浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)紫金港2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

杭州學(xué)軍中學(xué)2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷命題人：武楓葉審題人：胡春曉考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合滿足，這樣的集合有（）個(gè)A6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)子集概念得，根據(jù)真子集概念得不全部是的元素，所以集合個(gè)數(shù)等于集合的真子集個(gè)數(shù).【詳解】由得且不全部是的元素，令，則，所以集合個(gè)數(shù)等于集合的個(gè)數(shù)，即的真子集個(gè)數(shù)，為個(gè)，故選：B.2.命題“，函數(shù)是奇函數(shù)”的否定是（）A.，函數(shù)是偶函數(shù)B.，函數(shù)不是奇函數(shù)C.，函數(shù)是偶函數(shù)D.，函數(shù)不是奇函數(shù)【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題得到答案.【詳解】命題“，函數(shù)是奇函數(shù)”的否定是：，函數(shù)不是奇函數(shù).故選：B3.下列函數(shù)中與函數(shù)相等的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相等函數(shù)的要求一一判定即可.【詳解】?jī)珊瘮?shù)若相等，則需其定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系均相等，易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)椋@然定義域不同，故A、D錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)镽，符合相等函數(shù)的要求，即B正確；對(duì)于函數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，即C錯(cuò)誤.故選：B4.設(shè)，若，則（）A.12 B.16. C.2 D.6【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)給定等式求出，代入求出函數(shù)值.【詳解】依題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由，知，因此，解得，所以.故選：D5.2023年8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60系列，全系搭載麒麟芯片強(qiáng)勢(shì)回歸，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，正所謂“輕舟已過(guò)萬(wàn)重山”.發(fā)布后的第一周銷量約達(dá)80萬(wàn)臺(tái)，第二周的增長(zhǎng)率為a，第三周的增長(zhǎng)率為b，這兩周的平均增長(zhǎng)率為x（a，b，x均大于零），則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，列出等式，再利用基本不等式求解判斷即可.【詳解】依題意，，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.故選：B6.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，若函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)在函數(shù)圖象上及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以.所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減且大于零恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A.7.已知，，則的值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，，根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得和是方程的根，又由和均大于可得，即可求解的值.【詳解】令，則，所以由得，等號(hào)兩邊同除得，整理得，令，則，所以由得，等號(hào)兩邊同除得，整理得，所以和是方程的根，由解得，又因?yàn)?，均大于，且函?shù)單調(diào)遞減，所以，，所以，故選：B8.已知函數(shù)，，若對(duì)于，，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】探討函數(shù)的性質(zhì)，并用表示出，再把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上的最大值大于在上的最大值求解即得.【詳解】由，得，則，設(shè)，，即因此函數(shù)在單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，由于，，，即，又，于是函數(shù)在上的最大值大于5，當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，若，則，顯然無(wú)解，若，則，顯然無(wú)解，若，則，而對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，成立，則，所以的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般地，已知函數(shù)，①若，，總有成立，故；②若，，有成立，故；③若，，有成立，故.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列式子中變形正確的是（）A.，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用等式的性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A，兩邊同時(shí)減去，得到，故A正確；對(duì)于B，沒(méi)有說(shuō)明，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在等式兩邊同時(shí)乘以，得到，故C正確；對(duì)于D，在等式兩邊同時(shí)乘以，得到，故D正確.故選：ACD.10.已知，函數(shù)與的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】首先由得出，再分類討論和的取值范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像即可得出答案．【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，則，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且過(guò)點(diǎn)；對(duì)數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增且過(guò)點(diǎn)，將的圖像關(guān)于軸對(duì)稱得到的圖像，則在上單調(diào)遞減且過(guò)點(diǎn)，故A符合題意；當(dāng)時(shí)，，同理可得，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且過(guò)點(diǎn)，在上單調(diào)遞增且過(guò)點(diǎn)，故B符合題意；故選：AB．11.設(shè)函數(shù)的定義域是，值域是.我們從中解出得到式子.如果對(duì)于在中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子，在中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子叫函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣表示為.已知函數(shù)，其反函數(shù)滿足.定義在上的奇函數(shù)滿足:當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.若，則D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義可求解，進(jìn)而判斷A，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求解B，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)型不等式可判斷C，根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】根據(jù)反函數(shù)的定義可知：點(diǎn)在圖象上，故，故A正確，當(dāng)時(shí)，，由于是奇函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，令則故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得(舍去)，由于是偶函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，滿足，故，故C正確，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，由于為奇函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤，故選：AC12.定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知條件得到函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】由，令，則有，即為奇函數(shù)，，由為偶函數(shù)，的對(duì)稱軸為，得，故B選項(xiàng)正確；則有，可得即有，所以是周期函數(shù)，且周期為4（不一定是最小正周期），C選項(xiàng)正確；，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，已知條件不能得到的值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.函數(shù)的定義域是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解出原函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，由可得，解得.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14.若函數(shù)是冪函數(shù)，且滿足，則的值為_(kāi)_______.【答案】16【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)【詳解】設(shè)，由可得可得.故，則.故答案為：1615.已知函數(shù)，且，則的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用，單調(diào)性與對(duì)稱性，可知，若有，則必有成立.再利用基本不等式求的最小值即可.【詳解】∵在為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，∴有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心，∴單調(diào)遞增，有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心，又∵，∴，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值是.故答案為：.16.對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，，若存在，，使得，則稱函數(shù)和互為“零點(diǎn)相伴函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相伴函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由的單調(diào)性結(jié)合，得，則可得，則由已知可得方程在區(qū)間存在實(shí)數(shù)根，令，則，，則，然后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，由，得，得，所以由題意可知在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間存在實(shí)數(shù)根，由，得，令，則，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上遞減，在上遞增，因?yàn)?，所以，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解“零點(diǎn)相伴函數(shù)”的定義，結(jié)合零點(diǎn)的定義和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可求得答案，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.（1）；（2）已知，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；(2)根據(jù)完全平方分別求出分子、分母即可求解.【詳解】（1）原式（2）因?yàn)?，，所以，，所?18.設(shè)集合，非空集合.（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由，代入后解方程并檢驗(yàn)是否滿足題意．（2）由得，再根據(jù)集合包含關(guān)系分類求解．【小問(wèn)1詳解】由題意得，，即化簡(jiǎn)得：解得：或，檢驗(yàn)：當(dāng)，，滿足當(dāng)，，滿足，或【小問(wèn)2詳解】，故，①當(dāng)為單元素集，則，即，得或，當(dāng)，不含題意，舍；當(dāng)，符合.②當(dāng)為雙元素集，則，則有，無(wú)解，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷證明函數(shù)的奇偶性；（3）解不等式：.【答案】（1）（2）為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求解即可；（2）根據(jù)結(jié)合定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱判斷即可；（3）根據(jù)與為奇函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椤拘?wèn)2詳解】滿足，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為奇函數(shù).【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，且為奇函?shù)，故即，即.又為增函數(shù)，為減函數(shù)，故為增函數(shù).故即，解得.20.第19屆亞運(yùn)會(huì)2023年9月在杭州市舉辦，本屆亞運(yùn)會(huì)以“綠色、智能、節(jié)儉、文明”為辦會(huì)理念，展示杭州生態(tài)之美、文化之韻，充分發(fā)揮國(guó)際重大賽事對(duì)城市發(fā)展的牽引作用，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展.等備期間，計(jì)劃向某河道投放水質(zhì)凈化劑，已知每投放a個(gè)單位（且）的試劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，若多次投放，則某一時(shí)刻水中的試劑濃度為每次投放的試劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，根據(jù)試驗(yàn)，當(dāng)水中凈化劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能凈化有效.（1）若只投放一次4個(gè)單位的凈化劑，則有效時(shí)間最多能持續(xù)幾天？（2）若先投放2個(gè)單位的凈化劑，6天后再投放m個(gè)單位的凈化劑，要使接下來(lái)的5天中，凈化劑能夠持續(xù)有效，試求m的最小值.【答案】（1）7天；（2）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)模型求投放一次4個(gè)單位的凈化劑的有效時(shí)間即可.（2）由題設(shè)，將問(wèn)題化為在上恒成立，利用基本不等式求右側(cè)最大值，即可得求參數(shù)最小值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橐淮瓮斗?個(gè)單位的凈化劑，所以水中釋放的濃度為，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，，所以一次投放4個(gè)單位的凈化劑，則有效時(shí)間可持續(xù)7天.【小問(wèn)2詳解】設(shè)從第一次投放起，經(jīng)過(guò)天后濃度為．因?yàn)?，則，，所以，即，令，，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故為使接下來(lái)的5天中能夠持續(xù)有效m的最小值為2.21.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)，的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”.（1）判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“優(yōu)美區(qū)間”?如果存在，寫出一個(gè)符合條件的“優(yōu)美區(qū)間”.（直接寫出結(jié)論，不要求證明）（2）如果是函數(shù)的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”，求的最大值.【答案】（1）函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”是；函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”；（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的單調(diào)性及值域及新定義求解;（2）由新定義及函數(shù)定義域，確定相應(yīng)方程有兩個(gè)同號(hào)的不等實(shí)根，由此求得參數(shù)范圍【小問(wèn)1詳解】∵且在上單調(diào)遞增，由得或0，∴函數(shù)存在“優(yōu)美區(qū)間”，；∵在上是增函數(shù)，若存在“優(yōu)美區(qū)間”，則有，方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，則函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”；小問(wèn)2詳解】在和上都是增函數(shù)，因此“優(yōu)美區(qū)間”或，由題意可知：，所以有兩個(gè)同號(hào)的不等實(shí)根，即有兩個(gè)同號(hào)的不等實(shí)根，∴，即，解得或，∵（同號(hào)，滿足題意），，∴，∵或，∴當(dāng)，即時(shí)，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，解題難點(diǎn)是新定義的應(yīng)用，解題方法是利用新定義把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力運(yùn)算求解能力要求較高22.設(shè)函數(shù)（其中常數(shù)，且）.（1）若常數(shù)，當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的方程；（2）若函數(shù)在上存在最小值，且最小值是一個(gè)與a無(wú)關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）和（2）【解析】分析】（1）分成，兩種情況并結(jié)合指對(duì)運(yùn)算得出結(jié)果；（2）分成以及三種情況求函數(shù)的最小值得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】.（i）當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，由，得，（ii）當(dāng)時(shí)，.由得，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，