第8小題 數(shù)列（高考必考22題）2024年高考《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題型分類與方法點(diǎn)撥（解析版）

第第頁第8小題數(shù)列TOC\o"1-4"\h\u第8小題數(shù)列 1一、主干知識歸納與回顧 24.1數(shù)列的概念 24.2等差數(shù)列 24.3等比數(shù)列 3（一）命題角度剖析 4（二）考情分析 4（三）高考預(yù)測 4二、題型分類與預(yù)測 5命題點(diǎn)一：數(shù)列的概念及其運(yùn)算 51.1母題精析（三年高考真題） 51.2解題模型 51.3對點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市模考） 5命題點(diǎn)二：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 61.1母題精析（三年高考真題） 61.2解題模型 61.3對點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?7三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）： 8一、主干知識歸納與回顧4.1數(shù)列的概念1.定義：我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).第一項(xiàng)叫首項(xiàng)，常用表示.2.通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.遞推公式：如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.4.數(shù)列的前項(xiàng)和：把數(shù)列從第1項(xiàng)起到第項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列的前項(xiàng)和.記作，即.5.通項(xiàng)與之間的關(guān)系：4.2等差數(shù)列1.等差數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用表示.2.等差中項(xiàng)：有三個(gè)數(shù)組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，此時(shí)叫做與的等差中項(xiàng).可知.3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：.引申式：，，4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：5.等差數(shù)列常用性質(zhì)：①若，則；②下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)，仍組成等差數(shù)列；③數(shù)列（為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；④若、是等差數(shù)列，則、(、是非零常數(shù))、，…也成等差數(shù)列.⑤單調(diào)性：的公差為，則：?。檫f增數(shù)列；ⅱ）為遞減數(shù)列；ⅲ）為常數(shù)列；⑥數(shù)列{}為等差數(shù)列（p,q是常數(shù)）⑦若等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、…是等差數(shù)列.4.3等比數(shù)列1.等比數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，常用來表示（）.2.等比中項(xiàng)：若三數(shù)成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng).此時(shí).3.通項(xiàng)公式：；引申式：，.4.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式：5.等比數(shù)列常用性質(zhì)：①若，則；②為等比數(shù)列，公比為(下標(biāo)成等差數(shù)列,則對應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列)③數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；對于正項(xiàng)等比數(shù)列，則是公差為的等差數(shù)列；④若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列，公比依次是⑤單調(diào)性：為遞增數(shù)列；為遞減數(shù)列；為常數(shù)列；為擺動數(shù)列；⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列.⑦若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、…是等比數(shù)列.（一）命題角度剖析1.數(shù)列的概念及其運(yùn)算★★★☆☆2.數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用★★★★☆（二）考情分析高考頻率：100%試題難度：中等呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題（三）高考預(yù)測重點(diǎn)考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等求和方法，有時(shí)考查數(shù)列的創(chuàng)新問題。二、題型分類與預(yù)測命題點(diǎn)一：數(shù)列的概念及其運(yùn)算1.1母題精析（三年高考真題）一．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性（共1小題）1．（2020?浙江）已知數(shù)列滿足，則10．【分析】求出數(shù)列的前3項(xiàng)，然后求解即可．【解答】解：數(shù)列滿足，可得，，，所以．故答案為：10．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列求和，數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，是基本知識的考查．二．等差數(shù)列的性質(zhì)（共1小題）2．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，求出首項(xiàng)和公差，然后求出通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和即可．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式，關(guān)鍵是求出等差數(shù)列的公差以及首項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．三．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（共1小題）3．（2021?上海）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則21．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則．故答案為：21．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．四．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共7小題）4．（2023?甲卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A．25 B．22 C．20 D．15【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式先求出，，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求．【解答】解：等差數(shù)列中，，所以，，故，則，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2021?全國）等差數(shù)列中，若，則的前15項(xiàng)和為A．1 B．8 C．15 D．30【分析】由題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求得結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列中，，，則的前15項(xiàng)和為，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（2022?乙卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則公差2．【分析】根據(jù)已知條件，可得，再結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：，，為等差數(shù)列，，，解得．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則25．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)的性質(zhì)及求和公式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，所以，，即，則．故答案為：25【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．8．（2019?新課標(biāo)Ⅲ）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則100．【分析】由已知求得首項(xiàng)與公差，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【解答】解：在等差數(shù)列中，由，，得，．則．故答案為：100．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．9．（2019?新課標(biāo)Ⅲ）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則4．【分析】根據(jù)，可得公差，然后利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式將用表示，化簡即可．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，可得，，，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)以及等差數(shù)列性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．10．（2019?江蘇）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．若，，則的值是16．【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求解首項(xiàng)與公差，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和求得的值．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得．．故答案為：16．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題．五．等比數(shù)列的性質(zhì)（共3小題）11．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則A．12 B．24 C．30 D．32【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出．【解答】解：是等比數(shù)列，且，則，即，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023?甲卷）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可直接求解．【解答】解：等比數(shù)列中，，則，所以，解得．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023?乙卷）已知為等比數(shù)列，，，則．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解．【解答】解：等比數(shù)列，，解得，而，可得，即，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．六．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（共5小題）14．（2023?天津）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為A．3 B．18 C．54 D．152【分析】由已知遞推關(guān)系先表示出，，然后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求首項(xiàng)，公比，進(jìn)而可求．【解答】解：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，即，所以或（舍，所以，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．（2022?乙卷）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則A．14 B．12 C．6 D．3【分析】由題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，求得的值．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，由題意，．前3項(xiàng)和為，，，，則，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（2022?全國）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，前項(xiàng)和為．令，若也是等比數(shù)列，則A． B． C． D．【分析】由題意可知，，，，再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：由題意可知，，，，，若也是等比數(shù)列，，即，即，解得或（舍去）．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．17．（2020?全國）設(shè)函數(shù)，若（1），（2），（3）成等比數(shù)列，則A． B． C．2 D．6【分析】根據(jù)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程即可求解．【解答】解：，（1），（2），（3），又（1），（2），（3）成等比數(shù)列，（1）（3）（2），，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．18．（2019?新課標(biāo)Ⅲ）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則A．16 B．8 C．4 D．2【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)條件可得，解方程即可．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由前4項(xiàng)和為15，且，有，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題．七．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共6小題）19．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．120 B．85 C． D．【分析】由題意知公比，設(shè)首項(xiàng)為，由求出，再代入求出，由此求得．【解答】解：等比數(shù)列中，，，顯然公比，設(shè)首項(xiàng)為，則①，②，化簡②得，解得或（不合題意，舍去），代入①得，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（2023?甲卷）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，為前項(xiàng)和，，則A．7 B．9 C．15 D．30【分析】利用已知條件求解等比數(shù)列的公比，然后求解即可．【解答】解：等比數(shù)列中，設(shè)公比為，，為前項(xiàng)和，，顯然，（如果，可得矛盾），可得，解得，即，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的求法，是中檔題．21．（2021?甲卷）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，，成等比數(shù)列，從而得到關(guān)于的方程，再求出．【解答】解：為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知，，成等比數(shù)列，，2，成等比數(shù)列，，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．22．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比，再根據(jù)求和公式即可求出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．23．（2023?上海）已知首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則189．【分析】直接利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【解答】解：等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為2，．故答案為：189．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．24．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程求出的值，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：在等比數(shù)列中，由，得，即，，則，故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算，結(jié)合條件建立方程組求出是解決本題的關(guān)鍵．八．?dāng)?shù)列的求和（共1小題）25．（2021?上海）已知為無窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．【分析】設(shè)的公比為，由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，解方程可得，進(jìn)而得到，，求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【解答】解：設(shè)的公比為，由，的各項(xiàng)和為9，可得，解得，所以，，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．九．?dāng)?shù)列遞推式（共2小題）26．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則7．【分析】在已知數(shù)列遞推式中，分別取為奇數(shù)與偶數(shù)，可得與，利用累加法得到為奇數(shù)時(shí)與的關(guān)系，求出偶數(shù)項(xiàng)的和，然后列式求解．【解答】解：由，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，可得，，累加可得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，可得，，，．可得．．，，即．故答案為：7．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．27．（2019?上海）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，則．【分析】由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是等比數(shù)列，且，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【解答】解：由，①得，即，且，②①②得：．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，且．．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前項(xiàng)和的求法，是中檔題．一十．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共1小題）28．（2023?北京）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就出現(xiàn)了類似于砝碼的用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，，，則48，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為．【分析】根據(jù)數(shù)列的后7項(xiàng)成等比數(shù)列，，可得，，可得公比，進(jìn)而得出，利用求和公式即可得出結(jié)論．【解答】解：數(shù)列的后7項(xiàng)成等比數(shù)列，，，，公比．，又該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為．故答案為：48；384．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及性質(zhì)、方程思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．1.2解題模型等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，如首項(xiàng)、公差d或公比q。(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為Sn=an2+bn(a,b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為(p,q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列。(3)由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，故常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。1.3對點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹┮唬炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式（共1小題）1．（2021?莆田二模）已知等差數(shù)列滿足，則的值為A． B．6 C． D．12【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：，，解得．設(shè)等差數(shù)列的公差為，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共7小題）2．（2023?福建模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則A．11 B．12 C．13 D．14【分析】通過已知求出，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)求和公式即可求出．【解答】解：設(shè)的公差為，則，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?廈門模擬）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則A．9 B． C．12 D．【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，從而可列方程可求出結(jié)果．【解答】解：由已知，，，即3，，成等差數(shù)列，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?泉州模擬）等差數(shù)列中，，則的前9項(xiàng)和為A． B． C．90 D．180【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)椋?，又，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023?漳州模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則A．66 B．72 C．132 D．144【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列中，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（2021?廈門模擬）已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，，則A．80 B．160 C．176 D．198【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，，解得，，則，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2021?莆田模擬）跑步是一項(xiàng)有氧運(yùn)動，通過跑步，我們能提高肌力，同時(shí)提高體內(nèi)的基礎(chǔ)代謝水平，加速脂肪的燃燒，養(yǎng)成易瘦體質(zhì)．小林最近給自己制定了一個(gè)200千米的跑步健身計(jì)劃，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，則他要完成該計(jì)劃至少需要A．16天 B．17天 C．18天 D．19天【分析】利用題中的條件，易知每天跑步的里程為等差數(shù)列，求其前項(xiàng)和即可解出．【解答】解：設(shè)需要天完成計(jì)劃，由題意易知每天跑步的里程為，以8為首項(xiàng)，0.5為公差的等差數(shù)列，，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故滿足條件的最小．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2021?漳州模擬）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為A．49 B．54 C．102 D．135【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合易知；又根據(jù)即可得出結(jié)果．【解答】解：由是等差數(shù)列，得；又，則，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力，屬于簡單題．三．等比數(shù)列的性質(zhì)（共1小題）9．（2023?福建模擬）記正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有A． B． C． D．【分析】利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)直接求解．【解答】解：正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，對于，，是等比數(shù)列，故正確；對于，，是等比數(shù)列，故正確；對于，當(dāng)公比不為1時(shí)，，不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；對于，當(dāng)公比不為1時(shí)，，不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．四．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（共3小題）10．（2023?漳州模擬）已知數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，，且，，則的公比為A． B． C． D．2【分析】由等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性可求得，，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果．【解答】解：為遞減的等比數(shù)列，，解得（舍或，的公比．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023?福建模擬）已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，，則公比的值是2．【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)得到，再解方程組即可．【解答】解：由等比數(shù)列性質(zhì)知，聯(lián)立，解得或，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列，所以，，即．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023?泉州模擬）已知等比數(shù)列的公比，則．【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比，即可求解．【解答】解：在等比數(shù)列中，，，，即，，，，，解得，，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．五．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共2小題）13．（2022?泉州模擬）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為若，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，設(shè)其公比為，求出的值，又由，即，求出的值，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列中，設(shè)其公比為，若，即，即其公比，又由，即，則，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題．14．（2020?福建二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的公比為A．或 B．或 C．或2 D．3或【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式即可求出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，兩式相除可得，即，解得或，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵．六．?dāng)?shù)列的求和（共1小題）15．（2019?廈門一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則A．410 B．400 C．210 D．200【分析】首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，①，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，②①②得：，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故：，所以當(dāng)為正整數(shù)時(shí)：則：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．七．?dāng)?shù)列遞推式（共2小題）16．（2022?三明模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則A． B． C． D．8【分析】先由求，判斷出是從第二項(xiàng)起為公比為的等比數(shù)列，得到，代入即可解出．【解答】解：①，當(dāng)時(shí)，有，即．當(dāng)時(shí)，有②，①②得：，，即，數(shù)列，是從第二項(xiàng)起為公比為的等比數(shù)列．，即．，，．，解得：．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的遞推公式，由求，再構(gòu)造等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式．17．（2022?漳州模擬）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，記，且，則A．171 B．278 C．351 D．395【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式求得，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：，且，，即，，，，數(shù)列的第1，4，項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，第2，5，項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，第3，6，項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．命題點(diǎn)二：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用1.1母題精析（三年高考真題）一．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性（共1小題）1．（2021?北京）已知是各項(xiàng)為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為A．9 B．10 C．11 D．12【分析】數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，要取最大，即遞增幅度盡可能為小的整數(shù)，用特殊值法代入驗(yàn)證，即可求解．【解答】解：數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，要取最大，遞增幅度盡可能為小的整數(shù)，假設(shè)遞增的幅度為1，，，則，當(dāng)時(shí)，，，，即可繼續(xù)增大，非最大值，當(dāng)時(shí)，，，，不滿足題意，即為最大值．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的知識，具有一定的探索性，需要找到研究的臨界問題，屬于中檔題．二．等差數(shù)列的性質(zhì)（共1小題）2．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【分析】首先明確充要條件的判定方法，再從等差數(shù)列的定義入手，進(jìn)行正反兩方面的論證．【解答】解：若是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，即，故為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件．反之，若為等差數(shù)列，則可設(shè)，則，即，當(dāng)時(shí)，有，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，所以，則（常數(shù)），所以數(shù)列為等差數(shù)列．即甲是乙的必要條件．綜上所述，甲是乙的充要條件．故本題選：．【點(diǎn)評】本題主要考查利用定義進(jìn)行等差數(shù)列的判斷，穿插了充要條件的判定，屬中檔題．三．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共2小題）3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有98個(gè)．【分析】由等差數(shù)前項(xiàng)和公式求出，從而，由此能求出結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各項(xiàng)均不相等，，，中不同的數(shù)值有：．故答案為：98．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由，得，在利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列滿足，即，變形可得，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，注意分析與的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．四．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共1小題）5．（2019?全國）A． B． C． D．【分析】可看出，數(shù)列3，，，，是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，并且是第項(xiàng)，從而根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求該等比數(shù)列的前項(xiàng)的和即可．【解答】解：數(shù)列3，，，，是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列；且是第項(xiàng)；．故選：．【點(diǎn)評】考查等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式．五．?dāng)?shù)列的應(yīng)用（共2小題）6．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為，，，．設(shè)．若且，則，，為原位大三和弦；若且，則稱，，為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為A．5 B．8 C．10 D．15【分析】由原位大三和弦、原位小三和弦的定義，運(yùn)用列舉法，即可得到所求和．【解答】解：若且，則，，為原位大三和弦，即有，，；，，；，，；，，；，，，共5個(gè)；若且，則，，為原位小三和弦，可得，，；，，；，，；，，；，，，共5個(gè)，總計(jì)10個(gè)．故選：．【點(diǎn)評】本題是數(shù)列在實(shí)際問題中的運(yùn)用，運(yùn)用列舉法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7．（2018?江蘇）已知集合，，，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使得成立的的最小值為27．【分析】先根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式確定滿足條件的項(xiàng)數(shù)的取值范圍，再列不等式求滿足條件的項(xiàng)數(shù)的最小值【解答】解：設(shè)，則．由得．，．所以只需研究是否有滿足條件的解，此時(shí)，，為等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)，且．由得，，．故滿足條件的最小值為27．【點(diǎn)評】本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的和．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型，符號型，周期型，屬于難題．六．?dāng)?shù)列的求和（共4小題）8．（2021?浙江）已知數(shù)列滿足，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．【分析】由題意首先整理所給的遞推關(guān)系式，得到數(shù)列的通項(xiàng)的范圍，然后結(jié)合求和公式裂項(xiàng)即可確定前100項(xiàng)和的范圍．【解答】解：因?yàn)?，所以，所以，，，故，由累加法可得?dāng)時(shí)，，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，也成立，所以，所以，，故，由累乘法可得當(dāng)時(shí)，，所以．另解：設(shè)，，，可得在遞增，接下來運(yùn)用待定系數(shù)法估計(jì)的上下界，設(shè)，則探索也滿足上界的條件．．在此條件下，有，注意到，取，，從而，此時(shí)可得．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式及其應(yīng)用，數(shù)列求和與放縮的技巧等知識，屬于難題．9．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列滿足，，2，，且存在正整數(shù)，使得，2，成立，則稱其為周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期．對于周期為的序列，，2，，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的序列中，滿足，2，3，的序列是A． B． C． D．【分析】分別為4個(gè)選項(xiàng)中，2，3，4進(jìn)行討論，若有一個(gè)不滿足條件，就排除；由題意可得周期都是5，每個(gè)答案中都給了一個(gè)周期的排列，若需要下個(gè)周期的排列，繼續(xù)寫出，如答案中的排列為100011000110001．【解答】解：對于選項(xiàng)：序列1101011010（1），（2），不滿足，2，3，，故排除；對于選項(xiàng)：序列1101111011（1），不滿足條件，排除；對于選項(xiàng)：序列100011000110001（1），（2），（3），（4），符合條件，對于選項(xiàng)：序列1100111001（1）不滿足條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查序列的周期性及對5個(gè)兩項(xiàng)乘積之和的求法，屬于中檔題．10．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5；如果對折次，那么．【分析】依題意，對折次共有種規(guī)格，且面積為，則，，然后再轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：易知有，，共5種規(guī)格；由題可知，對折次共有種規(guī)格，且面積為，故，則，記，則，，，．故答案為：5；．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)學(xué)知識在生活中的具體運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識，屬于中檔題．11．（2021?上海）已知為無窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．【分析】設(shè)的公比為，由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，解方程可得，進(jìn)而得到，，求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【解答】解：設(shè)的公比為，由，的各項(xiàng)和為9，可得，解得，所以，，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．七．?dāng)?shù)列遞推式（共6小題）12．（2023?北京）數(shù)列滿足，下列說法正確的是A．若，則是遞減數(shù)列，，使得時(shí)， B．若，則是遞增數(shù)列，，使得時(shí)， C．若，則是遞減數(shù)列，，使得時(shí)， D．若，則是遞增數(shù)列，，使得時(shí)，【分析】法利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行分析排除即可．法由題意可得，，可得，分別將，5，7，9代入，可得的解析式，進(jìn)而判斷所給命題的真假．【解答】解：法對原式進(jìn)行變形，得，當(dāng)，則，，設(shè)，則，所以是遞減數(shù)列，當(dāng)，，錯(cuò)誤，同理可證明錯(cuò)誤，當(dāng)，則，即，又因?yàn)?，所以，假設(shè)，則，即，又因?yàn)?，所以，所以?dāng)，，正確，對于，當(dāng)，可得，，可得是遞減數(shù)列，，故不存在，使得時(shí)，恒成立，錯(cuò)誤．法，可得，，所以，，，歸納猜想：，當(dāng)時(shí)，，即，所以是遞減數(shù)列，無邊界；時(shí)，，即，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得是遞增，有邊界，所以正確；時(shí)，，所以是遞減數(shù)列，有邊界；所以不正確；時(shí)，，所以是遞增數(shù)列，無邊界；所以不正確；故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查使用數(shù)學(xué)歸納法對數(shù)列的增減性和斂散性進(jìn)行判斷，屬中檔題．13．（2020?浙江）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是A． B． C． D．【分析】由已知利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷與；由分別求得，，，，分析，成立時(shí)是否滿足公差，判斷與．【解答】解：在等差數(shù)列中，，，，，，，，，，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得正確，．若，則，成立，正確，．若，則，即，得，，，符合，正確；．若，則，即，得，，，不符合，錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，是中檔題．14．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）數(shù)列中，，．若，則A．2 B．3 C．4 D．5【分析】在已知數(shù)列遞推式中，取，可得，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式列式求解．【解答】解：由，且，取，得，，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，，，即．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前項(xiàng)和的求法，是中檔題．15．（2019?浙江）設(shè)，，數(shù)列滿足，，，則A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【分析】對于，令，得，取，得到當(dāng)時(shí)，；對于，令，得或，取，得到當(dāng)時(shí)，；對于，令，得，取，得到當(dāng)時(shí)，；對于，，，，當(dāng)時(shí)，，由此推導(dǎo)出，從而．【解答】解：對于，令，得，取，，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對于，令，得或，取，，，，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對于，令，得，取，，，，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對于，，，，，遞增，當(dāng)時(shí)，，，，．故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查推理論證能力，是中檔題．16．（2021?新高考Ⅱ）設(shè)正整數(shù)，其中，，記，則A． B． C． D．【分析】可判斷；取可判斷；把和都化成，可判斷；可判斷．【解答】解：，，對；當(dāng)時(shí)，，（7）．，（2），（7）（2），錯(cuò)；，．，．對；，，對．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題．17．（2021?上海）已知，2，，對任意的，或中有且僅有一個(gè)成立，，，則的最小值為31．【分析】設(shè)，由題意可得，，恰有一個(gè)為1，然后分兩種情況分別求解的值，即可得到答案．【解答】解：設(shè)，由題意可得，，恰有一個(gè)為1，如果，那么，，，，同樣也有，，，，，全部加起來至少是；如果，那么，，，同樣也有，，，，，全部加起來至少是，綜上所述，最小應(yīng)該是31．故答案為：31．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的概念的理解和應(yīng)用，遞推公式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．八．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合（共1小題）18．（2018?浙江）已知，，，成等比數(shù)列，且，若，則A．， B．， C．， D．，【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過數(shù)列的公比的討論分析判斷即可．【解答】解：，，，成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，奇數(shù)項(xiàng)符號相同，偶數(shù)項(xiàng)符號相同，，設(shè)公比為，當(dāng)時(shí)，令，，即，故，不成立，即：，，，，不成立，排除、．當(dāng)時(shí)，，，等式不成立，所以；當(dāng)時(shí)，，，不成立，當(dāng)時(shí)，，，并且，能夠成立，故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的值的判斷，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，難度比較大．九．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共1小題）19．（2020?江蘇）設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值是4．【分析】由的前項(xiàng)和，由是公差為的等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為；求出等差數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式；是公比為的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，討論當(dāng)為1和不為1時(shí)的前項(xiàng)和的表達(dá)式，由題意可得，由對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可得，的值，進(jìn)而求出的值．【解答】解：因?yàn)榈那绊?xiàng)和，因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，設(shè)首項(xiàng)為；是公比為的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，所以的通項(xiàng)公式，所以其前項(xiàng)和，當(dāng)中，當(dāng)公比時(shí)，其前項(xiàng)和，所以的前項(xiàng)和，顯然沒有出現(xiàn)，所以，則的前項(xiàng)和為，所以，由兩邊對應(yīng)項(xiàng)相等可得：解得：，，，，所以，故答案為：4【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的綜合及由前項(xiàng)和求通項(xiàng)的性質(zhì)，屬于中檔題．1.2解題模型1.等比數(shù)列及前n項(xiàng)和的常見性質(zhì)(1)若，則(2)若{},{}(項(xiàng)數(shù)相同)都是等差數(shù)列，k,m∈R,則數(shù)列{k+m}仍為等差數(shù)列.(3)(4)項(xiàng)數(shù)的“等和”性質(zhì)：(5)若等差數(shù)列共有(2n—1)項(xiàng)，則Sn-1=(2n-1)an;若等差數(shù)列共有2n項(xiàng)，則Sn=n(an+an+1).(6)與項(xiàng)數(shù)有關(guān)的“奇偶”性質(zhì)：①若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n,則;②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n-1,則,(7)已知等差數(shù)列{},{}的前n項(xiàng)和分別為;;(8)“片段和”性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，公差為d,前k項(xiàng)的和為Sk,則Sk,S2k-Sk,…,SmkS(m-1)k,…構(gòu)成公差為k2d的等差數(shù)列.2.等比數(shù)列及前n項(xiàng)和的常見性質(zhì)(1)(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則;特別地：①若m+n=2r,則anam=(m,n,r∈N*):②(3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差數(shù)列，則an,am,ap成等比數(shù)列.(4)若{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{an}（）,{},{},{an·bn}，{}仍是等比數(shù)列.(5)當(dāng)q=1時(shí)，；當(dāng)(6)(7)設(shè)S偶與S奇分別是偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和;若項(xiàng)數(shù)為2n,則；若項(xiàng)數(shù)為2n+1,則(8)當(dāng)q≠-1時(shí)，連續(xù)m項(xiàng)的和(如)仍構(gòu)成等比數(shù)列(公比為qm,m≥2).1.3對點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹┮唬炔顢?shù)列的性質(zhì)（共1小題）1．（2021?漳州一模）在數(shù)列中，和是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，下列說法正確的是A．實(shí)數(shù)的取值范圍是或 B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列的前7項(xiàng)和為 C．若數(shù)列為等比數(shù)列且，則 D．若數(shù)列為等比數(shù)列且，則的最小值為4【分析】由題意利用韋達(dá)定理、基本不等式、等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)根，所以△，解得或，故選項(xiàng)正確；若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；若數(shù)列為等比數(shù)列且，由可得，，，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，屬于中檔題．二．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共2小題）2．（2022?福州模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差．若，則A． B． C． D．【分析】由題意，等差數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的遞減數(shù)列，從而對選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：由題意，等差數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的遞減數(shù)列，則，，故選項(xiàng)錯(cuò)，選項(xiàng)對；當(dāng)時(shí)，有，則，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，所以，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022?泉州模擬）設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為，且，，則A． B．，，為等差數(shù)列 C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．是的最小值【分析】由得，即，又，得，然后可解決此題．【解答】解：由得，即，又，得，對；，，數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，對；，，，，，不為等差數(shù)列，錯(cuò)；由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，是的最小值，對．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng)、等比數(shù)列定義，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．三．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共3小題）4．（2022?莆田模擬）芝諾是古希臘著名的哲學(xué)家，他曾提出一個(gè)著名的悖論，史稱芝諾悖論．芝諾悖論的大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)母傎愔?，他的速度為烏龜?shù)氖叮瑸觚斣谒懊?00米爬，他在后面追，但他不可能追上烏龜．原因是在競賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏龜已經(jīng)向前爬了10米．于是一個(gè)新的起點(diǎn)產(chǎn)生了；阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追完烏龜爬的這10米時(shí)，烏龜又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追這1米．就這樣，烏龜會制造出無窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜．”試問在阿略琉斯與烏龜?shù)母傎愔?，?dāng)阿喀琉斯與烏龜相距0.001米時(shí)，烏龜共爬行了A．11.111米 B．11.11米 C．19.99米 D．111.1米【分析】由題意可知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，記為，，，，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求．【解答】解：由題意可知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，記為，，，，所以（米．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2022?龍巖模擬）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，則下列命題正確的是A．若，，則 B．若，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 C．若，，，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 D．若，，且，則的最小值為4【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)、、；等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)運(yùn)算可判斷選項(xiàng)．【解答】解：對于選項(xiàng)，，故正確；對于選項(xiàng)，若，，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，故錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，若，，則，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故正確；對于選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，解得，故的最大值為4，故錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及對數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2023?莆田模擬）英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．若，數(shù)列為牛頓數(shù)列，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最大正整數(shù)的值為10．【分析】根據(jù)題意可證得是等比數(shù)列，再結(jié)合公式運(yùn)算求解．【解答】解：因?yàn)?，所以，則，又，，所以是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，則，令，則，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，且，，所以，所以最大正整數(shù)的值為10．故答案為：10．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題．四．?dāng)?shù)列的應(yīng)用（共2小題）7．（2023?廈門模擬）如圖中陰影部分是一個(gè)美麗的螺旋線型圖案，其畫法是：取正六邊形各邊的三等分點(diǎn)，，，，，，作第2個(gè)正六邊形，然后再取正六邊形各邊的三等分點(diǎn)，、、，，，作第3個(gè)正六邊形，依此方法，如果這個(gè)作圖過程可以一直繼續(xù)下去，由△，△，構(gòu)成如圖陰影部分所示的螺旋線型圖案，則該螺旋線型圖案的面積與正六邊形的面積的比值趨近于A． B． C． D．【分析】分別計(jì)算出陰影部分面積和正六邊形的面積，即可求解．【解答】解：由外至內(nèi)設(shè)每個(gè)六邊形的邊長構(gòu)成數(shù)列，每個(gè)陰影三角形的面積構(gòu)成數(shù)列設(shè)，則，，．依此類推，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，又，所以，，．依此類推，，則數(shù)列的前項(xiàng)和，如果這個(gè)作圖過程可以一直繼續(xù)下去，則，此時(shí)，正六邊形的面積為，故該螺旋線型圖案的面積與正六邊形的面積的比值趨近于．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．8．（2023?三明三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若滿足，，，則下列選項(xiàng)正確的是A．為遞減數(shù)列 B． C．當(dāng)時(shí)，最小 D．當(dāng)時(shí)，的最小值為4047【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于，等比數(shù)列中，若滿足，，即，必有，數(shù)列為遞增數(shù)列，錯(cuò)誤；對于，由的結(jié)論，數(shù)列為遞增數(shù)列，則，又由，則有，必有，正確；對于，由的結(jié)論，，故當(dāng)時(shí)，最小，正確，對于，，則當(dāng)時(shí)，的最小值不是4047，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．五．?dāng)?shù)列的求和（共1小題）9．（2020?寧德二模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為A． B． C． D．【分析】由，從而有數(shù)列是每項(xiàng)均為1的常數(shù)列，求出及，最后利用裂項(xiàng)相消法求其前10項(xiàng)和．【解答】解：，，數(shù)列是每項(xiàng)均為1的常數(shù)列，．，，數(shù)列的前10項(xiàng)和為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查如何由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式及裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．六．?dāng)?shù)列遞推式（共8小題）10．（2023?龍巖模擬）已知數(shù)列滿足，設(shè)，若為數(shù)列中唯一的最小項(xiàng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，由遞推關(guān)系可得數(shù)列為等差數(shù)列，從而求得其通項(xiàng)公式，再結(jié)合條件即可得出答案．【解答】解：，，又，則，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差也為3，則，，要使為數(shù)列的唯一最小項(xiàng)，則，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．（2023?福建模擬）已知數(shù)列滿足，，恒成立，則的最小值為A．3 B．2 C．1 D．【分析】通過等差數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而確定的最小值．【解答】解：，是等差數(shù)列，又，，故對，，也符合上式，，故，即的最小值為1．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12．（2022?莆田模擬）九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一”．在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，若，且，則解下6個(gè)環(huán)所需的最少移動次數(shù)為A．13 B．15 C．16 D．29【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的各項(xiàng)．【解答】解：由于，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2020?漳州三模）已知數(shù)列滿足，，，，則A． B． C．1 D．2【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，判斷數(shù)列是周期數(shù)列，然后求解即可．【解答】解：數(shù)列滿足，，，，，，，，，，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期為6，所以，故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．14．（2023?漳州模擬）已知數(shù)列，，且滿足，，則A． B．的最大值為1 C． D．【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可求得，，知錯(cuò)誤；由，采用作商法可證得數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，由此知正確；由遞推關(guān)系式可求得，采用累加法，結(jié)合可推導(dǎo)得正確；結(jié)合中，采用放縮法得，裂項(xiàng)相消可求得正確．【解答】解：對于，當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，，即，解得：；，錯(cuò)誤；對于，由得：，又，，，，，數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，，正確；對于，由得：，，，數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，即，，正確；對于，由知：，，，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查利用數(shù)列遞推關(guān)系式研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、數(shù)列求和與數(shù)列放縮的知識；本題判斷選項(xiàng)的關(guān)鍵是能夠?qū)τ跀?shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行準(zhǔn)確的放縮，從而根據(jù)不等關(guān)系，結(jié)合數(shù)列求和方法來得到結(jié)論．15．（2022?龍巖模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列選項(xiàng)正確的是A．?dāng)?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列 C． D．【分析】根據(jù)，進(jìn)行遞推得到數(shù)列的規(guī)律逐項(xiàng)判斷．【解答】解：因?yàn)?，所以，，，，，，可以看出：偶?shù)項(xiàng)為常數(shù)列，可看作是以1為公比的等比數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)不是等差數(shù)列，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的遞推式以及并項(xiàng)求和的問題，屬于中檔題．16．（2022?廈門模擬）已知數(shù)列滿足，，則A．是遞增數(shù)列 B． C． D．【分析】由遞推公式和可判斷，由數(shù)列遞增和可判斷，由遞推公式知可判斷，對遞推公式取倒裂項(xiàng)，然后累加、放縮可判斷．【解答】解：因?yàn)椋?，故正確；易知，所有為正整數(shù)，又是遞增數(shù)列，所以，故正確；由遞推公式得：，，又，所以，，易知，故不正確；取倒數(shù)得，則由累加法得，，整理得，，又，所以，故正確；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，累加法以及放縮法的應(yīng)用，屬于難題．17．（2023?廈門模擬）數(shù)列滿足，若，，則．【分析】由遞推公式可得數(shù)列的周期為4，又，則，即可得出答案．【解答】解：，，，，，，故數(shù)列的周期為4，又，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．七．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合（共3小題）18．（2022?龍巖模擬）已知函數(shù)，記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則A． B． C．2022 D．4044【分析】先判斷函數(shù)是奇函數(shù)，再求出，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得解．【解答】解：因?yàn)?，是奇函?shù)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（2023?福建模擬）已知一組個(gè)數(shù)據(jù)：，，，，滿足：，平均值為，中位數(shù)為，方差為，則A． B． C．函數(shù)的最小值為 D．若，，，成等差數(shù)列，則【分析】特例，2，4，即可判斷；由中位數(shù)定義即可判斷；由均值與數(shù)據(jù)總和關(guān)系展開函數(shù)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定最小值即可判斷；利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，及平均數(shù)、中位數(shù)定義即可判斷．【解答】解：：當(dāng)時(shí)，一組數(shù)據(jù)1，2，4，17，則，不在2，4之間，故錯(cuò)誤；：由中位數(shù)定義知：，正確；，當(dāng)時(shí)，最小值為，正確；：若，，，成等差數(shù)列，則，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．20．（2022?福建模擬）已知△，2，3，是直角三角形，是直角，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，面積為若，，則A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列 C．存在最大項(xiàng) D．存在最小項(xiàng)【分析】由題意推出，從而說明，利用三角形面積公式推出，構(gòu)造數(shù)列從而求得，由此可判斷，由結(jié)合可求得、，對數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性以及項(xiàng)的符號進(jìn)行分析，確定數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，可判斷．【解答】解：由題意知：，故，即，即，所以，則，，由得：，即，所以，則，而，故，則，所以，由于隨的增大而減小，故是隨的增大而增大，由題意知，故是遞增數(shù)列，故正確；同理隨的增大而增大，是遞增數(shù)列，錯(cuò)誤；又，由于，且，所以，是首項(xiàng)為7，公比為的等比數(shù)列，故，所以，因?yàn)椋?，故，所以，，所以，，其中，，其中，因?yàn)閿?shù)列隨著的增大而減小，數(shù)列隨著的增大而增大，故數(shù)列隨看的增大而減小，故為數(shù)列中所有正項(xiàng)中最大的，同理可知數(shù)列隨著的增大而增大，故為數(shù)列中所有負(fù)項(xiàng)中最小的，綜上所述，數(shù)列的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為，均對．故選：．【點(diǎn)評】本題綜合考查了數(shù)列的單調(diào)性問題以及數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要結(jié)合幾何知識，能熟練的應(yīng)用數(shù)列的相關(guān)知識作答，屬于難題．八．?dāng)?shù)列與不等式的綜合（共3小題）21．（2022?福州模擬）已知數(shù)列，的通項(xiàng)分別為，，現(xiàn)將和中所有的項(xiàng)，按從小到大的順序排成數(shù)列，則滿足的的最小值為A．21 B．38 C．43 D．44【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列前38項(xiàng)中有的前32項(xiàng)和數(shù)列的前6構(gòu)成，由此可得，據(jù)此驗(yàn)證、44，是否滿足，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列的通項(xiàng)，，可得數(shù)列為2，4，6，8，10，，數(shù)列的通項(xiàng)，，可得數(shù)列為3，5，9，17，33，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為，，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為，，，，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列前38項(xiàng)中有的前32項(xiàng)和數(shù)列的前6項(xiàng)構(gòu)成，故，，此時(shí)，驗(yàn)證可得：，而，此時(shí)，，而，而，此時(shí)首次滿足，即的最小值為43；故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及不等式的求和，屬于中檔題．22．（2022?泉州模擬）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，記為在區(qū)間，內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則29，不等式成立的的最小值為．【分析】（1）根據(jù)，得，代入即可得解；（2）根據(jù)，得，對分奇偶討論即可得解．【解答】解：令，得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以的最小值為13；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以的最小值?2．綜上所述，的最小值為12．故答案為：29；12．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．23．（2022?廈門模擬）已知數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，，則；若對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】設(shè)，可得出，由裂項(xiàng)相消法可求出，不等式可化為恒成立，求出的最小值即可．【解答】解：設(shè)，則，所以，所以；由，得，即對于恒成立，設(shè)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，又，且，則，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了裂項(xiàng)相消法求和以及數(shù)列與不等式的綜合，屬于中檔題．三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）：一．等差數(shù)列的性質(zhì)（共2小題）1．（2020?寧德二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則A．21 B．27 C．30 D．36【分析】由題意利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)、通項(xiàng)公式，先求出的值，再利用前項(xiàng)和公式，求出結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（2020?寧德模擬）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則A．36 B．70 C．72 D．144【分析】等差數(shù)列的前9項(xiàng)和，由此能求出結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前9項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（共2小題）3．（2016?連城縣校級模擬）在等差數(shù)列中，若，，則的值為A．9 B．12 C．16 D．17【分析】設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，得到前項(xiàng)和，由已知列式求得首項(xiàng)和公差，把轉(zhuǎn)化為含首項(xiàng)和公差的表達(dá)式得答案．【解答】解：設(shè)首項(xiàng)為，公差為．由，得，，解得：，．．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．4．（2021?思明區(qū)校級模擬）已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，則．【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，即可求出與，從而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．三．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共14小題）5．（2023?泉州模擬）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則下列一定成立的是A． B． C． D．【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和條件得到，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即．對于選項(xiàng)和選項(xiàng)：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以選項(xiàng)和選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)：，所以選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2023?思明區(qū)校級模擬）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則A． B． C．1 D．【分析】利用等差中項(xiàng)，及等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解．【解答】解：在等差數(shù)列中，，，故，又，故，則，故．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022?德化縣校級模擬）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為A．8 B．10 C．12 D．14【分析】由，求出，再由，能求出結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的運(yùn)算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（2022?三明模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則A．6 B．10 C．12 D．20【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可求解．【解答】解：等差數(shù)列中，，，則，，則（4）．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（2020?三明模擬）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由，可得，可得，解得．利用即可得出．【解答】解：，，可得，解得，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10．（2020?福州三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的公差為A． B．2 C．2019 D．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，聯(lián)立解得：，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（2020?廈門一模）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則A．17 B．15 C．13 D．11【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2020?龍巖模擬）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則A．4 B．3 C．2 D．5【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知列式求得，再由通項(xiàng)公式求．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，即．．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．13．（2020?福州模擬）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則A．99 B．101 C．2500 D．【分析】依題意得，公差，，可得，即可得出．【解答】解：依題意得，公差，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14．（2020?泉州一模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和、若，，則A．5 B．3 C． D．【分析】直接由題意列式，求得首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得．【解答】解：等差數(shù)列中，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則，解得．．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題．15．（2020?泉州模擬）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，，則A． B． C． D．12【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，，解可得，，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．16．（2021?泉州一模）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則A． B． C．的最大值為30 D．的最大值為15【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式先求出，，進(jìn)而可求，，然后結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，所以，解得，，，故，，正確；，錯(cuò)誤；當(dāng)或4時(shí)，取得最大值30，正確；由于，故當(dāng)時(shí)，取最大值15，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，考查了數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．17．（2022?城廂區(qū)校級模擬）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，，解得，，則，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（2021?南安市校級二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其前三項(xiàng)和為6，后三項(xiàng)和為39，則該數(shù)列有30項(xiàng)．【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，由等差數(shù)列的性質(zhì)求出、的值，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，其前三項(xiàng)和為6，即，則有，解可得，后三項(xiàng)和為39，即，則有，解可得，等差數(shù)列的前項(xiàng)和，即，解可得：，故答案為：30．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．四．等比數(shù)列的性質(zhì)（共1小題）19．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足：，，記，則使得的最小正數(shù)為A．36 B．35 C．34 D．33【分析】先由已知條件判斷出，，的范圍，即可判斷出使得的最小正數(shù)的數(shù)值．【解答】解：由得：，或，等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，數(shù)列具有單調(diào)性，又，，又，，，，，則使得的最小正數(shù)為35，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．五．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（共3小題）20．（2022?荔城區(qū)校級模擬）在等比數(shù)列中，，，則A． B．16 C．32 D．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求解．【解答】解：在等比數(shù)列中，，，，，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的運(yùn)算，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．21．（2020?鼓樓區(qū)校級模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比相等，數(shù)列滿足，且，則A．4 B．32 C．108 D．256【分析】由已知求得等比數(shù)列的公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．【解答】解：正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比相等，故；由題可得：；，；；，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．22．（2020?泉州二模）已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和．若，，則A． B． C．4 D．8【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，可得，解得，即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，解得，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．六．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共9小題）23．（2012?漳州二模）等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)和，則公比的值為A．1 B． C．1或 D．或【分析】根據(jù)前三項(xiàng)和以及第三項(xiàng)可利用第三項(xiàng)表示出前兩項(xiàng)和，建立關(guān)于的方程，解之即可．【解答】解，即解得或，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的求和，同時(shí)考查了一元二次方程的解，屬于基礎(chǔ)題．24．（2020?福清市一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則A．1022 B．2046 C．2048 D．4094【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求公比，代入求和公式即可求解．【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，所以，因?yàn)?，所以，整理可得，所以，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式，求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．25．（2020?福建模擬）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則A．3 B．12 C．24 D．48【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列中，，且，所以，即，，解可得，或（舍，則．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．26．（2020?福建模擬）首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：因?yàn)?，，所以，所以，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．27．（2020?廈門模擬）已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的最小值為A．10 B．5 C． D．【分析】由已知結(jié)合數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行化簡，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答】解：由是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和可知，，因?yàn)?，則，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，上式取得最小值．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于中檔試題．28．（2020?龍巖模擬）已知等比數(shù)列前項(xiàng)和是，且，，則A． B．6 C．或6 D．或【分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，變形解可得的值，據(jù)此計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，，則有，變形可得：，解可得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．29．（2023?晉安區(qū)校級模擬）設(shè)是公比為正數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A． B． C．為常數(shù) D．為等比數(shù)列【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，依次求出首項(xiàng)與公比，即可求解．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，，，故正確；，，解得或（舍去），，故錯(cuò)誤；，，，，，故正確；，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．30．（2022?集美區(qū)校級模擬）若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前4項(xiàng)和等于．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬于基礎(chǔ)題．31．（2022?鼓樓區(qū)校級三模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若，則5．【分析】根據(jù)已知條件，先求出公比，再結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：等比數(shù)列的公比為，，，解得，，，解得．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．七．?dāng)?shù)列的求和（共5小題）32．（2023?福建二模）對正整數(shù)，定義為的最小值，其中，，，，其和為17，已知有唯一的正整數(shù)，使也是整數(shù)，則A．9 B．10 C．11 D．12【分析】設(shè)，將看作是一個(gè)直角三角形的斜邊，其直角邊長為，，結(jié)合勾股定理和不定方程的解法，以及因式分解，可得所求的值．【解答】解：設(shè)，則可看作是一個(gè)直角三角形的斜邊，其直角邊長為，，把這些直角三角形放到一塊構(gòu)成一個(gè)梯子，設(shè)，分別是它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則，為從到沿著斜邊的長度，所以，，可選取，使得等號成立，即．當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，只需求的正整數(shù)解，即，因?yàn)?7為質(zhì)數(shù)，所以解得，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的求和，以及方程的解，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．33．（2019?廈門二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則A． B． C．7 D．14【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解可得，又由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，計(jì)算即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列為等差數(shù)列，，則，解可得，則；故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．34．（2023?仙游縣校級模擬）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【分析】與公共項(xiàng)從小到大排列出，可知為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式再利用錯(cuò)位相減求的前項(xiàng)和，即可得出答案．【解答】解：數(shù)列中的項(xiàng)為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，，數(shù)列中的項(xiàng)為2，4，8，16，32，64，128，，數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，；，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．35．（2023?惠安縣模擬）將數(shù)列與的公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為．【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)，可得，，，，，則數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，即可得出答案．【解答】解：，解得，故2不是數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)，，解得，故4是數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)，，解得，故不是數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)，，解得，故16是數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)，依次類推可得，，，，，數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題