安徽省馬鞍山市2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

安徽省馬鞍山市2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．將兩個長、寬、高分別為5，4，3的長方體壘在一起，使其中兩個面完全重合，組成一個大長方體，則大長方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列的前項和為，首項，若，則當(dāng)取最大值時，的值為（）A． B． C． D．3．某市家庭煤氣的使用量和煤氣費(fèi)(元)滿足關(guān)系，已知某家庭今年前三個月的煤氣費(fèi)如下表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份元二月份元三月份元若四月份該家庭使用了的煤氣，則其煤氣費(fèi)為（）元A． B． C． D．4．已知平面向量與的夾角為，且，則（）A． B． C． D．5．若點(diǎn),直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（）A．或B．或C．D．6．若，且，則()A． B． C． D．7．一個三棱錐內(nèi)接于球，且，，則球心到平面的距離是（）A． B． C． D．8．已知集合，對于滿足集合A的所有實(shí)數(shù)t，使不等式恒成立的x的取值范圍為A． B．C． D．9．設(shè)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件10．己知，，若軸上方的點(diǎn)滿足對任意，恒有成立，則點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為（）A． B． C．1 D．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，且，則_______．12．若正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面與底面所成的角是45°，則該正四棱錐的體積是________.13．《九章算術(shù)》是體現(xiàn)我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出著作，其中(方田)章給出的計算弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積(弦矢矢2)，弧田(如圖陰影部分)由圓弧及其所對的弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦的長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有弧長為米，半徑等于米的弧田，則弧所對的弦的長是_____米，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計算得到的弧田面積是___________平方米.14．已知在中，角的大小依次成等差數(shù)列，最大邊和最小邊的長是方程的兩實(shí)根，則__________．15．已知，則的最小值為__________．16．若函數(shù)的圖像與直線有且僅有四個不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為銳角三角形，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．（1）求C；（2）若，且的面積為，求的周長．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且垂直于軸，連結(jié)并延長交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè).（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程及的值；（2）若，求橢圓的離心率的取值范圍.19．已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，.（1）求角的大?。唬?）若，的面積為，求邊，.20．已知扇形的半徑為3，面積為9，則該扇形的弧長為___________.21．已知函數(shù)，.（1）將化為的形式（，，）并求的最小正周期；（2）設(shè)，若在上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)、的值；（3）若對任意的和恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

要計算長方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長方體的對角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長寬的兩個面重合；（2）長高的兩個面重合；（3）高寬兩個面重合，分別計算出新長方體的對角線，然后分別計算出外接球的表面積，最后通過比較即可求出最大值.【詳解】（1）當(dāng)長寬的兩個面重合，新的長方體的長為5，寬為4，高為6，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長高兩個面重合，新的長方體的長5，寬為8，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個面重合，新的長方體的長為10，寬為4，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為，顯然大長方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了長方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、B【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，，由，可得，令求出正整數(shù)的最大值，即可得出取得最大值時對應(yīng)的的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，可得，令，，可得，解得.因此，最大.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項和的最值，一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，也可由數(shù)列項的符號求出正整數(shù)的最大值來求解，考查計算能力，屬于中等題.3、C【解析】由題意得：C=4，將（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：∴A=5，B=，故x=20時：f（20）=4+（20﹣5）=11.5.故選：C．點(diǎn)睛：這是函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題型，根據(jù)題目中的條件和已知點(diǎn)得到分段函數(shù)的未知量的值，首先得到函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)題意讓求自變量為20時的函數(shù)值，求出即可。實(shí)際應(yīng)用題型，一般是先根據(jù)題意構(gòu)建模型，列出表達(dá)式，根據(jù)條件求解問題即可。4、A【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，將平方運(yùn)算可得結(jié)果．【詳解】∵，∴，∴cos=4，∴，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用平面向量的數(shù)量積求模的應(yīng)用問題，考查了數(shù)量積與模之間的轉(zhuǎn)化，是基礎(chǔ)題目．5、C【解析】試題分析：畫出三點(diǎn)坐標(biāo)可知，兩個邊界值為和,數(shù)形結(jié)合可知為．考點(diǎn)：1．相交直線；2．?dāng)?shù)形結(jié)合的方法；6、A【解析】

利用二倍角的正弦公式和與余弦公式化簡可得.【詳解】∵，∴，∵，所以，∴，∴.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的正弦公式，考查了二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】由題意可得三棱錐的三對對棱分別相等，所以可將三棱錐補(bǔ)成一個長方體，如圖所示，該長方體的外接球就是三棱錐的外接球，長方體共頂點(diǎn)的三條面對角線的長分別為，設(shè)球的半徑為，則有，在中，由余弦定理得，再由正弦定理得為外接圓的半徑），則，因此球心到平面的距離，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查了球的組合體問題，本題的解答中采用割補(bǔ)法，考慮到三棱錐的三對對棱相等，所以可得三棱錐補(bǔ)成一個長方體，長方體的外接球就是三棱錐的外接球，求出求出球的半徑，進(jìn)而求解距離，其中正確認(rèn)識組合體的特征和恰當(dāng)補(bǔ)形時解答的關(guān)鍵.8、B【解析】

由條件求出t的范圍，不等式變形為恒成立，即不等式恒成立，再由不等式的左邊兩個因式同為正或同為負(fù)處理．【詳解】由得，，

不等式恒成立，即不等式恒成立，即不等式恒成立，

只需或恒成立，

只需或恒成立，

只需或即可．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法問題，難度較大，充分利用恒成立的思想解題是關(guān)鍵．9、C【解析】

首先解兩個不等式，再根據(jù)充分、必要條件的知識選出正確選項.【詳解】由解得.由得.所以“”是“”的必要而不充分條件故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由題意首先利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則確定縱坐標(biāo)的解析式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最小值即可.【詳解】設(shè)，則，，故，恒成立，即恒成立，據(jù)此可得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.據(jù)此可得的最小值為，則的最小值為.即點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為2.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，二次函數(shù)最值的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先由向量共線，求出，再由向量模的坐標(biāo)表示，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得，所以，因?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查求向量的模，熟記向量共線的坐標(biāo)表示，以及向量模的坐標(biāo)表示即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、【解析】

過棱錐頂點(diǎn)作,平面，則為的中點(diǎn)，為正方形的中心，連結(jié)，設(shè)正四棱錐的底面長為，根據(jù)已知求出a=2,SO=1,再求該正四棱錐的體積.【詳解】過棱錐頂點(diǎn)作,平面，則為的中點(diǎn)，為正方形的中心，連結(jié)，則為側(cè)面與底面所成角的平面角，即，設(shè)正四棱錐的底面長為，則，所以，在中，∵∴，解得，∴∴棱錐的體積.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面角的計算，考查棱錐體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

在中，由題意可知：，弧長為,即可以求出,則求得的值，根據(jù)題意可求矢和弦的值及弦長，利用公式可以完成.【詳解】如上圖在中，可得：，可以得：矢=所以:弧田面積(弦矢矢2)=所以填寫(1).(2).【點(diǎn)睛】本題是數(shù)學(xué)文化考題，扇形為載體的新型定義題，求弦長屬于簡單的解三角形問題，而作為第二空，我們首先知道公式中涉及到了“矢”，所以我們必須把“矢”的定義弄清楚，再借助定義求出它的值，最后只是簡單代入公式計算即能完成.14、【解析】

本題首先可根據(jù)角的大小依次成等差數(shù)列計算出，然后根據(jù)最大邊和最小邊的長是方程的兩實(shí)根得到以及，最后根據(jù)余弦定理即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榻浅傻炔顢?shù)列，所以，又因?yàn)?，所?設(shè)方程的兩根分別為、，則，由余弦定理可知：，所以.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)余弦定理求三角形邊長，考查等差中項以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，余弦定理公式為，體現(xiàn)了綜合性，是中檔題．15、【解析】

根據(jù)均值不等式即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)樗裕鶕?jù)均值不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了均值不等式，屬于中檔題.16、【解析】

將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再畫出函數(shù)的圖象，則直線與函數(shù)圖象有四個交點(diǎn)，從而得到的取值范圍.【詳解】因?yàn)橐驗(yàn)樗?，所以圖象關(guān)于對稱，其圖象如圖所示：因?yàn)橹本€與函數(shù)圖象有四個交點(diǎn)，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)圖象研究與直線交點(diǎn)個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，作圖時發(fā)現(xiàn)圖象關(guān)于對稱，是快速畫出圖象的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)正弦定理可求，利用特殊角三角函數(shù)可求C；（2）由和的面積公式，可求，再根據(jù)余弦定理求得解出a，b即可求的周長．【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，又所以，又為銳角三角形，所以．（2）因?yàn)?，所以由面積公式得，．又因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，，所以，或，，故的周長為．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）【解析】

（1）把的坐標(biāo)代入方程得到，結(jié)合解出后可得標(biāo)準(zhǔn)方程.求出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程和直線方程后可求的坐標(biāo)，故可得的值.（2）因，故可用表示的坐標(biāo)，利用它在橢圓上可得與的關(guān)系，化簡后可得與離心率的關(guān)系，由的范圍可得的范圍.【詳解】（1）因?yàn)榇怪庇谳S，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，解得，，所以橢圓的方程為.所以，直線的方程為，將代入橢圓的方程，解得，所以.（2）因?yàn)檩S，不妨設(shè)在軸上方，，.設(shè)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得，即.（方法一）因?yàn)椋傻?，，，解得，，所?因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，從而.因?yàn)?，所?解得，所以橢圓的離心率的取值范圍.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.圓錐曲線中的離心率的計算或范圍問題，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個等式關(guān)系或不等式關(guān)系，其中不等式關(guān)系的構(gòu)建需要利用題設(shè)中的范圍、坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置等．19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化邊為角，再依據(jù)兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式，即可求出，進(jìn)而求得角A的大小：（2）依第一問結(jié)果，先由三角形面積公式求出，再利用余弦定理求出，聯(lián)立即可求解出，的值．【詳解】（1）由及正弦定理得，整理得，，，因?yàn)椋?，所以，，又，所以?（2）因?yàn)榈拿娣e，所以，①由余弦定理得，，所以，②聯(lián)立①②解得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面積公式的應(yīng)用，涉及利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式對三角函數(shù)式的恒等變換．20、6【解析】

直接利用扇形的面積公式，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)樯刃蔚陌霃?，扇形的面積，由，得，所以該扇形的弧長為6.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積公式的應(yīng)用.21、（1），；（2），，或，；（3）.【解析】

(1)由三角函數(shù)的恒等變換公式和正弦函數(shù)的周期的公式，即可求解；(2)由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，討論的范圍，得到的方程組，即可求得的值；（3）對討論奇數(shù)和偶數(shù)，由參數(shù)分離和函數(shù)的最值，即可求得的范圍.【詳解】(1)由題意，函數(shù)所以函