2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市六校數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市六校數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在長(zhǎng)方體中，,,則異面直線與所成角的余弦值為()A． B． C． D．2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）．A． B． C． D．3．設(shè)向量，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象是（）A． B． C． D．5．已知與的夾角為，，，則（）A． B． C． D．6．已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（）A．若則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．已知函數(shù)的零點(diǎn)是和（均為銳角），則（）A． B． C． D．8．在正四棱柱中，，，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．定義運(yùn)算:.若不等式的解集是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．10．三棱錐則二面角的大小為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知與之間的一組數(shù)據(jù)，則與的線性回歸方程必過點(diǎn)__________．12．求值：_____．13．函數(shù)的值域是________．14．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面的距離等于________.15．某班委會(huì)由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長(zhǎng)，其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是______16．函數(shù)的定義域?yàn)開____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列中，.(1)求證：是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知：數(shù)列，滿足①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②記集合若集合中含有個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知點(diǎn)，，曲線任意一點(diǎn)滿足.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，問是否存在過定點(diǎn)的直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)，無(wú)論直線如何運(yùn)動(dòng)，軸都平分，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.19．求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.20．如圖已知平面，，，，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：//平面;(2)求直線與平面所成角的大小.21．如圖，在以、、、、、為頂點(diǎn)的五面體中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.（1）求證：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

連接，交于，取的中點(diǎn)，連接、，可以證明是異面直線與所成角，利用余弦定理可求其余弦值.【詳解】連接，交于，取的中點(diǎn)，連接.由長(zhǎng)方體可得四邊形為矩形，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角是異面直線與所成角.在直角三角形中，則，，所以.在直角三角形中，，在中，，故選C.【點(diǎn)睛】空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.2、B【解析】

判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用f（﹣1）與f（1）函數(shù)值的大小，通過零點(diǎn)存在性定理判斷即可【詳解】函數(shù)f（x）＝2x+3x是增函數(shù)，f（﹣1）＝＜1，f（1）＝1+1＝1＞1，可得f（﹣1）f（1）＜1．由零點(diǎn)存在性定理可知：函數(shù)f（x）＝2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間（﹣1，1）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，注意函數(shù)的單調(diào)性的判斷．3、D【解析】

根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，列方程求出m的值．【詳解】向量，（m+1，﹣m），當(dāng)⊥時(shí)，?0，即﹣（m+1）﹣2m＝0，解得m．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了向量垂直的條件轉(zhuǎn)化，是基礎(chǔ)題．4、D【解析】

求出分段函數(shù)的解析式，由此確定函數(shù)圖象.【詳解】由于，根據(jù)函數(shù)解析式可知，D選項(xiàng)符合.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)圖象的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義得出關(guān)于的二次方程，解出即可.【詳解】將等式兩邊平方得，，即，整理得，，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量模的計(jì)算，在計(jì)算向量模的時(shí)候，一般將向量模的等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6、B【解析】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系．7、B【解析】

將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化的解，利用韋達(dá)定理和差公式得到，得到答案.【詳解】的零點(diǎn)是方程的解即均為銳角故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)，韋達(dá)定理，和差公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8、A【解析】

連結(jié)，結(jié)合幾何體的特征，直接求解與所成角的余弦值即可．【詳解】如圖所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，連結(jié)，則與所成角就是中的，所以與所成角的余弦值為：＝＝．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正四棱柱的性質(zhì)，直線與直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

根據(jù)定義可得的解集是空集，即恒成立，再對(duì)分類討論可得結(jié)果.【詳解】由題意得的解集是空集，即恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式即為，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，則即解得.綜上可知:.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的恒成立問題，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

P在底面的射影是斜邊的中點(diǎn)，設(shè)AB中點(diǎn)為D過D作DE垂直AC，垂足為E，則∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【詳解】因?yàn)锳B＝10，BC＝8，CA＝6所以底面為直角三角形又因?yàn)镻A＝PB＝PC所以P在底面的射影為直角三角形ABC的外心，為AB中點(diǎn)．設(shè)AB中點(diǎn)為D過D作DE垂直AC，垂足為E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角．因?yàn)镻D為三角形PAB的中線，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小為60°故答案為60°．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，確定出二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)線性回歸方程一定過樣本中心點(diǎn)，計(jì)算這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，求出和的平均數(shù)即可求解.【詳解】由題意可知，與的線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，，所以線性回歸方程必過.故答案為：【點(diǎn)睛】本題是一道線性回歸方程題目，需掌握線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)這一特征，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：，以及反三角函數(shù)即可解決?！驹斀狻坑深}意．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，同角角三角函數(shù)基本關(guān)系主要有:,.屬于基礎(chǔ)題。13、【解析】

求出函數(shù)在上的值域，根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)是單調(diào)減函數(shù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上的值域?yàn)楦鶕?jù)反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域可得函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題求一個(gè)反三角函數(shù)的值域，著重考查了余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)和反函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用等體法即可求解.【詳解】如圖，由ABCD是菱形，，，E是BC的中點(diǎn)，所以,又平面ABCD，所以平面ABCD，即，又，則平面，由平面，所以，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，由即，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等體法求點(diǎn)到面的距離，同時(shí)考查了線面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】試題分析：∵從7人中選2人共有C72=21種選法，從4個(gè)男生中選2人共有C42=6種選法∴沒有女生的概率是=，∴至少有1名女生當(dāng)選的概率1-=．考點(diǎn)：本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式．點(diǎn)評(píng)：在使用古典概型的概率公式時(shí)，應(yīng)該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)．16、【解析】函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧槿?、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析，(2)①②【解析】

(1)計(jì)算得到：得證.(2)①計(jì)算的通項(xiàng)公式為，利用錯(cuò)位相減法得到.②將代入集合M，化簡(jiǎn)并分離參數(shù)得，確定數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)集合中含有個(gè)元素得到答案.【詳解】(1)，為等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，公比為.所以，.(2)①數(shù)列的通項(xiàng)公式為①②①-②化簡(jiǎn)后得.②將代入得化簡(jiǎn)并分離參數(shù)得，設(shè)，則易知由于中含有個(gè)元素，所以實(shí)數(shù)要小于等于第5大的數(shù)，且比第6大的數(shù)大.，，綜上所述.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的證明，數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法，數(shù)列的單調(diào)性，綜合性強(qiáng)計(jì)算量大，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1)；(2)【解析】

(1)設(shè),再根據(jù)化簡(jiǎn)求解方程即可.(2)設(shè)過定點(diǎn)的直線方程為,根據(jù)軸平分可得.再聯(lián)立直線與圓的方程,化簡(jiǎn)利用韋達(dá)定理求解中參數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而求得定點(diǎn)即可.【詳解】(1)設(shè),因?yàn)?故,即,整理可得.(2)當(dāng)直線與軸垂直,且在圓內(nèi)時(shí),易得關(guān)于軸對(duì)稱,故必有軸平分.當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)過定點(diǎn)的直線方程為.設(shè).聯(lián)立,.因?yàn)闊o(wú)論直線如何運(yùn)動(dòng),軸都平分,故,即,所以,.所以代入韋達(dá)定理有,化簡(jiǎn)得.故,恒過定點(diǎn).即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了軌跡方程的求解方法以及聯(lián)立直線與圓的方程,利用韋達(dá)定理代入題中所給的關(guān)系式,化簡(jiǎn)求直線中參數(shù)的關(guān)系求得定點(diǎn)的問題.屬于難題.19、（）【解析】

先化簡(jiǎn)函數(shù)得到,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原則結(jié)合整體法求單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】,令,則,因?yàn)槭堑囊淮魏瘮?shù),且在定義域上單調(diào)遞增,所以要求的單調(diào)遞增區(qū)間,即求的單調(diào)遞減區(qū)間,即(),∴(),即(),∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)合型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,答題時(shí)注意,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”法則.20、(1)見證明；(2)【解析】

（1）要證線面平行即證線線平行，本題連接A1B,（2）取中點(diǎn),連接證明平面，再求出，得到．【詳解】（1）如圖，連接，在中，因?yàn)楹头謩e是和的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫?，所以平面；取中點(diǎn)和中點(diǎn)，連接，，．因?yàn)楹头謩e為和，所以，，故且，所以，且．又因?yàn)槠矫妫云矫?，從而為直線與平面所成的角．在中，可得，所以．因?yàn)?，，所以，，，所以，，又由，有．在中，可得；在中，，因此．所以直線與平面所成角為．【點(diǎn)睛】求線面角一般有兩個(gè)方法：幾何法做出線上一點(diǎn)到平面的高，求出高；或利用等體積法求高向量法．21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)