2024年普通高中九省聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題（一）含答案

2024年高模擬數(shù)試題(一)試卷+答案

(題型同九省聯(lián)考，共19個題)

注意事項：

].答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號、姓名、考點學(xué)校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需要改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.若一組數(shù)據(jù)1,1M4,5,5,6,7的75百分位數(shù)是6,則。=()

A.4B.5C.6D.7

22

2.已知橢圓E：3+/=1(°>6>0)的長軸長是短軸長的3倍，則E的離心率為()

AV2R2V2「百N2A/3

3333

3.設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的前幾項和為S1,，若由+&+49+即)+%1=20,貝l]S"=()

A.150B.120C.75D.68

4.已知空間中，I、m、”是互不相同直線，a、尸是不重合的平面，則下列命題為真命題的是()

A.若a〃夕，lua,nu/3,則〃/〃B.若〃/a,I邛,則a〃夕

C.若加//￡,nllp,mua,〃ua,則a〃/?D.若/_1a,IH/3,則a_L分

5.有7個人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有

()種站排方式.

A.672B.864C.936D.1056

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(L0),5(0,3),動點P滿足5?=x5X+y麗，且國+|y|=l,則下列

說法正確的是()

A.尸的軌跡為圓B.P到原點最短距離為1

C.P點軌跡是一個菱形D.點尸的軌跡所圍成的圖形面積為4

7.已知函數(shù)/(冗)=35缶14%+彳]+4$皿14%-7],-gVxeR,3x0eR,/(x)</(x0),則tan(4%-尋]等于

)

1

A-4B-4-ID-1

丫2v2

8.已知雙曲線C：/-==l（a>0,b>0）的左焦點為不離心率為e,直線y=履（左片0）分別與C的左、右兩支

交于點M,N.若口町雙的面積為6，4MF、N=60。，則e?+3/的最小值為（）

A.2B.3C.6D.7

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

2

9.已知函數(shù)/（x）=sinx-則下列結(jié)論正確的有（）

sin2尤

A.f（尤）為奇函數(shù)B.7（x）是以兀為周期的函數(shù)

D.時，〃尤）的最大值為牛-2

C.“X）的圖象關(guān)于直線x對稱

10.已知復(fù)數(shù)4，z2,則下列命題成立的有（）

A.若［紐卡馬|=%一馬|,則乎2=。B.團=W『,"eZ

C.若z；+z；=0,則閡=聞D.Zj-z2=Zj-z2

11.已知函數(shù)/(x)滿足：①對任意尤,yeR,/(x+y)+/(x)+/(j)=/(x)-/(y)+2；②若"y,則

/（力”0）.則（）

A.八0）的值為2B./(%)+/(-%)>4

C.若"1)=3,則"3)=9D.若"4)=10,貝|/(-2)=4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)集合M={2,0,T},N=卜卜-4<1},若McN的真子集的個數(shù)是1,則正實數(shù)。的取值范圍

為.

答案(O,l)U(l,3)

13.已知正四棱臺A8CQ-A耳G0的上、下底面邊長分別為4、6,高為百，則正四棱臺

ABCD-\BXCXDX的體積為,外接球的半徑為.

2

14.^a+/3-sin7=0,則而+詬-7^7的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)函數(shù)/(x)=e，-2ax-a.

⑴討論函數(shù)的極值；

(2)當(dāng)。>0時，求函數(shù)的零點個數(shù).

16.(15分)己知"把相同的椅子圍成一個圓環(huán)；兩個人分別從中隨機選擇一把椅子坐下.

(1)當(dāng)〃=12時，設(shè)兩個人座位之間空了X把椅子(以相隔位子少的情況計數(shù))，求X的分布列及數(shù)學(xué)期

望；

(2)若另有機把相同的椅子也圍成一個圓環(huán)，兩個人從上述兩個圓環(huán)中等可能選擇一個，并從中選擇一把椅

子坐下，若兩人選擇相鄰座位的概率為上，求整數(shù)7",加>3,”>3)的所有可能取值.

17.(15分)如圖，在多面體ABCZJE/中，底面ABC。為平行四邊形，E尸〃平面AB-C。，UEA8為等邊

三角形，BC=CE=2AB=2EF,NABC=60°.

(1)求證：平面平面ABC。；

(2)求平面ECD與平面FCD夾角的余弦值.

18.(17分)已知拋物線C：y2=2px(0<p<5)上一點M的縱坐標(biāo)為3,點M到焦點距離為5.

(1)求拋物線C的方程；

⑵過點(1,0)作直線交C于A,B兩點,過點A,B分別作C的切線4與4，4與乙相交于點過點A作

3

直線4垂直于4,過點3作直線乙垂直于4，4與乙相交于點E,4、4、4、乙分別與X軸交于點p、Q、

R、S.記△DPQ、口D4B、QABE,△ERS的面積分別為由、5、S3、S4.若5凡=4耶4，求直線AB的

方程.

19.(17分)已知有窮數(shù)列A：%,%…，%("23)中的每一項都是不大于〃的正整數(shù).對于滿足14加4〃的

整數(shù)"J令集合==〃?，左=1,2,…，”}.記集合4"。中元素的個數(shù)為S(MJ)(約定空集的元素個

數(shù)為0).

(1)若4:6,3,2,5,3,7,5,5,求A⑸及s(5)；

⑵若含+卷+,“+卷=〃，求證：4，出「一，4,互不相同；

(3)已知％=。，。2=°，若對任意的正整數(shù)。式汴/，"jV")都有，+/eA(q)或求％+%+-+4

的值.

2024年高考模擬數(shù)試題(一)帶答案

(題型同九省聯(lián)考，共19個題)

注意事項：

].答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號、姓名、考點學(xué)校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需要改動，用橡皮

4

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.若一組數(shù)據(jù)11,4,4,5,5,6,7的75百分位數(shù)是6,則。=（）

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析這組數(shù)據(jù)為：1』,”,4,5,5,6,7,但。大小不定，因為8x0.75=6,

所以這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為從小到大的順序的第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，

經(jīng)檢驗，只有。=6符合.故選C.

22

2.已知橢圓E：]+/=1（0>6>0）的長軸長是短軸長的3倍，則E的離心率為（）

20

丁

答案B

解析由題意，2a=6b,所以3=g，則離心率e=5=/J=一=胃.

故選B.

3.設(shè)等差數(shù)列｛?“｝的前幾項和為S’,，若%+4+%+即）+旬=20,貝iJS[7=（）

A.150B.120D.68

答案D

解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知%+。8+。9+。10+〃11=5%=20,

所以%=4,317"％）=]7a9=68,故選D.

4.已知空間中，I、m、〃是互不相同直線，夕是不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）

A.若all。,laa,nuB,則〃用B.若〃/a,IHp,則

C.若加//￡,nlip,mua,nua,則a///?D.若/_La,〃/￡,則

答案D

解析對A選項：若lua,nu/3，貝I]/可能與九平行或異面，故A錯誤;

對B選項：若〃/a,〃/￡,則a與用可能平行或相交，故B錯誤；

對C選項：若〃z///?,nll/3,“zua,wua,可能加〃明

5

此時a與A可能平行或相交，故C錯誤；

對D選項：若〃/￡,則必存在直線pu￡,使〃勿，

又/_La,則p_La,又pu",則c_L〃，故D正確.故選D.

5.有7個人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有

（）種站排方式.

A.672B.864C.936D.1056

答案D

解析當(dāng)甲站在每一排的兩端時，有4種站法，此時乙的位置確定，剩下的人隨便排，有4A；=480種站排

方式；

甲。。

OOOO

當(dāng)甲不站在每一排的兩端時，有3種站法，此時乙和甲相鄰有兩個位置可選，丙和甲不相鄰有四個位置可

選，剩下的人隨便站，有3C；C；A：=576種站排方式；

。甲。

OOOO

故總共有480+576=1056種站排方式.故選D.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（l,0）,3（0,3）,動點P滿足麗=x5X+y而，且|尤|+”|=1,則下列

說法正確的是（）

A.P的軌跡為圓B.尸到原點最短距離為1

C.P點軌跡是一個菱形D.點尸的軌跡所圍成的圖形面積為4

答案C

|rQ一1[x=a

解析設(shè)尸點坐標(biāo)為》），則由已知條件=xa+y而可得%=3，整理得,上

又因為|x|+M=l,所以P點坐標(biāo)對應(yīng)軌跡方程為|3a|+例=3.

6

〃》。，且〃》。時，方程為3。+6=3；〃)。，且Z?<0時，方程為8二3〃一3；

a<0,且匕)。時，方程為Z?=3a+3；a<0,且。<0時，方程為3〃+b=—3.

P點對應(yīng)的軌跡如圖所示：

磯=%=-3,且|4兇=忸。=|。必=|/網(wǎng)=而，所以P點的軌跡為菱形.A錯

誤C正確；

QO/lQ

原點到AB：30+6-3=0的距離為/,=三小<1"錯誤;

V32+l210

軌跡圖形是平行四邊形，面積為2x；x2x3=6,。錯誤.故選C.

7.已知函數(shù)/00=35.小+3+45111,一7],設(shè)VxeR,mXoeR,7(x)4〃Xo),則tanjkXo-g)等于

()

A.一B-4-ID-1

答案B

71717171

解析f(x)=3sin4x+—+4sin4x~—=3sin(4x+—)+4sin(-—+4x+—),

\37\6)33233

jrTT

/(x)=3sin(4x+^)+4cos(4x+3)，

JI4

/./(x)=5sin(4x+^+夕)(tan(p=?,?./(%)max=5,

,/VxGR,3Vo￡R,/(x)<f(x0),

兀JI

4x0+3+0=2+2k兀*￡Z),

tan144-2乃]=tan(一萬+2女萬一0)=一1二一3.故選：B.

(3)2tan。4

22

8.已知雙曲線Cr：/-v鏟=l(〃>0,b>0)的左焦點為耳，離心率為e,直線>=質(zhì)(左片0)分別與C的左、右兩支

交于點M,N.若口孫N的面積為⑺，NMF、N=60。，則e?+3/的最小值為()

A.2B.3C.6D.7

答案D

解析連接叫,加鳥，有對稱性可知：四邊形町N居為平行四邊形，故|N局=|叫|,"團=|M閶,

/RNF]-120°,$口網(wǎng)岫=S匚MF、N=G,

7

由面積公式得：居”NBkinl20o=囪，解得：|峭|?|峭卜4,

由雙曲線定義可知，出N，禺N|=2a,

耳產(chǎn)+巴產(chǎn)-402（耳N-&N）2+24N?F2N-4c2

在三角形耳明中,由余弦定理得:cos120°=

2F]N,F?N2F、N-F?N

2F\N-F,N-4b°1“”口..,,4Z?2

=2F、N-F°N=一2'解侍：MMEM=彳,

4b2

所以<=4,解得：從=3,故

3

e2+3a2=l+^+3a2>l+2^-3a2=7,

a

當(dāng)且僅當(dāng)鳥=3〃，即/=i時，等號成立.

a

故選D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

2

9.已知函數(shù)〃x）=sinx-則下列結(jié)論正確的有（）

sin2x

A.為奇函數(shù)B.〃x）是以兀為周期的函數(shù)

C.7（x）的圖象關(guān)于直線x=］對稱D.時，/（尤）的最大值為1-2

答案AD

解析對于A,/（x）=sinx--的定義域為尤二?,僅eZ）（關(guān)于原點對稱），且

sin2x2

2

sinx——；-----=〃x），

sin2x

22

對于B“Easing兀）-碰再同一inx-砧*?。蔅錯誤;

2

=cosx+------

對于C,sin2x,

但O尤卜OJ,即“X）的圖象不關(guān)于直線x對稱，故c錯誤;

8

，兀2

對于D,xe\0,—時，y=sinx,y=sin2x均單調(diào)遞增，所以止匕時y=----------也單調(diào)遞增，

V4Jsin2x

所以時，單調(diào)遞增，其最大值為2.故選AD.

10.已知復(fù)數(shù)4,z2,則下列命題成立的有()

A.若匕+z2|=歸-Zzl,則乎2=。B"z：卜團",weZ

C.若z；+z；=0,則㈤=|zjD.zl-z2=zl-z2

答案BCD

解析對于A,當(dāng)％=1+5=1一i時，|z1+z2|=2=|z1-z2|,而"2=2#0,A錯誤；

對于B,令Z]=r(cos^+isin^),r>0,^eR,則z：=rn(cosn^+isinnd),

于是|z：|=r"|cos〃0+isin〃e|=r"，而|zj=r,即有|z""=r",因此卜"=團"成立，B正確；

設(shè)復(fù)數(shù)Z]=a+bi(〃,b￡R),z2=c+di(c,deR),

對于C,由z；+z；=0,得(42一〃+。2—/)+(2e+2cd)i=。，

f〃2—匕2+_d2_Q--------------....

則c,c,c，I才-1『=(，?+[2)2-(777^)2=0,因此㈤=|zj,C正確；

\2ab+2ca=v

對于D,Zj-z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,則z/z?=(ac-bd)-(ad+bc)i,

4/2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+Z?c)i,因此4/2=4n2,D正確.故選BCD

11.已知函數(shù)/(x)滿足：①對任意尤,yeR,/(x+y)+/(x)+/(y)=/(x)-/(y)+2；②若"y,則

力則()

A.”0)的值為2B./(x)+/(-x)>4

C.若"1)=3,則"3)=9D.若"4)=10,則”-2)=4

答案ABC

解析對于A,令x=y=0,得3八0)=[/⑼T+2,解得/⑼=1或〃。)=2,

若"0)=1,令y=0,得2/(x)+I=/(尤)+2,即三1,

9

但這與②若則矛盾,

所以只能〃0)=2,故A正確；

對于B,令》=一，結(jié)合"0)=2得，/(尤)+/(_尤)=/(力./(_耳4]/(X)(一,

解得〃x)+〃r"4或〃尤)+/(T)W0,

又"0)=2,所以2〃0)=4>0,

所以只能〃x)+〃一尤"4,故B正確；

對于C,若"1)=3,令y=l得，/(x+l)+/(x)+3=3/(x)+2,

所以Hx+l)=2〃x)-1,所以八2)=2〃1)-1=6-1=5,

所以〃3)=2〃2)-1=10-1=9,故C正確；

對于D,取〃x)=(⑹'+1,

則/⑺"3+2=「(6『+可(⑹'+"+2=(⑹心+便『+使『+3

滿足"4)=10,但〃_2)=(故D錯誤.故選ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)集合加={2,0,-1},N={X||X-4<1},若MeN的真子集的個數(shù)是1,則正實數(shù)。的取值范圍

為.

答案(O,l)U(l,3)

解析N={x卜貝！]-1<工-〃<1,解得-1+〃<X<1+〃，

若MeN的真子集的個數(shù)是1,則McN中只含有一個元素，

因為。為正實數(shù)，則1+—1+a>—1f

—1+Q<0

若M「N={0},則<l+aV2,解得

4〉0

10

0<-1+^z<2

若MflN={2},貝1]<1+。>2,解得l<a<3,

a>0

綜上所述，a的取值范圍為（。,1川（1,3）.故答案為（0,1）U（1,3）.

13.已知正四棱臺ABC。-A耳GA的上、下底面邊長分別為4、6,高為血，則正四棱臺

A3CO-4BGA的體積為，外接球的半徑為.

答案7672區(qū)

3

解析根據(jù)題意易知該棱臺的上、下底面積分別為：H=4?=16,邑=6?=36,

所以正四棱臺ABCO-AMGA的體積為y=支+邑,夜=產(chǎn)；

連接AC,BD交于點。2,連接AG，42交于點已，如圖所示：

當(dāng)外接球的球心。在線段。。2延長線上，

設(shè)。。=/7,外接球半徑為R,則a。、。.亞）1

因為。1。2=&,上、下底面邊長分別為4、6,

則2。1=；q2=2血，DO-,=1BD=3A/2,

所以叱=。]0；+肥42=3也氏=后

當(dāng)外接球的球心。在線段02a延長線上，顯然不合題意；

當(dāng)球心。在線段002之間時，則。2。2=（收-叱，同上可得，h=3亞,不符舍去.

故答案為史1；726.

3

14.若tz+,_sin/=O,貝!J6+詬一向》的最大值為

答案力

11

解析由題意得：O?a+，=sin/?l,6r>0,隆0,

貝+=a+/3+2y[aP<a+/3+a+P=2(6Z+y0)?

當(dāng)且僅當(dāng)。=分時等號成立，

即4a+4<j2(a+<)=J2smy,

即4cc+印-Jcosy<5/2sin/-Jcosy,

10Vsiny?1兀

則有Ie,,1，則+keZ,

[0<cos/<12

jrTT

有sin7在2E,]+2E單調(diào)遞增，cos/在2fai,-+2^上單調(diào)遞減，

故J2siny-Jcosy在2左兀胃+2左兀上單調(diào)遞增，

IT

則當(dāng)7=5+2E時，即sin/=l、cos7=0時，

,2siny-Jcos7有最大值72,

即石+四-8麗的最大值為也.故答案為：41-

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)函數(shù)/(x)=e，-2ax-a.

⑴討論函數(shù)的極值；

(2)當(dāng)。>0時，求函數(shù)“X)的零點個數(shù).

解析(1)由題意得：f'(x)=e-2a.........................1分

當(dāng)2。40,即aVO時，/(x)>0恒成立，.，J(x)在R上單調(diào)遞增，無極值；...........2分

當(dāng)2a>0,即a>0時,令尸(x)=0,解得：%=In2a,........................3分

.,.當(dāng)xe(-co,ln2a)時，尸(x)<0；當(dāng)xe(in2a,+℃)時，/'(x)>0；

.?"(x)在(-8,In2a)上單調(diào)遞減，在(In2a,+8)上單調(diào)遞增，............5分

；?“X)的極小值為〃In2a)=a-2aln2a,無極大值；...........6分

綜上所述：當(dāng)aVO時，〃x)無極值；當(dāng)。>0時，“X)極小值為q-2aln2a,無極大

值.............7分

12

(2)由(1)知：當(dāng)a>0時，“X)在(-8,ln2a)上單調(diào)遞減，在(in2a,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<°<]時，/(ln2a)=a-2?ln2a>0,.["x)〉。恒成立，“力無零點；.........9分

當(dāng)^二手時，/(ln2a)=a-2aln2a=0,/(力有唯一零點彳=11120；.........................10分

當(dāng)a>當(dāng)時，〃ln2a)=a-2aln2a<0,又〃0)=1-0>0,當(dāng)無趨近于正無窮大時，也趨近于正無窮

大，

.?.”無)在(0,In2a)和(In2a,+8)上各存在一個零點,即有兩個零點；............12分

綜上所述：當(dāng)0<“<手時，/(x)無零點；

當(dāng)°=$時，”切有且僅有一個零點；

當(dāng)〃>當(dāng)時，/(x)有兩個不同的零點............13分

16.(15分)已知"把相同的椅子圍成一個圓環(huán)；兩個人分別從中隨機選擇一把椅子坐下.

⑴當(dāng)”=12時，設(shè)兩個人座位之間空了X把椅子(以相隔位子少的情況計數(shù))，求X的分布列及數(shù)學(xué)期

望；

(2)若另有"z把相同的椅子也圍成一個圓環(huán)，兩個人從上述兩個圓環(huán)中等可能選擇一個，并從中選擇一把椅

子坐下，若兩人選擇相鄰座位的概率為',求整數(shù)外”(加>3，->3)的所有可能取值.

解析(1)由題意，得隨機變量X可以取0,1,2,3,4,5,....................1分

其中..........3分

A12I1

12X11

()=不=行，..........4分

所以隨機變量X的分布列為:

X012345

222221

r

111111111111

22222125

故E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—+4x—+5x—=..............................6分

v711111111111111

(2)記“兩人選擇及把相同的椅子圍成的圓環(huán)”為事件A,

“兩人選擇加把相同的椅子圍成的圓環(huán)”為事件B,

“兩人選擇相鄰座位''為事件C.

13

因為兩個人從上述兩個圓環(huán)中等可能選擇一個，

所以尸(4)=3；=：，尸(0=：，...................8分

P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)

1〃x21mx21(\1

—x_______|__x________—_I_____|_____10分

4n(n-l)4m(m-l)2(〃一1m-\

因為尸(c)=1,所以」7+上二巳

'/14n-1m-17

49

化簡,得〃=8+—.

m-8

494Q

因為根>3,〃>3,〃￡N’,所以----GZ,且----->-5.

m-8m-8

所以加一8=1,7,49,即加=9,15,57,....................12分

m=9,m=15,m=57,

此時”=57或72=15或

n=9.

m=9,或[二m=1155,或g[m=57,

所以根，"的所有可能取值為15分

n=57

17.(15分)如圖，在多面體ABCOE尸中，底面ABC。為平行四邊形，EF〃平面AB-CD,[QEAB為等邊

三角形，BC=CE=2AB=2EF,NABC=60°.

⑴求證：平面平面A8CD；

(2)求平面ECD與平面FCD夾角的余弦值.

解析(1)不妨設(shè)AB=1,則8C=CE=2,

在平行四邊形ABCZ)中，VBC=2,AB=\,ZABC=60°,連接AC,

由余弦定理得AC?=Y+22-2xlxlxcos60°=3,即AC=。，..........2分

AC2+AB2=BC2,AC1AB.....................4分

X---AC1+AE~=CE~,：.AC1AE,ABr\AE=A,

AC_L平面EAB,又；ACu平面ABCD.

14

取AB中點G,連接EG,vEA=EB,EG±AB,

由（1）易知EG_L平面ABC。，且EG二B.

2

如圖，以A為原點，分別以射線A民AC所在直線為羽y軸，豎直向上為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

A-xyz,....................8分

則E,F。，*，+,C（0,V3,0）,D（-1,V3,O）,片卜2,26,0）,Q（-1,273,73）,

（22JI22J

CD=（-1,0,0）,1=1°，等，一反=一;‘君'一"J'....................1°分

/、\n-CD=Q

設(shè)平面尸CO的法向量為拓=（尤,y,z）,貝"一，

n-FC=0

-x=0

得,GVs，令y=i，得為=（o/,i）,....................12分

——y------z=0

m-CD^O

設(shè)平面ECD的法向量為而=a，M,zj,貝上

m-EC=0,

一石=0

得＜]廠百，令x=l,得麗=（0,1,2）,....................14分

~~xi+-萬4=0

__m-n33A/H）

cosm,n==—j=—T==----------,

m.nV2xV510

所以平面ECO與平面尸CO夾角的余弦值觀..........17分

10

18.（17分）已知拋物線C：y2=2px（。＜。＜5）上一點M的縱坐標(biāo)為3,點M到焦點距離為5.

（1）求拋物線C的方程；

⑵過點（1,0）作直線交C于A,B兩點，過點A,B分別作C的切線4與4，4與4相交于點。，過點A作

15

直線4垂直于4,過點B作直線乙垂直于4，4與4相交于點E，乙、4、4、乙分別與％軸交于點P、。、

R、S.記ADPQ、QDAB.UABE,△￡r;?的面積分別為H、5、S3>S4.若用?=4邑S4,求直線AB的

方程.

9=2°9p

解析（1）設(shè)M（f,3）,由題意可得p即丁+￡=5,

tH—=5Zp2

解得。=1或P=9（舍去），所以拋物線C的方程為/=2x...........4分

（2）如圖,

設(shè)經(jīng)過4（%,%），2（無2，%）兩點的直線方程為如：x=my+\（機eR）,..........5分

與拋物線方程J2=2x聯(lián)立可得y2=2my+2,

即y2-2%-2=0,A=4m2+8>0,.,.%+%=2根，%%=-2...........6分

y2=2x,則y=+41x,y=±,

過點A作C的切線/1方程為y='（x-X|）+%=—X+

令y=0,得x=_1,appf-^,0^...........7分

同理，過點B作c的切線4方程為y=；x+三，

令y=0,得了=一亨，即《一亨,o]..........8分

???N=4y；

2

1A

y=一%+.x-2iA-_i

22,即。（-1,〃。，

聯(lián)立兩直線方程，解得9分

1%十%,

y=——x+%y=-----=m

%22

16

則D到直線3的距離dD.AB=?/,?=...........10分

7m+T7m+1

又??,過點A作直線&垂直于心

3

直線4的方程為y=+&M+%=+券+%,

2/2\

令y=°,得％=+1即h性+1,0.

2

3

同理，直線"的方程為？=-%尤+21-+%，

2

令y=。，得％=^—+1,即S缶+1,01?.網(wǎng)）缶3

2

27

V/+%+%%

)=_陰+++%A-+1

2

聯(lián)立兩直線方程3解得

,X%（X+%）

y=_%x+與-+%y=------------

2

整理后可得］；］；：+2,即￡(2丁+2,2對，..........12分

、.|2m2+2-m-2m-l|i

則E到直線lAB的距離dE_AB=J--------