浙江省中考數學總復習第四章基本圖形(一)第21講矩形講解篇

第21講矩形、菱形與正方形1．矩形考試內容考試要求矩形的定義有一個角是的平行四邊形叫做矩形．b矩形的性質(1)矩形具有平行四邊形所有的性質．c(2)矩形的四個角都是，對角線互相平分并且．(3)矩形既是一個軸對稱圖形，它有兩條對稱軸；又是中心對稱圖形，它的對稱中心就是．矩形的判定(1)定義法.(2)有三個角是直角的四邊形是矩形．(3)的平行四邊形是矩形．2.菱形考試內容考試要求菱形的定義有一組的平行四邊形叫做菱形．b菱形的性質(1)菱形具有平行四邊形所有的性質．c(2)菱形的四條邊，對角線互相，并且每條對角線平分一組對角．(3)菱形既是一個軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸；又是中心對稱圖形，它的對稱中心就是．(4)菱形的面積等于對角線乘積的．菱形的判定(1)定義法．(2)四條邊的四邊形是菱形．(3)對角線的平行四邊形是菱形．3.正方形考試內容考試要求正方形的定義有一組鄰邊，并且有一個角是_______________的平行四邊形叫做正方形．b正方形的性質(1)正方形的四條邊，四個角都是，對角線互相且，并且每一條對角線平分一組對角，具有矩形和菱形的所有性質．c(2)正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，對稱軸有_____________條，對稱中心是對角線的交點．正方形的判定(1)有一組鄰邊相等的____________________是正方形.(2)有一個角是直角的是正方形．(3)對角線的四邊形是正方形．4.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系考試內容考試要求基本方法正方形的判定可簡記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直(即菱形)．c1．(2016·杭州)在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面內，以對角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數為____________________．2．(2016·衢州)如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線．(1)用直尺和圓規(guī)作線段BD的垂直平分線，分別交AD、BC于E、F(保留作圖痕跡，不寫作法和證明)．(2)連結BE，DF，問四邊形BEDF是什么四邊形？請說明理由．【問題】矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形．正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個角是直角的特殊菱形．因此，我們可以利用矩形、菱形的性質來研究正方形的有關問題，回答下列問題：(1)將平行四邊形、矩形、菱形、正方形填入它們的包含關系圖中：(2)要證明一個四邊形是正方形，可以先證明四邊形是矩形，再證明這個矩形的________相等；或者先證明四邊形是菱形，再證明這個菱形有一角是________．(3)如圖菱形ABCD，某同學根據菱形面積計算公式推導出對角線長為a的正方形面積是S＝eq\f(1,2)a2，對此結論，你認為是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，舉出一個反例來說明．【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系，以及性質與判定．類型一矩形的性質與判定eq\a\vs4\al(例1)(1)如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是()A．AB＝CDB．AC＝BDC．AB＝BCD．AC⊥BD(2)如圖，在矩形ABCD中，有以下結論：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤當∠ABD＝45°時，矩形ABCD會變成正方形；⑥AC所在直線為對稱軸；⑦矩形ABCD的周長是28，點E是CD的中點，AC＝10時，△DOE的周長是12.則正確結論的序號是________．【解后感悟】(1)結合圖形，利用圖形條件、已知條件綜合判定；(2)熟記各種特殊幾何圖形，利用性質、揭示圖形的數量關系是解題關鍵．(1)(2015·南昌)如圖，小賢為了檢驗四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，B與D兩點之間用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭動框架，觀察所得四邊形的變化，下列判斷錯誤的是()A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅蜝．BD的長度增大C．四邊形ABCD的面積不變D．四邊形ABCD的周長不變(2)(2015·臨沂)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連結EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是()A．AB＝BEB．DE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE2．(2017·南京模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分別是AB，CD的中點，P是AD上的點，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求證：∠PNM＝2∠CBN；(2)求線段AP的長．類型二菱形的性質與判定eq\a\vs4\al(例2)(1)如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是AD的中點，連結OE，①若菱形的邊長是10，一條對角線長是12，則此菱形的另一條對角線長是______．②若OE＝3，則菱形的周長是________．③若∠ABC＝60°，周長是16，則菱形的面積是________．(2)已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四個條件中，選一個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是菱形，現有下列四種選法，其中都正確的是()A．①或②B．②或③C．③或④D．①或④【解后感悟】(1)熟記各種特殊幾何圖形，利用性質、揭示圖形的數量關系是解題關鍵；(2)結合圖形，利用圖形條件、已知條件綜合判定．(1)(2015·黔東南州)如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH＝()A.eq\f(24,5)B.eq\f(12,5)C．12D．24(2)如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，點E，F分別在線段AD及其延長線上，且DE＝DF.給出下列條件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC；從中選擇一個條件使四邊形BECF是菱形，你認為這個條件是____________________(只填寫序號)．(2016·梅州)如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于eq\f(1,2)BF長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連結AP并延長交BC于點E，連結EF.①四邊形ABEF是____________________；(選“矩形”、“菱形”、“正方形”或“無法確定”)(直接填寫結果)②AE，BF相交于點O，若四邊形ABEF的周長為40，BF＝10，則AE的長為____________________，∠ABC＝____________________°.(直接填寫結果)4．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連結CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．類型三正方形的性質與判定eq\a\vs4\al(例3)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連結DF、AE，AE的延長線交DF于點M.求證：AM⊥DF.【解后感悟】正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有這些圖形的所有性質．正方形的判定方法有兩條道路：(1)先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形；(2)先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形．(1)(2015·日照)小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中選兩個作為補充條件，使?ABCD為正方形(如圖)，現有下列四種選法，你認為其中錯誤的是()A．①②B．②③C．①③D．②④(2)如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE＝()A．2B．3C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)(2015·黃岡)如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E.若∠CBF＝20°，則∠AED等于____________________度．6．(2017·紹興模擬)如圖，正方形AEFG的頂點E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連結BF、DF.(1)求證：BF＝DF；(2)連結CF，請直接寫出BE∶CF的值(不必寫出計算過程)．類型四特殊平行四邊形的綜合運用eq\a\vs4\al(例4)(2016·臨沂)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB上的點，且CE＝BF.連結DE，過點E作EG⊥DE，使EG＝DE，連結FG，FC.(1)請判斷：FG與CE的數量關系是，位置關系是；(2)如圖2，若點E，F分別是邊CB，BA延長線上的點，其他條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；(3)如圖3，若點E，F分別是邊BC，AB延長線上的點，其他條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．【解后感悟】本題是三角形與四邊形綜合問題，涉及全等三角形、平行四邊形、矩形、正方形的判定與性質．解題的關鍵是利用全等三角形的對應邊相等進行線段的等量代換，從而求證出平行四邊形．如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連結EF.給出下列五個結論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝eq\r(2)EC.其中正確結論的序號是____________________．8．(2016·荊州)如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開始后點D′未到達點B時，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點F，連結EF，當四邊形EDD′F為菱形時，試探究△A′DE的形狀，并判斷△A′DE與△EFC′是否全等？請說明理由．【課本改變題】教材母題－－浙教版八下第147頁，作業(yè)題第5題(1)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，∠AOF＝90°.求證：BE＝CF；(2)如圖2，在正方形ABCD中，點E，H，F，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的長；(3)已知點E，H，F，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：①如圖3，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GH的長；②如圖4，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GH的長(用n的代數式表示)．【方法與對策】這題是從特殊到一般的規(guī)律探究題．從課本題出發(fā)逐步提出問題，解決問題，然后根據這些解題體驗，領悟解題方法，再來解決一般性問題，這是中考命題熱點之一，平時學習要重視一些典型的基本圖形．【由于思維定勢，對問題考慮不全】若正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點，BE＝3，M為線段AE上一點，射線BM交正方形的一邊于點F，且BF＝AE，則BM的長為________．參考答案第21講矩形、菱形與正方形【考點概要】1．直角直角相等對角線的交點對角線相等2.鄰邊相等相等垂直平分對角線的交點一半相等互相垂直3.相等直角相等直角垂直平分相等四矩形菱形互相垂直平分且相等4.兩組對邊分別平行有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角【考題體驗】1．105°或45°2．(1)如圖，EF為所求直線；(2)四邊形BEDF為菱形，理由為：證明：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四邊形BEDF為菱形．【知識引擎】【解析】(1)根據在平行四邊形中，鄰邊相等的是菱形，鄰邊垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，可根據此關系來畫圖．如圖(2)根據正方形的判定方法進行解答即可．即兩種常見的方法：①一組鄰邊相等的矩形是正方形．②一個角是直角的菱形是正方形．∴填：一組鄰邊，直角．(3)本題的證明方法有多種，可根據正方形的對角線互相垂直平分且相等，將正方形分成四個直角三角形的面積和來求證，也可通過對角線求出正方形的邊長來求證．∴結論正確．證明：S正方形ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)a2.【例題精析】例1(1)B；(2)①②③⑤⑦例2(1)①16②24③8eq\r(3)(2)D例3證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OF＝OE，在Rt△AOE和Rt△DOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝DO，,∠AOD＝∠DOF，,OE＝OF，))∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF.例4(1)FG＝CE，FG∥CE；(2)過點G作GH⊥CB的延長線于點H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，在△HGE與△CED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GHE＝∠DCE，,∠HGE＝∠DEC,EG＝DE，))，∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥BF，∴四邊形GHBF是矩形，∴GF＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝EC，∴FG＝EC.(3)成立．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，在△CBF與△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝CE，,∠FBC＝∠ECD,BC＝DC，))，∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四邊形CEGF是平行四邊形，∴FG∥CE，FG＝CE.【變式拓展】(1)C(2)B2.(1)∵四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AB，CD的中點，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN，∴∠PNM＝2∠CBN；(2)連結AN，根據矩形的軸對稱性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM，由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN，∵AB＝CD＝4，M，N分別為AB，CD的中點，∴DN＝2，設AP＝x，則PD＝6－x，在Rt△PDN中，PD2＋DN2＝PN2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得：x＝eq\f(10,3)，所以AP＝eq\f(10,3).3.(1)A(2)③(3)①菱形②10eq\r(3)120(1)略；(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為2eq\r(3)，∴菱形的面積為4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).(1)B(2)C(3)65(1)只要證明△BEF≌△DGF(SAS)，