2024屆高三期末適應(yīng)性考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024屆高三期末適應(yīng)性考

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁(yè)，22小題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在

答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

I.己知復(fù)數(shù)二1=12-3i,二2=-9+i,則z+:2的實(shí)部與虛部分別為

A.3?—2B.3,-2iC.2,-3D.2,-3i

2.已知集合〃=卜,=111(1-2^)},N={y?=e*},則A/cN=

D.0

4.已知向量否滿足同=2,,卜+可=而"，則向量￡在向量1上的投影向量的

坐標(biāo)為

A.2,2)B.(1,1)C.(-1,-1)D.--y-t-y-

數(shù)學(xué)試題（第1頁(yè)，共6頁(yè)）

5.已知角。的始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,、。），將角。的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)會(huì)后得

到角力，則tan/?=

A.—B.--C.V3D,-y/5

33

6.已知拋物線￡:/=2「*（0>0）的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,過(guò)E上的一點(diǎn)4作/的垂線，垂

足為8,若|/切=3|。用（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），且的面積為12忘，則E的方程

為

A.y1=4xB.y2=C.y2=8^D.y2=Sy/3x

7.一個(gè)軸械面是邊長(zhǎng)為2道的正二角形的圓錐型封閉容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為1的小球。?

后，再放入一個(gè)球。2,則球。2的表面積與容器表面積之比的最大值為

41J3J3

A.—B.—C.—D.—

8127273

8.已知函數(shù)/⑶的定義域?yàn)椋▽Ａ?，?（x）=4n2x，smx<c°sx,若關(guān)于'的方程

144）[smx,sinx>cosx

/（x）=a有4個(gè)不同實(shí)根演,七,七,七（為<七<再<為），則/（xjsin*,*；/*"的取值范

圍是

A.Q書(shū)B(niǎo).jJC.（1,應(yīng)）D.（-72,1）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若a,Z>eR,則下列命題正確的是

A.若46工0且a<6,則一>—B.若a<b,則/<6，

ab

C.若a>b>0,則―+；<。D.若a同則

10.某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：C）滿足函數(shù)關(guān)系丁=。就"

（e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，A,b為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192

小時(shí)，在14匕的保鮮時(shí)間是48小時(shí)（參考數(shù)據(jù)：2.85=172,2,76?387）,貝ij下列

說(shuō)法正確的是

A.de（5,6）

數(shù)學(xué)試題（第2頁(yè)，共6頁(yè)）

B.若該食品儲(chǔ)藏溫度是2rC,則它的保鮮時(shí)間是16小時(shí)

C.A<0

D.若該食品保鮮時(shí)間超過(guò)96小時(shí)，則它的儲(chǔ)藏溫度不高于7C

11.歐拉函數(shù)夕（〃乂〃eN*）的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)〃，且與"互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)

數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：。（3）=2,。（4）=2,則

A.s（4>0（6）=°（8）B.當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，s（〃）=〃—1

C.數(shù)列｛『（2"）｝為等比數(shù)列D.數(shù)列的前〃項(xiàng)和小于|

12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體/3CO-4gGA中，己知M,N,P分別是棱GR,AAt,

8C的中點(diǎn)，。為平面PMN上的動(dòng)點(diǎn)，口直線。片與直線。片的夾角為30°,則

A.。用J■平面PAW

B.平面PMN故正方體所得的截面面積為3

C.點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為兀

D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計(jì)）的

球的半徑的最大值為上正

2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2x2+x-y）’的展開(kāi)式中*5歹2的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

14.某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合

格.現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值L2,3,…,100）,經(jīng)計(jì)算

100100

?>,=7200,=100x（72?+36）.若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布

，=|1=1

N"）,則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為.（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到

0.1%）

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NJ,/）,則加-。4萬(wàn)%+。卜0.6827,

數(shù)學(xué)試題（第3頁(yè)，共6頁(yè)）

尸（〃一2aKXW〃+2a）之0.9545,P（p-3a<X<?0.9973.

15.已知函數(shù)〃x）=e2'-2a（x-2）e'-a2x2?>o）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則。=.

16.在1,2，…，50中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，能構(gòu)成公差不小于5的等差數(shù)列的概率為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

記S”為數(shù)列｛3｝的前〃項(xiàng)和，若q=3,（〃+1）2勺+|+（2〃+1）5“=2.

（1）求S“；

⑵若心思病

,求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和和.

18.（本小題滿分12分）

已知—8C的內(nèi)角45c的對(duì)邊分別為o,6,c,A為銳角，的面積為S,

4bs=ae？+/-儲(chǔ)）.

⑵如圖，若及C=%BC=后,O為-BC內(nèi)一點(diǎn),且。求

。8的長(zhǎng).

數(shù)學(xué)試題（第4頁(yè)，共6頁(yè)）

19.（本小題滿分12分）

如圖，已知斜四棱柱力BCD-44CQI，底面43co為等腰梯形，48〃C。，點(diǎn)4在

底面的射影為O,且4。=8。=。。=44=1,AB=2,4。=（AA.LBC.

（1）求證：平面Z8CO1平面4CC/：

（2）若A/為線段片。上一點(diǎn)，且平面M8c與平面夾角的余弦值為浮，求直

線4M與平面MBC所成角的正弦值.

20.（本小題滿分12分）

杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺

址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)

代精神和精致和諧的人文精神.甲同學(xué)可采用如下兩種方式購(gòu)買吉祥物：

方式一：以盲盒方式購(gòu)買，每個(gè)盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、

宸宸和蓮蓮三款中的一個(gè)，只有打開(kāi)才會(huì)知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是

等可能的：

方式二：直接購(gòu)買吉祥物，每個(gè)30元.

（1）甲若以方式一購(gòu)買吉祥物，每次購(gòu)買一個(gè)盲盒并打開(kāi).當(dāng)中買到的吉祥物首次出

現(xiàn)相同款式時(shí)，用X表示甲購(gòu)買的次數(shù)，求X的分布列：

（2）為了集齊三款吉祥物，甲計(jì)劃先一次性購(gòu)買盲盒，且數(shù)量不超過(guò)3個(gè)，若未集齊

再直接購(gòu)買吉祥物，以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購(gòu)買多少個(gè)盲

盒？

數(shù)學(xué)試題（第5頁(yè)，共6頁(yè)）

21.(本小題滿分12分)

在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)尸「6,0),點(diǎn)p(x,y)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).若以PF為

直徑的圓與圓?！?+必=4內(nèi)切，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.

(1)求E的方程：

(2)設(shè)點(diǎn)』(0,1),N(4-，,0)QH2),直線ZN分別與曲線E交于

點(diǎn)S,T(S,7■異于4),AHLST,垂足為H,求的最小值.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=Inx+〃aH—.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

(2)己知keN'，若Va,6e(0,+e),

當(dāng)a>6時(shí)，2b+小。+,<f(G+：+mb恒成立,求〃的最大值.

數(shù)學(xué)試題(第6頁(yè)，共6頁(yè))

6.C【解析】由題意，在拋物線Ej2=2px(p>0)中，|朋=3］。日,

焦點(diǎn)?已0),準(zhǔn)線/:x=-§

/.|0F|=y,\AB\=.則4(p,±VIp)

二S-叱=；|/印必|=；TPJ±0P|=12應(yīng)，解得：p=4

.?.E的方程為：y2=8x.

故選：C.

7.A【解析】

由邊長(zhǎng)為2、萬(wàn)的正三角形的內(nèi)切圓半徑為q=；x2jjx*=l,

即軸截面是邊長(zhǎng)為26的正三角形的圓錐內(nèi)切球半徑為1,

所以放入一個(gè)半徑為1的小球。后，再放一個(gè)球。2,如下困,

要使球。2的表面積與容器表面積之比的最大，即球。2的半徑4最大，

所以只需球。2與球。I、圓錐都相切，其軸截面如上圖，此時(shí)4=；x(2Gx?-2q)=；,

所以球Q的表面積為4巧2=彳‘圓錐表面積為3TI+；X2JJX267r=9兀,

八4

所以球。2的表面積與容器表面積之比的最大值為—.

故選：A

8.A【解析】

由sinx-cosx=＞^sin（x一四），

4

若sinxvcosx,則sin（x-：）＜0,可得（2〃+1）兀＜不一彳＜2俏+1）兀,人￡2,

5兀?，9711r

所以2A兀Hvx＜2E+—、kGZ,

44

若sinxNcosx,則sin（A--）＞0,可得2An＜A--＜（2A：+1）兀,AGZ,

44

數(shù)學(xué)答案(第2頁(yè)，共14頁(yè))

2024屆高三期末適應(yīng)性考

數(shù)學(xué)參考答案

題號(hào)123456789101112

答案AACBBCAABDACDACDABD

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）

1.A【解析】因?yàn)槎?12-3i,二2=-9+i,所以w+:2=3-2i,其實(shí)部與虛部分別為

3,-2.

2.A【解析】由1—2x>0,解得x<；,所以M={x|x<g

而丫=6">0,所以N={y|y>0},

所以MnN=

故選：A.

3.C【解析】因?yàn)榻猓?）=sinx的定義域?yàn)镽.

定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以/（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于）'軸對(duì)稱，故排除選項(xiàng)B、D,

當(dāng)x>0時(shí)，令/(x)=0可得x=0或x=eZ),

所以x>0時(shí)，兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)為x=0和X=7t,

當(dāng)0<x<7t時(shí)，上￡<0,sinx>0,/(x)=［匕三］sinx<0,故排除選項(xiàng)A,故選：C.

1+e、U+eJ

B【解析】由右=(1,1),得卜|=J+1=丘,則卜+0=Ja+223+］=V10,

即4+2+2)5=10,則11=2,

ci?bbr

所以向量￡在向量不上的投影向量的坐標(biāo)為（可）同=6=（11）.故選:B.

5.B【解析】因角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,JJ）,由三角函數(shù)的定義可得tan。=

3

兀

tan。-tan—r

又依題意得力=6—冷，所以tanQ=tan（。7T

-------------=-----,故選：B.

3

1+tan。tan一

3

數(shù)學(xué)答案（第1頁(yè)，共14頁(yè)）

所以2依+巴《X42〃兀+」,人GZ,

44

要使/0)=。有4個(gè)不同實(shí)根玉,電，七戶4(*<x2<毛<%)，則￥<。<1,

-HA兀,，Xi+X)+工？+工4兀J2

由圖知：x}+x2=——,x3+x4=it,故---------------=■—,且—<f(xx)<1>

2242

所以/(xjsin&±&^士工的范圍為

故選：A

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)

9.BD【解析】對(duì)選項(xiàng)A,取。=-1,b=1,滿足次>/0且。<6,則錯(cuò)誤；

ab

對(duì)選項(xiàng)B,因?yàn)楹瘮?shù)y=x3單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，a3<b3,正確；

L_|_|匕

對(duì)選項(xiàng)C,a>b>0t要使----<—,即a6+av〃6+力，即。<6,錯(cuò)誤；

Q+1a

Y*X>0

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)楹瘮?shù)y=x忖=1'一'單調(diào)遞增，當(dāng)麗|<方同，則。<力，正確.

［一x,x<0

故選BD.

10.ACD【解析】在函數(shù)》=6小&中，當(dāng)x=0時(shí)，e"=192,

由20=172,2)6=387知，Z>e(5,6),故A正確：

當(dāng)x=14時(shí)，e14*+A=48,所以eM*=%=L,則

19242

當(dāng)x=21時(shí)，J?一=(；)xl92=24,故B不正確：

數(shù)學(xué)答案(第3貞，共14貞)

由e"=L,得％=,lnL<0,故C正確：

272

X

由yN96,得964eh-e"=192[1p,所以x?7,故D正確.故選ACD.

11.ACD【解析】對(duì)于A,因?yàn)?(4)=2,0(6)=2,0(8)=4,

所以0（4>g（6）=0（8）,故A正確:

對(duì)于R,由于0（9）=6#8,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)樾∮?”的所有正奇數(shù)與2”均互質(zhì)，且小于2”的所有正奇數(shù)有2"“個(gè),

所以O(shè)（2"）=2"T,因此數(shù)列加（2"）｝為等比數(shù)列，故C正確；

對(duì)于D,同理S（3"）=2X3"T,所以"（2"）=2"~'=j_.（2r,令〃=_1.（2丫’，

''.（3"）2x3"-'2⑴"2⑴

<二，故D正確，故選ACD.

2

12.ABD【解析】A選項(xiàng)，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,QC,O￡）i所在直線分別為xj;軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

尸（1,2,0）,收（0,1,2）,代（2,0,1）,。（0,0,0）,耳（2,2,2）,

故函=(2,2,2),由=(-1,-1,2),麗=(1,-2,%

設(shè)平面PMN的法向量為m=(x,乂二),

m*PM=(x,y,z)?(_1,_L2)=_x_y+2z=0

th'PN-(1,-2,1)=x-2j+z=0

令==1得，x=y=\,故機(jī)=(1,1」)，

因?yàn)镈B]=2m,故DB[_L平面PMN,A正確：

數(shù)學(xué)答案（第4頁(yè)，共14頁(yè)）

B選項(xiàng)，取4R,/B,CG的中點(diǎn)E,￡。，

連接MQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP,AB，CD\,

因?yàn)镸N,尸分別是棱GA，AAt,BC的中點(diǎn),

Mv^NFUA'B、MQ"CD\,又CR〃EP//&B,

所以Nk〃兒@//￡p，所以平面2MV截正方體所得的截面為正六邊形FPQMEN,

其中邊長(zhǎng)為J7,故面積為6x=3>/3>B正確:

C選項(xiàng)，0為平面PMV上的動(dòng)點(diǎn)，直線。片與直線￡＞鳥(niǎo)的夾角為30°,

又。與J.平面PAW,設(shè)垂足為S,以S為圓心，r=*4S為半徑作圓，

即為點(diǎn)。的軌跡，

其中&D=|麗|=14+4+4=2班,由對(duì)稱性可知，B、S=；B]D=百,

故半徑r=——Xyji=1,

3

數(shù)學(xué)答案（第5頁(yè)，共14頁(yè)）

故點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為2兀，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)镸,N,尸分別是棱GD，AA,,8c的中點(diǎn)，

所以平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體對(duì)稱，

不妨求能放入含有頂點(diǎn)。的空間幾何體的球的半徑最大值，

該球與平面PMV切與點(diǎn)S,與平面力。。4，平面4。。？，平面。CC|R相切,

由對(duì)稱性可知，球心在耳。上，設(shè)球心為則半徑為f,

5(1,1,1),故|麗卜1,即6(1—)=/,解得,=三叵,

故球的半徑的最大值為上I叵，D正確.

2

故選：ABD.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.120【解析】由于xV=（x2『.x.y2,

所以（2x2+x-y）’的展開(kāi)式中含x5j?的項(xiàng)為

C；（2、2『xC,xc；（-y）2=120?/,

所以（2/+、一?5的展開(kāi)式中x5y2的系數(shù)為120.

故答案為：120.

I100

14.97.7%【解析】因?yàn)?00個(gè)數(shù)據(jù)與，X”毛，…，Xoo的平均值k=訴2%=72,

100fs）

方是S,喘自—）2$唇-*卜/[W0x（722+36）T00x72}36,

所以〃的估計(jì)值為〃=72,o■的估計(jì)值為0=6.

設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為X,

由P（jj-2a<X</j+2a）^0.9545,

得P（72-12WXW72+12）=P（60WX484）=0.9545,

數(shù)學(xué)答案（第6頁(yè)，共14頁(yè)）

/、/、/、\-P(u-2a<X<u+2a)1-0,9545

P(X>84)=P(X>〃+2o)=P(X<〃一2o)=——------——----U---

所以P(XN60)=尸(60<>V<84)+P(X>84)=0.9545+；x(I-0.9545)=0.97725N97.7%.

故答案為：97.7%.

15.y【解析】因?yàn)?卜)=62"—2。(/一2戶一以2/(4>0),

所以''(x)=2e2x_2q,+(x—2)e[-2a2x=2?—oxj(e'+

令y=e"-ar,則y'=e"-a,令/>0,

故當(dāng)x>Ina時(shí))/>0,函數(shù)y=e"-ax為增函數(shù),

當(dāng)x<lna時(shí)''<0,函數(shù)y=ex-ax為藏函數(shù),

即當(dāng)x=Ina時(shí)函數(shù)y=ex—ar有最小值Ina),

若a(l-lna)N0,即0<aWe時(shí)/'(x)N0,

此時(shí)函數(shù)/(x)在R上為增函數(shù)，與題意不符：

若4(1-lna)<0,即a>e時(shí)，此時(shí)函數(shù)》二/一4工(4>0)與X軸有兩個(gè)不同交點(diǎn),

設(shè)交點(diǎn)為(王,0卜。2，°),且0<演<%，即,e"”，

2

e'=ax2

所以當(dāng)x<玉或3>再時(shí)y>0,即/'(x)>0,此時(shí)函數(shù)/(x)為增函數(shù)，

當(dāng)x1Vx時(shí)Vv0，即/'(x)<0,此時(shí)函數(shù)/(x)為減函數(shù)，

依題意,函數(shù)/(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)/卜)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

即/(xJ=0或/(石)=0,

X222

所以e?%—2。(占-2)e*—。匕；=。或冷-2a(x2-2)e-ax2=0,

化簡(jiǎn)潺再=2或》=2,所以a=￡，=J,

占2

2

故答案為：e

2

350x49x48

16.——【解析】在1,2,…,50中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)有：C；o=----------=19600,

1403x2x1

數(shù)學(xué)答案(第7頁(yè)，共14頁(yè))

公差為5的等差數(shù)列有：(1,6,11),(2,7,12)..........(40,45,50),共40個(gè):

公差為6的等差數(shù)列有：(1,7,13),(2,8,14),……，(38,44,50),共38個(gè);

公差為24的等差數(shù)列有：(1,25,49),(2,26,50),共2個(gè):

-20(2+40)

所以共有：2+4+6+…+40=—i-------^=420,

2

4203

所以能構(gòu)成公差不小于的等差數(shù)列的概率為：

519600-140

3

故答?案為:

140

四、解答題(本題共6小題,共70分.)

17.【解析】(1)由題設(shè)(〃+1)2(5?+|-5,)+(2〃+1)5“=2,則(〃+1)251+1-〃25.=2,

又12XR=%=3,故｛/SJ是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,

所以〃2s,=3+2(〃-1)=2〃+1,則S.=空它.

YT

LII11、

(2)由(1)得b”=--------------=一(z-------------),

〃(2〃-1)(2〃+1)22〃-12〃+1

所以—1-???+------------------)=—(1----------)=---------

52H-12/7+122〃+12H+1

18.【解析】(1)v4bS=a(b2+c2-a2),

4A?—/>csinA=a-2hccosA,BPAsin=acosJ,

2

再由正弦定理邊化角得sinBsin/=sin/cos/,

?/sin/w0,

sinB=cosJ,又A為銳角,

/.sinB=sin——A

B='-4或B+土-4=n,

22

.?.8+力=&或8=力+4，

22

:.^ABC為直角三角形或鈍角三角形；

TTTT

(2)由(1)的結(jié)果以及48。=一，可得NA4C=N/BC=2,

44

.?.△N5C為等腰直角三角形，又BC=下,

數(shù)學(xué)答案(第8頁(yè)，共14頁(yè))

4C=BC=下，

在—OC中，

則cos40C=收+1二5=_也,解得力。=應(yīng)，負(fù)值舍去,

2AO2

?AOAC

sinZACOsinZ?40c

B也

-AOsinZAOCVZXTy/5,

/.sinZ.ACO=------------------=------尸4-=——

ACy[55

.".cosZBCO=cosl^-ZACO=sinZ.ACO=,

在ABOC中，BO2=OC2+BC2-2OC-BC-cosZBCO=1+5-2x&8=4

:.B0=2.

19.【解析】(1)證明：等腰梯形/BCD中，48=2,BC=CD=AD=\,

作CEUAD交AB于E,如圖，則4OCE是菱形，AE=CD=EB=CE=BC,

△8CE是等邊三角形，則N4BC=60。，NDCE=NECB=60°,ZACD=ZACE=30°,

所以44c8=90。,即/C/以C,

又5CJ.M，AAtC\AB=A,.44，NBu平面44GC,

所以BC/平面//CG，又5Cu平面XBCD,

所以平面ABCD1平面A,ACC,；

(2)點(diǎn)4在底面48CD的射影為O,由(1),得。在4c上，且

又“=；,回=1,所以加邛，而由(1)知4。=有，因此CO=4,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-X.K:,

則4(30,0),B(0,l,0),。(§0,0.

一I一(611

則C￡>=F笈1=、-,一不0,

2.ZZJ

又44=30=*,-?,()］，叫=回=(-*。』，所以〃(0,-器

設(shè)口/0=/1￡)內(nèi)——-AA,0(0W4W1),M

22

數(shù)學(xué)答案(第9頁(yè)，共14頁(yè))

c5=(0,l,0),CM

222

設(shè)平面AYC的法向量為〃=（xj,二）,

>?-CA7=O

則《

nCB=Q

取x=l,則3=（1,0,a）,取平面Z8C。的法向量面=（0,0,1）,

ni-n則；l=g（負(fù)值舍去），

設(shè)直線4財(cái)與平面MBC所成的角為

20.【解析】（1）由題意可知X所有可能取值為2,3,4,

d3

「（丫=2）=臺(tái)71"（丫=3）=竽A2c=4/（X=4）=受A=?

所以X的分布列如卜：

X234

142

P—?—>

399

（2）設(shè)甲一次性購(gòu)買x個(gè)吉祥物盲盒，集齊三款吉祥物需要的總費(fèi)用為Z.

依題意，x可取0,1,2,3.

方案1：不購(gòu)買盲盒時(shí)，則需要直接購(gòu)買三款吉祥物，總費(fèi)用乙=3x30=90元.

方案2：購(gòu)買1個(gè)盲盒時(shí)，則需要直接購(gòu)買另外兩款吉祥物，

總費(fèi)用Z2=19+2x30=79元.

方案3：購(gòu)買2個(gè)盲盒時(shí)，

當(dāng)2個(gè)盲盒打開(kāi)后款式不同，則只需直接購(gòu)買剩下?款古祥物,

數(shù)學(xué)答案（第10頁(yè)，共14頁(yè)）

A22

總費(fèi)用Z3=2X19+30=68,P(Z3=68)=^-=|

當(dāng)2個(gè)盲盒打開(kāi)后款式相同，則需要直接購(gòu)買另外2款吉祥物,

總費(fèi)用Z3=2x19+2x30=98,尸（Z3=98）=c；x；x；=；,

71

所以￡（Zj=68x：+98x：=78元.

方案4：購(gòu)買3個(gè)盲盒時(shí)，

當(dāng)3個(gè)盲盒打開(kāi)后款式各不相同，則總費(fèi)用4=3x19=57,尸（ZJ=A；電《

當(dāng)3個(gè)盲盒打開(kāi)后恰有2款相同，則需要直接購(gòu)買剩下?款吉祥物，

ill?

則總費(fèi)用zd=3x19+30=87,2億4=87）=C3CJC3X-X-X-=-

當(dāng)3個(gè)盲盒打開(kāi)后款式全部相同，則需要直接購(gòu)買另外兩款吉祥物，

總費(fèi)用Z4=3x19+60=117,P(Z4=117)=C；x

221251

所以片（24）=57'3+87*§+117、§=亍元.

對(duì)比4個(gè)方案可知，第3個(gè)方案總費(fèi)用的期望值最小,

故應(yīng)該一次性購(gòu)買2個(gè)吉祥物苜盒.

+1/，

化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程E:—+/=1

4

<2）設(shè)5（士,乂）,7（9,%）,先證直線sr恒過(guò)定點(diǎn)，理由如下:

由對(duì)稱性可知宜線ST的斜率不為0,所以可設(shè)直線ST:x=my+n,

2八4_2_1

聯(lián)立直線sr與E:二+/=],<4)_=(/+4)/+2加〃y+〃2-4=0,

x=my-\-n

則A>0=>4+加2一〃2>0,①

數(shù)學(xué)答案（第11頁(yè)，共14頁(yè)）

-2mnn2-4

/*'X%=薩&②

所以令y=0,得點(diǎn)M橫坐標(biāo)，=口7

必-1乂-1

-x,

同理可得點(diǎn)N橫坐標(biāo)4-1=

必7

故日★優(yōu)

將士=myx+n,x2=my2+n代入上式整理得：

(2/n+4)弘%+(〃一6一4)(弘+y2)+4—2n=0,

將②代入得+2加〃+〃'-2加-2〃=0=(m+〃)(加+〃-2)=0,

若加+〃=0,則直線ST:x=m(y-l),恒過(guò)力(0,1)不合題意：

若m+〃一2=0,則ST:x=/w(y-l)+2,恒過(guò)。(2,1),

因?yàn)橹本€ST恒過(guò)。(2,1)，且與￡：—+/=1始終有兩個(gè)交點(diǎn)，

4

又4(0,1),AH1ST,垂足為H,

所以點(diǎn)”軌跡是以力。為直徑的半圓(不含點(diǎn)4Q,在直線力。下方部分)，

設(shè)/。中點(diǎn)為C,則圓心C(l,l),半徑為1,

所以|0”12|OC|-1