數(shù)學（人教版選修22）課件311數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念

第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念1．了解數(shù)系的擴充過程．2．理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件．(重點)3．掌握復數(shù)的代數(shù)形式、分類等有關概念．(難點、易混點)1．復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)①定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做__________，滿足__________，a叫做復數(shù)的_____，b叫做復數(shù)的_____．②表示方法：復數(shù)通常用字母_____表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式．(2)復數(shù)集①定義：__________所構成的集合叫做復數(shù)集．②表示：通常用大寫字母C表示．虛數(shù)單位i2＝－1實部虛部z全體復數(shù)實數(shù)a＝b＝0虛數(shù)純虛數(shù)a＝cb＝d1．設a，b∈R，“a＝0”是“復數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知x－y＋2xi＝2i，則x＝________；y＝________.(1)數(shù)系擴充到實數(shù)系后，人們發(fā)現(xiàn)在實數(shù)范圍內很多問題還不能解決，如從解方程的角度看，象x2＝－1這個方程在實數(shù)范圍內就無解，為了解決這個問題，需要把數(shù)的范圍作進一步的擴充，為此，人們引入一個新數(shù)i，叫虛數(shù)單位，且規(guī)定①i2＝－1;②i可與實數(shù)進行四則運算；且原有的加、乘運算律仍成立．數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念說明：復數(shù)集中不全是實數(shù)的兩數(shù)不能比較大小，如i和0.若i>0，則i·i>0·i，即－1>0，不成立.顯然i≠0，故i和0不能比較大?。?2)我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．全體復數(shù)所成的集合C叫做復數(shù)集．復數(shù)是數(shù)系擴充以后得到的另一種數(shù)，通常用字母z表示．它與實數(shù)有本質的區(qū)別，但也有內在的聯(lián)系：當b＝0時，z＝a為實數(shù)；當a＝0且b≠0時，z＝bi為純虛數(shù)；當b≠0時，z＝a＋bi為虛數(shù)．兩個復數(shù)相等的充要條件是它們的實部和虛部分別相等．在兩個復數(shù)相等的充要條件中，注意前提條件是a，b，c，d∈R，即當a，b，c，d∈R時，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提條件，則結論不能成立．利用該條件把復數(shù)的實部和虛部分離出來，達到“化虛為實”的目的，從而將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題來求解．兩個復數(shù)相等的充要條件

【想一想】

1.復數(shù)m＋ni的實部、虛部一定是m、n嗎？提示：不一定，只有當m∈R，n∈R時，m、n才是該復數(shù)的實部、虛部．2．0是復數(shù)嗎？若是，其實部、虛部分別是什么？提示：0是實數(shù)，因此也是復數(shù)，寫成a＋bi(a，b∈R)的形式為0＋0i，即其實部和虛部都是0.3．當a＝0時，復數(shù)z＝a＋bi一定是純虛數(shù)嗎？為什么？提示：不一定，因為當a＝0且b＝0時，z＝0是一個實數(shù)，當a＝0且b≠0時，z＝a＋bi才是純虛數(shù)．

下列命題中，正確命題的個數(shù)是(

)①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1；②若a，b∈R且a>b，則a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0；④一個復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復數(shù)的實部等于零；⑤－1沒有平方根；⑥若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)．A．0

B．1C．2 D．3[思路探究]根據(jù)復數(shù)的有關概念判斷．復數(shù)的基本概念

[自主解答]

①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是復數(shù)的代數(shù)形式，不符合復數(shù)相等的充要條件，①是假命題．②由于兩個虛數(shù)不能比較大小，∴②是假命題．③當x＝1，y＝i時，x2＋y2＝0也成立，∴③是假命題．④當一個復數(shù)實部等于零，虛部也等于零時，復數(shù)為0，∴④錯．⑤－1的平方根為±i，∴⑤是假命題．⑥當a＝－1時，(a＋1)i＝0是實數(shù)，∴⑥錯．故選A.答案：A1．正確理解復數(shù)的有關概念是解答復數(shù)概念題的關鍵，另外在判斷命題的正確性時，需通過邏輯推理加以證明，但否定一個命題的正確性時，只需舉一個反例即可，所以在解答這類題型時，可按照“先特殊，后一般”“先否定，后肯定”的方法進行解答．2．復數(shù)的實部與虛部的確定方法首先將所給的復數(shù)化簡為復數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)實部與虛部的概念確定實部、虛部．1．已知下列命題：①復數(shù)a＋bi不是實數(shù)；②當z∈C時，z2≥0；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x＝±2；④若復數(shù)z＝a＋bi，則當且僅當b≠0時，z為虛數(shù)；⑤若a、b、c、d∈C時，有a＋bi＝c＋di，則a＝c且b＝d.其中真命題的個數(shù)是________．復數(shù)的分類1．本例中，極易忽略對m≠0的限制，從而產生增根，所以解題時應注意嚴謹性．2．復數(shù)的分類問題的解決方法(1)對于復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的分類問題，要理解其分類的充要條件：①復數(shù)z是實數(shù)?b＝0；②復數(shù)z為虛數(shù)?b≠0；③復數(shù)z為純虛數(shù)?a＝0，且b≠0.(2)利用復數(shù)代數(shù)形式進行分類時，主要依據(jù)虛部和實部滿足的條件，求參數(shù)時可由此列出方程(組)，但必須要全面考慮所有條件，不能遺漏．2．把題中的“z”換成“z＝lgm＋(m－1)i”，分別求相應問題．復數(shù)相等1．復數(shù)相等的充要條件是化復為實的主要依據(jù)，利用實部與實部、虛部與虛部分別相等列方程組求實數(shù)x，y的值．2．復系數(shù)方程有實根問題，實際上就是兩個復數(shù)相等的問題．3