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文檔簡介
廣東省韶關市六校2023-2024學年高考仿真模擬數(shù)學試卷
考生須知:
1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色
字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。
2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。
3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
logix,0<%,1,
1.若函數(shù)/(x)=2函數(shù)g(x)=/(x)+區(qū)只有1個零點,則上的取值范圍是()
-x(x-l)(x—3),x〉1,
A.(-1,0)B.(-oo,0)u(l,+oo)C.(0,+co)D.(0,1)
2.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,3,4},則集合2(AB)=()
A.{1,2,6}B.{1,3,6}C.{1,6}D.{6}
3.已知。>0,b>0,a+b=1,若a=a-\■—,/?=b+—,則a+/的最小值是()
ab
A.3B.4C.5D.6
4.已知加為一條直線,d/為兩個不同的平面,則下列說法正確的是()
A.若相〃則相〃B.若m_La,則根_L/?
C.若m〃a,a1。,則根_L/?D.若m1a,a〃(3,則根_L/?
5.設y=/(x)是定義域為R的偶函數(shù),且在[0,+8)單調遞增,a=log020.3,^-log20.3,貝!)()
A./(。+。)>/(")>/(0)B.于(a+b)>于(0)>于(ab)
C.于(ab)>于(a+b)>于Q)D.于(ab)>于⑼)f(a+b)
22
6.設瓦,心分別是橢圓E:A+1=l(a〉》〉0)的左、右焦點,過工的直線交橢圓于A,3兩點,且AELAF,=0,
ab
AF2=2F2Bf則橢圓E的離心率為()
A.-B.-C.@D.史
3434
_3兀Fl
7.已知單位向量Q,/7的夾角為工,若向量根=2〃,n=4a—4b,且m_L〃,則口|二()
A.2B.2C.4D.6
8.已知函數(shù)/(x)=sin3x—cos3x,給出下列四個結論:①函數(shù)/(%)的值域是卜,5,、5];②函數(shù)+為
奇函數(shù);③函數(shù)/(九)在區(qū)間單調遞減;④若對任意xeR,都有/(不)"(力"(9)成立,則|七一馬|的
最小值為?;其中正確結論的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
9.設a,匕是非零向量,若對于任意的2eR,都有可《卜-力可成立,貝!|
A.allbB.a_LbC.(a-b^LaD.[a-bS^b
10.臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動,也叫桌球(中國粵港澳地區(qū)的叫法)、撞球(中國地區(qū)的叫法)
控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術,一次臺球技術表演節(jié)目中,在臺球桌上,畫出如圖正
方形A3C。,在點E,戶處各放一個目標球,表演者先將母球放在點A處,通過擊打母球,使其依次撞擊點E,歹處
的目標球,最后停在點C處,AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,ZAEF=ZCFE=60°,則該正方形的邊長為()
A.505/2cmB.405/2cmC.50cmD.20acm
11.給定下列四個命題:
①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行,則這兩個平面相互平行;
②若一個平面經過另一個平面的垂線,則這兩個平面相互垂直;
③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;
④若兩個平面垂直,那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.
其中,為真命題的是()
A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④
12.若復數(shù)z滿足z-g(l+z/=l,復數(shù)z的共朝復數(shù)是z,則Z+Z=()
A.1B.0C.-1D./
22
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.下圖是一個算法流程圖,則輸出的S的值是.
14.已知函數(shù)"x)=sin(2x-£|,若方程f(x)=|的解為為,x22V乃),貝!)元1+%2=;
sin。一冗2)-.
丫2
15.已知兩動點AB在橢圓。亍上,動點尸在直線3x+4y—10=。上,若NAP5恒為銳角,則橢圓
C的離心率的取值范圍為.
22_
16.若雙曲線C:T-方=1(?!?)>0)的離心率為麗,則雙曲線。的漸近線方程為.
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx.
(1)求函數(shù)g(x)=/(x)-x+1的零點;
(2)設函數(shù)/(九)的圖象與函數(shù)y=x+^T的圖象交于4(%,%),2a,%)(&<9)兩點,求證:a<x1x2-xi;
(3)若%>0,且不等式(尤e-1)〃尤)》々(X-中對一切正實數(shù)x恒成立,求化的取值范圍.
18.(12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:二+[=13>/>>0)的離心率為彳.且經過點(1,-),
ab22
A,3分別為橢圓C的左、右頂點,過左焦點尸的直線/交橢圓C于。,E兩點(其中。在x軸上方).
(I)求橢圓C的標準方程;
(2)若AAEF與ABO尸的面積之比為1:7,求直線/的方程.
19.(12分)已知函數(shù)“力=2忖+卜—4|,設/(無)的最小值為創(chuàng)
(1)求加的值;
17
(2)是否存在實數(shù)a,b,使得。+26=2,—+—=〃z?并說明理由.
ab
20.(12分)心形線是由一個圓上的一個定點,當該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時,這個定
點的軌跡,因其形狀像心形而得名,在極坐標系。c中,方程夕=a(l-sin,)(。>0)表示的曲線G就是一條心形
線,如圖,以極軸3所在的直線為x軸,極點。為坐標原點的直角坐標系中.已知曲線。2的參數(shù)方程為
x=1+A/3?
<百a為參數(shù)).
y=---\-t
[-3
(1)求曲線G的極坐標方程;
(2)若曲線G與02相交于人、。、B三點,求線段A3的長.
21.(12分)如圖,三棱臺ABC—A4cl.中,側面44胡與側面是全等的梯形,若
且A5=244=4AA.
AiCi
(I)若CD=2DA,AE=2M,證明:/)/〃平面BCG4;
IT
(ID若二面角G-M-B為§,求平面445A與平面GgBC所成的銳二面角的余弦值.
22.(10分)已知函數(shù)/(九)=1-2Gsinxcosx-2cos2%+加在R上的最大值為3.
(1)求僧的值及函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間;
(2)若銳角AABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且/(A)=0,求—的取值范圍.
C
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1、C
【解析】
轉化g(x)=/C0+依有1個零點為、=/。)與,=-質的圖象有1個交點,求導研究臨界狀態(tài)相切時的斜率,數(shù)形
結合即得解.
【詳解】
g(x)=/(x)+乙有1個零點
等價于y=/(x)與y=-質的圖象有1個交點.
y
2^6
記/?(尤)=一九(九一1)(光—3)(x>l),則過原點作加>)的切線,
設切點為(%,%),
f
則切線方程為v-h(x0)=/i(x0)(x-x0),
又切線過原點,即/2(%)=〃(%)%,
將h(x0)=-x0(x0-l)(x0-3),,
h'(x0)=—3XQ+8%g—3
代入解得x0=2.
所以切線斜率為"(2)=-3x2?+8x2-3=1,
所以左<一1或左>0.
故選:C
【點睛】
本題考查了導數(shù)在函數(shù)零點問題中的應用,考查了學生數(shù)形結合,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.
2、D
【解析】
根據(jù)集合的混合運算,即可容易求得結果.
【詳解】
AoB={l,2,3,4,5},故可得外(AB)={6}.
故選:D.
【點睛】
本題考查集合的混合運算,屬基礎題.
3、C
【解析】
根據(jù)題意,將。、方代入a+/,利用基本不等式求出最小值即可.
【詳解】
V?>0,方>0,a+b=l9
C171|1|1「
a+(3=〃+—+b+—=1+——>1+---------=5
,abab[a+Z?],
當且僅當a=b=工時取"=”號.
2
答案:C
【點睛】
本題考查基本不等式的應用,“1”的應用,利用基本不等式求最值時,一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”
的內涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。?;三相等是
最后一定要驗證等號能否成立,屬于基礎題.
4、D
【解析】
A.若mlla,alI廿,則加//分或加u〃,故A錯誤;
B.若。則m//,或相<=/?故B錯誤;
C.若mJla,a工(3,則加//尸或mu〃,或加與夕相交;
D.若則正確.
故選D.
5、C
【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質,比較|a+4,|a4即可.
【詳解】
W:M=|log0,0.3+log20.3|=|^|+^
1g0.3x1g|lg0.3xlg|
=—Ig5xlg2—一Ig5xlg2~
1g0.31g0.3
\ab\=|log020.3xlog,0.3|=lg02XliT
-lg0.3xlg0.3_lg0.3xlg0.3
Ig5xlg2Ig5xlg2
-lg0.3x(-lg0.3)
Ig5xlg2
lg0.3x1g:
Ig5xlg2
顯然lg"!<lg?,所以,+可<|明
y=/(x)是定義域為R的偶函數(shù),且在[0,+8)單調遞增,
所以/(aZ0>/(a+Z0>/(0)
故選:C
【點睛】
本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質,是基礎題.
6、C
【解析】
根據(jù)A月=2月3表示出線段長度,由勾股定理,解出每條線段的長度,再由勾股定理構造出。關系,求出離心率.
【詳解】
初=2F?B
設BF2—x,則AE,=2x
由橢圓的定義,可以得到4£=2。一2%34=2。一%
AFCAF2=0,--AF11AF2
在中,有(2a—2x)2+(3x)2=(2a—ip,解得工=:|
?l2aA「4。
AF^——,AF,~—
2313
2
4。2a
在RtZVLEE中,有I=3
整理得。%七邛
故選C項.
【點睛】
本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個常用方法,通過幾何關系,構造出a,c關系,得到離心率.屬于
中檔題.
7、C
【解析】
r
根據(jù)7"」〃列方程,由此求得義的值,進而求得”.
【詳解】
由于7〃_1_〃,所以7〃-〃=0,即
2a-(4a-=8?2-22??&=8-22-cos今=8+A/22=0,
解得2=-=_4A/2.
所以〃=4a+40b
所以
|H|='(4]+4屬『=yjl6a+32yf2a-b+32b=J48+3242cos手=,48-32=4.
故選:C
【點睛】
本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,考查向量模的求法,屬于基礎題.
8、C
【解析】
化/(x)的解析式為J5sin(3x—?)可判斷①,求出/+的解析式可判斷②,由xe得
IT37r、兀
3x--e[—結合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③,由
444
〃%)“(%)"仇)得上-可判斷④。
【詳解】
由題意,〃x)=&sin(3x—7),所以故①正確;/卜+?
友sin[3(x+J)—J]=夜sin(3x+J)=拒cos3x為偶函數(shù),故②錯誤;當口
時,3x-界嚀苧,“X)單調遞減,故③正確;若對任意xeR,都有
成立,則者為最小值點,%為最大值點,則民一司的最小值為
T71
故④正確.
23
故選:C.
【點睛】
本題考查三角函數(shù)的綜合運用,涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內容,是一道較為綜合的
問題.
9、D
【解析】
畫出a,b>根據(jù)向量的加減法,分別畫出(。-4。)的幾種情況,由數(shù)形結合可得結果.
【詳解】
由題意,得向量①-。)是所有向量(a-刀?)中模長最小的向量,如圖,
當W3C,即(;—力)心時,|AC|最小,滿足,一年卜一訓,對于任意的;leR,
所以本題答案為D.
【點睛】
本題主要考查了空間向量的加減法,以及點到直線的距離最短問題,解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于
基礎題.
10、D
【解析】
過點瓦方做正方形邊的垂線,如圖,設NAEM=cr,利用直線三角形中的邊角關系,將A氏用。表示出來,根
據(jù)AB=5C,列方程求出。,進而可得正方形的邊長.
【詳解】
過點及廠做正方形邊的垂線,如圖,
設ZAEM=a,則NC/Q=a,ZMEF=ZQFE=6Q-a9
則AB=AM+ACV+7VB=AEsincr+EFsiniGO—a)+FCsina
=50sin?+40sin60-a)+30sintz=40ina+g°sa
(司22
CB-BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos
(36.、
=50cos?+30cos?-40cos(60-a)=40—cosa------sma
(22
、7
(3,V3(36.)
因為AB=CB,則40-sinan-----cosa=40—cos。-sma
22
127(27
整理化簡得”里=2—6,又sin2o+cos2(z=l,
COSdf
+1
得sinacosa-
2V22V2
\
(3,V33V3-1A/3
AB=40—sinorH-----cosa=40x—x--------------=20#.
2222
(27后
即該正方形的邊長為2Qs/6cm.
故選:D.
【點睛】
本題考查直角三角形中的邊角關系,關鍵是要構造直角三角形,是中檔題.
11、D
【解析】
利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質和判定定理對四個命題分別分析進行選擇.
【詳解】
當兩個平面相交時,一個平面內的兩條直線也可以平行于另一個平面,故①錯誤;由平面與平面垂直的判定可知②正
確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯誤;若兩個平面垂直,只有在一個平面內與它
們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.
故選:D
【點睛】
本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查空間想象能力,是中檔題.
12、C
【解析】
根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出z,再根據(jù)共朝復數(shù)的概念求解即可.
【詳解】
解:,:Z-垂>i-拒zi=l,
.1+后16.
??Z=------7=~=------1------I9
1-V3Z22
則烏,
22
Z+Z=—1>
故選:C.
【點睛】
本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的運算法則,考查共趣復數(shù)的概念,屬于基礎題.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
5
13、一
2
【解析】
根據(jù)流程圖,運行程序即得.
【詳解】
第一次運行S=15,k=l;
第二次運行S=15,k=2;
第三次運行S=",左=3;
2
第四次運行S=』<3;所以輸出的S的值是*.
22
故答案為:I
【點睛】
本題考查算法流程圖,是基礎題.
一2〃4
14、一
35
【解析】
求出〃x)=sin(2x-與在(0,乃)上的對稱軸,依據(jù)對稱性可得西+%的值;由%-玉可得
63
m可求出cosQw-三)的值.
sin(%i—尤2)=—cos(2X]--),依據(jù)sin
656
【詳解】
解:令2x-工=工+左肛左eZ,解得工=工+必^,左eZ
6232
兀JI27r
因為0<%<X2<?,所以不,%2關于X=1對稱.則尤1+尤2=2X—=3.
27re./、?/c2?、.小冗冗、小冗、
由W=----不,貝!Isin(%—Z)=sin(2X1------)=sinQ%---------)=-cos(2x----)
336216
71?11乃13
由0<再<%2<?可知,,又因為大〈二<1,
~6i~L225
~、、兀?7C71?,71
所以一<2再---<一,則cos(2%]-----)=l-si/QX]一g="|,HPsinCxj|
6626
27r4
故答案為:y;-j
【點睛】
本題考查了三角函數(shù)的對稱軸,考查了誘導公式,考查了同角三角函數(shù)的基本關系.本題的易錯點在于沒有正確判斷
2玉-9的取值范圍,導致求出cos(2下-土土在求/(x)=Asin(@x+0)的對稱軸時,常用整體代入法,即令
665
a>x+(p=—+k7i,k^Z進行求解.
、
15、
【解析】
根據(jù)題意可知圓f+y2=a2+1上任意一點向橢圓c所引的兩條切線互相垂直,/4P5恒為銳角,只需直線
3x+4y-10=0與圓x2+y2=a2+i相離,從而可得片十]<屋=4,解不等式,再利用離心率e=匚即可求解.
a
【詳解】
根據(jù)題意可得,圓必+J?=1+1上任意一點向橢圓。所引的兩條切線互相垂直,
因此當直線3x+4y—10=0與圓/+/=〃+i相離時,/4P5恒為銳角,
d2f|o+o-io|Y皿相,
故/+1<II=4,解得1〈儲<3
U32+42J
【點睛】
本題主要考查了橢圓的幾何性質,考查了邏輯分析能力,屬于中檔題.
16、y=±3x
【解析】
利用(2)=1+[2)=io,得到。,人的關系式,然后代入雙曲線c的漸近線方程y=±gx即可求解.
【詳解】
因為雙曲線。的離心率為e=工=屈,。2=I+廿,
a
所以/=10。2=1+從,即/=3々,
b
因為雙曲線C的漸近線方程為v=土一X,
a
所以雙曲線C的漸近線方程為y=+3x.
故答案為:y=±3%
【點睛】
本題考查雙曲線的幾何性質;考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質是求解本題的關鍵;屬于基礎題.
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17、(l)x=l⑵證明見解析⑶0<2,2
【解析】
(1)令g(x)=/nx-尤+1,根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間,求出極小值,進而求解;
112X—llUCXXi
(2)轉化思想,要證?!礊橛?%,即證七9?(1-二——L)<^ix,-%,即證方(上)>1-%,構造函數(shù)進而求證;
x2—x1玉x2
(3)不等式(/-1)/依."(》_)2對一切正實數(shù)X恒成立,(Y-1)/我一網尤一1)2=(必一1)仍比一如二D],設
X+1
3)=限一檢二?,分類討論進而求解.
X+1
【詳解】
11—X
解:(1)令g(x)=/%-x+l,所以g,(x)=—-1=------,
XX
當xe(O,l)時,g'(x)>0,g(x)在(0,1)上單調遞增;
當xe(l,+8)時,g,(x)<0,g(x)在(1,y)單調遞減;
所以g(x).=g⑴=。,所以g(x)的零點為x=l.
7a1
InXy—Xy-\-------1
「)、
lnx—InXLi
(2)由題意Y,.■■a=xlx2.(l------=-------),
7611
btx?=x2-------1
-rlnx-lnx.xx.
要證〃<玉%2—玉%2一M,即證為W(l-------?--------y)x<XlX2~X\9即證例7(一?)x>1------9
x2-xl%x2
X111
令”二o>A1,則">1一,由(1)知版"一1,當且僅當x=l時等號成立,所以廟-<一1,
x{ttt
即歷r>l二,所以原不等式成立.
t
(3)不等式(爐―1)配c"(%_)2對一切正實數(shù)x恒成立,
(x2-I)lnx-k(x-1)2=(x2-V)\lnx-,
x+1
12k,+2(i一左)%+i
設h(x)=Iwc—,
x+1x(x+1)2x(x+1)2
記0(%)=爐+2(1—左)+1,△=4(l-^)2-4=W-2),
①當A,,。時,即。〈鼠2時,〃(%)..。恒成立,故當天)單調遞增.
于是當0<尤<1時,h(x)<h(l)=Q,Xx2-l<0,故(九之一1)加%>左(九一1)2,
當尤>1時,/2(x)>/z(l)=0,又%2_]>0,故(/一1)/心>左(九一1)2,
又當%=1時,(/—1)濟=攵(x一1)2,
因此,當0<鼠2時,(x2-l)lnx..k{x-1)2,
②當△>0,即上>2時,設Y+2(1)x+l=0的兩個不等實根分別為£,x4(x3<x4),
又e(i)=4-2左<0,于是三<1<左一1<工4,
故當xe(l,I)時,h'(x)<0,從而/z(x)在(1歡-1)單調遞減;
當xw(l,Z-l)時,//(無)⑴=0,此時%2一1>0,于是(/一1汝(幻<0,
BP(x2-l)/nx<k(x-1)2舍去,
綜上,攵的取值范圍是0<匕,2.
【點睛】
(1)考查函數(shù)求導,根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調性,零點;(2)考查轉化思想,構造函數(shù)求極值;(3)考查分類討論
思想,函數(shù)的單調性,函數(shù)的求導;屬于難題.
2233
18、(1)—4-^=1(2)y=-%+-.
43-44
【解析】
(1)利用離心率和橢圓經過的點建立方程組,求解即可.
(2)把面積之比轉化為縱坐標之間的關系,聯(lián)立方程結合韋達定理可求.
【詳解】
19,
-7T-1f2A
"4b2a=422
<b2=a2-c2;解得幟=3,所以橢圓的方程為土+匕=1.
解:(1)設焦距為2c,由題意知:
1143
c1c=l
--=—L
a2
(2)由(1)知:F(-1,0),設I:x=my-l,D(xi9%),£(%,%),當<0<%
產=12("+‘)X'生=7ny=—9①,
3△詔5(q_c)(-%)—為3
x=my-l°°
(3m2+4)y-6my-9=0,
13/+49=12
6777—9
△=144(疝+1)>。,%+%=而*②;口二藐1③;
—9m=_21m_〉0=機〉0
由①②得:%=9
22(3^2+4)12(3n?+4)
._?—189/TI"—9216,,4
代入③得:——5~~-=>m~=—,又>0,故機=;,
4(3m一+4)23根一+493
33
因此,直線,的方程為y=^x+?.
44
【點睛】
本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題,橢圓方程一般利用待定系數(shù)法,建立方程組進行求解,面積問題
的合理轉化是求解的關鍵,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
19、(1)4(2)不存在;詳見解析
【解析】
(1)將函數(shù)去絕對值化為分段函數(shù)的形式,從而可求得函數(shù)的最小值,進而可得九
ba
(2)由(。+26)=8=5+2―+―,利用基本不等式即可求出.
ab
【詳解】
4-3%,x<0
(1)y(x)=2|x|+|x-4|=<x+4,0<x<4
3x-4,x>4
.,./n=/(0)=4;
若.,力同號,1+2沁49,不成立;
或b異號,8=5+2|—+—|<5,不成立;
\abJ
1?
故不存在實數(shù)〃,b,使得。+26=2,-+-=m.
ab
【點睛】
本題考查了分段函數(shù)的最值、基本不等式的應用,屬于基礎題.
JT
20>(1)e=—(2wR);(2)2。.
【解析】
(1)化簡得到直線方程為Y=BX,再利用極坐標公式計算得到答案.
3
(2)聯(lián)立方程計算得到A,計算得到答案.
【詳解】
x=1+y/3t廠
也消r得,x—百>=0即丁=也》,
(1)由<
y=—+t'3
[3
C,是過原點且傾斜角為£的直線,...C,的極坐標方程為6=鄉(xiāng)(peR).
o6
0=-
(2)由<]6得,
p=a(l-sin0)
3a
P。
由<6得<.,.|AB|=|+y=2?.
p=〃(1一sin&)”衛(wèi)
6
【點睛】
本題考查了參數(shù)方程,極坐標方程,意在考查學生的計算能力和應用能力.
21、(I)見解析;(H)—.
4
【解析】
試題分析:(I)連接AG,BQ,由比例可得DE//8G,進而得線面平行;
(II)過點A作AC的垂線,建立空間直角坐標系,不妨設AA=1,則44=AG=2,求得平面A484的法向量
/、m-n
為m,設平面。由3。的法向量為〃,由cos求二面角余弦即可.
試題解析:
(I)證明:連接AdG,梯形acca,AC=2AG,
易知:ACjcA。=£),AD=2DC[;
又AE=2EB,則OE〃BG;
BC]U平面BCGBi,DE.平面BCCXBX,
可得:DE〃平面BCG用;
(II)側面AGCA是梯形,
n例LAC,\AVAB,
jr
則NB4c為二面角£—A&-B的平面角,ZBAC=§;
=AABC,AAB|G均為正三角形,在平面ABC內,過點A作AC的垂線,如圖建立空間直角坐標系,不妨設=1,
則4。=AC=2,
A。=4。=4,故點4(0,0,1),C(0,4,0),
網262,0),男
/、m-AB=0%+X=°n“=(L一6,0);
設平面4瓦BA的法向量為m=
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