四川省成都市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（理科） 含解析

2023-2024學(xué)年四川省成都市高一（下）入學(xué)考試

數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知全集°=匕能表示集合A={xeN|x2—3x<0}與3={1,2}關(guān)系的Venn圖是（）

B⑤

心（3

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A,根據(jù)集合的關(guān)系即可求解.

【詳解】全集。=R,集合A={xeN|x2-3x<0}={xeN|0<x<3}={0,l,2,3},3={1,2},

所以8A,所以能表示集合A、8關(guān)系的Venn圖是選項(xiàng)B.

故選：B

2.已知向量￡=（—1,2）,b=（2；,2）,則4+人在a—方向上投影長(zhǎng)度為（）

A.4B.2C.2D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式,即可求解.

【詳解】解：a=（—1,2）,b=（3,2）,

則a+Z>=（2,4）,d-b=（^4,0）,

a+b2

[a-b\■()_g--b_~8_2

故a+b在a-〃方向上的投影長(zhǎng)度為：-一p

\a-b\\a-b\4

故選：B.

3.5G技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷(xiāo)量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月手

機(jī)的實(shí)際銷(xiāo)量，如下表所示：

時(shí)間X12345

銷(xiāo)售量y(千只)0.50.81.01.21.5

若y與X線(xiàn)性相關(guān)，且線(xiàn)性回歸方程為9=0.24%+益，則下列說(shuō)法不正確的是()

A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與X正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)廠＜1

B.線(xiàn)性回歸方程9=0.24%+近中&=0.26

C.殘差自(z=1,2,3,4,5)的最大值與最小值之和為0

D.可以預(yù)測(cè)尤=6時(shí)該商場(chǎng)5G手機(jī)銷(xiāo)量約為1.72(千只)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)己知數(shù)據(jù)，分析總體單調(diào)性，并注意到增量不相等，不是嚴(yán)格在一條直線(xiàn)上，從而判定A；

求得樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)，代入已給出的回歸方程，求解，從而判定B；根據(jù)殘差定義求得各個(gè)殘差，進(jìn)而得

到殘差的最大值與最小值，從而判定C；利用回歸方程預(yù)測(cè)計(jì)算即可判定D.

【詳解】從數(shù)據(jù)看y隨x的增加而增加，故變量)與x正相關(guān)，由于各增量并不相等，故相關(guān)系數(shù)

廠＜1,故A正確；

由已知數(shù)據(jù)易得元=3,歹=1,代入$=0.24%+益中得到a=1-3x0.24=1-0.72=0.28,故B錯(cuò)誤；

y=0.24%+0.28,

戔=0.24+0.28=0.52,戔=0.24x2+0.28=0.76,2=0.24x3+0.28=1.00,

%=0.24x4+0.28=1.24,%=0.24x5+0.28=1.48,

^=0.5-0.52=-0.02,e2=0.8-0.76=0.04,e3=1-1=0,芻=1.2—1.24=-0.04,

e5=1.5-1.48=0.02,

殘差自(z=l,2,3,4,5)的最大值e2=0.04與最小值自=-0.04之和為0,故C正確；

尤=6時(shí)該商場(chǎng)5G手機(jī)銷(xiāo)量約為y=0.24x6+0.28=1.72,故D正確.

故選：B

22

4.方程-^+二^=1表示雙曲線(xiàn)的必要不充分條件可以是()

m+3m-1

A.me(-3,1)B.me(-3,-1)(-1,1)

C.7〃e(-3,+8)D.me(-3,-1)

【答案】C

【解析】

【分析】利用雙曲線(xiàn)方程，求解加的范圍，然后根據(jù)集合關(guān)系，推出選項(xiàng).

22

【詳解】如果方程一二+一匚=1表示雙曲線(xiàn)，貝g"+3)(m—1)<0,解得：—3〈加<1,

m+3m-1

22

則方程+一J=1表示雙曲線(xiàn)的必要不充分條件所對(duì)應(yīng)的集合必須真包含{m|-3<m<l}.

m+3m-1

只有選項(xiàng)C滿(mǎn)足題意.

故選：c.

1rsIQ]<

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若依次輸入"?=」一，〃=』一，p=~,則輸出的結(jié)果為()

235

In2

A.——

2

ln3

B.一

3

ln5

C.

5

D.以上都不對(duì)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，該流程圖的作用是求出加、九、P中的最小數(shù)，再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)比較出冽，n,

P的大小關(guān)系即可.

【詳解】根據(jù)題意，該流程圖的作用是求出加、九、。中的最小數(shù)，

故選：D.

7.設(shè)等差數(shù)列的前九項(xiàng)和為S"，已知&=36,S"_6=144,Sn=324,則九的值為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】D

【解析】

【分析】由已知條件利用等差數(shù)列的下標(biāo)定理即可求解.

【詳解】解：由題意可得

S"-S"-6=an+an-\+an-2+%-3+%-4+a?-5=324-144=180

即a?+??-1+??-2+??-3+4-4+a?-5=180@

Sg=q+a,+%+%+%+。6=36②

且等差數(shù)列滿(mǎn)足a”+q=g+an-l=43+an-2=?4+%-3=%+*=?6+4-5

二①②兩式相加得6（4+［）=180+36=216

an+a.=36代入求和公式可得

S=幽3=18〃=324

"2

解得”=18

故選：D.

8.如圖是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的高為（）

所以四棱錐的高為PE,

由三視圖可知AB=CD=2,AD=PD=y/5,因?yàn)镻E?百=2義2

所以PE=&5

5

故四棱錐的高為逑

5

故選：D.

9.拋物線(xiàn)V=4y的焦點(diǎn)為P，準(zhǔn)線(xiàn)為/,A,5是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足卸乙P為線(xiàn)段

\PQ\

A3的中點(diǎn)，設(shè)P在/上的射影為。，則上』的最大值是()

A.也B.2C.正D.是

3322

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)|"|=a,忸同=6,連接轉(zhuǎn)、BF,由拋物線(xiàn)定義得|PQ|=，，由勾股定理可得IABF

\PQ\

22進(jìn)而根據(jù)基本不等式求得的取值范圍，再利用此結(jié)論求的取值范圍.

=a+b,|A8|\AB\

【詳解】設(shè)|AF|=a,忸司=Z?,A,3在/上的射影分別為M,N,

4M

則忸典=忸M，故歸@[:忸

又AF,BTL所以=+忸7a之命,

因?yàn)閍2+b2=(a+b)2-lab>(a+bf-("丁=,

所以4r壽2叵絲”，當(dāng)且僅當(dāng)a=。時(shí)等號(hào)成立，

2

|PQ|_ct+b<a+b_V2

故畫(huà)—242+萬(wàn)一亞(a+b「W?

乙X

2

故選：C.

R

【點(diǎn)睛】本題著重考查拋物線(xiàn)的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題.

10.如圖，正方體ABC?！?4G。]的棱長(zhǎng)為I，線(xiàn)段C2上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn),且=點(diǎn)P,

。分別為AM，8用的中點(diǎn)，G在側(cè)面C￡>DG上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足4G//平面CRPQ,以下命題錯(cuò)誤的

是（）

A.AB,±EF

B.多面體AE方坦的體積為定值

C.側(cè)面CDRG上存在點(diǎn)G,使得B]G1CD,

JT

D.直線(xiàn)4G與直線(xiàn)BC所成的角可能為一

6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定定理、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，以及異面直線(xiàn)夾角的求解方法，對(duì)每

個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對(duì)A：連接G。，作圖如下：

因?yàn)锳BC。—4片弓。為正方體，故可得DCJ/AB],又DC]LCD]，所與CR是同一條直線(xiàn),

故可得DC11EF,則AB]_LEF,故A正確;

對(duì)B：根據(jù)題意，EF=g,且線(xiàn)段所在CQ上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A到直線(xiàn)CQ的距離不變,

故^AEF的面積為定值，又點(diǎn)B]到平面ACDt的距離h也為定值，

故三棱錐AEFB]的體積VAEFB]=^SAEFxh為定值，故B正確；

對(duì)C：取G，，GC的中點(diǎn)分別為連接4M,MN,N耳，作圖如下:

容易知在△CQC中，MN//CDt,又PDJIB、M,MNcB、M=M,CD、cPD[=

MN,BXMu面B\MN,CD\,PRu面PDtCQ,故面B】MN//面PD、CQ,

又G在側(cè)面COQG上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足用G//平面C'PQ,故G的軌跡即為線(xiàn)段肱V；

又因?yàn)锳BC?！獮檎襟w，故CD,面BCCM，qNu面BCC4,故耳NLCD,

則當(dāng)G與N重合時(shí)，BXG1CD,故C正確；

對(duì)D：因?yàn)?C//BC，故直線(xiàn)與G與8。所成角即為直線(xiàn)BQ與耳￡所成角，即NC4G,

11

C、MxC]N2X2_&

在RtBCE中，GG

01axMN64

2

故tanNC|B]G==CXGe

Bici

而當(dāng)直線(xiàn)用G與直線(xiàn)BC所成的角為四時(shí)，tan5=g

663

7T

故直線(xiàn)用G與直線(xiàn)5。所成的角不可能為一，故D錯(cuò)誤.

6

故選：D.

11.已知直線(xiàn)4：x+y—4=0與圓心為"（0,1）且半徑為3的圓相交于A,3兩點(diǎn)，直線(xiàn)公

2mx+2y—3m—5=0與圓/交于C,￡＞兩點(diǎn)，則四邊形ACBD的面積的最大值是（）

A.96B.9&C.6A/2D.9（72+1）

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得圓M的方程，求得交點(diǎn)A,3坐標(biāo)，進(jìn)而可得|4耳與中點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線(xiàn)4恒過(guò)定點(diǎn)

N,當(dāng)CD與A3垂直時(shí)，四邊形ACBD的面積最大，可求得四邊形ACB。的面積的最大值.

【詳解】解：根據(jù)題意，圓/的圓心為M（0,l）且半徑為3,

所以圓加的方程為f+（y—I,=9,即f+/一2y—8=0,

直線(xiàn)4：x+y-4=0與圓M相交于A,B兩點(diǎn),

八：2y-8=0,解得]x=3%—0

則有＜,或＜_4,所以A、B的坐標(biāo)為（0,4）,（3,1）,

x+y—4=0[y=1、，

35)

貝川4^=亞亞=3后，且AB的中點(diǎn)為2,2),

35)

直線(xiàn)4：2mx+2y-3m-5^Q,變形可得加（2%-3）+2y一5=0,直線(xiàn)乙恒過(guò)定點(diǎn)N2,2))

當(dāng)CD與AB垂直時(shí)，四邊形ACa）的面積最大，

S3

此時(shí)CD的方程為y—5=x—萬(wàn)，變形可得y=x+l,經(jīng)過(guò)點(diǎn)河（0,1）,

所以|C“=2r=6,

故四邊形4c加的面積的最大值=SACB+SgJx6x3夜=9四'

故§四邊形ACBD"9應(yīng)，

所以四邊形ACBZJ的面積的最大值為9夜.

故選：B.

12.已知函數(shù)/（司=5足］。%+：）0〉0）在區(qū)間［0,兀］上有且僅有4個(gè)極值點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①"X）在區(qū)間（0,兀）上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；②〃%）的最小正周期可能是'

③0的取值范圍是；④了（同在區(qū)間1點(diǎn),看］上單調(diào)遞增.

其中正期結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】令。X+'=2+E，keZ,則x="+4E?eZ,結(jié)合條件可得0<凹蟲(chóng)<兀有4個(gè)整數(shù)

424G40

人符合題意，可求出①的取值范圍，再利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論.

【詳解】由函數(shù)/（X）=sin［ox+；］（ty〉0）,

人兀兀7,一/口兀+4左兀,

令GXH—=—Fkn,左eZ可得％=-------,左eZ,

424①

因?yàn)?（%）在區(qū)間。兀］上有且僅有4個(gè)極值點(diǎn)，即可得0<<兀有且僅有4個(gè)整數(shù)k符合題意，

1+4左

解得0<-----<1,即0<1+4左<40，可得左=0,1,2,3,

4①

（1317一

即1+4x3v4G<1+4x4,解得口￡—,—,即③正確；

（44

故答案為：-------i,

55

14.在x（x+l）（x—1）3的展開(kāi)式中，含了2的項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】2

【解析】

【分析】首先得出（X-1）3展開(kāi)式的通項(xiàng)為（+1.（一1>,然后分別令r=3和r=2得出其展開(kāi)式

的常數(shù)項(xiàng)和含x的項(xiàng)，分兩類(lèi)情形即可得出所求的答案.

【詳解】解:因?yàn)橛龋▁+l）（尤-1）3=（/+9（%-1）3,

又因?yàn)椋╔—1）3展開(kāi)式的通項(xiàng)為=C；-X3-r-（-l）r,

所以令r=3,則其常數(shù)項(xiàng)4=T；

令廠=2,則其含x的項(xiàng)為7；=C>x=3x,

所以原展開(kāi)式中含/的項(xiàng)的系數(shù)為：lx（-l）+lx3=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題.

15.已知ABC為等腰三角形，其中=AC,點(diǎn)。為邊AC上一點(diǎn)，cos3=；.以點(diǎn)8、〃為焦點(diǎn)的

橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與C,則橢圓E的離心率的值為.

【答案】xE

3

【解析】

【分析】借助橢圓定義與所給數(shù)量關(guān)系，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可得.

連接點(diǎn)A與5C中點(diǎn)M,即有的W=CM,由=故

112

由cosNABC=—，則3Af=—A3,即8C=—AB,

333

由橢圓定義可得AB+AD=2。、BC+CA=2a,

Q

故AB+AD+BC+CA=AB+AC+BC=—AB=4〃，

3

3

即AB=—。，則3C=a、CD—2a—a=a,

2

由AB二AC故COSN3C4=COSNABC=L

3

m"/n/".4ci~+—4c-12a~—4c"21

則cosZBCA=---------------=-,即Bn----------=1-2e?=一，

2axa32a23

解得e=@(負(fù)值舍去).

3

故答案為：&

3

【點(diǎn)睛】求離心率的常用方法：由已知條件得出關(guān)于。、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程并求解.

16.若函數(shù)/(x)=a、(a>0,awl)與g(x)=*的圖像在實(shí)數(shù)集R上有且只有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為.

/_2A(2\

【答案】e-;,lul,e;

【解析】

In尤2

【分析】問(wèn)題等價(jià)于優(yōu)僅有3個(gè)解，進(jìn)一步可等價(jià)于Ina=L二僅有3個(gè)解，設(shè)

x

丸(力=叱,("0),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)從X)的性質(zhì)，作出其圖像，利用圖像即可得解.

X

1X2

【詳解】解：依題意，優(yōu)=必僅有3個(gè)解，％=0顯然不是該方程的解，貝也n優(yōu)=lnf,即ina=nU

x

僅有3個(gè)解，

設(shè)丸(%)=州三,(xwO),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足丸(-x)="=-九⑺，即力⑴為奇函數(shù)，

X—X

考慮兀>0時(shí)的情況，從x)=21nx,__J。%),

九x

當(dāng)％>e時(shí)，//(%)<0,即在(e,+“)上單調(diào)遞減，

.4+1_%_%1__"=4]=]

zi+1nn—121

an="（"eN*）；

【小問(wèn)2詳解】

2a?

由（i）得一=2nx（3n-l）,

bn

23

:.Tn=2x2】+5x2+8x2++（3〃-4）x2^+（3〃—1）x2”①，

234/,+1

2Tn=2x2+5x2+8x2++（3〃-4）x20+（3w-l）x2@,

①—②得，—<=4+3x（22+23+24++2"）—（3〃—l）x2"i

22x（l-2n1）

=4+3x——_^-（3n-l）x2n+1

=-8-（3ra-4）x2,,+1

...7；=8+（3〃一4>2".

18.某企業(yè)有甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)，其員工人數(shù)分別為6,9,12,員工A隸屬于甲部門(mén).現(xiàn)在醫(yī)務(wù)室通

過(guò)血檢進(jìn)行一種流行疾病的檢查，已知該種疾病隨機(jī)抽取一人血檢呈陽(yáng)性的概率為且每個(gè)人血檢是

否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立.

（1）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取9人進(jìn)行前期調(diào)查，求從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多

少人，并求員工A被抽到的概率；

（2）將甲部門(mén)的6名員工隨機(jī)平均分成2組，先將每組的血樣混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陰性，則可斷定

本組血樣全部為陰性，不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽(yáng)性，則本組中至少有一人呈陽(yáng)性，再逐個(gè)化驗(yàn).記X為

甲部門(mén)此次檢查中血樣化驗(yàn)的總次數(shù)，求X的分布列和期望.

129

【答案】（1）分別抽2人，3人，4人，-；（2）分布列見(jiàn)解析，—.

34

【解析】

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣規(guī)則求出從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取的人數(shù)，再根據(jù)古典概型

的概率公式計(jì)算可得；

（2）記“每組血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性”為事件8,利用相互獨(dú)立事件的概率公式求出尸（5）,則X可取值

2,5,8,分別求出概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可；

【詳解】（1）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為2:3:4,

由于采用分層抽樣的方法從中抽取9人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取2人，3人，4

人.

記事件“員工A被抽到”，由于每位員工被抽到的概率相等，

21

所以員工A被抽到的概率為P（M）=q=g.

（2）甲部門(mén)的6名員工隨機(jī)平均分成2組，每組3人，記“每組血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性”為事件B,

所以「⑻=1

由于每個(gè)人血檢是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立,1J4

8

則X可取值：2,5,8,

P（X=2）=（P?=^=±：

P（X=5）=中（即㈤=2“一」十弓得

P（x=8）Y（咿）『

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查分層抽樣，古典概率、相互獨(dú)立事件的概率以及離散型隨機(jī)變量的分布列和

數(shù)學(xué)期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列，組

合，概率知識(shí)求出X取各個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，對(duì)應(yīng)服從某種特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)

用公式給出，考查學(xué)生邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.如圖，已知梯形CDE戶(hù)與VAD石所在平面垂直，AD±DE,CDLDE,ABIICD//EF,

AE=2DE=8,AB=3,EF=9,CD=12,連接BC,BF.

（1）若GAD邊上一點(diǎn)，DG=-DA,求證：EG〃平面8C尸;

3

（2）求二面角E—政―C的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

3739

26

【解析】

【分析】（1）作GM〃CD,交于點(diǎn)連接MF,性BHIIAD,交GM于點(diǎn)、N,交DC于點(diǎn)H,

接著證明GM=GN+M0=9,以及GMEF,可得四邊形GMFE為平行四邊形，可得證

（2）求出平面8EF的法向量和平面8/C的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

如圖，作GW〃C￡>,交BC于點(diǎn)、M,連接狼，作皿〃4。，交GM于點(diǎn)、N,交DC于點(diǎn)H.

因?yàn)锳B//CD//EF,:.GMEF,所以GN=DH=AB=3,HC=9,

：.NM=6,:.GM=GN+NM=9,

EFUCD,GM//CD,

■.GMEF,且GM=Eb,四邊形GMFE為平行四邊形.

-EGMF,又MFu平面BCE,EGa平面BCb,

.?.EG//平面BCF.

【小問(wèn)2詳解】

平面TWE_L平面CDEF,平面1平面CDEF=DE,

ADLDE,ADu平面ADE,

.?.AZ），平面CDEW.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC,DE,DA所在直線(xiàn)分別為x軸，>軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

D-xyz.

則E（0,4,0）,尸（9,4,0）,。（12,0,0）,5（3,0,4君），

EF=（9,0,0）,=（3,-4,4A/3）,

設(shè)平面石印的法向量為勺=（%，%,zj.

nxEF=O19%=0

<n4f—=（

%-EB-03%一4%+4,3Z]

取％=3得出=倒,6,1）.

FC=（3,-4,0）,用=卜6,-4,4@,

設(shè)平面3cb的法向量為%=（x2,y2,z2）,

n『FC=a[3x-4y=0

由{=>{22廠=0,

n2-FB=0-6X2—4y2+4v3z2

取9=4,得〃2=（4,3,3?。?，

40x4+^3x3+lx3百6A/33A/39

cosnn=--

192時(shí)聞-2J16+9+27―2x271326

二面角E-BF-。為鈍二面角，

???二面角石—政—c的余弦值為—上叵.

26

20.己知橢圓E:5+21=l（a〉6〉0）的離心率為焦距為2,過(guò)E的左焦點(diǎn)R的直線(xiàn)/與E相交

ab2~T

于A、8兩點(diǎn)，與直線(xiàn)1=—2相交于點(diǎn)M.

⑴若”（—2,—1），求證：.忸耳

（2）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)/的垂線(xiàn)機(jī)與E相交于。、。兩點(diǎn)，與直線(xiàn)尤=-2相交于點(diǎn)N.求

1111

網(wǎng)+口畫(huà)++p\珂的最大值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵2&

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件求出直線(xiàn)/的方程，將直線(xiàn)/的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)A、B的橫坐

標(biāo)，再利用弦長(zhǎng)公式可證得|阿?忸耳=|血8卜|A耳成立；

(2)分析可知直線(xiàn)I的斜率存在且不為零,設(shè)直線(xiàn)I方程為y=+1),則直線(xiàn)m方程為y=--(x+l),

k

11

其中左。0,將直線(xiàn)/的方程與橢圓月的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得出西+麗的表

111111

達(dá)式，同理可得出國(guó)+麗的表達(dá)式，利用基本不等式可求得南+朝+西+畫(huà)的最大值.

【小問(wèn)1詳解】

證明：設(shè)耳(-G。)、月(c,0)，因?yàn)闄E圓E的焦距為2,所以2c=2,解得c=l.

又因?yàn)闄E圓E的離心率6=工="，所以a=所以廿=/一C2=2-1=1,

a2

所以橢圓E的方程為土+丁=1.

2

-1-0

因?yàn)橹本€(xiàn)/經(jīng)過(guò)/(—2,—1)、F(-l,0),總=_2_(—1)=1

所以，直線(xiàn)/的方程為y=x+i,

設(shè)點(diǎn)A(玉,乂)、6(程％)，聯(lián)立＜202可得3X2+4X=0，

x十—乙

4

由3尤2+4%=0，得%=一耳，々=。.

所以.忸耳=0歸+2].亞|x2+l|=2xgxl=：,

pWB”=亞民+2卜0歸+1|=2*2義；=：,

因此，|M4|.忸耳=|"3|何目.

【小問(wèn)2詳解】

證明：若直線(xiàn)/、m中兩條直線(xiàn)分別與兩條坐標(biāo)軸垂直，則其中有一條必與直線(xiàn)x=-2平行，不合乎題意，

所以，直線(xiàn)/的斜率存在且不為零，設(shè)直線(xiàn)/方程為丁=左(％+1),

則直線(xiàn)機(jī)方程為丁=一▲(％+1),其中左W0.

k

<y=M：+l）可得（1+2左2）/+4左2尤+2左2_2=0,

聯(lián)立

x2+2y2=2'7

設(shè)4&,乂）、5（%,%），則A=16/_8（2左2+1）（左2_i）=8化2+i）＞o,

4422k2—2

由韋達(dá)定理可得%+々=-

2k2+1'X'X-~2k2+1

易知石〉—2且馬〉—2,將X=—2代入直線(xiàn)/的方程可得了=-%,即點(diǎn)/（一2,-左）,

所以網(wǎng)+畫(huà)=.+廬%+2廣4+戶(hù)民+2|

」（1+1\=/.百+一+4

IXXXX

J1+左25+2X2+2）J+%212+2（1+2）+4

___K___LA

]]+2/+_]4k2+4_,2

+-認(rèn)2+4一公

1+2左21+2Z?

1,1.2

同理可得|NC||人研［（］\2

1?1?1?1_...2（1+閔）標(biāo)+1+2網(wǎng)

二2,1+2

所以\MB\pvc||NQ「m7瓦"/+1附+由

當(dāng)且僅當(dāng)左=±1時(shí)，等號(hào)成立，

1111l

因此,網(wǎng)+畫(huà)+西+畫(huà)的最大值為2&-

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、

函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

21.已知函數(shù)/（1）=%2—《%+1，8（%）=111^+0（0€尺）.

（1）若a=L/（x）＞g（x）在區(qū)間（0J）上恒成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍;

(2)若函數(shù)/(%)和g(x)有公切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)々的取值范圍.

【答案】(1)(0,1]

(2)(一?/]

【解析】

【分析】⑴設(shè)=/(%)—g(x),用導(dǎo)數(shù)法解〃(x)11m>0即可；

(2)設(shè)函數(shù)/⑺在點(diǎn)(和〃網(wǎng)))處與函數(shù)g(x)在點(diǎn)(七,g(w))處有相同的切線(xiàn)，

由〃％)=/㈤/⑷一屋"；2「叫+1-g-匕化簡(jiǎn)得到

?V/Vi—vv\/^\v.v/Vi-?v/V,

[2-2

—7H-------H1ILCH-------\-a—2=0,然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程--H-------FluxH-----na_2=0有

22

4x12X244x2x4

解求解.

【小問(wèn)1詳解】

由題意，當(dāng)a=l時(shí)，設(shè)=—

則7z(x)=x2-x+l-ln￥-l=x2-x-llnx(x>0),

〃(x)=2x-1-L2f-l=(2x+：Q(l),

XXX

令〃(x)=0,得x=l(舍負(fù))

在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

Wmin=入⑴=0.

根據(jù)題意，的取值范圍為(0,1].

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)函數(shù)/(%)在點(diǎn)(占,〃占))處與函數(shù)g(x)在點(diǎn)(%遙(％))處有相同的切線(xiàn)，

則/'&)=/(%2)=/?)—8(“2)二2%_'=口=%；―叫+1_2_-

玉一9%2玉一%

1ax-x1I

----1—,代入-------?=%]2—+1-lux2—a

2x02

1aa1-八

得za——H------Flnx)H-----Fa-2=0.

2

4xf2X24

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于了的方程上+2+In%+土+a—2=0有解,

4x22%4

設(shè)F(x)=」y+上-+lnx+幺+a-2(x〉0)，則函數(shù)/(%)有零點(diǎn),

4%2%4

2

Fx

-()=l—Fa|+lux+a—2,當(dāng)X=e2-a時(shí),

lra+a-2=0,.'.F(e~~a>0.

?.?問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：尸⑺的最小值小于或等于o.

l,/、1a12x2-ax-1

“加-

設(shè)2片-碼)-1=0(/>0),貝！J

當(dāng)0cx<玉)時(shí)，F(xiàn)f(x)<0,當(dāng)x〉x()時(shí)，F(xiàn),(x)>0.

.?丁(￡)在(0,5)上單調(diào)遞減，在(毛,”)上單調(diào)遞增，

[2

方'(％)的最小值為方(玉))=---2"I--------1~111無(wú)0+--+^—2.

42X04

C1

由2%9—ax?！猐=0知〃=2%0,

xo

故尸(%o)=%；+2%----+lnx-2.

%0

設(shè)0(%)=尤2+2%--+lux-2(%>0),

x

則(pr(x\—2x+2H——H—>0,

XX

故°(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增，

0(1)=0,二.當(dāng)％6(0,1]時(shí)，0(X)WO,

F(x)的最小值F(%)W0等價(jià)于0V%<L

又函數(shù)y=2x—工在（0,1]上單調(diào)遞增,

c1/

a—2XQ--------￡1—8,1].

X。

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)八%）與函數(shù)有相同的切線(xiàn)問(wèn)題，一般設(shè)函數(shù)八%）在點(diǎn)（%,〃占））處與函

數(shù)g（x）在點(diǎn)（々任伍））處有相同的切線(xiàn)，由r（xj=g'（x2）—g（二）,利用消元法，轉(zhuǎn)化為

Xy—%2

方程有解求解.

2（l-r2）

X=-~~3

22.在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為〈1+廠（/為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸

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