2023屆江蘇省南京市建鄴區(qū)高三上學(xué)期第一次聯(lián)合統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市建鄴區(qū)2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)合統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，∴故選：A.2.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，異面直線與的距離為（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，∵為正方形，則又∵平面，平面，則∴異面直線與的距離為故選：B.3.若，則的最大值為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則∵∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓上圓的圓心，半徑，則的最大值為，其中O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)故選:D.4.已知，且，則可能為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，②?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，③?dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，由于，所以解得，綜上，，或，或，故選：B5.已知函數(shù)若方程有三個(gè)不同的解，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，則∴原題轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)不同的交點(diǎn)表示為斜率為1，縱截距為a的直線，如圖可知：滿足條件的直線以過(guò)點(diǎn)的直線，與相切的直線為臨界位置若過(guò)點(diǎn)，則，即若與相切，則，可得即切點(diǎn)坐標(biāo)為，則∴a的取值范圍是故選：B.6.已知，為單位向量．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，的夾角為，因?yàn)?，為單位向?且，所以，即，整理得，解得或（舍），因?yàn)?故選:A.7.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列均為遞增數(shù)列，且，，若，則k的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，則，，因?yàn)?，，所以①，而，所以②，由①②得：，即，，，所以的最小值?.故選：B.8.若體積為的四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，則棱的長(zhǎng)為（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗設(shè)四棱錐的外接球球心為，半徑為，則，解得，設(shè)四棱錐的高為，則，解得，設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，由球的幾何性質(zhì)可知平面，且，則，所以，平面，故的外接圓的半徑為，，且，因?yàn)?，所以，、在的同?cè)，則為銳角，設(shè)，，所以，，，可得，①由余弦定理可得，，②聯(lián)立①②可解得或.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為(，)，且的極大值點(diǎn)為，記，，則（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，由隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為可得，因?yàn)?，所以，所以隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槎魏瘮?shù)在上遞增，在上遞減，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得(，)在上遞增，在上遞減，所以的極大值點(diǎn)為，所以，所以隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，故正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，即，故正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故正確；故選：BCD10.已知函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)任意的，，則，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，由題意可知，的最小正周期為，則，則，當(dāng)時(shí)，，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，所以，，則，所以，，C錯(cuò)，因?yàn)?，則，所以，，則，所以，故，則，D錯(cuò).故選：AB.11.已知雙曲線C：，曲線E：，記兩條曲線過(guò)點(diǎn)的切線分別為，，且斜率均為正數(shù)，則（）A.若，，則C與E有一個(gè)交點(diǎn)B.若，，則C與E有一個(gè)交點(diǎn)C.若，則與E夾角的正切值為D.若，則與夾角的余弦值為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，若，，則，因?yàn)殡p曲線C：的漸近線為，所以曲線E：與雙曲線C的漸近線為平行，所以C與E有一個(gè)交點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，若，，則曲線E：，與雙曲線C：聯(lián)立，則，即，令，則，則由有，由有，所以，所以無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，曲線E：，對(duì)于雙曲線C：，易知過(guò)點(diǎn)的切線的斜率顯然存在，設(shè)切線方程為，與聯(lián)立有：，由，解得，因?yàn)樾甭示鶠檎龜?shù)，所以為：，則與E夾角的正切值為，故C正確；對(duì)于D，若，曲線E：，則，則，則為：，其方向向量，又為：，其方向向量，所以，故D錯(cuò)誤.故〖答案〗為：AC.12.設(shè)，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞增，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)A：∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，A錯(cuò)誤；由題意可得：在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增∵，則∴函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，∵函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則，即∴，則函數(shù)周期為4當(dāng)時(shí)，則有：的根依次為，即當(dāng)且僅當(dāng)，若，則，即，C、D錯(cuò)誤；的根依次為，即當(dāng)且僅當(dāng)，∵，則，B正確；故選：B.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.同時(shí)將圓和的面積平分的直線的斜截式方程為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗圓的圓心為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其圓心為，同時(shí)將圓和的面積平分的直線過(guò)兩圓圓心，所以所求直線方程為，即.故〖答案〗為：.14.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______（用數(shù)字作答）．〖答案〗9〖解析〗分兩部分考慮：①求中的系數(shù)：二項(xiàng)式的通項(xiàng)為：，令，得，故.②求中的系數(shù)：二項(xiàng)式的通項(xiàng)為：，令，得，故，所以有，即的系數(shù)為9.故〖答案〗為：915.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．若過(guò)點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且，則________．〖答案〗〖解析〗∵雙曲線C的離心率為，則∴雙曲線C：，由題意可得：直線聯(lián)立方程，解得或即∴，則則，同理可得：在中，由正弦定理，可得故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是________．〖答案〗.〖解析〗因?yàn)椋瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)，由有：且，因?yàn)?，大致圖象如圖，①當(dāng)且時(shí)，，所以，顯然滿足；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞增，又，，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性有：由,解得：或.綜上，滿足的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.現(xiàn)有三個(gè)白球，十五個(gè)紅球，且甲、乙、丙三個(gè)盒子中各裝有六個(gè)小球．（1）若甲、乙、丙三個(gè)盒子中各有一個(gè)白球，且小明從三個(gè)盒子中任選兩個(gè)盒子并各取出一個(gè)球，求小明取出兩個(gè)白球的概率；（2）若甲盒中有三個(gè)白球，小明先從甲盒中取出一個(gè)球，再?gòu)囊液兄腥〕鲆粋€(gè)球，最后再?gòu)谋兄腥〕鲆粋€(gè)球，如此循環(huán)，直至取出一個(gè)白球后停止取球，且每次取球均不放回．若小明在第次取球時(shí)取到白球，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．解：（1）因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)盒子中各有一個(gè)白球，從一個(gè)盒中取出一個(gè)球是白球的概率為，所以小明取出兩個(gè)白球的概率為；（2）由題可知可取1,4,7,10，則，，，，所以的概率分布為：14710所以.18.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求C；（2）若，證明：△ABC是等腰直角三角形．（1）解：由得，，即，所以，則有,即，即，所以，即，即，因?yàn)?所以，由得，，所以,所以,（2）證明：由(1)知，得或，所以或,當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈?，解得，則有△ABC是等腰直角三角形;當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈?，解得，則有△ABC是等腰直角三角形;所以△ABC是等腰直角三角形.19.已知數(shù)列滿足.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由已知有：所以，，其中，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.所以，得.（2）由（1）知：，，所以.20.如圖，已知平面平面，點(diǎn)O在線段上，，都等邊三角形.（1）證明：B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面；（2）求平面與平面所成角的正弦值.（1）證明：證法1，如圖，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，同理可得，所以重合，所以相交，所以B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.證法2，分別取的中點(diǎn)N，M，連接.因?yàn)槎际堑冗吶切?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面平?又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以兩兩垂直，兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系..因?yàn)?，所以，即B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.（2）解：因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以平面的法向量.因?yàn)?設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以平面的法向量.設(shè)平面與平面所成夾角為，則，所以，所以平面與平面所成角的正弦值為.21.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．（1）求C的方程；（2）若，試問(wèn)C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點(diǎn)在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l：對(duì)稱，設(shè)直線PQ與直線l的交點(diǎn)為N，則N為線段PQ的中點(diǎn)，連接ON，∵，則，即由（1）可得，則，即直線聯(lián)立方程，解得即∵，則在橢圓C外∴假定不成立，不存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（2）設(shè)，且時(shí)，，求的取值范圍．解：（1）解法1：當(dāng)時(shí)，，即恒成立，當(dāng)時(shí)，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故，而在上單調(diào)遞增，故，故恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，故，對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得，即恒成立，由得，故在上恒成立，令，則，，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以；綜上：，即解法2：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，即恒成立，由得，故在上恒成立，令，則，，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以；（2）解法1：當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，注意到，則，所以，，故在上存在零點(diǎn)，所以在上，即，故，兩邊取以為底的指數(shù)，得，即，所以，所以在上，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，由得，故，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由（1）知必然有，再由可知，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，因?yàn)?，所以，故，即，故恒成立，即，由上述討論知可推得恒成立；綜上：，又，所以.解法2：因?yàn)闀r(shí)，，即，設(shè)，若，取，則，這與題設(shè)矛盾，故舍；若，則對(duì)任意恒成立，符合；若，由（1）可得，故，又，所以.江蘇省南京市建鄴區(qū)2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)合統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，∴故選：A.2.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，異面直線與的距離為（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，∵為正方形，則又∵平面，平面，則∴異面直線與的距離為故選：B.3.若，則的最大值為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則∵∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓上圓的圓心，半徑，則的最大值為，其中O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)故選:D.4.已知，且，則可能為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，②?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，③?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，綜上，，或，或，故選：B5.已知函數(shù)若方程有三個(gè)不同的解，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，則∴原題轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)不同的交點(diǎn)表示為斜率為1，縱截距為a的直線，如圖可知：滿足條件的直線以過(guò)點(diǎn)的直線，與相切的直線為臨界位置若過(guò)點(diǎn)，則，即若與相切，則，可得即切點(diǎn)坐標(biāo)為，則∴a的取值范圍是故選：B.6.已知，為單位向量．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，的夾角為，因?yàn)?，為單位向?且，所以，即，整理得，解得或（舍），因?yàn)?故選:A.7.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列均為遞增數(shù)列，且，，若，則k的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，則，，因?yàn)椋?，所以①，而，所以②，由①②得：，即，，，所以的最小值?.故選：B.8.若體積為的四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，則棱的長(zhǎng)為（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗設(shè)四棱錐的外接球球心為，半徑為，則，解得，設(shè)四棱錐的高為，則，解得，設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，由球的幾何性質(zhì)可知平面，且，則，所以，平面，故的外接圓的半徑為，，且，因?yàn)?，所以，、在的同?cè)，則為銳角，設(shè)，，所以，，，可得，①由余弦定理可得，，②聯(lián)立①②可解得或.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為(，)，且的極大值點(diǎn)為，記，，則（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，由隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為可得，因?yàn)?，所以，所以隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槎魏瘮?shù)在上遞增，在上遞減，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得(，)在上遞增，在上遞減，所以的極大值點(diǎn)為，所以，所以隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，又，所以，即，故正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故正確；故選：BCD10.已知函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)任意的，，則，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，由題意可知，的最小正周期為，則，則，當(dāng)時(shí)，，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，所以，，則，所以，，C錯(cuò)，因?yàn)?，則，所以，，則，所以，故，則，D錯(cuò).故選：AB.11.已知雙曲線C：，曲線E：，記兩條曲線過(guò)點(diǎn)的切線分別為，，且斜率均為正數(shù)，則（）A.若，，則C與E有一個(gè)交點(diǎn)B.若，，則C與E有一個(gè)交點(diǎn)C.若，則與E夾角的正切值為D.若，則與夾角的余弦值為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，若，，則，因?yàn)殡p曲線C：的漸近線為，所以曲線E：與雙曲線C的漸近線為平行，所以C與E有一個(gè)交點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，若，，則曲線E：，與雙曲線C：聯(lián)立，則，即，令，則，則由有，由有，所以，所以無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，曲線E：，對(duì)于雙曲線C：，易知過(guò)點(diǎn)的切線的斜率顯然存在，設(shè)切線方程為，與聯(lián)立有：，由，解得，因?yàn)樾甭示鶠檎龜?shù)，所以為：，則與E夾角的正切值為，故C正確；對(duì)于D，若，曲線E：，則，則，則為：，其方向向量，又為：，其方向向量，所以，故D錯(cuò)誤.故〖答案〗為：AC.12.設(shè)，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞增，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)A：∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，A錯(cuò)誤；由題意可得：在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增∵，則∴函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，∵函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則，即∴，則函數(shù)周期為4當(dāng)時(shí)，則有：的根依次為，即當(dāng)且僅當(dāng)，若，則，即，C、D錯(cuò)誤；的根依次為，即當(dāng)且僅當(dāng)，∵，則，B正確；故選：B.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.同時(shí)將圓和的面積平分的直線的斜截式方程為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗圓的圓心為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其圓心為，同時(shí)將圓和的面積平分的直線過(guò)兩圓圓心，所以所求直線方程為，即.故〖答案〗為：.14.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______（用數(shù)字作答）．〖答案〗9〖解析〗分兩部分考慮：①求中的系數(shù)：二項(xiàng)式的通項(xiàng)為：，令，得，故.②求中的系數(shù)：二項(xiàng)式的通項(xiàng)為：，令，得，故，所以有，即的系數(shù)為9.故〖答案〗為：915.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．若過(guò)點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且，則________．〖答案〗〖解析〗∵雙曲線C的離心率為，則∴雙曲線C：，由題意可得：直線聯(lián)立方程，解得或即∴，則則，同理可得：在中，由正弦定理，可得故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是________．〖答案〗.〖解析〗因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)，由有：且，因?yàn)?，大致圖象如圖，①當(dāng)且時(shí)，，所以，顯然滿足；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞增，又，，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性有：由,解得：或.綜上，滿足的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.現(xiàn)有三個(gè)白球，十五個(gè)紅球，且甲、乙、丙三個(gè)盒子中各裝有六個(gè)小球．（1）若甲、乙、丙三個(gè)盒子中各有一個(gè)白球，且小明從三個(gè)盒子中任選兩個(gè)盒子并各取出一個(gè)球，求小明取出兩個(gè)白球的概率；（2）若甲盒中有三個(gè)白球，小明先從甲盒中取出一個(gè)球，再?gòu)囊液兄腥〕鲆粋€(gè)球，最后再?gòu)谋兄腥〕鲆粋€(gè)球，如此循環(huán)，直至取出一個(gè)白球后停止取球，且每次取球均不放回．若小明在第次取球時(shí)取到白球，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．解：（1）因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)盒子中各有一個(gè)白球，從一個(gè)盒中取出一個(gè)球是白球的概率為，所以小明取出兩個(gè)白球的概率為；（2）由題可知可取1,4,7,10，則，，，，所以的概率分布為：14710所以.18.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求C；（2）若，證明：△ABC是等腰直角三角形．（1）解：由得，，即，所以，則有,即，即，所以，即，即，因?yàn)?所以，由得，，所以,所以,（2）證明：由(1)知，得或，所以或,當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈?，解得，則有△ABC是等腰直角三角形;當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈?，解得，則有△ABC是等腰直角三角形;所以△ABC是等腰直角三角形.19.已知數(shù)列滿足.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由已知有：所以，，其中，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.所以，得.（2）由（1）知：，，所以.20.如圖，已知平面平面，點(diǎn)O在線段上，，都等邊三角形.（1）證明：B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面；（2）求平面與平面所成角的正弦值.（1）證明：證法1，如圖，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，即，同理可得，所以重合，所以相交，所以B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.證法2，分別取的中點(diǎn)N，M，連接.因?yàn)槎际堑冗吶切?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面平?又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以兩兩垂直，兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系