2023-2024學(xué)年高一年級上冊數(shù)學(xué)期末考試模擬卷三（全解全析）

2023-2024學(xué)年上學(xué)期期末模擬考試

高一數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷由選擇題、填空題和解答題三大題組成，共21題。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證

號填寫在答題卡上。

2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答

題紙上，在試卷上作答一律不得分.

3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號碼等相關(guān)信息.

4.測試范圍：（滬教版2020必修一）。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

填空題（共12小題，滿分54分）

1.（4分）已知集合/={/b=2*,x>0},B—{x\y—ln（2-x）},則2）.

【分析】根據(jù)已知條件，先對集合力,2化簡，再結(jié)合交集的運(yùn)算，即可求解.

【解答】解：'：A={y\y=2x,x>0］={y\y>l},B={x\y=ln（2-x）}={小<2},

2）.

故答案為：［1,2）.

【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（4分）若/（x）=|x-旅-3。|,且20,1］上的值域?yàn)椋?,/⑴］,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—［0,

【分析】結(jié)合圖象，分類討論即可得解.

【解答】解：結(jié)合圖象，

①當(dāng)a=0時，顯然成立；

②當(dāng)QVO時，/（%）在［0,1］上遞增，最小值為九2#）,不成立；

③當(dāng)a>0時，要使值域?yàn)椋?,7（I）］,則需滿足I,（°），即14故

h⑴>f⑵）1用1或《空

0<a《告

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【點(diǎn)評】本題是典型的數(shù)形結(jié)合問題，注意作圖時最好不要畫出y軸，這樣只需把0和1兩個端點(diǎn)與零

點(diǎn)。和3a的關(guān)系進(jìn)行討論即可，圖形得到簡化，更能反映問題的本質(zhì)，屬于中檔題.

3.（4分）命題喏f+Vn,則3X2+2J2》？是真命題（填“真”或“假”）

【分析】由已知可得x2=-爐+],代入到3/+2產(chǎn)后，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.

【解答】解：若/+f=l,貝！I3/+2/=3/+2（1-%2）=/+2之2,

故若，+/=1,則3x2+2y2>2”為真命題.

故答案為：真.

【點(diǎn)評】本題以命題真假判斷為載體，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.（4分）若函數(shù)/G）滿足/（I-歷x）=」，則/（2）等于e.

X

【分析】根據(jù)題意，在=工中，令1-歷x=2,求出x的值，將x的值代入解析式即可得答案.

X

【解答】解：根據(jù)題意，/（1-Inx）=—,

x

令1-"x=2,解可得％=工，

e

將、=工代入解析式，可得/（2）=e,

e

故答案為：e.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的計算，涉及函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

5.（4分）已知%>>是“x>0"（答案不唯一）的充分不必要條件.（請在橫線處填上滿足要求的一個

不等式.答案不唯一）

【分析】利用充要條件的定義判定即可.

【解答】解：（1,+8）呈（0,+CO）,

.,.X>1是x>0的充分不必要條件，

故答案為："x>0"（答案不唯一）.

【點(diǎn)評】本題考查了充要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.

6.（4分）設(shè)方程x2-18x+3=0的兩根為xi，刈，則」6.

X1x2

【分析】由題意，利用韋達(dá)定理，計算求得結(jié)果.

【解答】解：；方程X2-18x+3=0的兩根為xi,X2,

.*.Xl+%2=18,X1?X2=3,

則上X[+X2=11=6,

X1x2X1*x23

故答案為：6.

【點(diǎn)評】本題主要考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.（5分）若函數(shù)/（x）=（m2+m-5）是募函數(shù)，且在（0,+oo）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)冽=-3.

’2

【分析】由塞函數(shù)的定義和性質(zhì)可得11n--5=1,從而求出加的值.

m<0

f2

【解答】解：由題意可知，m加七口，

m<0

解得m--3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了幕函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）十八世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉指出：指數(shù)源于對數(shù)，并發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即當(dāng)a>0,a+\

b

時，a—N^>b=logaN.已知2工=6,3>=36.則上上=1.

“xy

【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則及換底公式求解.

【解答】解:V2X=6,3>=36,

.,.x=log26,j=log336,

?"-—二=——-——■+--------=Iog62+21og363=Iog62+log63=log66=1.

xylog26log336

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則及換底公式，屬于基礎(chǔ)題.

2

9.（5分）若不等式ax+（a-4）x+a<0對于恒成立，則a的取值范圍是（-oo,-4）.

【分析】討論a的符號，根據(jù)二次不等式解法列不等式組求出a的范圍.

【解答]解：若。=0,不等式等價于-4x<0,即x>0,顯然不符合題意，

若存0,由"(Q-4)x+q<0對于x￡R恒成立可得:

Ja<0

解得a<-4.

(a-4)2-4a2<0

故答案為：(-8,-4).

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)恒成立問題，不等式的解法，屬于中檔題.

10.(5分)已知函數(shù)/G)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下x,/(%)的對應(yīng)值表:

X-1.5-1-0.500.511.5

/(X)-1.2522.251-0.2503.25

則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個數(shù)至少有3個.

【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)判斷定理判斷即可.

【解答】解：函數(shù)/(x)的圖象是連續(xù)不斷的，

且由/(x)對應(yīng)值表知：

f(-1.5)?/,(-!)<0,f(0)-f(0.5)<0,f(0.5)yd)<0,

由函數(shù)零點(diǎn)判斷定理知函數(shù)/(x)至少有3個零點(diǎn).

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)判斷定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2*~x,x1,

11.(5分)已知函數(shù)f(x)=當(dāng)。=1時，函數(shù)/(x)的值域是(-go,11；若函數(shù)

2x_a,

f(x)的圖像與直線y=l只有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(7,1].

【分析】分段求值域，再求并集可得/G)的值域；轉(zhuǎn)化為/(x)=2'-。在爛1上與直線夕=1只有一

個公共點(diǎn)，分離。求值域可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：當(dāng)。=1時，即當(dāng)爛1時，/(x)=2X-1￡(-1,1],

當(dāng)x>l時，f(x)=2-x<\,

綜上所述，當(dāng)。=1時，函數(shù)/(x)的值域是(-8,1]；

由/(x)=2-x=1(x>l),無解，

所以/(x)=2*-a在xWl上與直線夕=1只有一個公共點(diǎn)，

所以。=2'-1(爛1)有一個零點(diǎn)，

因?yàn)楫?dāng)立1時，/(x)=2X-Ie(-1,1],

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(7，口.

故答案為：（-8,1]；（-1,1].

【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的值域及分離常數(shù)法求值域，也考查了轉(zhuǎn)換思想，屬于中檔題.

12.（5分）已知函數(shù)/（x）=3\則下列命題正確的有②③.（寫出所有正確命題的編號）

①對于任意XI,X2WR,都有了（X1?X2）=f（XI）+f（X2）成立；

②對于任意XI，X2dR,且X1?X2，都有J—-'''2）,〉0成立;

△xx「X2

③對于任意XI,X2GR,且X#X2,都有三一―—蕓———〉f（X]）成立;

④存在實(shí)數(shù)。，使得對于任意實(shí)數(shù)x,都有/（x+a）=/（a-x）成立.

【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，容易判斷①不正確，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可判斷②正確，④錯

誤，利用基本不等式易證③成立.

【解答】解：：fG尸2）=332聲3%+3*2=f（X]+X2>，①不正確;

■：f（x）=3工單調(diào)遞增，.?.②正確；

?一區(qū)）”2）二*￡1.物】.j=3^=f（夸），

,由2,...f（x』+f（X2）〉也1所以③正確；

若對于任意實(shí)數(shù)x,都有/（X+Q）=fCa-x）成立，則/（x）關(guān)于X=Q對稱，顯然④不正確.

故答案為：②③.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題.

二.選擇題（共4小題，滿分18分）

13.（4分）a,b,。為實(shí)數(shù)，則下列各選項正確的是（）

A.6Z--c〈b-cB.。-6>0=。>-b

C.a-b>0o-2q>-2bD.

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷各選項即可.

【解答】解：根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得Q-b〈O=Q--°,故4正確；

對于5、C、。不符合不等式的性質(zhì)，故錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.（4分）已知，QC2Vbe2是成立的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】利用不等式的性質(zhì)，充要條件的定義判定充分性，利用舉實(shí)例判斷必要性.

【解答】解：①當(dāng)42<根2時，則c2>0,.?.充分性成立，

②當(dāng)a=l,6=2,c=0時，滿足a<6,但℃2=命2,.?.必要性不成立，

2cbe2是成立的充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)，充要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.

15.(5分)已知函數(shù)f(x)=x+2，P'函數(shù)/(X)的定義域?yàn)椋?,+oo),q：函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?,+oo),

X

則()

A.p是q的充分不必要條件

B.p是q的必要不充分條件

C.p是q的充要條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

【分析】充分性：根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求/(x)的值域，即可判斷；必要性：舉反例，令/(x)=3,

解得x=l或x=2,即可判斷.

【解答】解：充分性：f(x)=xP12,+oo)上單調(diào)遞增，

X

所以/(X)min=f(2)=2+1=3,

所以函數(shù)/(X)的值域?yàn)椋?,+00),即充分性成立；

必要性：當(dāng)f(x)=x3=3時，有，-3%+2=0,解得％=1或x=2,

x

所以函數(shù)/(x)的定義域不是［2,+00),即必要性不成立.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的定義域與值域，充分必要條件的判斷，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

16.(5分)定義：對于/(x)定義域內(nèi)的任意一個自變量的值xi,都存在唯一一個州使得(X］)f(,)=1

成立，則稱函數(shù)/G)為“正積函數(shù)”.下列函數(shù)是“正積函數(shù)”的是()

A.f(x)—InxB.f(x)=，

C.f(x)=/3D.f(x)=cosx

【分析】根據(jù)“正積函數(shù)”的定義一一判斷即可.

【解答】解：對于4由，f(x1)f(x2)Wlnx]lnx2=l=lnx[lnx2=r

當(dāng)X1=1時，則不存在X2滿足方程，故4不符合題意；

X：X：,

對于B,由(X])f(>2)=4巳X]巳=1。ee=1^>X1+x2=0

則任意一個自變量的值XI，都存在唯一一個X2滿足Xl+%2=0，故8符合題意；

對于°，由(X1)flx?)&le2=l=>e-e”=l=e1“=1，

得sinxi+sinx2=0,

當(dāng)X1=O時，則sinjT2=0，X2=k7l,kGZ,則X2不唯一，故C不符合題意；

=,

對于D,由Jf(勺)￡(』2)Wcosx]cosx2=l=cosx】cosx2l

當(dāng)COSX1￡[0,1)時，則不存在X2滿足方程，故。不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)中的“新定義”問題，緊扣“正積函數(shù)”的定義是本題解題關(guān)鍵.屬于中檔題.

三.解答題(共5小題，滿分78分)

17.(14分)已知集合4={小2_8%+12=0}.

(1)若集合3={a+l,Q2-23},且4=5,求Q的值；

(2)若集合。={%|"2一、+6=0},且znc=c,求4的取值范圍.

【分析】(1)利用集合相等的條件求。的值，但要注意驗(yàn)證；

(2)由znc=c得CG4,再利用集合子集的元素關(guān)系求解.

【解答】解：(1)由，-8x+12=0得x=2或x=6,.\A={2,6},

因?yàn)?=8,所以卜;1"或]/-23=2,

1a-23=6la+l=6

解得產(chǎn)1或卜=±5,

1a=±V29Ia=5

故a=5.

(2)因?yàn)?nc=c,所以CUN.

當(dāng)C=0時，A=1-24a<0,解得a>_L；

24

當(dāng)。={2}時，1-24a=0_i.22a-2+6=0,此時無解；

當(dāng)。={6}時，1-24a=0.JL62a-6+6=0,此時無解或a=0.

綜上，a的取值范圍為{o}U(擊，-K>o).

【點(diǎn)評】本題考查了集合相等，集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

18.(14分)已知二次函數(shù)/(x)滿足條件/(O)=1,及/(I)=1，f(3)=7.

<1)求/(x)的解析式；

(2)求/G)在［-1,1］上的最值.

【分析】(1)設(shè)出二次函數(shù)解析式/(x)=ax1+bx+c(°邦)，由已知條件列方程組求出a,b,c的值，

則函數(shù)解析式可求；

(2)直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值.

【解答】解：(1)由題意設(shè)二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(存0),

V/(O)=1,/(I)=1,/(3)=7,

c=l\=1

?'*-a+b+c=1，解得，b=—1?

,9a+3b+c=7Lc=l

'.f(x)=x2-x+1.

(2)f(x)=--x+1圖象開口向上，對稱軸為

2

所以y(x)在［-1,i］上的最小值為了(工)=A-1+1=2,

最大值為/(-1)=1+1+1=3.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了二次函數(shù)最值的求法，是基礎(chǔ)題.

19.(14分)某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目，經(jīng)測算該項

目月處理成本〉(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為：

yx3-80x2+5040x,x€［120,144)

o

y=s,

yx2-200x+80000,x€［144,500)

且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價值為200元.

(1)當(dāng)xe［200,300］時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則月處理量x

為多少噸時可使虧損量最??？

(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

【分析】(1)設(shè)項目獲利為S,根據(jù)二次函數(shù)知識可知，當(dāng)xd［200,300］時，S<0,因此，該項目不會

獲利，當(dāng)x=300時，S取得最大值-5000；

2

-^X-80X+5040,X€[120,144)

(2)根據(jù)題意可知，Z=J:,分段求出最小值，比較可得答案.

8QQQQ

x4-x+-200,x€[144,150)

、2x

【解答】解：(1)當(dāng)x￡[200,300]時，該項目獲利為S,貝I」

S=200x-(Xv2-200x+80000=-Xr2+400x-80000=-A(x-400)2,

222

當(dāng)xe[200,300]時，S<0,因此，該項目不會獲利，

當(dāng)x=300時，S取得最大值-5000,

故當(dāng)月處理量為300噸時可使虧損最小，為5000元；

2

-^X-80X+5040,X€[120,144)

(2)由題意知，生活垃圾每噸的平均處理成本為：3

x4-x+8QQQQ-200,x€[144,150)

、2x

當(dāng)xG[120,144)時，Z=A(%-120)2+240,所以當(dāng)x=120時，工取得最小值240,

x3x

當(dāng)Xe口44,500)時，X=1+800°°-200>25/三押00°-200=200,

x2xV2x

當(dāng)且僅當(dāng)三=8000°時等號成立,即x=400時，工取得最小值200,

2xx

：2()0<240,.?.每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低.

【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.(18分)已知函數(shù)/G)=上或，y=/(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓?，得到?/p>

1+2X2

數(shù)y=g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式，并判斷其奇偶性；

(2)當(dāng)xe[/，2)時，g(fcc)+g(-2x+2k)>o恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【分析】U)由函數(shù)圖象的變換可求得g(x),由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)g(x)為奇函數(shù)；

(2)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷g(x)在R上為減函數(shù)，由函數(shù)奇偶性與單調(diào)性將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)

化為左G-2)<22)恒成立，再分左=0,左<0和左>0三種情況討論，從而可求得先的取

值范圍.

【解答】解：(1)由題意可得g(x)=](x)=工?1±,定義域?yàn)镽,

x

22i+2

g(-X)_=工2-1=-g(x),

X

21+2-x22+1

所以g(x)是奇函數(shù).

(2)g(x)=L.l-匕-=-A+-1—,可得g(X)在R上為減函數(shù)，

21+2X2i+2x

所以當(dāng)2)時，g(la)+g(-2^+2k)>o恒成立，

等價于當(dāng)xG［工，2)時，g(kx)>-g(-，x+z,k)=g(￡\+￡k)恒成立，

2xx

所以當(dāng)xG［工，2)時，kx<<x+2k,即公；<2+f區(qū)，

2xx

所以左(x-2)<2對2)恒成立，

當(dāng)人=0時，不等式恒成立，滿足題意；

當(dāng)左<0時，不等式等價于x-Z>2,

xk

令〃(X)=X-2,在2)上單調(diào)遞增，所以/?(X)min—h(A)—--L,

X