內(nèi)蒙古呼倫貝爾市屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題及答案(文)

2015年內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高考二模（文科）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.（5分）已知P={-1,0,近},Q={y|y=sinO,OeR},則PCQ=（）

A.B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,揚(yáng)

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；正弦函數(shù)的定義域和值域.

【專題】計(jì)算題.

【分析】由題意P={-1,0,&},Q={y|y=sinO,0ER},利用三角函數(shù)的值域解出集合Q,

然后根據(jù)交集的定義和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

【解析】解：?.,（）={y|y=sin仇0^R},

AQ={yl-l<y<l},

VP={-1,0,&},

.".PAQ={-1,0}

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查兩個集合的交集的定義和求法，以及函數(shù)的定義域、值域的求法，關(guān)鍵

是明確集合中元素代表的意義.

-3+i—

2.（5分）已知復(fù)數(shù)2=~丁，則Z：的虛部為（）

1

A.-3B.3C.3iD.-3i

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求得三后得答案.

［解析］解：由

i3-1-i2

得z=-l+3i,

z的虛部為3.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共軌復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

3.（5分）已知傾斜角為a的直線1與直線x-2y+2=0平行，則tan2a的值為（）

.4n3?4n2

A.-B.?—C.-D.一

5433

【考點(diǎn)】二倍角的正切；直線的傾斜角.

【專題】計(jì)算題.

3n

【分析】由題意可得tana金，代入二倍角公式tan2a—"s一可求

21-tan2a

【解析】解：由題意可得tana、

、

...tan2a~—2tan—C—=1」=-4

l-tan2a1-A3

4

故選C

【點(diǎn)評】本題主要考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，兩直線平行的條件及二倍角正切公

式的應(yīng)用，計(jì)算雖簡單，但應(yīng)用的知識較多

4.（5分）甲：函數(shù)，f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；乙：3X1<X2,f（XJ<f（x2）,則甲

是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.

【解析】解：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若f（X）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，貝WX]<X2,

f（xJ<f（x2）,成立，命題乙成立.

若：3X1<X2,f（X]）<f（x2）,則不滿足函數(shù)單調(diào)性定義的任意性，...命題甲不成立.

...甲是乙成立的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決

本題的關(guān)鍵.

5.(5分)某程序框圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是()

(5*3

M

［周察］

X__X

B.f(x)」

A.f(x)=cosxC.f(x)=lgxD.f(x)=-^--,---

x

【考點(diǎn)】程序框圖.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；算法和程序框圖.

【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的

作用是輸出滿足條件①f(x)+f(-X)=0,即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)②f(x)存在零點(diǎn)，即

函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn).逐一分析四個答案中給出的函數(shù)的性質(zhì)，不難得到正確答案.

【解析】解：TA：f(x)=cosx>C：f(x)=lgx,不是奇函數(shù)，故不滿足條件①f(x)+f

(-x)=0,

又；B：f(x)」■的函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)，故不滿足條件②f(x)存在零點(diǎn)，

X

耳一火

而D：f(x)二'二—既是奇函數(shù)，而且函數(shù)圖象與x也有交點(diǎn)，

2

故D：f(x)I,符合輸出的條件.

2

故選：D.

【點(diǎn)評】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其

處理方法是:：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類型，

又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管

理）②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模.

6.（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

畀《國

A.12B.24C.40D.72

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【分析】先由三視圖判斷出幾何體的形狀及度量長度，然后利用棱錐和長方體的體積公式，

可得答案.

【解析】解：由三視圖得，該幾何體為以俯視圖為底面的四棱錐和長方體的組合體，

長方體的長寬高分別為3,4,2,故長方體的體積為3x4x2=24,

四棱錐的底面積為：3x4=12,高為6-2=4,

故四棱錐的體積為：-|xl2x4=16,

故組合體的體積V=24+16=40,

故選：C

【點(diǎn)評】解決三視圖的題目，關(guān)鍵是由三視圖判斷出幾何體的形狀及度量長度，然后利用

幾何體的面積及體積公式解決.

x-2M0

7.(5分)已知點(diǎn)P(x,y)在不等式組,y-lqO表示的平面區(qū)域上運(yùn)動，則2=*-丫

x+2y-2》0

的取值范圍是()

A.[-1,2]B.[-2,1]C.[-2,-1]D.[1,2]

【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.

【專題】計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的AABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=x

-y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，觀察x軸上的截距變化，得出目標(biāo)函數(shù)的最大、最小值，即可得

到2=*-丫的取值范圍.

x-240

【解析】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，

x+2y-220

得到如圖的AABC及其內(nèi)部，其中

A(2,0),B(2,1),C(0,1)

設(shè)z=F(x,y)=x-y,將直線1：z=x-y進(jìn)行平移，

觀察x軸上的截距變化，可得

當(dāng)1經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，z達(dá)到最小值；1經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z達(dá)到最大值

Az=F(0,1)=-1,z=F(2,0)=2

最小值最大值

即z=x-y的取值范圍是[-1,2]

故選：A

【點(diǎn)評】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=x-y的范圍，著重考查了二元一次不

等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題.

22

8.（5分）已知雙曲線二-七=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),,以IF,FJ為直

02b2

徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點(diǎn)為（3,4）,則此雙曲線的方程為（）

2?2222222

A.--匕=1B.—V-16=1D.x-z__i

16913一*1C.431

【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)（3,4）到原點(diǎn)的距離等于半焦距，可得a2+b2=25.由點(diǎn)（3,4）

在雙曲線的漸近線上，得到且士兩式聯(lián)解得出a=3且b=4,即可得到所求雙曲線的方程.

a3

【解析】解：二?點(diǎn)（3,4）在以IgFJ為直徑的圓上，

c=^l32+4區(qū)§，可得a2+b2=25…①

又點(diǎn)（3,4）在雙曲線的漸近線yqx上，

a

.?.旦g.②，

a3

2

①②聯(lián)解，得a=3且b=4,可得雙曲線的方程-匕二］

916

故選：c

【點(diǎn)評】本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的方程，考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單

幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題.

9.(5分)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x-2),y=f(x-2)關(guān)于y軸對稱，當(dāng)xG(0,

2)時(shí)，f(x)=log2x2,則下列結(jié)論中正確的是()

A.f(4,5)<f(7)<f(6.5)B.f(7)<f(4.5)<f(6.5)C.f(7)<f(6.5)

<f(4.5)D.f(4.5)<f(6.5)<f(7)

【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】求解本題需要先把函數(shù)的性質(zhì)研究清楚，由三個條件知函數(shù)周期為4,其對稱軸

方程為x=2,在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，觀察四個選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)自變量都不在已知的單調(diào)區(qū)間內(nèi)

故應(yīng)用相關(guān)的性質(zhì)將其值用區(qū)間［0,2］上的函數(shù)值表示出，以方便利用單調(diào)性比較大小

【解析】解：Vf(x+2)=f(x-2),y=f(x-2)關(guān)于y軸對稱，

/.f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，其圖象的對稱軸為x=2,

2

當(dāng)xd(0,2)時(shí)，f(x)=log?x,

.*.f(x)在區(qū)間(0,2)是增函數(shù)；

：.{(4.5)=f(0.5),

f(7)=f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1),

f(6.5)=f(2.5)=f(2+0.5)=f(2-0.5)=f(1.5),

VO<O.5<1<1.5<2,且函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，

.*.f(0.5)<f(1)<f(1.5),

即f(4.5)<f(7)<f(6.5),

故選：A.

【點(diǎn)評】本題綜合考查了函數(shù)的周期性、函數(shù)的對稱性與函數(shù)的單調(diào)性，涉及到了函數(shù)的

三個主要性質(zhì).

10.(5分)函數(shù)f(x)=sin(?x+(p)(co>0,|(p|<一")的最小正周期是無，若其圖象向右

JT

平吟個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f(X)的圖象()

6

A.關(guān)于點(diǎn)(J4F，0)對稱B.關(guān)于x—TT對稱

66

TTTV

C.關(guān)于點(diǎn)(不，0)對稱D.關(guān)于X"對稱

1212

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(cox+(p)的圖象變換.

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】由已知求出滿足條件的3,中值，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而分析出函數(shù)f(x)的

對稱性，可得答案.

JF

【解析】解：.函數(shù)f(x)=sin(<nx+(p)(co>0,的最小正周期是兀，

3=2，

則f（x）=sin（2x+（p）,

JTjr

將其圖象向右平移下個單位后得到的函數(shù)g（x）=sin[2（x-—）+叫的圖象,

66

若得到的函數(shù)為奇函數(shù),

1T

貝！Jg(0)=sin[2*(-——)+(p]=0,

6

兀

BP(P----=kR,k￡Z

3

兀，71

故f(x)=sin(

二,當(dāng)2XH-------也兀，即x=---F-——，k￡Z時(shí)，函數(shù)取最值,

32122

故函數(shù)f（X）的圖象的對稱軸方程為：x=2k：,kez

jr

當(dāng)k=0時(shí)，為函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸,

故選：D

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性

質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

11.（5分）已知E,F分別是矩形ABCD的邊BC與AD的中點(diǎn)，且BC=2AB=2,現(xiàn)沿EF

將平面ABEF折起，使平面ABEFL平面EFDC,則三棱錐A-FEC外接球的體積為（）

A.亞TIB.堂兀C.V3TID.

3

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【分析】由題意，三棱錐A-FEC外接球是正方體AC的外接球，由此三棱錐A-FEC外

接球的半徑是Y3,由求的體積公式可得.

2

【解析】解：由題意，三棱錐A-FEC外接球是正方體AC的外接球，由此三棱錐A-FEC

外接球的半徑是更，

2

所以三棱錐A-FEC外接球的體積為日冗（岑）3考打；

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查了三棱錐外接球的體積求法；關(guān)鍵是明確外接球的半徑，再由球的體積

公式解答.

,-X,[-1,0)

12.(5分)已知函數(shù)f(X)=11us1、,若方程f(x)-kx+k=0

----T--1,xtL0,1J

f(x-1)

有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()

A.(-1,-B.[-《，0)C.[-1,+oo)D.+8)

【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，由f(x)-kx+k=0得f(x)=kx-k,然后分別作出

y=f(x)和丫=1(^-1<的圖象，利用圖象確定k的取值范圍.

【解析】解：當(dāng)gxVl時(shí)，-l<x-1<0,

所以f(X)一,1,、-1=_/1八-1，

f(X-1)-(X-1)

由f(x)-kx+k=0得f(x)=kx-k,分別作出y=f(x)和y=kx-k=k(x-1)的圖象，如

圖：

由圖象可知當(dāng)直線y=kx-k經(jīng)過點(diǎn)A(-1,1)時(shí)，兩曲線有兩個交點(diǎn)，又直線y=k(x-1)

過定點(diǎn)B(1,0),

所以過A,B兩點(diǎn)的直線斜率1<=一方.

所以要使方程f(x)-kx+k=0有兩個實(shí)數(shù)根，

則-?k<0.

2

故選B.

B

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，是解決

本題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

13.（5分）某校高三文科學(xué)生的一次數(shù)學(xué)周考成績繪制了如右圖的頻率分布直方圖，其中

成績在［40,70］內(nèi)的學(xué)生有120人，則該校高三文科學(xué)生共有一400一人.

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.

【專題】計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【解析】解：根據(jù)頻率分布直方圖，得；

成績在［40,70）內(nèi)的頻率為

1-（0.04+0.02+0.01）xl0=0.3,

.?.樣本容量（共有高三文科學(xué)生數(shù)）為

息=400（人）.

故答案為：400.

【點(diǎn)評】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率、頻數(shù)與樣本容量的應(yīng)用

問題，是基礎(chǔ)題目.

14.（5分）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線1交于拋物線于A,B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)M到

拋物線的準(zhǔn)線距離為6,則線段AB的長為12.

【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).

【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離

等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A,B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.

【解析】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)(1,0),p=2.

設(shè)A(X],yjB(x2，y2)

拋物y2=4x的線準(zhǔn)線x=-1,線段AB中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線方程的距離為6,—(x+x)=5,

2

/.x^x^lO

IABI=IAFI+IBFI=x1+x2+p=10+2=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)評】本題的考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，主要解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問

題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.

15.(5分)向量3=(2,3),b=(-1,2),若與③-2b平行，則m等于

【考點(diǎn)】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示.

【專題】平面向量及應(yīng)用.

【分析】由已知向量的坐標(biāo)求得mZE與三-2己的坐標(biāo)，再由向量平行的坐標(biāo)表示列式求

得m的值.

【解析】解：:3=(2,3),卜(-1,2),

.*.ma+b^m(2,3)+(-1,2)=(2m-1,3m+2),

a-2b=(2,3)2)=(4,-1).

又ma^b與a-2b平行，

(2m-1)(-1)-4(3m+2)=0,解得：m=-——.

2

故答案為：一

【點(diǎn)評】平行問題是一個重要的知識點(diǎn)，在高考題中常常出現(xiàn)，常與向量的模、向量的坐

標(biāo)表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別.若工：a2),

b=(b/b2),則a_L1>=@追2+限2=0,a〃baaQ-224=0,是基礎(chǔ)題.

16.（5分）在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a?-c2=2b且tanA=3tanC,

貝b=4

【考點(diǎn)】余弦定理；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用.

【專題】解三角形.

【分析】已知第二個等式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，再利用正弦、余弦定理化

簡，整理得到關(guān)系式，把第一個等式代入求出b的值即可.

【解析】解：tanA=3tanC,

.sinA=3sinCgpsinA=GOSA

cosAcosC3sinCcosC

,2,2_2

b+c-a

2ab

整理得:b2=2（a2-c2）,

'/a2-c2=2b,

Z.b2=4b,

解得：b=4或b=0（舍去），

貝Ub=4.

故答案為：4

【點(diǎn)評】此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握正弦、

余弦定理是解本題的關(guān)鍵.

三.解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列｛aj,滿足,+a3+a5=12.,且a/a5,a17成等比數(shù)

列，為｛aj的前n項(xiàng)和.

（I）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

（）求使成立的最大正整數(shù)的值.

IISn<5ann

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì).

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】（I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;

（II）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、不等式的解法即可得出.

【解析】解：(I)Va^a^a^l2,

3a3=12,^3=4.

???a/a5,%成等比數(shù)列，

02_。

，，a5-alalT，

(4+2d)2=(4-2d)(4+14d),

Vd#O,解得d=L

?■?an=a3+(n-3)d=4+(n-3)=n+l；

數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為：a”=n+1,n€N*?

(II)Van=n+l,

n(n+3)

：2

.n(n+3)

<5(n+1)

2-

即67—，即上弊挈，

且nGN+,

n=8,即n的最大值是8.

【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、不等式的解法,

考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.（12分）如圖，已知正三棱柱ABC-A[B[C]的各棱長均為4,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在

側(cè)棱CC1上，且CC『4CF

（I）求證：EF_LA]C；

（II）求點(diǎn)C到平面AEF的距離.

【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【分析】（I）過E作EN_LAC于N,連結(jié)EF、NF、AC/通過直棱柱的性質(zhì)及相似三角

形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即得結(jié)論；

（II）設(shè)點(diǎn)C到平面AEF的距離為d,利用丫…鋌「叱”,計(jì)算即可.

【解析】解：過E作EN_LAC于N,連結(jié)EF.

（I）連結(jié)NF、AC「由直棱柱的性質(zhì)知，

底面ABC,側(cè)面A?,所以ENL側(cè)面A|C,

所以NF，A]C,

在RtACNE中，CN=CEcos60°^x4x-=l,

22

V-?rCrC,—4c卜,???CN'二.'CF一,

1CACCj

；.NF〃AC],

又AC[_LA]C,故NFJ_AC『Af，平面NEF,

所以EFLA]C；

（ID設(shè)點(diǎn)C到平面AEF的距離為d,

【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的判定，線線垂直的判定，考查棱錐的體積公式，從不同角度

利用棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

19.(12分)"ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項(xiàng)社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的籌款活動，活動規(guī)定：被邀請者要

么在24小時(shí)內(nèi)接受挑戰(zhàn)，要么選擇為慈善機(jī)構(gòu)捐款(不接受挑戰(zhàn))，并且不能重復(fù)參加該活

動.若被邀請者接受挑戰(zhàn)，則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可

以邀請另外3個人參與這項(xiàng)活動.假設(shè)每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，且互不影

響.

(I)若某參與者接受挑戰(zhàn)后，對其他3個人發(fā)出邀請，則這3個人中至少有2個人接受挑

戰(zhàn)的概率是多少？

(H)為了解冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別是否有關(guān)，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，調(diào)查

得到如下2x2列聯(lián)表：

接受挑戰(zhàn)一不接受挑戰(zhàn)「合計(jì)戶

男性「45，妍

女性P25?15"40，

合計(jì)Q7g3g100^

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為“冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別

有關(guān)”？

附.K2__________n(ad-bc)2________

"K"(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

p(K2aw)~0.1期0.05MQ.010^0.001^

koc270M3841口6.635。10.828^

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【專題】應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】(I)確定基本事件的個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，求這3個人中至少有2

個人接受挑戰(zhàn)的概率；

(II)根據(jù)2x2列聯(lián)表，得到K2的觀測值，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.

【解析】解：(I)這3個人接受挑戰(zhàn)分別記為A,B,C,則印，石，石分別表示這3個人

不接受挑戰(zhàn).

這3個人參與該項(xiàng)活動的可能結(jié)果為:{A,B,C},自，c},{A,B,C},{A,B,C）,

{A>B>C],{A,B>C},(A,B>C},{A>B,C}.共有8種；(2分)

其中，至少有2個人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果有：{A,B,C},U,B,C],{A,B,C）,

[A,B,C],共有4種.（4分）

根據(jù)古典概型的概率公式，所求的概率為.（6分）

（II）假設(shè)冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別無關(guān)，（7分）

根據(jù)2x2列聯(lián)表，得到K2的觀測值為:

n(ad-be)2100X(45X15-25X15)225八

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~60X40X70X30~14

（10分）

因?yàn)?.79<2.706,

所以在犯錯誤的概率不超過0」的前提下認(rèn)為“冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別無關(guān)”.（12分）

【點(diǎn)評】本題主要考查古典概型、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)知識，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)

用意識，考查必然與或然思想等.

20.（12分）已知函數(shù)f（x）=x+芻"Inx,（a￡R）,

x

（I）若f（x）在點(diǎn)（1,f（D）處的切線與x軸平行，求實(shí)數(shù)a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）當(dāng)論2時(shí)，存在兩點(diǎn)（X],f（xj）,（x2,f（x2?,使得曲線y=f（x）在這兩點(diǎn)處的

切線互相平行，求證X]+X2>8.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；直線與圓.

【分析】（I）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得a=2,再由導(dǎo)數(shù)大于0,得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)

小于0,得減區(qū)間；

（H）分別求得曲線在兩切點(diǎn)的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，結(jié)合條件和基本不

等式，即可得證.

【解析】（I）解：f（X）的導(dǎo)數(shù)為f'（K）=1--4+-=S+x-a,xe（0,+oo）,

JXX2

Vf（x）在點(diǎn)（1,f（1））處的切線與x軸平行,

貝!JP(1)=2-a=0,a=2,

J+x-9

,**fZ（X）=--------二0，可得x=l或x=-2（舍），

???當(dāng)OVxVl時(shí)，f（x）<0；當(dāng)x>l時(shí)，f（x）>0.

：.f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,1）,單調(diào)遞增區(qū)間是（1,+oo）.

（II）證明：依題意：1-昌+工=La+1=>a（―+—）=1,

2

X12叼x2X2X]x2

由于X]>0,X2>0,且乂/2,

Xi*Xn./zX1+X9n

則有注=~7^2=2（xi+x2《X[，X2<（-5~,

???2Cxi+X2）<2

XI+X2>8.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查兩直線平行的條件:

斜率相等，基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題.

21.（12分）如圖，橢圓的右焦點(diǎn)F?與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，過F2與x軸垂直的直線

與橢圓交于S,T,與拋物線交于C,D兩點(diǎn)，且ICDI=2，方STI.

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，若過點(diǎn)M（2,0）的直線1與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A和B,且

滿足市+顯t不（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用；橢圓的簡單性質(zhì).

【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】（I）由焦點(diǎn)g（i,O）,根據(jù)|CD|=2&|ST|,所以|ST|二由此能求出橢

圓方程.

(II)設(shè)過m(2,0)的直線為y=k(x-2),與橢圓方程聯(lián)立，得(l+2k2)x2-8k2x+8k2

=tx

一一一Px1+x20

-2=0,設(shè)A(X1,yj,B(x2，y2),P(x。，yQ),由0A+0B=tOP,得，由

~Lyl+y2zty0

此結(jié)合題設(shè)條件能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍.

22

【解析】解：(I)設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程二+彳1(a>b>0),

aZbZ

由題意,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,(1,0),ICDI=4.

因?yàn)閨CD|=2近|ST|,所以1ST|二血.…(2分)

又S(1,-^)，T(1,-資)，囪|=笙=近，

aaa

又c2=l=a2-b2,所以b=I.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方畤+y2=].…(5分)

(II)由題意，直線1的斜率存在，設(shè)直線1的方程為y=k(x-2).

r22_

由1X"y-2消去y,得(l+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,(*)

y=k(x-2)

設(shè)Alx』yj,B(x2，y2),P(xQ,yQ),則x『x?是方程(*)的兩根，

所以&(8k2)2-4(l+2k2)(8k2-2)>0,即2k2<1,①...(7分)

8k2

且X]+X2~~

l+2k2

一一一fX]+x2=t

由OA+OB二tOP,得一

斗+曠2二Bo

若t=0,則P點(diǎn)與原點(diǎn)重合，與題意不符，故以0,

1(勺+X2)4』

0=72

1&t1+2k

所以,..(9分)

x

y0=-^(yt+y2)=-1[k(x]+x2)

tl+2k

2

因?yàn)辄c(diǎn)P(X,yn)在橢圓上，所以(出—)4-----~x],

°°t2l+2k2(H2k2)2

]

l+2k2

再由①，得

Q2

又厚0,所以td(-2,0)U(0,2).…(13分)

【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)

真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.

請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修1-1：

幾何證明選講

22.(10分)如圖，已知PA與圓。相切于點(diǎn)A,經(jīng)過點(diǎn)O的割線PBC交圓O于點(diǎn)B,C,

/APC的平分線分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.

(I)證明：ZADE=ZAED；

(II)若AC=AP,求四的值.

PA

【考點(diǎn)】弦切角；相似三角形的性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】(I)根據(jù)弦切角定理，得到/BAP=/C,結(jié)合PE平分/APC,可得/BAP+/

APD=ZC+ZCPE,最后用三角形的外角可得NADE=NAED；

(II)根據(jù)AC=AP得至!J/APC=/C,結(jié)合(I)中的結(jié)論可得/APC=/C=/BAP,再在AAPC

中根據(jù)直徑BC得到NPAC=9(r+NBAP,利用三角形內(nèi)角和定理可得

ZC=ZAPC=ZBAP=-1x90S=304?利用直角三角形中正切的定義，得至端班，最后

通過內(nèi)角相等證明出AAPCs^BPA,從而畢呈二

PAABC15

【解析】解：（I）???PA是切線，AB是弦，

???ZBAP=ZC.

又,:ZAPD=ZCPE,

???NBAP+NAPD=NC+NCPE.

VZADE=ZBAP+ZAPD,ZAED=ZC+ZCPE,

AZADE=ZAED....（5分）

（II）由（I）知NBAP=NC,

ZAPC=ZBPA,

VAC=AP,

???ZAPC=ZC

???ZAPC=ZC=ZBAP.

由三角形內(nèi)角和定理可知，ZAPC+ZC+ZCAP=180°.

?IBC是圓。的直徑，

???ZBAC=90°.

???ZAPC+ZC+ZBAP=180°-90°=90°.

???ZC=ZAPC=ZBAP=7X90S=30’?

J

1CA

在RtAABC中，L歲,即

tanCABtan30°一把'

.CA

.?瓦心r

???在^APC與4BPA中

ZBAP=ZC,ZAPB=ZCPA,

/.△APC^ABPA.

.PCCA

?_?

PAAB

.PCCA

.?應(yīng)方二五r...（10分）

【點(diǎn)評】本題綜合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函數(shù)的定義和相

似三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于中檔題.找到題中角的等量關(guān)系，計(jì)算出RtAKBC是含有

30度的直角三角形，是解決本題的關(guān)鍵所在.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

23.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是p=4cos6.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的

、