廣東省汕頭市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

試卷類型：A汕頭市2020~2021學(xué)年度普通高中期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上．2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑、如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡交回．第Ⅰ卷選擇題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，毎小題5分，共40分．在毎小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則集合（）A.B.C.D.2.設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，則（）A.B.C.D.23.已知平面向量，則k＝2是與平行的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4、已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)恰為，則（）A.－96B.96C.－80D.805.已知三棱錐P－ABC中，PA＝4，AB＝AC＝，BC＝6，PA⊥面ABC，則此三棱錐的外接球的體積為（）A.B.C.D.6.定義2×2知陣，若，則（）A.圖象關(guān)于中心對(duì)稱B.圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間上的最大值為D.周期為的奇函數(shù)7.點(diǎn)A在直線y＝x上，點(diǎn)B在曲線上，則的最小值為（）A.B.1C.D.28.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（）A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，毎小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.5G技術(shù)的運(yùn)營(yíng)不僅提高了網(wǎng)絡(luò)傳輸速度，更拓寬了網(wǎng)絡(luò)資源的服務(wù)范國(guó)．目前，我國(guó)加速了5G技術(shù)的融合與創(chuàng)新，前景美好！某商城統(tǒng)計(jì)了5個(gè)月的5G銷(xiāo)量，如下表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號(hào)x12345銷(xiāo)量y（部）5295a185227若y與x線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.a＝152B.5G的銷(xiāo)量逐月增加，平均每個(gè)月增加約30臺(tái)C.y與x正相關(guān)D.預(yù)計(jì)12月份該商城的5G銷(xiāo)量約為318部10.設(shè)分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.s＝8B.到漸近線的距離隨著t的增大而增大C.t的取值范圍是（－32，32）D.當(dāng)t＝4時(shí)，C的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的倍11.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.四面體的體積恒為定值B.直線與平面所成角正弦值的最大值為C.異面直線BM與AC所成角的范圍是D.當(dāng)時(shí)，平面BDM截該正方體所得的截面圖形為等腰梯形12.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石．布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L．E．J．Brouwer），簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f（x），存在一個(gè)點(diǎn)，使得f（）＝，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則．14.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F與C交于A、B兩點(diǎn)，若，則y軸被以線段AB為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為．15.六個(gè)同學(xué)重新隨機(jī)調(diào)換座位，則恰有兩人坐在自己原來(lái)的位置上的概率為．16.已知函數(shù)，則函數(shù)f（x）的最大值是．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.（本小題滿分10分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、C，設(shè)△ABC的面積為S，已知．任選一個(gè)條件①；=2\*GB3②，補(bǔ)充在上面橫線處，然后解答補(bǔ)充完整的題目．（1）求sinB的值；（2）若S＝42，a＝10，求b的值．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．18.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求的前n項(xiàng)和．19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，∠PAB＝90°，PB＝PD，PA＝AB，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：AE⊥平面PBC；（2）是否存在點(diǎn)F，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°？若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20.（本小題滿分12分）端午假期即將到來(lái)，某超市舉辦“高考高棕”有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，凡持高考準(zhǔn)考證考生及家長(zhǎng)在端年節(jié)期間消費(fèi)每超過(guò)600元（含600元），均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)箱里有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球有3個(gè)，黑球有7個(gè)），抽獎(jiǎng)方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案．方案一：從抽獎(jiǎng)箱中，一次性摸出3個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到3個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球則打6折，若摸出1個(gè)紅球，則打7折；若沒(méi)摸出紅球，則不打折．方案二：從抽獎(jiǎng)箱中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元．（1）若小清、小北均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求他們至多一人享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若小杰消費(fèi)恰好滿1000元，試比較說(shuō)明小杰選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？21.（本小題滿分12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，焦距為．（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)D（0，3）作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求四邊形OANB面積的最大值．22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）證明：對(duì)任意的，都有；（2）設(shè)m＞n＞0，比較與的大小，并說(shuō)明理由．高二數(shù)學(xué)測(cè)試參考答案一、單選題DCCBAAAB二、多選題CDADABDACD三、填空；；；1.D【詳解】∵集合．2.C【詳解】復(fù)數(shù)，則．3.C【詳解】由與平行得k×1－2×1＝0，∴k＝2，所以k＝2是與平行的充要條件．4.B【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以當(dāng)r＝2時(shí)，含的項(xiàng)的系數(shù)恰為，又等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)恰為，所以．5.A【詳解】∵底面△ABC中，AB＝AC＝，BC＝6，，∴△ABC的外接圓半徑為．∵PA⊥面ABC，∴三棱錐外接球的半徑，所以三棱維P－ABC外接球的體積．6.A【詳解】由題意得，故圖象關(guān)于中心對(duì)稱．7.A【詳解】設(shè)平行于直線y＝x的直線y＝x＋b與曲線相切，則兩平行線間的距離即為的最小值．設(shè)直線y＝x＋b與曲線的切點(diǎn)為，則由切點(diǎn)還在直線y＝x＋b上可得，由切線斜率等于切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可得，聯(lián)立解得m＝1，b＝－1，由平行線間的距離公式可得的最小值為．8.B【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以9CD【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，又因?yàn)榛貧w方程為，代入回歸方程，解得，所以，得a＝151，由此知5G的銷(xiāo)量逐月增加，平均每個(gè)月增加約40臺(tái)左右，將x＝7代入回歸方程得，因?yàn)?4＞0，所以y與x正相關(guān)，10.AD【詳解】因?yàn)?，所以s＝8，故A正確；因?yàn)榈綕u近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)為，其在上單遞減，故B錯(cuò)誤；因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在x軸上，由，且s＝8，得t的取值范國(guó)是（－8，8），故C錯(cuò)誤；當(dāng)t＝4時(shí)，C的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)4，C的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的倍，故D正確．11.ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)正方體的特征可得，所以//平面，所以線段上的點(diǎn)到平面的距離相等，因?yàn)槿切蔚拿娣e為定值，M是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以四面體的體積為定值，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)直線與平面所成的角為，M到平面的距離為d，則，因?yàn)椋?/平面，所以M到平面的距離與到平面的距離相等，連接，由可得，又，所以，易知當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，最小，為，此時(shí)取得最大值，為，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)異面直線BM與AC所成的角為，當(dāng)M與或重合時(shí)，取得最小值，為60°，當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值，為90°，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)M作EF//BD，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，BF，則四邊形DEFB為等腰梯形，故D正確．12.ACD【詳解】根據(jù)定義可知：若f（x）有不動(dòng)點(diǎn)，則f（x）＝x有解．A.令，所以，易知x＝1是方程的一個(gè)解，故f（x）是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；B．令，所以，方程的，故方程無(wú)解，所以f（x）不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；C．當(dāng)x≤1時(shí)，令，所以或x＝1，所以f（x）是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；D．令，所以，所以f（x）是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．13.【詳解】14.【詳解】如圖所示：由于，所以l⊥x軸，所以圓心坐標(biāo)為F（1，0），半徑為r＝2，弦長(zhǎng)為15.【詳解】根據(jù)題意，分2步分析：①先從6個(gè)人里選2人，其位置不變，有種選法，②對(duì)于剩余的四人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能站在原來(lái)的位置上，因此第一個(gè)人有三種站法，被站了自己位置的那個(gè)人只能站在另外三個(gè)位置中的一個(gè)，選定后此時(shí)剩下兩人只有一種站法，因此四個(gè)人調(diào)換有3×3＝9種調(diào)換方法，故不同的調(diào)換方法有15×9＝135種．而基本事件總數(shù)為，所以所求概率為．16.【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，；當(dāng)x＞0時(shí)，，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)x＝1時(shí)，，令，又因?yàn)椋瑒t，故函數(shù)f（x）的最大值是．四、解答題17.【詳解】選擇條件①（1），所以………………1整理得：．即．………………2整理可得，………………3又sinB＞0，所以cosB＞0，所以．………………4故sinB＝．……5（2）由（1）知sinB＝，又S＝42，a＝10，則，……6解得c＝14………7將S＝42，a＝10，c＝14代入中，得，…9解得．……10選擇條件②（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，…………?，………………2即，………………3在△ABC中，，所以，…4故．……5（2）由（1）知，又S＝42，a＝10，則，…………6解得c＝14……7由余弦定理得……9．………………1018.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，…1則……2，………………3解得……4故…5（2）當(dāng)時(shí)，，……8當(dāng)n＞6時(shí)，，……11所以．……1219.【詳解】解：（1）∵△PAD≌△PAB（SSS）∴∠PAD＝∠PAB＝90°∴PA⊥AB，PH⊥AD，又∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴PA⊥BC∵ABCD為正方形∴AB⊥BC又，PA，AB?平面PAB∴BC⊥平面PAB∴AE?平面PAB∴AE⊥BC……2∵PA＝AB，E為線段PB的中點(diǎn)∴AE⊥PB…………3又，……4PB，BC?半由PBC∴AE⊥PBC……5（2）存在定點(diǎn)F，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，………………6不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則A（0，0，0），C（0，2，2），D（0，0，2），P（2，0，0），E（1，1，0）設(shè)，則設(shè)平向AEF的一個(gè)法向量為則……7令，則……8設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為則……9令，則……10∵平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°，，解得．………………11∴當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°……………1220.【詳解】解：（1）方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需摸出三個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件A，則．……2所以小清、小北二人至多一人享受到免單的概率為．…………4（2）若小杰選擇方案一，設(shè)付款金額為X元，則可能的取值為0、600、700、1000……6故X的分布列為X06007001000P所以（元）…7若小杰選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為Y，付款金額為Z，則Z＝1000－200Y……………8由已知可得，故．……9所以（元）………10因?yàn)?，……?1所以小杰選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算．………1221.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為………1∵離心率為．………………2…………3∴橢圓C的方程為．……4（2）四邊形OANB為平行四邊形，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；…5當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，直線l與橢圓于兩點(diǎn)，由．……6由．………………7，……8點(diǎn)O到直線l的距離，，…………10令，則（由上式知t＞0），．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，……………11∴當(dāng)k＝±時(shí)，平行四邊