2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)2019選擇性試題1.1直線的斜率與傾斜角（四大題型）（原卷版）

1.1直線的斜率與傾斜角課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)在探索確定直線位置的幾何要素、定義直線的傾斜角和斜率的概念、推導(dǎo)過兩點的直線斜率的計算公式的過程中，體會坐標(biāo)法思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．1、理解并掌握直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式．2、理解并掌握直線的斜率．3、理解并掌握直線的斜率的求法．4、理解并掌握斜率公式的簡單應(yīng)用．知識點01直線的傾斜角平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．知識點詮釋：1、要清楚定義中含有的三個條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角．2、從運(yùn)動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角．3、傾斜角的范圍是．當(dāng)時，直線與x軸平行或與x軸重合．4、直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應(yīng)．5、已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．【即學(xué)即練1】（2023·高二課時練習(xí)）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4知識點02直線的斜率1、定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．知識點詮釋：（1）當(dāng)直線與x軸平行或重合時，，；（2）直線與x軸垂直時，，k不存在．由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．2、直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當(dāng)時，直線的斜率為零；當(dāng)時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．【即學(xué)即練2】（2023·高二課時練習(xí)）若如圖中的直線的斜率為，則（

）

A． B． C． D．知識點03斜率公式已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式．知識點詮釋：1、對于上面的斜率公式要注意下面五點：（1）當(dāng)時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；（2）與、的順序無關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；（3）斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標(biāo)求得；（4）當(dāng)時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率而得到．2、斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：（1）由、點的坐標(biāo)求的值；（2）已知及中的三個量可求第四個量；（3）證明三點共線．【即學(xué)即練3】（2023·高二課時練習(xí)）已知直線的斜率，且，，是這條直線上的三個點，求實數(shù)x和y的值．題型一：直線的傾斜角與斜率定義例1．（2023·高二課時練習(xí)）已知點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角為，則實數(shù)（

）A． B． C． D．例3．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）若直線l的斜率為，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．變式1．（2023·安徽六安·高二?？茧A段練習(xí)）將直線繞原點旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的斜率為，則直線的傾斜角是（

）A． B． C．或 D．或【技巧總結(jié)】（1）傾斜角的概念中含有三個條件：①直線向上的方向；②軸的正方向；③小于平角的正角．（2）傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對于軸正方向的傾斜程度．（3）平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等．（4）確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，二者缺一不可．題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系例4．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)直線l的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．例5．（2023·上海黃浦·高二上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┲本€的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．例6．（2023·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或變式2．（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式3．（2023·河南周口·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線l的斜率為，則直線l的傾斜角（

）A． B． C． D．變式4．（2023·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習(xí)）已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【技巧總結(jié)】由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當(dāng)時，直線的斜率為零；當(dāng)時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)例7．（2023·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知直線l經(jīng)過點,，則它的斜率______.例8．（2023·上海普陀·高二上海市宜川中學(xué)校考期末）已知直線l經(jīng)過點．直線l的傾斜角是___________．例9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若經(jīng)過點和的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)的取值范圍是________．變式5．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過不重合的兩點的直線的傾斜角為，則的取值為________．變式6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過兩點A(5,y)，B(3,－1)的直線的傾斜角是135°，則y等于________．變式7．（2023·河北滄州·高二統(tǒng)考期中）已知兩點，若直線的斜率為，則______.變式8．（2023·高二課時練習(xí)）已知點A的坐標(biāo)為，在坐標(biāo)軸上有一點B，若，則點B的坐標(biāo)為________．變式9．（2023·北京·高二北京一七一中?？茧A段練習(xí)）已知，，三點共線，則＝_____．變式10．（2023·高二?？紗卧獪y試）設(shè)點，若直線的斜率等于直線的斜率的3倍，則實數(shù)m的值為___________.變式11．（2023·高二課時練習(xí)）已知三點共線，則的值為________.變式12．（2023·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校┮阎c，，，若線段，，不能構(gòu)成三角形，則的值是________.【技巧總結(jié)】由于直線上任意兩點的斜率都相等，因此A，B，C三點共線A，B，C中任意兩點的斜率相等．斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍例10．（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點，為的邊上一動點，則直線斜率的變化范圍是（

）A． B．C． D．例11．（2023·安徽滁州·高二?？计谥校┮阎c，，，若點是線段上的一點，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．例12．（2023·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知點，若直線與線段沒有交點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式13．（2023·全國·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點，，若過點的直線與線段相交，則該直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式14．（2023·江蘇常州·高二常州市第三中學(xué)?？计谀┮阎c.若直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式15．（2023·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）經(jīng)過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【技巧總結(jié)】直線的傾斜角是從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度，而直線的斜率及斜率公式則從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度，把二者緊密地結(jié)合在一起就是數(shù)形結(jié)合．利用它可以較為簡便地解決一些綜合問題，如過定點的直線與已知線段是否有公共點的問題，可先作出草圖，再結(jié)合圖形考慮．一般地，若已知，，，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時，在與的兩邊．一、單選題1．（2023·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學(xué)?？计谀┰O(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校考階段練習(xí)）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點，在直線：上，則直線的斜率為（

）A． B． C．2 D．4．（2023·上海浦東新·高二校考期末）在“立體幾何”知識中:(1)兩直線所成角的取值范圍是;(2)直線與平面所成角的取值范圍是;(3)二面角的平面角取值范圍是.在“解析幾何”知識中;(4)直線的傾斜角取值范圍是;(5)兩直線的夾角取值范圍是;在“向量”知識中:(6)兩向量的夾角的取值范圍是以概念敘述正確的是（

）A．(2)(1)(4)(5) B．(2)(3)(4)(6)C．(3)(4)(5) D．(2)(3)(4)5．（2023·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線經(jīng)過，兩點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎c，，若點在線段AB上，則的取值范圍（

）A． B．C． D．7．（2023·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)校考階段練習(xí)）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標(biāo)系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°二、多選題9．（2023·江蘇徐州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．有的直線斜率不存在B．若直線的傾斜角為，且，則它的斜率C．若直線的斜率為1，則它的傾斜角為D．截距可以為負(fù)值10．（2023·廣西柳州·高二?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．直線的傾斜角取值范圍是B．若直線的斜率為，則該直線的傾斜角為C．平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D．直線的傾斜角越大，其斜率就越大11．（2023·廣西桂林·高二校考期中）設(shè)點，若直線與線段沒有交點，則a的取值可能是（

）A． B． C．1 D．12．（2023·湖北武漢·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，，的斜率分別為，，，則（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2023·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若過兩點的直線的傾斜角是，則=________________.14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______15．（2023·北京·高二北京一七一中校考階段練習(xí)）已知兩點A（1，﹣2），B（2，1），直線l過點P（0，﹣1）與線段AB有交點，則直線l斜率取值范圍為___________．16．（2023·高二課時練習(xí)）當(dāng)______時，直線與直線的夾角為60°．四、解答題17．（