31335304 微專題：冪函數(shù)的定義 圖像與性質(zhì) -2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義滬教版（2020）必修第一冊

【學(xué)生版】微專題：冪函數(shù)的定義圖像與性質(zhì)【主題】1、冪函數(shù)的定義當(dāng)指數(shù)固定，等式確定了變量隨變量變化的規(guī)律，稱為指數(shù)為α的冪函數(shù)；2、常見的5種冪函數(shù)的圖像3、冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖像都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上嚴格單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖像都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上嚴格單調(diào)遞減；【典例】題型1、冪函數(shù)的概念例1、已知冪函數(shù)，求此冪函數(shù)的解析式，并指出定義域?！咎崾尽浚弧窘馕觥?；【說明】。題型2、冪函數(shù)圖像例2、已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖像過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，試畫出f(x)的圖像并指出該函數(shù)的定義域與嚴格單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥?；【說明】；題型3、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)例3、（1）已知冪函數(shù)()的圖像與坐標軸無交點，且關(guān)于軸對稱，求的值，并畫出它的圖像。（2）和2可以看作哪一個函數(shù)的兩個函數(shù)值？二者的大小關(guān)系如何？題型4、冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例4、（1）若，那么的取值范圍是________________．（2）若，那么的取值范圍是_______．【歸納】1、明確1個概念——冪函數(shù)的定義與表示判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為冪的形式，且需滿足：（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1；2、掌握2個解題依據(jù)——解決冪函數(shù)圖像問題應(yīng)把握的兩個解題依據(jù)（1）依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：①在(0，1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸（簡記為指大圖低）；②在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖像越遠離x軸（簡記為指大圖高）；（2）依據(jù)圖像確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像（類似于或y＝或）來判斷；3．掌握3種方法——比較冪值大小的三種基本方法（1）直接法：當(dāng)冪指數(shù)相同時，可直接利用冪函數(shù)的嚴格單調(diào)性來比較；（2）轉(zhuǎn)化法：當(dāng)冪指數(shù)不相同時，可先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù)，再利用冪函數(shù)的嚴格單調(diào)性來比較；（2）中間量法：當(dāng)?shù)讛?shù)不同且冪指數(shù)不相同時，不能運用冪函數(shù)的嚴格單調(diào)性來比較大小，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g量與兩數(shù)分別比較，從而達到比較大小的目的；4、冪函數(shù)的圖象會不會出現(xiàn)在第一或第四象限？為什么？【即時練習(xí)】1、已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α等于()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\f(3,2)D．22、如圖是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<aB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．a(chǎn)<c<b3、已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則＝4、冪函數(shù)的圖像過點（2，8）且，則的取值范圍是5、已知冪函數(shù)(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求n的值；6、對于冪函數(shù)，若，試比較、的大??；【教師版】微專題：冪函數(shù)的定義圖像與性質(zhì)【主題】1、冪函數(shù)的定義當(dāng)指數(shù)固定，等式確定了變量隨變量變化的規(guī)律，稱為指數(shù)為α的冪函數(shù)；2、常見的5種冪函數(shù)的圖像3、冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖像都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上嚴格單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖像都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上嚴格單調(diào)遞減；【典例】題型1、冪函數(shù)的概念例1、已知冪函數(shù)，求此冪函數(shù)的解析式，并指出定義域?！咎崾尽孔⒁猓簝绾瘮?shù)的定義與解析式；【解析】因為，為冪函數(shù)，所以，，解得或，當(dāng)時，，則y＝x－3，且有；當(dāng)時，，則y＝x0，且有；故所求冪函數(shù)的解析式為y＝x－3，定義域為或y＝x0，定義域為；【說明】判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：1、指數(shù)為常數(shù)；2、底數(shù)為自變量；3、系數(shù)為1。題型2、冪函數(shù)圖像例2、已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖像過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，試畫出f(x)的圖像并指出該函數(shù)的定義域與嚴格單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥恳驗閒(x)＝xα的圖像過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝eq\f(1,4)，即2α＝eq\f(1,4)，得α＝－2，即f(x)＝，f(x)的圖像如圖所示，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，嚴格單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)，嚴格單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)；【說明】冪函數(shù)圖像的畫法：1、確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖像；2、確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖像：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖像；題型3、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)例3、（1）已知冪函數(shù)()的圖像與坐標軸無交點，且關(guān)于軸對稱，求的值，并畫出它的圖像?！咎崾尽孔⒁猓赫J真審題，理解與轉(zhuǎn)化“圖像與坐標軸無交點，且關(guān)于軸對稱”；【解析】因為，圖像與坐標軸無交點，所以，，即，又，所以，＝0，1，2；又因為，冪函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，所以，＝0，2；當(dāng)＝0時，函數(shù)為，圖像如圖1；當(dāng)＝2時，函數(shù)為，圖像如圖2；；【說明】對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域．根據(jù)α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由冪指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)決定；（2）和2可以看作哪一個函數(shù)的兩個函數(shù)值？二者的大小關(guān)系如何？【提示】2.3－0.2和2.2－0.2可以看作冪函數(shù)f(x)＝x－0.2的兩個函數(shù)值；【解析】因為函數(shù)f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以2.3－0.2＜2.2－0.2；【說明】比較冪值大小的方法一：若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；題型4、冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例4、（1）若，那么的取值范圍是________________．（2）若，那么的取值范圍是_______．【提示】注意：先保證有意義，然后，利用嚴格單調(diào)性進行等價；【答案】（1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))∪(－∞，－1)；（2）[－2，0)；【解析】（1）因為，，所以，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,3－2a<0，,a＋1>3－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,a＋1<0))解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2)或a<－1；（2）因為冪函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上為增函數(shù)，且，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2≥0，,2－a≥0，,a＋2<2－a))解得－2≤a<0；故實數(shù)a的取值范圍為[－2,0)．【說明】1、解答本題（1）時易忽略函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有兩個，而非在定義域上單調(diào)遞減，不對底數(shù)討論而導(dǎo)致錯誤；解題（2）時易忽視函數(shù)定義域而導(dǎo)致錯誤；2、利用冪函數(shù)解不等式問題時，需要根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)進行分類討論；在出現(xiàn)偶次根式時要先將其化為根式形式再求解其定義域?！練w納】1、明確1個概念——冪函數(shù)的定義與表示判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為冪的形式，且需滿足：（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1；2、掌握2個解題依據(jù)——解決冪函數(shù)圖像問題應(yīng)把握的兩個解題依據(jù)（1）依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：①在(0，1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸（簡記為指大圖低）；②在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖像越遠離x軸（簡記為指大圖高）；（2）依據(jù)圖像確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像（類似于或y＝或）來判斷；3．掌握3種方法——比較冪值大小的三種基本方法（1）直接法：當(dāng)冪指數(shù)相同時，可直接利用冪函數(shù)的嚴格單調(diào)性來比較；（2）轉(zhuǎn)化法：當(dāng)冪指數(shù)不相同時，可先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù)，再利用冪函數(shù)的嚴格單調(diào)性來比較；（2）中間量法：當(dāng)?shù)讛?shù)不同且冪指數(shù)不相同時，不能運用冪函數(shù)的嚴格單調(diào)性來比較大小，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g量與兩數(shù)分別比較，從而達到比較大小的目的；4、冪函數(shù)的圖象會不會出現(xiàn)在第一或第四象限？為什么？提示冪函數(shù)y＝xα(α為常數(shù))，當(dāng)x>0時，y>0，故冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第一象限，一定不過第四象限；【即時練習(xí)】1、已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α等于()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\f(3,2)D．2【答案】C；【解析】由冪函數(shù)的定義，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,\f(\r(2),2)＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α.))所以，k＝1，α＝eq\f(1,2)，所以，k＋α＝eq\f(3,2)；2、如圖是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<aB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．a(chǎn)<c<b【答案】D；3、已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則＝【提示】冪函數(shù)的定義與數(shù)形結(jié)合；【答案】；【解析】設(shè)冪函數(shù)解析式為（為常數(shù)），∵冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，∴，∴，∴，則；【說明】本題考查了待定系數(shù)法與數(shù)形結(jié)合思想；4、冪函數(shù)的圖像過點（2，8）且，則的取值范圍是【提示】注意理解冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；【答案】（﹣∞，2）；【解析】∵冪函數(shù)f（x）＝xn的圖象過點（2，8），∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數(shù)f（x）＝x3，∵f（a﹣1）＜1，∴（a﹣1）3＜1，∴a﹣1＜1，∴a＜2，故答案為：（﹣∞，2）；【說明】本題整合了冪函數(shù)的概念、解析式、單調(diào)性與解不等式；5、已知冪函數(shù)(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求n的值；【答案】1；【解析】由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗只有n＝1符合題意；6、對于冪函數(shù)，若，試比較、的大小；【答案】；【解析】冪函數(shù)f(x)＝x在(0，＋∞)是增函數(shù)，大致圖像如圖所示．