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查和差化積公式以及二倍角公式的應(yīng)用．12、【解析】試題分析：因?yàn)?，所以函?shù)的的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖像的平移變換、兩角差的正弦公式【誤區(qū)警示】在進(jìn)行三角函數(shù)圖像變換時(shí)，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握，無(wú)論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言，即圖像變換要看“變量”變化多少，而不是“角”變化多少．13、【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即，由題意，解得考點(diǎn)：基本不等式14、1【解析】

由題意可得定點(diǎn)，，把要求的式子化為，利用基本不等式求得結(jié)果．【詳解】解：且令解得，則即函數(shù)過定點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題，把要求的式子化為，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15、1【解析】

將代入函數(shù)計(jì)算得到答案.【詳解】函數(shù)故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.16、6【解析】

先作出幾何體圖形，再根據(jù)幾何體的體積等于正方體的體積減去三棱柱的體積計(jì)算.【詳解】幾何體如圖所示：去掉的三棱柱的高為2，底面面積是正方體底面積的，所以三棱柱的體積：所以幾何體的體積：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖與幾何體的體積.關(guān)鍵是作出幾何體的圖形，方法：先作出正方體的圖形，再根據(jù)三視圖“切”去多余部分.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、這種汽車使用年時(shí),它的年平均費(fèi)用最小【解析】

設(shè)這種汽車使用年時(shí),它的年平均費(fèi)用為萬(wàn)元，則，于是，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以這種汽車使用10年時(shí),它的年平均費(fèi)用最小18、（1）是公比為的等比數(shù)列，理由見解析；（2）【解析】

（1）由，當(dāng)時(shí)，，即可得出結(jié)論．（2）由（1）可得：，可得，，可得，，即可得出．【詳解】（1），則時(shí)，，時(shí)，為等比數(shù)列，公比為．（2）由（1）可得：，只需，（）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，又單減，∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，又單增，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式及其單調(diào)性，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解析】

（I）通過證明平面來(lái)證得平面平面.（II）取中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得∥平面.（III）通過證明平面證得，通過計(jì)算證明證得，由此證得平面.【詳解】證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)所以，且.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，底面為正方形，所以，且.所以，且.所以四邊形為平行四邊形.所以.因?yàn)槠矫媲移矫?，所以平?（Ⅲ）在正方形中，，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所以平?所以.在△中，設(shè)交于.因?yàn)?，且分別為的中點(diǎn)，所以.所以.設(shè)，由已知，所以.所以.所以.所以，且為公共角，所以△∽△.所以.所以.因?yàn)?，所以平?【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直、面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、(1)；(2)①見證明；②見證明；(3)++…+，證明見解析【解析】

（1）將代入，結(jié)合可求出的值；（2）可知，，即可證明結(jié)論；（3）由題意可得，從而可得到，求和可得，然后作差，通過討論可比較二者大小.【詳解】（1）由題意：，.而，得，即，解得或，因?yàn)?，所以滿足題意.（2）因?yàn)?，所?則.，因?yàn)椋裕?（3）由，可得，從而，所以.因?yàn)椋?，所?，，，