浙江省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章基本圖形(一)第21講矩形講解篇

第21講矩形、菱形與正方形1．矩形考試內(nèi)容考試要求矩形的定義有一個(gè)角是的平行四邊形叫做矩形．b矩形的性質(zhì)(1)矩形具有平行四邊形所有的性質(zhì)．c(2)矩形的四個(gè)角都是，對(duì)角線互相平分并且．(3)矩形既是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸；又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心就是．矩形的判定(1)定義法.(2)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．(3)的平行四邊形是矩形．2.菱形考試內(nèi)容考試要求菱形的定義有一組的平行四邊形叫做菱形．b菱形的性質(zhì)(1)菱形具有平行四邊形所有的性質(zhì)．c(2)菱形的四條邊，對(duì)角線互相，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．(3)菱形既是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，兩條對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸；又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心就是．(4)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的．菱形的判定(1)定義法．(2)四條邊的四邊形是菱形．(3)對(duì)角線的平行四邊形是菱形．3.正方形考試內(nèi)容考試要求正方形的定義有一組鄰邊，并且有一個(gè)角是_______________的平行四邊形叫做正方形．b正方形的性質(zhì)(1)正方形的四條邊，四個(gè)角都是，對(duì)角線互相且，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，具有矩形和菱形的所有性質(zhì)．c(2)正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸有_____________條，對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線的交點(diǎn)．正方形的判定(1)有一組鄰邊相等的____________________是正方形.(2)有一個(gè)角是直角的是正方形．(3)對(duì)角線的四邊形是正方形．4.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系考試內(nèi)容考試要求基本方法正方形的判定可簡(jiǎn)記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個(gè)：先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)．c1．(2016·杭州)在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面內(nèi)，以對(duì)角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數(shù)為_(kāi)___________________．2．(2016·衢州)如圖，已知BD是矩形ABCD的對(duì)角線．(1)用直尺和圓規(guī)作線段BD的垂直平分線，分別交AD、BC于E、F(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明)．(2)連結(jié)BE，DF，問(wèn)四邊形BEDF是什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【問(wèn)題】矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形．正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊菱形．因此，我們可以利用矩形、菱形的性質(zhì)來(lái)研究正方形的有關(guān)問(wèn)題，回答下列問(wèn)題：(1)將平行四邊形、矩形、菱形、正方形填入它們的包含關(guān)系圖中：(2)要證明一個(gè)四邊形是正方形，可以先證明四邊形是矩形，再證明這個(gè)矩形的________相等；或者先證明四邊形是菱形，再證明這個(gè)菱形有一角是________．(3)如圖菱形ABCD，某同學(xué)根據(jù)菱形面積計(jì)算公式推導(dǎo)出對(duì)角線長(zhǎng)為a的正方形面積是S＝eq\f(1,2)a2，對(duì)此結(jié)論，你認(rèn)為是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；若不正確，舉出一個(gè)反例來(lái)說(shuō)明．【歸納】通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題，歸納、疏理平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，以及性質(zhì)與判定．類(lèi)型一矩形的性質(zhì)與判定eq\a\vs4\al(例1)(1)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是()A．AB＝CDB．AC＝BDC．AB＝BCD．AC⊥BD(2)如圖，在矩形ABCD中，有以下結(jié)論：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤當(dāng)∠ABD＝45°時(shí)，矩形ABCD會(huì)變成正方形；⑥AC所在直線為對(duì)稱(chēng)軸；⑦矩形ABCD的周長(zhǎng)是28，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AC＝10時(shí)，△DOE的周長(zhǎng)是12.則正確結(jié)論的序號(hào)是________．【解后感悟】(1)結(jié)合圖形，利用圖形條件、已知條件綜合判定；(2)熟記各種特殊幾何圖形，利用性質(zhì)、揭示圖形的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．(1)(2015·南昌)如圖，小賢為了檢驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，B與D兩點(diǎn)之間用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭動(dòng)框架，觀察所得四邊形的變化，下列判斷錯(cuò)誤的是()A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅蜝．BD的長(zhǎng)度增大C．四邊形ABCD的面積不變D．四邊形ABCD的周長(zhǎng)不變(2)(2015·臨沂)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連結(jié)EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是()A．AB＝BEB．DE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE2．(2017·南京模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，P是AD上的點(diǎn)，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求證：∠PNM＝2∠CBN；(2)求線段AP的長(zhǎng)．類(lèi)型二菱形的性質(zhì)與判定eq\a\vs4\al(例2)(1)如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，連結(jié)OE，①若菱形的邊長(zhǎng)是10，一條對(duì)角線長(zhǎng)是12，則此菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)是______．②若OE＝3，則菱形的周長(zhǎng)是________．③若∠ABC＝60°，周長(zhǎng)是16，則菱形的面積是________．(2)已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選一個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是菱形，現(xiàn)有下列四種選法，其中都正確的是()A．①或②B．②或③C．③或④D．①或④【解后感悟】(1)熟記各種特殊幾何圖形，利用性質(zhì)、揭示圖形的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵；(2)結(jié)合圖形，利用圖形條件、已知條件綜合判定．(1)(2015·黔東南州)如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH＝()A.eq\f(24,5)B.eq\f(12,5)C．12D．24(2)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD及其延長(zhǎng)線上，且DE＝DF.給出下列條件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC；從中選擇一個(gè)條件使四邊形BECF是菱形，你認(rèn)為這個(gè)條件是____________________(只填寫(xiě)序號(hào))．(2016·梅州)如圖，在平行四邊形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于eq\f(1,2)BF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連結(jié)EF.①四邊形ABEF是____________________；(選“矩形”、“菱形”、“正方形”或“無(wú)法確定”)(直接填寫(xiě)結(jié)果)②AE，BF相交于點(diǎn)O，若四邊形ABEF的周長(zhǎng)為40，BF＝10，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)___________________，∠ABC＝____________________°.(直接填寫(xiě)結(jié)果)4．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE＝2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF＝BE，連結(jié)CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．類(lèi)型三正方形的性質(zhì)與判定eq\a\vs4\al(例3)如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連結(jié)DF、AE，AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF.【解后感悟】正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有這些圖形的所有性質(zhì)．正方形的判定方法有兩條道路：(1)先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形是菱形；(2)先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形是矩形．(1)(2015·日照)小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使?ABCD為正方形(如圖)，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是()A．①②B．②③C．①③D．②④(2)如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE＝()A．2B．3C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)(2015·黃岡)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E.若∠CBF＝20°，則∠AED等于____________________度．6．(2017·紹興模擬)如圖，正方形AEFG的頂點(diǎn)E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連結(jié)BF、DF.(1)求證：BF＝DF；(2)連結(jié)CF，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE∶CF的值(不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)．類(lèi)型四特殊平行四邊形的綜合運(yùn)用eq\a\vs4\al(例4)(2016·臨沂)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CE＝BF.連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE，使EG＝DE，連結(jié)FG，F(xiàn)C.(1)請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明；(3)如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷．【解后感悟】本題是三角形與四邊形綜合問(wèn)題，涉及全等三角形、平行四邊形、矩形、正方形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行線段的等量代換，從而求證出平行四邊形．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF.給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝eq\r(2)EC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．8．(2016·荊州)如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開(kāi)，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開(kāi)始后點(diǎn)D′未到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點(diǎn)F，連結(jié)EF，當(dāng)四邊形EDD′F為菱形時(shí)，試探究△A′DE的形狀，并判斷△A′DE與△EFC′是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．【課本改變題】教材母題－－浙教版八下第147頁(yè)，作業(yè)題第5題(1)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，∠AOF＝90°.求證：BE＝CF；(2)如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接寫(xiě)出下列兩題的答案：①如圖3，矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成，求GH的長(zhǎng)；②如圖4，矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成，求GH的長(zhǎng)(用n的代數(shù)式表示)．【方法與對(duì)策】這題是從特殊到一般的規(guī)律探究題．從課本題出發(fā)逐步提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，然后根據(jù)這些解題體驗(yàn)，領(lǐng)悟解題方法，再來(lái)解決一般性問(wèn)題，這是中考命題熱點(diǎn)之一，平時(shí)學(xué)習(xí)要重視一些典型的基本圖形．【由于思維定勢(shì)，對(duì)問(wèn)題考慮不全】若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝3，M為線段AE上一點(diǎn)，射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，且BF＝AE，則BM的長(zhǎng)為_(kāi)_______．參考答案第21講矩形、菱形與正方形【考點(diǎn)概要】1．直角直角相等對(duì)角線的交點(diǎn)對(duì)角線相等2.鄰邊相等相等垂直平分對(duì)角線的交點(diǎn)一半相等互相垂直3.相等直角相等直角垂直平分相等四矩形菱形互相垂直平分且相等4.兩組對(duì)邊分別平行有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角【考題體驗(yàn)】1．105°或45°2．(1)如圖，EF為所求直線；(2)四邊形BEDF為菱形，理由為：證明：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四邊形BEDF為菱形．【知識(shí)引擎】【解析】(1)根據(jù)在平行四邊形中，鄰邊相等的是菱形，鄰邊垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，可根據(jù)此關(guān)系來(lái)畫(huà)圖．如圖(2)根據(jù)正方形的判定方法進(jìn)行解答即可．即兩種常見(jiàn)的方法：①一組鄰邊相等的矩形是正方形．②一個(gè)角是直角的菱形是正方形．∴填：一組鄰邊，直角．(3)本題的證明方法有多種，可根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，將正方形分成四個(gè)直角三角形的面積和來(lái)求證，也可通過(guò)對(duì)角線求出正方形的邊長(zhǎng)來(lái)求證．∴結(jié)論正確．證明：S正方形ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)a2.【例題精析】例1(1)B；(2)①②③⑤⑦例2(1)①16②24③8eq\r(3)(2)D例3證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OF＝OE，在Rt△AOE和Rt△DOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝DO，,∠AOD＝∠DOF，,OE＝OF，))∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF.例4(1)FG＝CE，F(xiàn)G∥CE；(2)過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，在△HGE與△CED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GHE＝∠DCE，,∠HGE＝∠DEC,EG＝DE，))，∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥BF，∴四邊形GHBF是矩形，∴GF＝BH，F(xiàn)G∥CH，∴FG∥CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝EC，∴FG＝EC.(3)成立．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，在△CBF與△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝CE，,∠FBC＝∠ECD,BC＝DC，))，∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四邊形CEGF是平行四邊形，∴FG∥CE，F(xiàn)G＝CE.【變式拓展】(1)C(2)B2.(1)∵四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN，∴∠PNM＝2∠CBN；(2)連結(jié)AN，根據(jù)矩形的軸對(duì)稱(chēng)性，可知∠PAN＝∠CBN，∵M(jìn)N∥AD，∴∠PAN＝∠ANM，由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN，∵AB＝CD＝4，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴DN＝2，設(shè)AP＝x，則PD＝6－x，在Rt△PDN中，PD2＋DN2＝PN2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得：x＝eq\f(10,3)，所以AP＝eq\f(10,3).3.(1)A(2)③(3)①菱形②10eq\r(3)120(1)略；(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長(zhǎng)為4，高為2eq\r(3)，∴菱形的面積為4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).(1)B(2)C(3)65(1)只要證明△BEF≌△DGF(SAS)，