專題12 機械能守恒定律的理解與應用、功能關系與能量守恒（原卷版）

專題12機械能守恒定律的理解與應用、功能關系與能量守恒目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一機械能守恒的判斷 1題型二單物體的機械能守恒問題 3題型三連接體的機械能守恒問題 5類型1輕繩連接的物體系統(tǒng) 6類型2輕桿連接的物體系統(tǒng) 8類型3含“彈簧類”系統(tǒng)的機械能守恒 9題型四功能關系的理解和應用 12類型1功能關系的理解 12類型2功能關系與圖像的結合 14類型3功能關系的綜合應用 15題型五能量守恒定律的理解和應用 17題型一機械能守恒的判斷【解題指導】機械能是否守恒的三種判斷方法(1)利用機械能的定義判斷：若物體動能、勢能之和不變，則機械能守恒．(2)利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功(或做功代數(shù)和為0)，則機械能守恒．(3)利用能量轉化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒有能量交換，物體或系統(tǒng)也沒有機械能與其他形式能的轉化，則機械能守恒．【例1】(2022·廣東惠州一中月考)(多選)如圖所示，將一個內外側均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內，則下列說法正確的是()A．小球在半圓形槽內運動的全過程中，只有重力對它做功B．小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒C．小球機械能守恒D．小球從下落到從右側離開半圓形槽的過程中，機械能守恒【例2】如圖所示，小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上，彈簧一直保持豎直，空氣阻力不計，那么小球從接觸彈簧開始到將彈簧壓縮到最短的過程中，下列說法中正確的是()A．小球的動能一直減小B．小球的機械能守恒C．克服彈力做功大于重力做功D．最大彈性勢能等于小球減少的動能【例3】(2022·湖南永州市模擬)伽利略在研究力和運動的關系的時候，采用兩個平滑對接的斜面，一個斜面固定，讓小球從斜面上滾下，小球又滾上另一個傾角可以改變的斜面，斜面傾角逐漸減小直至為零，如圖1所示。關于這個理想斜面實驗，下列說法正確的是()A．如果沒有摩擦，小球運動過程中機械能守恒B．如果沒有摩擦，小球將在另一斜面上運動相同的路程C．如果沒有摩擦，小球運動到另一斜面上最高點的高度與釋放時的高度不同D．如果沒有摩擦，小球運動到水平面時的機械能小于釋放時的機械能【例4】如圖所示，P、Q兩球質量相等，開始兩球靜止，將P上方的細繩燒斷，在Q落地之前，下列說法正確的是(不計空氣阻力)()A．在任一時刻，兩球動能相等B．在任一時刻，兩球加速度相等C．在任一時刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)動能與重力勢能之和保持不變D．在任一時刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能是不變的題型二單物體的機械能守恒問題【解題指導】1．表達式2．選用技巧在處理單個物體機械能守恒問題時通常應用守恒觀點和轉化觀點，轉化觀點不用選取零勢能面。3．一般步驟【例1】(2022·山東日照市校際聯(lián)考)一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，如圖3甲所示，曲線上A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一個圓，在極限情況下，這個圓叫作A點的曲率圓，其半徑叫作A點的曲率半徑?，F(xiàn)將一物體沿著與水平面成α角的方向以某一速度從地面拋出，如圖乙所示，其軌跡最高點P離地面的高度為h，曲率半徑為eq\f(h,2)，忽略空氣阻力，則tanα的值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2)C．2 D．4【例2】(多選)(2022·湖南株洲市檢測)如圖甲所示，輕繩的一端固定在O點，另一端系一小球。小球在豎直平面內做完整的圓周運動的過程中，繩子的拉力F的大小與小球離最低點的高度h的關系如圖乙所示。忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則()A．圓周半徑為1.0mB．小球質量為0.5kgC．輕繩轉至水平時拉力為30ND．小球通過最高點的速度為4m/s題型三連接體的機械能守恒問題1．解決多物體系統(tǒng)機械能守恒的注意點(1)要注意判斷物體運動過程中系統(tǒng)的機械能是否守恒。(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。(3)列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。2．常見的三種模型(1)輕繩連接的物體系統(tǒng)模型常見情景模型提醒①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。②用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。③對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統(tǒng)，機械能則可能守恒。(2)輕桿連接的物體系統(tǒng)模型常見情景模型特點①平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等。②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。③對于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機械能守恒。(3)輕彈簧連接的物體系統(tǒng)模型模型特點由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化，而總的機械能守恒。兩點提醒①對同一彈簧，彈性勢能的大小完全由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。②彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。類型1輕繩連接的物體系統(tǒng)【例1】(2022·廣東新高考模擬)如圖所示，物體A、B質量相同，在傾角為30°的光滑斜面上，滑輪及繩子質量均不計，現(xiàn)將系統(tǒng)由靜止釋放，不計空氣阻力，則物體A在下降h距離時的速度大小為()A.eq\r(2gh) B．2eq\r(\f(3gh,5))C.eq\f(\r(2gh),2) D.eq\r(\f(8gh,5))【例2】如圖所示，物體A的質量為M，圓環(huán)B的質量為m，由繩子通過定滑輪連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上．開始時連接圓環(huán)的繩子水平，長度l＝4m．現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)，不計定滑輪和空氣的阻力，g取10m/s2.若圓環(huán)下降h＝3m時的速度v＝5m/s，則A和B的質量關系為()A.eq\f(M,m)＝eq\f(35,29) B.eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C.eq\f(M,m)＝eq\f(39,25) D.eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)【例3】(多選)如圖所示，質量均為m的物塊A和B用不可伸長的輕繩連接，A放在傾角為θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑豎直桿上下滑動，桿和滑輪中心間的距離為L，物塊B從與滑輪等高處由靜止開始下落，斜面與桿足夠長，重力加速度為g.在物塊B下落到輕繩與水平方向的夾角為θ的過程中，下列說法正確的是()A．開始下落時，物塊B的加速度大于gB．物塊B的重力勢能減小量為mgLtanθC．物塊A的速度小于物塊B的速度D．物塊B的末速度為eq\r(\f(2gLcosθ,1＋sin2θ))類型2輕桿連接的物體系統(tǒng)【例1】如圖所示，固定在豎直面內的光滑圓環(huán)半徑為R，圓環(huán)上套有質量分別為m和2m的小球A、B(均可看作質點)，小球A、B用一長為2R的輕質細桿相連。已知重力加速度為g，小球B受微小擾動從最高點由靜止開始沿圓環(huán)下滑至最低點的過程中，不計空氣阻力，下列說法正確的是()A．A球增加的機械能大于B球減少的機械能B．A球增加的重力勢能等于B球減少的重力勢能C．A球的最大速度為eq\r(\f(2gR,3))D．細桿對A球做的功為eq\f(8,3)mgR【例2】(多選)如圖所示，用輕桿通過鉸鏈相連的小球A、B、C處于豎直平面內，質量均為m，兩段輕桿等長．現(xiàn)將C球置于距地面高h處，由靜止釋放，假設三個小球只在同一豎直面內運動，不計一切摩擦，重力加速度為g，則在小球C下落過程中()A．小球A、B、C組成的系統(tǒng)機械能守恒B．小球C的機械能一直減小C．小球C落地前瞬間的速度大小為eq\r(2gh)D．當小球C的機械能最小時，地面對小球B的支持力大于mg【例3】(2022·福建南平市質檢)質量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中間用輕質桿固定連接，桿長為L，在離P球eq\f(1,3)處有一個光滑固定轉軸O，如圖所示．現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，Q球順時針擺動到最低位置，則(重力加速度為g)()A．小球P在最高位置的速度大小為eq\f(\r(gl),3)B．小球Q在最低位置的速度大小為eq\r(\f(2gl,3))C．小球P在此過程中機械能增加量為eq\f(4,9)mgLD．小球Q在此過程中機械能減少eq\f(2,3)mgl類型3含“彈簧類”系統(tǒng)的機械能守恒1．通過其他能量求彈性勢能根據(jù)機械能守恒，列出方程，代入其他能量的數(shù)值求解．2．對同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定，彈簧伸長量和壓縮量相等時，彈簧彈性勢能相等．3．物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關．【例1】(2022·重慶市高考模擬)如圖所示，小滑塊P、Q的質量分別為3m、m，P、Q間通過輕質鉸鏈用長為L的剛性輕桿連接，Q套在固定的水平橫桿上，P和豎直放置的輕彈簧上端相連，輕彈簧下端固定在水平橫桿上。當桿與豎直方向的夾角α＝30°時，彈簧處于原長，此時，將P由靜止釋放，下降到最低點時α＝60°。整個運動過程中，P、Q始終在同一豎直平面內，滑塊P始終沒有離開豎直墻壁，彈簧始終在彈性限度內，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則在P下降過程中()A．P、Q組成的系統(tǒng)機械能守恒B．輕桿始終對Q做正功C．彈簧彈性勢能最大值為2(eq\r(3)－1)mgLD．P和彈簧組成的系統(tǒng)機械能最小時，Q受到水平橫桿的支持力大小等于mg【例2】(多選)如圖所示，A、B兩物塊由繞過輕質定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B和物塊C在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質彈簧相連，C放在水平地面上．現(xiàn)用手控制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側細線豎直、右側細線與斜面平行．已知A的質量為5m，B、C的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)．釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時C恰好離開地面．下列說法正確的是()A．C剛離開地面時，B的加速度為零B．從釋放A到C剛離開地面的過程中，A、B組成的系統(tǒng)機械能先增加后減小C．彈簧恢復原長瞬間，細線中的拉力大小為eq\f(4mg,3)D．A的最大速度為geq\r(\f(2m,3k))【例3】如圖所示，輕質彈簧一端固定在O處，另一端與質量為m的物塊相連，物塊套在光滑豎直固定桿上．開始時物塊處于A處且彈簧處于原長．現(xiàn)將物塊從A處由靜止釋放，物塊經過B處時彈簧與桿垂直，經過C處時彈簧再次處于原長，到達D處時速度為零．已知OB之間的距離為L，∠AOB＝30°，∠BOD＝60°.彈簧始終在彈性限度之內，重力加速度為g.在物塊下滑的整個過程中，下列說法正確的是()A．物塊在由A處下滑至C處的過程中機械能守恒B．物塊在B處的速度為eq\r(\f(2\r(3),3)gL)C．物塊在B處時彈簧的彈性勢能最大D．物塊在D處時彈簧的彈性勢能為eq\f(4\r(3),3)mgL題型四功能關系的理解和應用做功的過程就是能量轉化的過程．功是能量轉化的量度.功與能量的變化是“一一對應”的，如重力做功對應重力勢能的變化，合外力做功對應動能的變化等.分析機械能的變化，既可以用定義法也可以根據(jù)除重力(彈簧彈力)以外的其他力做功來分析．類型1功能關系的理解常見的功能關系能量功能關系表達式勢能重力做功等于重力勢能減少量W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp彈力做功等于彈性勢能減少量靜電力做功等于電勢能減少量分子力做功等于分子勢能減少量動能合外力做功等于物體動能變化量W＝Ek2－Ek1＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02機械能除重力和彈力之外的其他力做功等于機械能變化量W其他＝E2－E1＝ΔE摩擦產生的內能一對相互作用的滑動摩擦力做功之和的絕對值等于產生的內能Q＝Ff·x相對電能克服安培力做功等于電能增加量W電能＝E2－E1＝ΔE【例1】(多選)(2022·廣東省選擇考模擬)蹦床是少年兒童喜歡的一種體育運動，如圖所示，蹦床的中心由彈性網組成，若少年兒童從最高點落下至最低點的過程中，空氣阻力大小恒定，則少年兒童()A．機械能一直減小B．剛接觸網面時，動能最大C．重力勢能的減少量大于克服空氣阻力做的功D．重力勢能的減少量等于彈性勢能的增加量【例2】(多選)(2022·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)第22屆哈爾濱冰雪大世界開門迎客了，近400m長的極速大滑梯是大人、孩子最喜歡的王牌娛樂項目。一名游客坐在雪橇上下滑了一段路程，重力對他做功3000J，他克服阻力做功500J，則在此過程中這名游客()A．重力勢能增加了3000JB．動能增加了3000JC．動能增加了2500JD．機械能減少了500J【例3】自動扶梯是商場里的高耗能設備之一，為了節(jié)約用電、減少機械磨損、延長使用壽命，某商場的自動扶梯設有“無人停梯”模式，即沒有乘客時扶梯停止運行，進入待機狀態(tài)．當有乘客登上扶梯時，扶梯由靜止開始加速啟動，達到設定速度后勻速運行．如圖所示，一位顧客在一樓登上處于“無人停梯”模式的扶梯后就在扶梯上站立不動，隨著扶梯到達二樓．關于此運動過程，下列說法正確的是()A．顧客始終受到重力、支持力和摩擦力B．扶梯只在加速啟動過程中對顧客做功C．扶梯對顧客做的功等于顧客動能的增加量D．扶梯對顧客做的功等于顧客機械能的增加量類型2功能關系與圖像的結合【例1】(多選)(2020·全國卷Ⅰ·20)一物塊在高3.0m、長5.0m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，其重力勢能和動能隨下滑距離s的變化如圖中直線Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10m/s2.則()A．物塊下滑過程中機械能不守恒B．物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.5C．物塊下滑時加速度的大小為6.0m/s2D．當物塊下滑2.0m時機械能損失了12J【例2】(多選)(2019·全國卷Ⅱ·18)從地面豎直向上拋出一物體，其機械能E總等于動能Ek與重力勢能Ep之和．取地面為重力勢能零點，該物體的E總和Ep隨它離開地面的高度h的變化如圖所示．重力加速度取10m/s2.由圖中數(shù)據(jù)可得()A．物體的質量為2kgB．h＝0時，物體的速率為20m/sC．h＝2m時，物體的動能Ek＝40JD．從地面至h＝4m，物體的動能減少100J【例1】一質量為m＝2kg的物塊在長l＝9m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，經過t＝3s到達斜面底端，以水平地面為零勢能面，其重力勢能隨下滑距離s的變化如圖5所示，斜面始終靜止在水平地面上，重力加速度g取10m/s2。則()A．物塊下滑過程中機械能守恒B．物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.3C．物塊下滑時加速度的大小為4m/s2D．物塊下滑過程中機械能一共損失了72J類型3功能關系的綜合應用【例1】(多選)(2020·山東卷)如圖所示，質量為M的物塊A放置在光滑水平桌面上，右側連接一固定于墻面的水平輕繩，左側通過一傾斜輕繩跨過光滑定滑輪與一豎直輕彈簧相連?，F(xiàn)將質量為m的鉤碼B掛于彈簧下端，當彈簧處于原長時，將B由靜止釋放，當B下降到最低點時(未著地)，A對水平桌面的壓力剛好為零。輕繩不可伸長，彈簧始終在彈性限度內，物塊A始終處于靜止狀態(tài)。以下判斷正確的是()A．M<2mB．2m<M<3mC．在B從釋放位置運動到最低點的過程中，所受合力對B先做正功后做負功D．在B從釋放位置運動到速度最大的過程中，B克服彈簧彈力做的功等于B機械能的減少量【例2】(多選)(2022·福建省名校聯(lián)考)如圖所示，一個質量為M、長為L的木板B靜止在光滑水平面上，其右端放有可視為質點的質量為m的滑塊A，現(xiàn)用一水平恒力F作用在滑塊上，使滑塊從靜止開始做勻加速直線運動?；瑝K和木板之間的摩擦力為Ff，滑塊滑到木板的最左端時，木板運動的距離為x，此過程中下列說法正確的是()A．滑塊A到達木板B最左端時，具有的動能為(F－Ff)(L＋x)B．滑塊A到達木板B最左端時，木板B具有的動能為FfxC．滑塊A克服摩擦力所做的功為FfLD．滑塊A和木板B增加的機械能為F(L＋x)－FfL【例3】(2022·河北廊坊市摸底)一質量為m的小球，從地面附近的某高度處以初速度v水平拋出，除重力外小球還受一水平恒力作用，經過一段時間，小球的速度大小變?yōu)?v，方向豎直向下，小球還未到達地面。在此過程中()A．小球的動能增加了eq\f(1,2)mv2B．小球的重力勢能減少了2mv2C．小球的機械能增加了2mv2D．水平恒力做功的大小大于重力做功的大小題型五能量守恒定律的理解和應用1．內容能量既不會憑空產生，也不會憑空消失，它只能從一種形式轉化為其他形式，或者從一個物體轉移到別的物體，在轉化或轉移的過程中，能量的總量保持不變．2．表達式ΔE減＝ΔE增．3．應用能量守恒定律解題的步驟(1)首先確定初、末狀態(tài)，分清有幾種形式的能在變化，如動能、勢能(包括重力勢能、彈性勢能、電勢能)、內能等．(2)明確哪種形式的能量增加，哪種形式的能量減少，并且列出減少的能量ΔE減和增加的能量ΔE增的表達式．【例1】(2022·湘豫名校4月聯(lián)考)如圖甲所示，在水平面上固定傾角為θ＝37°底端帶有擋板足夠長的斜面，斜面體底端靜止一質量為m＝1kg的物塊(可視為質點)，從某時刻起，物塊受到一個沿斜面向上的拉力F作用，拉力F隨物塊從初始位置第一次沿斜面向上的位移x變化的關系如圖乙所示，隨后不再施加外力作用，假設物塊與固定擋板碰撞前后速率不變，不計空氣阻力和碰撞時間，已知物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。求：(1)物塊在上滑過程中達到最大動能時拉力F的大??；(2)物塊沿斜面上滑的最大位移的大小。【例2】(多選)如圖所示，光滑水平面OB與足夠長粗糙斜面BC交于B點。輕彈簧左端固定于豎直墻面，現(xiàn)將質量為m1的滑塊壓縮彈簧至D點，然后由靜止釋放，滑塊脫離彈簧后經B點滑上斜面，上升到最大高度，并靜止在斜面上。不計滑塊在B點的機械能損失；換用相同材料質量為m2的滑塊(m2＞m1)壓縮彈簧至同一點D后，重復上述過程，下列說法正確的是()A．兩滑塊到達B點的速度相同B．兩滑塊沿斜面上升的最大高度相同C．兩滑塊上升到最高點過程克服重力做的功相同D．兩滑塊上升到最高點過程機械能損失相同【例4】(2022·北京東城區(qū)期末)如圖所示，固定斜面的傾角θ＝30°，物體A與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ＝eq\f(\r(3),4)，輕彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長時上端位于C點，用一根不可伸長的輕繩通過輕質光滑的定滑輪連接物體A和B，滑輪右側繩子與斜面平行，A的質量為2m＝4kg，B的質量為m＝2kg，初始時物體A到C點的距離L＝1m，現(xiàn)給A、B一初速度v0＝3m/s，使A開始沿斜面向下運動，B向上運動，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈回到C點．已知重力加速度g＝10m/s2，不計空氣阻力，整個過程中輕繩始終處于伸直狀態(tài)．求在此過程中：(1)物體A向下運動剛到C點時的速度大?。?2)彈簧的最大壓縮量；(3)彈簧的最大彈性勢能．【例4】如圖所示，在傾角為37°的斜面底端固定一擋板，輕彈簧下端連在擋板上，上端與物塊A相連，用不可伸長的細線跨過斜面頂端的定滑輪把A與另一物體B連接起來，A與滑輪間的細線與斜面平行．已知彈簧勁度系數(shù)k＝40N/m，A的質量m1＝1kg，與斜面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，B的質量m2＝2kg.初始時用手托住B，使細線剛好處于伸直狀態(tài)，此時物體A與斜面間沒有相對運動趨勢，物體B的下表面離地面的高度h＝0.3m，整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，彈簧始終處于彈性限度內．重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.(1)由靜止釋放物體B，求B剛落地時的速度大?。?2)把斜面處理成光滑斜面，再將B換成一個形狀完全相同的物體C并由靜止釋放，發(fā)現(xiàn)C恰好到達地面，求C的質量m3.

專題12機械能守恒定律的理解與應用、功能關系與能量守恒目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一機械能守恒的判斷 1題型二單物體的機械能守恒問題 3題型三連接體的機械能守恒問題 5類型1輕繩連接的物體系統(tǒng) 6類型2輕桿連接的物體系統(tǒng) 8類型3含“彈簧類”系統(tǒng)的機械能守恒 9題型四功能關系的理解和應用 12類型1功能關系的理解 12類型2功能關系與圖像的結合 14類型3功能關系的綜合應用 15題型五能量守恒定律的理解和應用 17題型一機械能守恒的判斷【解題指導】機械能是否守恒的三種判斷方法(1)利用機械能的定義判斷：若物體動能、勢能之和不變，則機械能守恒．(2)利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功(或做功代數(shù)和為0)，則機械能守恒．(3)利用能量轉化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒有能量交換，物體或系統(tǒng)也沒有機械能與其他形式能的轉化，則機械能守恒．【例1】(2022·廣東惠州一中月考)(多選)如圖所示，將一個內外側均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內，則下列說法正確的是()A．小球在半圓形槽內運動的全過程中，只有重力對它做功B．小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒C．小球機械能守恒D．小球從下落到從右側離開半圓形槽的過程中，機械能守恒【答案】BC【解析】當小球從半圓形槽的最低點運動到半圓形槽右側的過程中小球對半圓形槽的力使半圓形槽向右運動，半圓形槽對小球的支持力對小球做負功，小球的機械能不守恒，A、D錯誤；小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，半圓形槽靜止，則只有重力做功，小球的機械能守恒，B正確；小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統(tǒng)只有重力做功，機械能守恒，C正確．【例2】如圖所示，小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上，彈簧一直保持豎直，空氣阻力不計，那么小球從接觸彈簧開始到將彈簧壓縮到最短的過程中，下列說法中正確的是()A．小球的動能一直減小B．小球的機械能守恒C．克服彈力做功大于重力做功D．最大彈性勢能等于小球減少的動能【答案】C【解析】小球開始下落時，只受重力作用做加速運動，當與彈簧接觸時，受到彈簧彈力作用，開始時彈簧壓縮量小，因此重力大于彈力，速度增大，隨著彈簧壓縮量的增加，彈力增大，當重力等于彈力時，速度最大，然后彈簧繼續(xù)被壓縮，彈力大于重力，小球開始做減速運動，所以整個過程中小球加速后減速，根據(jù)Ek＝eq\f(1,2)mv2，動能先增大然后減小，故A錯誤；在向下運動的過程中，小球受到的彈力對它做負功，小球的機械能不守恒，故B錯誤；在向下運動過程中，重力勢能減小，最終小球的速度為零，動能減小，彈簧的壓縮量增大，彈性勢能增大，根據(jù)能量守恒定律，最大彈性勢能等于小球減少的動能和減小的重力勢能之和，即克服彈力做功大于重力做功，故D錯誤，C正確．【例3】(2022·湖南永州市模擬)伽利略在研究力和運動的關系的時候，采用兩個平滑對接的斜面，一個斜面固定，讓小球從斜面上滾下，小球又滾上另一個傾角可以改變的斜面，斜面傾角逐漸減小直至為零，如圖1所示。關于這個理想斜面實驗，下列說法正確的是()A．如果沒有摩擦，小球運動過程中機械能守恒B．如果沒有摩擦，小球將在另一斜面上運動相同的路程C．如果沒有摩擦，小球運動到另一斜面上最高點的高度與釋放時的高度不同D．如果沒有摩擦，小球運動到水平面時的機械能小于釋放時的機械能【答案】A【解析】如果沒有摩擦，小球運動過程中只有重力做功，機械能守恒，選項A正確，D錯誤；如果沒有摩擦，小球機械能守恒，小球運動到另一斜面上最高點的高度將與釋放時的高度相同，選項B、C錯誤?！纠?】如圖所示，P、Q兩球質量相等，開始兩球靜止，將P上方的細繩燒斷，在Q落地之前，下列說法正確的是(不計空氣阻力)()A．在任一時刻，兩球動能相等B．在任一時刻，兩球加速度相等C．在任一時刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)動能與重力勢能之和保持不變D．在任一時刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能是不變的【答案】D【解析】細繩燒斷后，由于彈簧處于伸長狀態(tài)，通過對P、Q兩球受力分析可知aP＞aQ，在任一時刻，兩球的動能不一定相等，選項A、B錯誤；系統(tǒng)內有彈力做功，彈性勢能發(fā)生變化，系統(tǒng)的動能與重力勢能之和發(fā)生變化，選項C錯誤；Q落地前，兩球及彈簧組成的系統(tǒng)只有重力和彈簧的彈力做功，整個系統(tǒng)的機械能守恒，選項D正確。題型二單物體的機械能守恒問題【解題指導】1．表達式2．選用技巧在處理單個物體機械能守恒問題時通常應用守恒觀點和轉化觀點，轉化觀點不用選取零勢能面。3．一般步驟【例1】(2022·山東日照市校際聯(lián)考)一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，如圖3甲所示，曲線上A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一個圓，在極限情況下，這個圓叫作A點的曲率圓，其半徑叫作A點的曲率半徑?，F(xiàn)將一物體沿著與水平面成α角的方向以某一速度從地面拋出，如圖乙所示，其軌跡最高點P離地面的高度為h，曲率半徑為eq\f(h,2)，忽略空氣阻力，則tanα的值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2)C．2 D．4【答案】C【解析】在P點時，重力恰好作為向心力，滿足mg＝meq\f(veq\o\al(2,P),R)，又由題意可知R＝eq\f(h,2)，聯(lián)立可解得vP＝eq\r(\f(gh,2))，vP即為物體拋出時速度的水平分量，設物體拋出時速度的豎直分量為vy，拋出時的速度為v，由機械能守恒定律可得eq\f(1,2)mv2＝mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,P)，又v2＝veq\o\al(2,P)＋veq\o\al(2,y)，聯(lián)立可得vy＝eq\r(2gh)，物體拋出時速度v與水平面所成α角滿足tanα＝eq\f(vy,vP)，代入數(shù)據(jù)可得tanα＝2，C正確。【例2】(多選)(2022·湖南株洲市檢測)如圖甲所示，輕繩的一端固定在O點，另一端系一小球。小球在豎直平面內做完整的圓周運動的過程中，繩子的拉力F的大小與小球離最低點的高度h的關系如圖乙所示。忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則()A．圓周半徑為1.0mB．小球質量為0.5kgC．輕繩轉至水平時拉力為30ND．小球通過最高點的速度為4m/s【答案】BD【解析】由圖可知，當h＝0時，繩的拉力為F2＝41N，當h＝1.0m時，繩的拉力為F1＝11N，可知小球做圓周運動的半徑R＝eq\f(1.0,2)m＝0.5m，故A錯誤；設小球運動到最高點時的速度為v1，最低點時的速度為v2，取最低點所在水平面為參考平面，由機械能守恒定律可得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mg·2R＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，在最高點和最低點，分別根據(jù)牛頓第二定律可知F1＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)，F(xiàn)2－mg＝meq\f(veq\o\al(2,2),R)，解得m＝0.5kg，v1＝4m/s，故B、D正確；設輕繩轉至水平時小球的速度為v，從最高點到輕繩水平時，由機械能守恒定律可得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mg·2R＝eq\f(1,2)mv2＋mgR，解得v＝eq\r(26)m/s，由牛頓第二定律可知，輕繩轉至水平時拉力為F＝meq\f(v2,R)＝26N，故C錯誤。題型三連接體的機械能守恒問題1．解決多物體系統(tǒng)機械能守恒的注意點(1)要注意判斷物體運動過程中系統(tǒng)的機械能是否守恒。(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。(3)列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。2．常見的三種模型(1)輕繩連接的物體系統(tǒng)模型常見情景模型提醒①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。②用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。③對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統(tǒng)，機械能則可能守恒。(2)輕桿連接的物體系統(tǒng)模型常見情景模型特點①平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等。②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。③對于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機械能守恒。(3)輕彈簧連接的物體系統(tǒng)模型模型特點由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化，而總的機械能守恒。兩點提醒①對同一彈簧，彈性勢能的大小完全由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。②彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。類型1輕繩連接的物體系統(tǒng)【例1】(2022·廣東新高考模擬)如圖所示，物體A、B質量相同，在傾角為30°的光滑斜面上，滑輪及繩子質量均不計，現(xiàn)將系統(tǒng)由靜止釋放，不計空氣阻力，則物體A在下降h距離時的速度大小為()A.eq\r(2gh) B．2eq\r(\f(3gh,5))C.eq\f(\r(2gh),2) D.eq\r(\f(8gh,5))【答案】A【解析】設物體A在下降h距離時的速度為v，則此時B物體的速度為eq\f(v,2)，由機械能守恒得mgh＋mg×eq\f(1,2)hsin30°＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)m(eq\f(v,2))2，解得v＝eq\r(2gh)，A項正確?！纠?】如圖所示，物體A的質量為M，圓環(huán)B的質量為m，由繩子通過定滑輪連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上．開始時連接圓環(huán)的繩子水平，長度l＝4m．現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)，不計定滑輪和空氣的阻力，g取10m/s2.若圓環(huán)下降h＝3m時的速度v＝5m/s，則A和B的質量關系為()A.eq\f(M,m)＝eq\f(35,29) B.eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C.eq\f(M,m)＝eq\f(39,25) D.eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)【答案】A【解析】圓環(huán)下降3m后的速度可以按如圖所示分解，故可得vA＝vcosθ＝eq\f(vh,\r(h2＋l2))，A、B和繩子看成一個整體，整體只有重力做功，機械能守恒，當圓環(huán)下降h＝3m時，根據(jù)機械能守恒定律可得mgh＝MghA＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)MvA2，其中hA＝eq\r(h2＋l2)－l，聯(lián)立可得eq\f(M,m)＝eq\f(35,29)，故A正確．【例3】(多選)如圖所示，質量均為m的物塊A和B用不可伸長的輕繩連接，A放在傾角為θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑豎直桿上下滑動，桿和滑輪中心間的距離為L，物塊B從與滑輪等高處由靜止開始下落，斜面與桿足夠長，重力加速度為g.在物塊B下落到輕繩與水平方向的夾角為θ的過程中，下列說法正確的是()A．開始下落時，物塊B的加速度大于gB．物塊B的重力勢能減小量為mgLtanθC．物塊A的速度小于物塊B的速度D．物塊B的末速度為eq\r(\f(2gLcosθ,1＋sin2θ))【答案】BC【解析】剛開始下落時，輕繩的拉力方向沿水平方向，物塊B豎直方向上只受重力，所以加速度為g，故A錯誤；物塊B下降的高度為h＝Ltanθ，故物塊B減小的重力勢能為ΔEp＝mgLtanθ，故B正確；設物塊B下落過程中輕繩與水平方向夾角為α，將物塊B的速度分解為沿輕繩方向的速度和垂直輕繩方向的速度，則vA＝v繩＝vBsinα，則物塊A的速度小于物塊B的速度，故C正確；系統(tǒng)機械能守恒，故mgLtanθ－mgxsinθ＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2，其中x＝eq\f(L,cosθ)－L＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－cosθ,cosθ)))L，根據(jù)運動的合成與分解可得vA＝vBsinθ，聯(lián)立解得vB＝eq\r(\f(2gLsinθ,1＋sin2θ))，故D錯誤．類型2輕桿連接的物體系統(tǒng)【例1】如圖所示，固定在豎直面內的光滑圓環(huán)半徑為R，圓環(huán)上套有質量分別為m和2m的小球A、B(均可看作質點)，小球A、B用一長為2R的輕質細桿相連。已知重力加速度為g，小球B受微小擾動從最高點由靜止開始沿圓環(huán)下滑至最低點的過程中，不計空氣阻力，下列說法正確的是()A．A球增加的機械能大于B球減少的機械能B．A球增加的重力勢能等于B球減少的重力勢能C．A球的最大速度為eq\r(\f(2gR,3))D．細桿對A球做的功為eq\f(8,3)mgR【答案】D【解析】球B運動到最低點，A球運動到最高點，兩個球組成的系統(tǒng)機械能守恒，故A球增加的機械能等于B球減少的機械能，故A錯誤；A球重力勢能增加mg·2R，B球重力勢能減小2mg·2R，故B錯誤；兩個球組成的系統(tǒng)機械能守恒，當B球運動到最低點時，速度最大，有2mg·2R－mg·2R＝eq\f(1,2)(m＋2m)v2，解得v＝eq\r(\f(4,3)gR)，故C錯誤；除重力外其余力做的功等于物體機械能的增加量，故細桿對A球做的功等于A球機械能的增加量，有W＝eq\f(1,2)mv2＋mg·2R＝eq\f(2,3)mgR＋2mgR＝eq\f(8,3)mgR，故D正確?！纠?】(多選)如圖所示，用輕桿通過鉸鏈相連的小球A、B、C處于豎直平面內，質量均為m，兩段輕桿等長．現(xiàn)將C球置于距地面高h處，由靜止釋放，假設三個小球只在同一豎直面內運動，不計一切摩擦，重力加速度為g，則在小球C下落過程中()A．小球A、B、C組成的系統(tǒng)機械能守恒B．小球C的機械能一直減小C．小球C落地前瞬間的速度大小為eq\r(2gh)D．當小球C的機械能最小時，地面對小球B的支持力大于mg【答案】AC【解析】由于小球A、B、C組成的系統(tǒng)只有重力做功，故系統(tǒng)的機械能守恒，故A正確；小球B的初速度為零，C落地瞬間，B的速度為零，故B的動能先增大后減小，而B的重力勢能不變，則B的機械能先增大后減小，同理可得A的機械能先增大后減小，而系統(tǒng)機械能守恒，故C的機械能先減小后增大，故B錯誤；根據(jù)以上分析，設小球C落地前瞬間的速度大小為v，根據(jù)動能定理可知eq\f(1,2)mv2＝mgh，解得v＝eq\r(2gh)，故C正確；當小球C的機械能最小時，小球B速度最大，此時小球B的加速度為零，水平方向所受的合力為零，桿CB對小球B恰好沒有力的作用，所以地面對小球B的支持力大小為mg，故D錯誤．【例3】(2022·福建南平市質檢)質量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中間用輕質桿固定連接，桿長為L，在離P球eq\f(1,3)處有一個光滑固定轉軸O，如圖所示．現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，Q球順時針擺動到最低位置，則(重力加速度為g)()A．小球P在最高位置的速度大小為eq\f(\r(gl),3)B．小球Q在最低位置的速度大小為eq\r(\f(2gl,3))C．小球P在此過程中機械能增加量為eq\f(4,9)mgLD．小球Q在此過程中機械能減少eq\f(2,3)mgl【答案】C【解析】Q球順時針擺動到最低位置時的速度為v1，此時P運動到最高點的速度為v2，整個系統(tǒng)機械能守恒，有2mg×eq\f(2,3)L－mg×eq\f(L,3)＝eq\f(1,2)×2mv12＋eq\f(1,2)mv22，又由于兩球都繞O點轉動，角速度相同，因此v1＝2v2，解得v1＝eq\f(2\r(2gL),3)，v2＝eq\f(\r(2gL),3)，A、B錯誤；在此過程中，小球P機械能增加量ΔE＝mg×eq\f(L,3)＋eq\f(1,2)mv22＝eq\f(4,9)mgL，由于整個系統(tǒng)機械能守恒，因此小球Q機械能減少量也為eq\f(4,9)mgL，C正確，D錯誤．類型3含“彈簧類”系統(tǒng)的機械能守恒1．通過其他能量求彈性勢能根據(jù)機械能守恒，列出方程，代入其他能量的數(shù)值求解．2．對同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定，彈簧伸長量和壓縮量相等時，彈簧彈性勢能相等．3．物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關．【例1】(2022·重慶市高考模擬)如圖所示，小滑塊P、Q的質量分別為3m、m，P、Q間通過輕質鉸鏈用長為L的剛性輕桿連接，Q套在固定的水平橫桿上，P和豎直放置的輕彈簧上端相連，輕彈簧下端固定在水平橫桿上。當桿與豎直方向的夾角α＝30°時，彈簧處于原長，此時，將P由靜止釋放，下降到最低點時α＝60°。整個運動過程中，P、Q始終在同一豎直平面內，滑塊P始終沒有離開豎直墻壁，彈簧始終在彈性限度內，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則在P下降過程中()A．P、Q組成的系統(tǒng)機械能守恒B．輕桿始終對Q做正功C．彈簧彈性勢能最大值為2(eq\r(3)－1)mgLD．P和彈簧組成的系統(tǒng)機械能最小時，Q受到水平橫桿的支持力大小等于mg【答案】D【解析】由于不計一切摩擦，P、Q和彈簧三者組成的系統(tǒng)機械能守恒，而P、Q組成的系統(tǒng)機械能不守恒，故選項A錯誤；在P下降過程中，Q一直沿著桿向左運動，P下降至最低點時，P的速度為零，Q速度也為零，在P下降過程中，Q一定經歷先加速后減速的過程，由受力分析知，Q加速過程，輕桿對其做正功，Q減速過程，輕桿對其做負功，故選項B錯誤；P下降至最低點時，彈簧彈性勢能最大，此時P、Q的速度都為零，由于P、Q和彈簧三者組成的系統(tǒng)機械能守恒，故此時彈簧彈性勢能即為系統(tǒng)減少的重力勢能，有Ep＝3mgL(cos30°－cos60°)＝eq\f(3,2)(eq\r(3)－1)mgL，故選項C錯誤；經分析可知，P和彈簧組成的系統(tǒng)機械能最小時，Q的動能最大，速度最大，加速度為零，輕桿對Q的作用力為零，水平橫桿對Q的支持力大小等于Q的重力mg，故選項D正確。【例2】(多選)如圖所示，A、B兩物塊由繞過輕質定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B和物塊C在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質彈簧相連，C放在水平地面上．現(xiàn)用手控制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側細線豎直、右側細線與斜面平行．已知A的質量為5m，B、C的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)．釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時C恰好離開地面．下列說法正確的是()A．C剛離開地面時，B的加速度為零B．從釋放A到C剛離開地面的過程中，A、B組成的系統(tǒng)機械能先增加后減小C．彈簧恢復原長瞬間，細線中的拉力大小為eq\f(4mg,3)D．A的最大速度為geq\r(\f(2m,3k))【答案】ABD【解析】當C剛離開地面時，A的速度最大，B的速度也最大，此時B的加速度為零，故A正確；從釋放A到C剛離開地面的過程中，A、B、C以及彈簧組成的系統(tǒng)只有重力和彈力做功，故A、B、C及彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，因彈簧的彈性勢能先減小后增加，C的機械能不變，可知A、B組成的系統(tǒng)機械能先增加后減小，故B正確；當A、B的速度最大時，C恰好離開地面，彈簧的彈力F彈恰好等于C的重力mg，即F彈＝mg，設斜面傾角為α，對A、B整體，沿細線方向進行受力分析可知F彈＋mg＝5mgsinα，當彈簧恢復原長時，彈簧的彈力為零，對A、B整體，根據(jù)牛頓第二定律有5mgsinα－mg＝6ma，隔離A，根據(jù)牛頓第二定律有5mgsinα－FT＝5ma，聯(lián)立解得FT＝eq\f(7,6)mg，故C錯誤；根據(jù)F彈＋mg＝5mgsinα，得sinα＝eq\f(2,5)，釋放A之前，彈簧處于壓縮狀態(tài)，對B進行受力分析，可得彈簧壓縮量為x1＝eq\f(mg,k)，釋放A后速度最大瞬間，對C進行受力分析可得彈簧的伸長量為x2＝eq\f(mg,k)，從釋放A到AB整體的速度最大，對AB整體，由于彈簧的形變量相等，彈力做功為零，根據(jù)機械能守恒有5mg(x1＋x2)sinα－mg(x1＋x2)＝eq\f(1,2)(m＋5m)vm2，聯(lián)立解得vm＝geq\r(\f(2m,3k))，故D正確．【例3】如圖所示，輕質彈簧一端固定在O處，另一端與質量為m的物塊相連，物塊套在光滑豎直固定桿上．開始時物塊處于A處且彈簧處于原長．現(xiàn)將物塊從A處由靜止釋放，物塊經過B處時彈簧與桿垂直，經過C處時彈簧再次處于原長，到達D處時速度為零．已知OB之間的距離為L，∠AOB＝30°，∠BOD＝60°.彈簧始終在彈性限度之內，重力加速度為g.在物塊下滑的整個過程中，下列說法正確的是()A．物塊在由A處下滑至C處的過程中機械能守恒B．物塊在B處的速度為eq\r(\f(2\r(3),3)gL)C．物塊在B處時彈簧的彈性勢能最大D．物塊在D處時彈簧的彈性勢能為eq\f(4\r(3),3)mgL【答案】D【解析】物塊在由A處下滑至C處的過程中，物塊受到彈簧的彈力做功，物塊的機械能不守恒，但是物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，A錯誤；物塊由A處下滑至C處的過程中，若只是重力勢能轉化為動能，則mgLtan30°＝eq\f(1,2)mv2，可知物塊在B處的速度為eq\r(\f(2\r(3),3)gL)，但還有一部分重力勢能轉化為彈性勢能，所以物塊在B處的速度小于eq\r(\f(2\r(3),3)gL)，B錯誤；物塊由B處下滑至D處的過程中，物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，動能減小，重力勢能減小，所以彈性勢能增加，故D處彈簧的彈性勢能大于B處彈簧的彈性勢能，C錯誤；物塊由A處下滑至D處的過程中，物塊的重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能，則mg(Ltan30°＋Ltan60°)＝EpD，可得EpD＝eq\f(4\r(3),3)mgL，D正確．題型四功能關系的理解和應用做功的過程就是能量轉化的過程．功是能量轉化的量度.功與能量的變化是“一一對應”的，如重力做功對應重力勢能的變化，合外力做功對應動能的變化等.分析機械能的變化，既可以用定義法也可以根據(jù)除重力(彈簧彈力)以外的其他力做功來分析．類型1功能關系的理解常見的功能關系能量功能關系表達式勢能重力做功等于重力勢能減少量W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp彈力做功等于彈性勢能減少量靜電力做功等于電勢能減少量分子力做功等于分子勢能減少量動能合外力做功等于物體動能變化量W＝Ek2－Ek1＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02機械能除重力和彈力之外的其他力做功等于機械能變化量W其他＝E2－E1＝ΔE摩擦產生的內能一對相互作用的滑動摩擦力做功之和的絕對值等于產生的內能Q＝Ff·x相對電能克服安培力做功等于電能增加量W電能＝E2－E1＝ΔE【例1】(多選)(2022·廣東省選擇考模擬)蹦床是少年兒童喜歡的一種體育運動，如圖所示，蹦床的中心由彈性網組成，若少年兒童從最高點落下至最低點的過程中，空氣阻力大小恒定，則少年兒童()A．機械能一直減小B．剛接觸網面時，動能最大C．重力勢能的減少量大于克服空氣阻力做的功D．重力勢能的減少量等于彈性勢能的增加量【答案】AC【解析】兒童從最高點落下直至最低點的過程中，彈簧彈力以及空氣阻力一直做負功，因此其機械能一直減小，故A正確；兒童和彈性網接觸的過程中先加速然后減速，故剛接觸網面時，動能并非最大，故B錯誤；根據(jù)功能關系可知，重力做功等于克服空氣阻力和克服彈簧彈力做功的和，則重力勢能的減少量大于彈性勢能的增加量，重力的減少量大于克服空氣阻力做功，故C正確，故D錯誤。【例2】(多選)(2022·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)第22屆哈爾濱冰雪大世界開門迎客了，近400m長的極速大滑梯是大人、孩子最喜歡的王牌娛樂項目。一名游客坐在雪橇上下滑了一段路程，重力對他做功3000J，他克服阻力做功500J，則在此過程中這名游客()A．重力勢能增加了3000JB．動能增加了3000JC．動能增加了2500JD．機械能減少了500J【答案】CD【解析】重力做正功，所以游客的重力勢能減少了3000J，A錯誤；合力做的功等于動能的增加量，所以動能增加了3000J－500J＝2500J，B錯誤，C正確；重力外的其他力做的功等于機械能的變化，阻力做負功500J，所以機械能減少了500J，D正確?！纠?】自動扶梯是商場里的高耗能設備之一，為了節(jié)約用電、減少機械磨損、延長使用壽命，某商場的自動扶梯設有“無人停梯”模式，即沒有乘客時扶梯停止運行，進入待機狀態(tài)．當有乘客登上扶梯時，扶梯由靜止開始加速啟動，達到設定速度后勻速運行．如圖所示，一位顧客在一樓登上處于“無人停梯”模式的扶梯后就在扶梯上站立不動，隨著扶梯到達二樓．關于此運動過程，下列說法正確的是()A．顧客始終受到重力、支持力和摩擦力B．扶梯只在加速啟動過程中對顧客做功C．扶梯對顧客做的功等于顧客動能的增加量D．扶梯對顧客做的功等于顧客機械能的增加量【答案】D【解析】在扶梯加速運行過程中，顧客受到重力、豎直向上的支持力和水平向前的摩擦力，在扶梯勻速運行的過程中，顧客受力平衡，受到重力和豎直向上的支持力，選項A錯誤；在扶梯加速運行的過程中，扶梯對顧客的支持力和摩擦力與扶梯速度方向的夾角均為銳角，因此它們都做正功．在扶梯勻速運行的過程中，扶梯對顧客的支持力也做正功，選項B錯誤；由功能關系可知，扶梯對顧客做的功等于顧客機械能的增加量，即動能增加量和重力勢能增加量之和，選項C錯誤，選項D正確．類型2功能關系與圖像的結合【例1】(多選)(2020·全國卷Ⅰ·20)一物塊在高3.0m、長5.0m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，其重力勢能和動能隨下滑距離s的變化如圖中直線Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10m/s2.則()A．物塊下滑過程中機械能不守恒B．物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.5C．物塊下滑時加速度的大小為6.0m/s2D．當物塊下滑2.0m時機械能損失了12J【答案】AB【解析】由E－s圖像知，物塊動能與重力勢能的和減小，則物塊下滑過程中機械能不守恒，故A正確；由E－s圖像知，整個下滑過程中，物塊機械能的減少量為ΔE＝30J－10J＝20J，重力勢能的減少量ΔEp＝mgh＝30J，又ΔE＝μmgcosα·s，其中cosα＝eq\f(\r(s2－h(huán)2),s)＝0.8，h＝3.0m，α誤．【例2】(多選)(2019·全國卷Ⅱ·18)從地面豎直向上拋出一物體，其機械能E總等于動能Ek與重力勢能Ep之和．取地面為重力勢能零點，該物體的E總和Ep隨它離開地面的高度h的變化如圖所示．重力加速度取10m/s2.由圖中數(shù)據(jù)可得()A．物體的質量為2kgB．h＝0時，物體的速率為20m/sC．h＝2m時，物體的動能Ek＝40JD．從地面至h＝4m，物體的動能減少100J【答案】AD【解析】根據(jù)題圖可知，h＝4m時物體的重力勢能Ep＝mgh＝80J，解得物體質量m＝2kg，拋出時物體的動能為Ek0＝100J，由公式Ek0＝eq\f(1,2)mv2可知，h＝0時物體的速率為v＝10m/s，選項A正確，B錯誤；由功能關系可知Ffh4＝|ΔE總|＝20J，解得物體上升過程中所受空氣阻力Ff＝5N，從物體開始拋出至上升到h＝2m的過程中，由動能定理有－mgh－Ffh＝Ek－Ek0，解得Ek＝50J，選項C錯誤；由題圖可知，物體上升到h＝4m時，機械能為80J，重力勢能為80J，動能為零，即從地面上升到h＝4m，物體動能減少100J，選項D正確．【例1】一質量為m＝2kg的物塊在長l＝9m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，經過t＝3s到達斜面底端，以水平地面為零勢能面，其重力勢能隨下滑距離s的變化如圖5所示，斜面始終靜止在水平地面上，重力加速度g取10m/s2。則()A．物塊下滑過程中機械能守恒B．物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.3C．物塊下滑時加速度的大小為4m/s2D．物塊下滑過程中機械能一共損失了72J【答案】D【解析】由運動學公式有l(wèi)＝eq\f(1,2)at2，解得物塊下滑時的加速度大小為a＝2m/s2，選項C錯誤；因物塊下滑過程中的重力勢能為Ep＝mg(h－ssinθ)＝－mgssinθ＋mgh(式中h為斜面頂端到地面的距離，θ為斜面的傾角)，再結合題意可知Ep－s圖像的斜率的絕對值為k＝mgsinθ＝12N，解得sinθ＝0.6，根據(jù)牛頓第二定律有mgsinθ－μmgcosθ＝ma，又sin2θ＋cos2θ＝1，解得物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，選項B錯誤；物塊下滑過程中機械能損失了ΔE＝μmglcosθ＝72J，選項A錯誤，D正確。類型3功能關系的綜合應用【例1】(多選)(2020·山東卷)如圖所示，質量為M的物塊A放置在光滑水平桌面上，右側連接一固定于墻面的水平輕繩，左側通過一傾斜輕繩跨過光滑定滑輪與一豎直輕彈簧相連。現(xiàn)將質量為m的鉤碼B掛于彈簧下端，當彈簧處于原長時，將B由靜止釋放，當B下降到最低點時(未著地)，A對水平桌面的壓力剛好為零。輕繩不可伸長，彈簧始終在彈性限度內，物塊A始終處于靜止狀態(tài)。以下判斷正確的是()A．M<2mB．2m<M<3mC．在B從釋放位置運動到最低點的過程中，所受合力對B先做正功后做負功D．在B從釋放位置運動到速度最大的過程中，B克服彈簧彈力做的功等于B機械能的減少量【答案】ACD【解析】由題意可知鉤碼B可以在開始位置到最低點之間做簡諧振動，故在最低點時彈簧彈力T＝2mg；對A分析，設繩子與桌面間夾角為θ，則依題意有2mgsinθ＝Mg，故有M<2m，故A正確，B錯誤；由題意可知B從釋放位置到最低點的過程中，開始彈簧彈力小于重力，鉤碼加速，合力做正功；后來彈簧彈力大于重力，鉤碼減速，合力做負功，故C正確；對于B，在從釋放到速度最大的過程中，B機械能的減少量等于彈簧彈力所做的負功，即等于B克服彈簧彈力所做的功，故D正確?！纠?】(多選)(2022·福建省名校聯(lián)考)如圖所示，一個質量為M、長為L的木板B靜止在光滑水平面上，其右端放有可視為質點的質量為m的滑塊A，現(xiàn)用一水平恒力F作用在滑塊上，使滑塊從靜止開始做勻加速直線運動?；瑝K和木板之間的摩擦力為Ff，滑塊滑到木板的最左端時，木板運動的距離為x，此過程中下列說法正確的是()A．滑塊A到達木板B最左端時，具有的動能為(F－Ff)(L＋x)B．滑塊A到達木板B最左端時，木板B具有的動能為FfxC．滑塊A克服摩擦力所做的功為FfLD．滑塊A和木板B增加的機械能為F(L＋x)－FfL【答案】ABD【解析】對滑塊A分析，滑塊A相對于地面的位移為(L＋x)，根據(jù)動能定理得(F－Ff)(L＋x)＝eq\f(1,2)mv2－0，則知滑塊A到達木板B最左端時具有的動能為(F－Ff)(L＋x)，選項A正確；對木板B分析，根據(jù)動能定理得Ffx＝eq\f(1,2)Mv′2－0，則知滑塊A到達木板B最左端時，木板B具有的動能為Ffx，選項B正確；滑塊A克服摩擦力所做的功為Ff(L＋x)，故選項C錯誤；根據(jù)能量守恒定律得，外力F做的功等于木板B和滑塊A的機械能和摩擦產生的內能，則有F(L＋x)＝ΔE＋Q，其中Q＝FfL，則滑塊A和木板B增加的機械能為ΔE＝F(L＋x)－FfL，選項D正確?！纠?】(2022·河北廊坊市摸底)一質量為m的小球，從地面附近的某高度處以初速度v水平拋出，除重力外小球還受一水平恒力作用，經過一段時間，小球的速度大小變?yōu)?v，方向豎直向下，小球還未到達地面。在此過程中()A．小球的動能增加了eq\f(1,2)mv2B．小球的重力勢能減少了2mv2C．小球的機械能增加了2mv2D．水平恒力做功的大小大于重力做功的大小【答案】B【解析】小球的動能增加了ΔEk增＝eq\f(1,2)m(2v)2－eq\f(1,2)mv2＝eq\f(3,2)mv2，故A錯誤；小球在豎直方向做自由落體運動，且水平恒力作用一段時間后，小球運動速度方向豎直向下，說明水平方向的速度恰好減為零，小球的重力勢能減少了ΔEp減＝mgh，又(2v)2＝2gh，聯(lián)立得ΔEp減＝2mv2，故B正確；下落過程根據(jù)動能定理得WF＋mgh＝eq\f(1,2)m(2v)2－eq\f(1,2)mv2，即WF＋2mv2＝eq\f(1,2)m(2v)2－eq\f(1,2)mv2，解得WF＝－eq\f(1,2)mv2，水平恒力做功為－eq\f(1,2)mv2，小球的機械能減少eq\f(1,2)mv2，重力做功等于重力勢能的減少量即為2mv2，故C、D錯誤。題型五能量守恒定律的理解和應用1．內容能量既不會憑空產生，也不會憑空消失，它只能從一種形式轉化為其他形式，或者從一個物體轉移到別的物體，在轉化或轉移的過程中，能量的總量保持不變．2．表達式ΔE減＝ΔE增．3．應用能量守恒定律解題的步驟(1)首先確定初、末狀態(tài)，分清有幾種形式的能在變化，如動能、勢能(包括重力勢能、彈性勢能、電勢能