2023屆高三下學期開學摸底考數(shù)學試卷A（新高考II卷專用）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12023屆高三下學期開學摸底考試卷A（新高考II卷專用）數(shù)學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知全集，，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，，，故選：B2．若（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2〖答案〗C〖解析〗，由于為純虛數(shù)，因此且，故，故選：C.3．高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，中國古代許多著名的數(shù)學家對推導高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術”的算法，展現(xiàn)了聰明才智如南宋數(shù)學家楊輝在《詳析九章算法商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關如圖是一個三角垛，最頂層有個小球，第二層有個，第三層有個，第四層有個，則第層小球的個數(shù)為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗記第層有個球，則，，，，結合高階等差數(shù)列的概念知，，，，，則第層的小球個數(shù)．故選：B4．已知，若非零向量滿足，則（

）A． B．10 C．3 D．〖答案〗A〖解析〗設，則，，則，.故選：A5．因為疫情防控的需要，某校高二年級4名男教師和3名女教師參與社區(qū)防控新冠肺炎疫情的志愿服務．根據(jù)崗位需求應派3人巡視商戶，且至少一名男教師；另外4人去不同的4個小區(qū)測量出入人員體溫，則這7名教師不同的安排方法有（

）種．A．34 B．816 C．216 D．210〖答案〗B〖解析〗從7人中任選3人，不同的選法有種，而不選男教師的選法有種，則巡視商戶的3人中至少一名男教師安排方法有種，另外4人去不同的4個小區(qū)測量出入人員體溫的安排方法有種．則這7名教師不同的安排方法有種．故選：B．6．若，則（

）A． B． C． D．1〖答案〗C〖解析〗因為，可得，可得，解得，因為，所以，所以，所以.故選：C.7．已知直三棱柱中，，當該三棱柱體積最大時，其外接球的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因為三棱柱為直三棱柱，所以，平面所以，要使三棱柱的體積最大，則面積最大，因為，令因為，所以，在中，，所以，，所以，，所以，當，即時，取得最大值，所以，當時，取得最大值，此時為等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圓的半徑滿足，即，所以，直三棱柱外接球的半徑，即，所以，直三棱柱外接球的體積為.故選：C8．設定義在上的函數(shù)與的導函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，．現(xiàn)有下列四個結論：①；②；③；④．其中所有正確結論的序號是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④〖答案〗D〖解析〗因為，所以．因為，所以，所以．因為，所以，得，所以，所以，所以的圖象關于直線對稱，所以，故①正確．因為為奇函數(shù)，所以，且．因為，所以，則的周期，所以，故③錯誤．因為，所以的周期也為4，所以，，所以，故②正確．因為，，，，所以，所以④正確．故選:D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．關于函數(shù)的描述正確的是（

）A．圖象可由的圖象向左平移個單位得到B．在單調遞減C．的圖象關于直線對稱D．的圖象關于點對稱〖答案〗ACD〖解析〗向左平移個單位后變?yōu)?，對，則，所以在單調遞減，在不是單調減函數(shù)，錯.，則當時，，的其中一條對稱軸，C對，則，當時，，的其中一個對稱中心為，D對，故選：.10．已知拋物線：的焦點為F，準線為，過點F的直線與拋物線交于，兩點，點在上的射影為，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準線相切C．設，則D．過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條〖答案〗ABC〖解析〗取的中點，在上的投影為，在的投影為，如圖所示：對于選項A，因為，所以，故A正確；對于選項B，根據(jù)拋物線的性質，，為梯形的中位線，故，以為直徑的圓與準線相切，故B選項正確；對于選項C，因為，所以，故C正確；對于選項D，顯然直線，與拋物線只有一個公共點，設過的直線方程為，聯(lián)立可得，令，解得，所以直線與拋物線也只有一個公共點，此時有三條直線符合題意，故D錯誤.故選：ABC11．如圖所示，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，則下列結論中正確的是（

）A．B．平面C．三棱錐的體積為定值D．異面直線，所成的角為定值〖答案〗ABC〖解析〗因為，，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，故A項正確；易知，所以，且平面，平面，所以平面，故B項正確；如圖1，連結交于點.圖1因為平面，平面，所以，所以.因為，，，平面，平面，，所以平面.所以到平面的距離為，所以為定值，故C項正確；D．當，，取為，如下圖2所示：圖2因為，所以異面直線所成角為，，且；當，，取為，如下圖3所示：圖3易知，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為，是的中點，所以.又，，，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：ABC.12．下列大小關系正確的是（

）A． B．C． D．〖答案〗ABD〖解析〗作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當時，，當時，，，，故A，B正確.令，則，在上單調遞減，所以，故C錯誤.所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設隨機變量，若，則_________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以對稱軸為，所以，．故〖答案〗為：.14．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______.〖答案〗〖解析〗，，，所以曲線在點處的切線方程為，即．故〖答案〗為：15．已知圓的方程為，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線PA，PB，切點為A，B．四邊形PAMB面積的最小值為______．〖答案〗〖解析〗如圖，四邊形PAMB的面積，所以當最小時，四邊形PAMB的面積最小，又的最小值是圓心到直線的距離，即，所以四邊形PAMB的面積最小值是．故〖答案〗為：．16．如圖，橢圓：的離心率為，F(xiàn)是的右焦點，點P是上第一角限內任意一點，，F(xiàn)Q?OP=0，若，則的取值范圍是_______．〖答案〗〖解析〗設，，，則，由，得，代入橢圓方程，得，化簡得恒成立，由此得，即，故．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.（1）證明：.所以所以.所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得.所以.設前項和為，前項和為，所以，，兩式錯位相減得，所以，所以.所以.18．在中，設角所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的最大值.解：（1）由，得即，從而，由，得.（2）由得，從而，即又因為，得所以，即，從而，而，故解得，當且僅當時取等號，所以的最大值為.19．某棉紡廠為了解一批棉花的質量，在該批棉花中隨機抽取了容量為120的樣本，測量每個樣本棉花的纖維長度（單位：mm，纖維長度是棉花質量的重要指標），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間內，將其按組距為2分組，制作成如圖所示的頻率分布直方圖，其中纖維長度不小于28mm的棉花為優(yōu)質棉.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）已知抽取的容量為120的樣本棉花產(chǎn)自于A，B兩個試驗區(qū)，部分數(shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表：A試驗區(qū)B試驗區(qū)合計優(yōu)質棉10非優(yōu)質棉30合計120將2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為優(yōu)質棉與A，B兩個試驗區(qū)有關系；(3)若從這批120個樣本棉花中隨機抽取3個，其中有X個優(yōu)質棉，求X的分布列和數(shù)學期望.注：①獨立性檢驗的臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②，其中.解：（1）由，解得（2）抽取的優(yōu)質棉樣本數(shù)為則非優(yōu)質棉樣本數(shù)為90，則2×2列聯(lián)表如下：A試驗區(qū)B試驗區(qū)合計優(yōu)質棉102030非優(yōu)質棉603090合計7050120則沒有99.9%的把握認為優(yōu)質棉與A，B兩個試驗區(qū)有關系.（3）X的可能取值為0，1，2，3則，，則X的分布列如下：X0123P數(shù)學期望.20．如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形，，，，，四邊形為矩形．（1）求證：平面平面ABCD；（2）線段MN上是否存在點H，使得二面角的余弦值為？若不存在，請說明理由．若存在，確定點H的位置．（1）證明：如圖1，∵四邊形為直角梯形，，，，，∴由平面幾何的知識得，，又，∴在中，滿足，∴為直角三角形，且．∵四邊形為矩形，∴．∵，，，平面，平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面；（2）解：存在點，使得二面角的余弦值為，點為線段上靠近的四等分點．以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如圖2，∴，設，由，即，得．設平面的一個法向量為，∴，即，不妨設，則．平面的一個法向量為．設二面角的平面角大小為，∴，解得或（舍去）所以當點為線段上靠近的四等分點時，二面角的余弦值為．21．若雙曲線的一個焦點是，且離心率為2．（1）求雙曲線的方程；（2）設過焦點的直線的一個法向量為，當直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點時，①求實數(shù)的取值范圍；②是否存在實數(shù)，使得為銳角？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）因為雙曲線的一個焦點是，且離心率為2，由解得，所以雙曲線的方程為.（2）①根據(jù)題意設直線，由得，由得，恒成立，設，，則，，直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點即所以解得.②設存在實數(shù)，使為銳角，所以即，因為，所以，由①得即解得，與矛盾，故不存在.22．設函數(shù)，為的導函數(shù).（1）當時，①若函數(shù)的最大值為0，求實數(shù)的值；②若存在實數(shù)，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.（2）當時，設，若，其中，證明：.（1）解：當時，.①易知，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，所以.②解法一，不等式.設（），，則由①知，所以存在實數(shù)，使得不等式成立，等價于存在實數(shù)，使得成立.易知在上單調遞減，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.解法二，不等式.設，則存在實數(shù)，使得不等式成立，等價于存在實數(shù)，使得成立.易知，當時，易知，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.（2）證明：當時，，，所以，所以，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，且當時，，當時，，故可作出的大致圖象如圖所示.不妨設，由圖易知.要證，只需證.因為在上單調遞減，所以只需證，又，所以只需證對任意的恒成立.設，則.設，則，因為當時，，，所以所以在上單調遞減，所以，又當時，，所以，所以在上單調遞增，所以，即在上恒成立，又，所以，原不等式得證.2023屆高三下學期開學摸底考試卷A（新高考II卷專用）數(shù)學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知全集，，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，，，故選：B2．若（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2〖答案〗C〖解析〗，由于為純虛數(shù)，因此且，故，故選：C.3．高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，中國古代許多著名的數(shù)學家對推導高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術”的算法，展現(xiàn)了聰明才智如南宋數(shù)學家楊輝在《詳析九章算法商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關如圖是一個三角垛，最頂層有個小球，第二層有個，第三層有個，第四層有個，則第層小球的個數(shù)為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗記第層有個球，則，，，，結合高階等差數(shù)列的概念知，，，，，則第層的小球個數(shù)．故選：B4．已知，若非零向量滿足，則（

）A． B．10 C．3 D．〖答案〗A〖解析〗設，則，，則，.故選：A5．因為疫情防控的需要，某校高二年級4名男教師和3名女教師參與社區(qū)防控新冠肺炎疫情的志愿服務．根據(jù)崗位需求應派3人巡視商戶，且至少一名男教師；另外4人去不同的4個小區(qū)測量出入人員體溫，則這7名教師不同的安排方法有（

）種．A．34 B．816 C．216 D．210〖答案〗B〖解析〗從7人中任選3人，不同的選法有種，而不選男教師的選法有種，則巡視商戶的3人中至少一名男教師安排方法有種，另外4人去不同的4個小區(qū)測量出入人員體溫的安排方法有種．則這7名教師不同的安排方法有種．故選：B．6．若，則（

）A． B． C． D．1〖答案〗C〖解析〗因為，可得，可得，解得，因為，所以，所以，所以.故選：C.7．已知直三棱柱中，，當該三棱柱體積最大時，其外接球的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因為三棱柱為直三棱柱，所以，平面所以，要使三棱柱的體積最大，則面積最大，因為，令因為，所以，在中，，所以，，所以，，所以，當，即時，取得最大值，所以，當時，取得最大值，此時為等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圓的半徑滿足，即，所以，直三棱柱外接球的半徑，即，所以，直三棱柱外接球的體積為.故選：C8．設定義在上的函數(shù)與的導函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，．現(xiàn)有下列四個結論：①；②；③；④．其中所有正確結論的序號是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④〖答案〗D〖解析〗因為，所以．因為，所以，所以．因為，所以，得，所以，所以，所以的圖象關于直線對稱，所以，故①正確．因為為奇函數(shù)，所以，且．因為，所以，則的周期，所以，故③錯誤．因為，所以的周期也為4，所以，，所以，故②正確．因為，，，，所以，所以④正確．故選:D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．關于函數(shù)的描述正確的是（

）A．圖象可由的圖象向左平移個單位得到B．在單調遞減C．的圖象關于直線對稱D．的圖象關于點對稱〖答案〗ACD〖解析〗向左平移個單位后變?yōu)?，對，則，所以在單調遞減，在不是單調減函數(shù)，錯.，則當時，，的其中一條對稱軸，C對，則，當時，，的其中一個對稱中心為，D對，故選：.10．已知拋物線：的焦點為F，準線為，過點F的直線與拋物線交于，兩點，點在上的射影為，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準線相切C．設，則D．過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條〖答案〗ABC〖解析〗取的中點，在上的投影為，在的投影為，如圖所示：對于選項A，因為，所以，故A正確；對于選項B，根據(jù)拋物線的性質，，為梯形的中位線，故，以為直徑的圓與準線相切，故B選項正確；對于選項C，因為，所以，故C正確；對于選項D，顯然直線，與拋物線只有一個公共點，設過的直線方程為，聯(lián)立可得，令，解得，所以直線與拋物線也只有一個公共點，此時有三條直線符合題意，故D錯誤.故選：ABC11．如圖所示，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，則下列結論中正確的是（

）A．B．平面C．三棱錐的體積為定值D．異面直線，所成的角為定值〖答案〗ABC〖解析〗因為，，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，故A項正確；易知，所以，且平面，平面，所以平面，故B項正確；如圖1，連結交于點.圖1因為平面，平面，所以，所以.因為，，，平面，平面，，所以平面.所以到平面的距離為，所以為定值，故C項正確；D．當，，取為，如下圖2所示：圖2因為，所以異面直線所成角為，，且；當，，取為，如下圖3所示：圖3易知，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為，是的中點，所以.又，，，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：ABC.12．下列大小關系正確的是（

）A． B．C． D．〖答案〗ABD〖解析〗作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當時，，當時，，，，故A，B正確.令，則，在上單調遞減，所以，故C錯誤.所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設隨機變量，若，則_________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以對稱軸為，所以，．故〖答案〗為：.14．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______.〖答案〗〖解析〗，，，所以曲線在點處的切線方程為，即．故〖答案〗為：15．已知圓的方程為，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線PA，PB，切點為A，B．四邊形PAMB面積的最小值為______．〖答案〗〖解析〗如圖，四邊形PAMB的面積，所以當最小時，四邊形PAMB的面積最小，又的最小值是圓心到直線的距離，即，所以四邊形PAMB的面積最小值是．故〖答案〗為：．16．如圖，橢圓：的離心率為，F(xiàn)是的右焦點，點P是上第一角限內任意一點，，F(xiàn)Q?OP=0，若，則的取值范圍是_______．〖答案〗〖解析〗設，，，則，由，得，代入橢圓方程，得，化簡得恒成立，由此得，即，故．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.（1）證明：.所以所以.所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得.所以.設前項和為，前項和為，所以，，兩式錯位相減得，所以，所以.所以.18．在中，設角所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的最大值.解：（1）由，得即，從而，由，得.（2）由得，從而，即又因為，得所以，即，從而，而，故解得，當且僅當時取等號，所以的最大值為.19．某棉紡廠為了解一批棉花的質量，在該批棉花中隨機抽取了容量為120的樣本，測量每個樣本棉花的纖維長度（單位：mm，纖維長度是棉花質量的重要指標），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間內，將其按組距為2分組，制作成如圖所示的頻率分布直方圖，其中纖維長度不小于28mm的棉花為優(yōu)質棉.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）已知抽取的容量為120的樣本棉花產(chǎn)自于A，B兩個試驗區(qū)，部分數(shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表：A試驗區(qū)B試驗區(qū)合計優(yōu)質棉10非優(yōu)質棉30合計120將2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為優(yōu)質棉與A，B兩個試驗區(qū)有關系；(3)若從這批120個樣本棉花中隨機抽取3個，其中有X個優(yōu)質棉，求X的分布列和數(shù)學期望.注：①獨立性檢驗的臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②，其中.解：（1）由，解得（2）抽取的優(yōu)質棉樣本數(shù)為則非優(yōu)質棉樣本數(shù)為90，則2×2列聯(lián)表如下：A試驗區(qū)B試驗區(qū)合計優(yōu)質棉102030非優(yōu)質棉603090合計7050120則沒有99.9%的把握認為優(yōu)質棉與A，B兩個試驗區(qū)有關系.（3）X的可能取值為0，1，2，3則，，則X的分布列如下：X0123P數(shù)學期望.20．如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形，，，，，四邊形為矩形．（1）求證：平面平面ABCD；（2）線段MN上是否存在點H，使得二面角的余弦值為？若不存在，請說明理由．若存在，確定點H的位置．（1）證明：如圖1，∵四邊形為直角梯形，，，，，∴由平面幾何的知識得，，又，∴