現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算（第3版）課件 第6、7章 數(shù)值積分與數(shù)值微分、非線性方程求解

第六章AdvancedNumericalComputing數(shù)值積分與數(shù)值微分現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院目錄/Contents第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分第一節(jié)幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式第二節(jié)變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)第三節(jié)高斯公式第四節(jié)多重積分的計(jì)算第五節(jié)數(shù)值微分引言Newton-Leibniz公式:數(shù)值(近似)積分的必要性：無解析原函數(shù)的被積函數(shù)：

，

，等等利用數(shù)據(jù)表給出的函數(shù)的積分計(jì)算機(jī)程序提供的函數(shù)的積分被積函數(shù)表達(dá)式太復(fù)雜設(shè)在 (不妨先設(shè)

為有限數(shù))上，

，

為某個(gè)較“簡(jiǎn)單”的函數(shù),則有誤差為:因此只要

，就有誤差估計(jì)引言6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式設(shè)如果對(duì)函數(shù)

，用

上的函數(shù)值近似代替，即得中點(diǎn)公式推導(dǎo)誤差：設(shè)

，由Taylor公式,兩邊積分，即得6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式下面我們通過插值節(jié)點(diǎn)

和

作線性插值函數(shù)

，利用

得梯形公式：上面求積公式的右端值可看成是由線段

，過點(diǎn)

的直線以及

軸圍成的梯形面積.如果

，則由線性插值函數(shù)的誤差公式(見第3章)以及積分中值定理得：6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式若

用通過節(jié)點(diǎn)

的二次插值多項(xiàng)式

代替，6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式則得拋物型公式(或稱Simpson公式)可以證明：若

，則有誤差公式:6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式求積公式

、節(jié)點(diǎn)

、系數(shù)

、余項(xiàng)

.6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.1幾個(gè)常用積分公式【定義6.1】如果對(duì)于所有次數(shù)

的多項(xiàng)式

，等式

精確成立，但對(duì)于某一次數(shù)為

的多項(xiàng)式不精確成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為

次。6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.2代數(shù)精度【例6.1】試確定系數(shù)

，

，使得求積公式

有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。解：分別令

, , ,代入使積分公式精確成立，得到線性方程組6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.2代數(shù)精度解得

，

這樣求積公式為該公式對(duì)

精確成立,但

時(shí)不精確成立。因此具有三次代數(shù)精度。6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.2代數(shù)精度設(shè)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為作

次Lagrange插值多項(xiàng)式，有插值型求積公式代數(shù)精度有幾次?6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式【定理6.3】求積公式

至少具有

次代數(shù)精度的充分必要條件是它是插值型的。

次數(shù)

時(shí)，

，代數(shù)精度至少

次。反之，若代數(shù)精度至少

次，則必定是插值型的：用

代入,6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式Newton-Cotes公式即是等距節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式。將區(qū)間

作

等分,步長(zhǎng)

，等距節(jié)點(diǎn)

，

.

作變量代換

，代入

中，有(NC系數(shù))6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式常見的Newton-Cotes公式梯形公式(一次)拋物線(Simpson)公式(三次)Cotes公式(五次)6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式有負(fù)系數(shù)6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式

n12345678【定理6.4】當(dāng)

為偶數(shù)時(shí)，牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度至少為 .證明:只需要證明

時(shí)，積分余項(xiàng)為 .作變量替換

.對(duì)上述積分再做變量代換

，得6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式穩(wěn)定性即數(shù)據(jù)

有誤差，只能有近似值

，是否有若

，則當(dāng)

時(shí)，

，且

穩(wěn)定.而當(dāng)

時(shí)，由于求積系數(shù)

有正有負(fù)，

一般無界，因此穩(wěn)定性不成立，收斂性也不成立.6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式設(shè)

，由誤差公式知當(dāng)

很小時(shí)，中點(diǎn)公式，梯形公式及拋物型公式的誤差為

，

，

通常情況下，積分區(qū)間

的長(zhǎng)度

不是非常小，此時(shí)誤差就比較大。為了確保計(jì)算精度，提出了復(fù)合求積公式。即將積分區(qū)間分為若干份，在每一個(gè)“小區(qū)間”上用低階求積公式如中點(diǎn)公式，梯形公式及拋物型公式進(jìn)行計(jì)算，再將計(jì)算值相加即得原積分的近似值.6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.2代數(shù)精度復(fù)合中點(diǎn)公式等分求積區(qū)間,記小區(qū)間

中點(diǎn)為

，記步長(zhǎng)

，每個(gè)小區(qū)間上運(yùn)用中點(diǎn)求積公式設(shè)

，則(待證)存在

6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合functionI=fmid(fun,a,b,n)

h=(b-a)/n;

x=linspace(a+h/2,b-h/2,n);

y=feval(fun,x);

I=h*sum(y);6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合復(fù)合梯形公式等分求積區(qū)間，節(jié)點(diǎn)為，每個(gè)小區(qū)間上運(yùn)用梯形求積公式設(shè)

，則存在

及

6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合functionI=ftrapz(fun,a,b,n)

h=(b-a)/n;

x=linspace(a,b,n+1);

y=feval(fun,x);

I=h*(0.5*y(1)+sum(y(2:n))+0.5*y(n+1));6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合復(fù)合Simpson公式等分求積區(qū)間，記小區(qū)間

中點(diǎn)為

，在每個(gè)小區(qū)間上Simpson求積公式,設(shè)

，則6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合functionI=fsimpson(fun,a,b,n)

h=(b-a)/n;

x=linspace(a,b,2*n+1);

y=feval(fun,x);

I=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合【定理6.1】設(shè)

，則存在

，使得證：設(shè)

，

其中

.

則有6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合利用連續(xù)函數(shù)的中值定理，存在

滿足：所以6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合下面設(shè)，推導(dǎo)復(fù)合中點(diǎn)公式(5.13)的誤差.首先由(5.12),(5.13)及誤差公式(5.3),利用定理5.2.3，便有6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合同理可推得復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式的誤差估計(jì)：6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合【例6.2】設(shè)

在9個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值由下表給出，分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson公式計(jì)算積分6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合01/81/43/81/210.99739780.98961580.97672670.95385105/83/47/810.93615560.90885160.87719250.8414709解：將積分區(qū)間

八等分，由復(fù)合梯形公式(此時(shí) )計(jì)算得:如果將

四等分，由復(fù)合Simpson公式( )得：6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合functiony=f(x)

x=x+(x==0)*eps;

y=sin(x)./x;

調(diào)用:ftrapz(@f,0,1,8)或fsimpson(@f,0,1,4)與精確值I=0.9460831相比較：復(fù)合梯形公式兩位有效數(shù)字,復(fù)合Simpson公式有六位有效數(shù)字!6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合【例6.3】利用n=5的復(fù)合Simpson公式計(jì)算積分將

五等分，由復(fù)合Simpson公式( )得:6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合【例6.4】使用三種不同的計(jì)算公式：復(fù)合中點(diǎn)公式,復(fù)合梯形公式,復(fù)合Simpson公式計(jì)算下列積分值,并分別取

，比較三種不同算法的收斂速度.積分的精確值為6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合解：三種復(fù)合求積公式的計(jì)算結(jié)果分別用

表示，則計(jì)算結(jié)果如下表.6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合

n10.97510.15890.703021.03700.56700.502140.12220.23483.139×10-382.980×10-25.635×10-21.085×10-3166.748×10-31.327×10-27.381×10-5321.639×10-33.263×10-34.682×10-6644.066×10-48.123×10-42.936×10-71281.014×10-42.028×10-41.836×10-82562.535×10-55.070×10-51.148×10-9三者的收斂速度比較圖,其中橫坐標(biāo)為

，縱坐標(biāo)為

，從圖中可看出三種計(jì)算公式的誤差分別為:與理論誤差估計(jì)相當(dāng)吻合.6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合對(duì)于節(jié)點(diǎn)

及函數(shù)值

，定義三個(gè)分段函數(shù)

則在

有:6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合則三個(gè)函數(shù)都可看成是

的某種逼近6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合復(fù)合中點(diǎn)公式,復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson公式可看成

用代替后的近似積分值易證當(dāng)

為連續(xù)函數(shù)時(shí)， .從而有6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合復(fù)合求積公式的穩(wěn)定性:設(shè)

在節(jié)點(diǎn)

處的精確值為

，實(shí)際值為

.

節(jié)點(diǎn)

處的誤差為：記由數(shù)值

及

計(jì)算所得的梯形公式的值為

和

，則設(shè)

，則6.1幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式6.1.3積分公式的復(fù)合目錄/Contents第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分第一節(jié)幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式第二節(jié)變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)第三節(jié)高斯公式第四節(jié)多重積分的計(jì)算第五節(jié)數(shù)值微分引言：(1)復(fù)合求積公式是有效的求積方法，當(dāng)步長(zhǎng)

越小,計(jì)算精度越高.(2)實(shí)際運(yùn)用中，需選取一個(gè)合適的步長(zhǎng)

：若步長(zhǎng)太大，計(jì)算精度就難以保證，若步長(zhǎng)太小，

則會(huì)增加不必要的計(jì)算開銷；(3)在給定計(jì)算精度的情形下，往往通過不斷調(diào)整步長(zhǎng)的方式進(jìn)行計(jì)算：如采用讓步長(zhǎng)逐次折半的方式，反復(fù)使用復(fù)合求積公式直至相鄰兩次計(jì)算結(jié)果之差的絕對(duì)值小于給定的計(jì)算精度為止。這種方法即稱為變步長(zhǎng)算法。6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.1變步長(zhǎng)梯形法下面以變步長(zhǎng)的梯形公式加以說明：由求積公式誤差估計(jì)，若

，則有6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.1變步長(zhǎng)梯形法只要

和

充分接近,就能保證

的誤差很小。算法(區(qū)間折半法)：取初始步長(zhǎng)h=b-a；

計(jì)算

；

取步長(zhǎng)

，計(jì)算出相應(yīng)的積分值

；若條件

滿足，則取

為最后積分計(jì)算的近似值,否則讓步長(zhǎng)折半，回到第(3)步.6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.1變步長(zhǎng)梯形法變步長(zhǎng)梯形積分區(qū)間折半,新增區(qū)間中點(diǎn)，

6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.1變步長(zhǎng)梯形法【例6.5】用變步長(zhǎng)梯形公式計(jì)算積分

的近似值,要求計(jì)

算精度

將積分區(qū)間等分

份復(fù)合梯形公式才滿足計(jì)算精度。6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.1變步長(zhǎng)梯形法kk00.920735560.946076910.939793370.946081520.944513580.946082730.945690990.946083040.9459850100.946083150.9460596

例如上例中，

， (各具有2,3個(gè)有效數(shù)字) 新的近似值具有6位有效數(shù)字。實(shí)際上，6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.2Romberg算法例如，加上修正部分使精度從梯形的

提高到了拋物形的 .6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.2Romberg算法實(shí)際上，從拋物形積分組合得到Cotes積分：從Cotes積分組合得到Romberg積分：6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.2Romberg算法【例6.6】用Romberg算法求積分

，要求精度

.解：按照公式及不同的步長(zhǎng)(初始步長(zhǎng) )，計(jì)算結(jié)果如下表：注：

表示積分區(qū)間

的等分次數(shù)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為

.Romberg方法最后采用的步長(zhǎng)為

，而上例中普通變步長(zhǎng)法為

.兩者的計(jì)算精度大致相同,因此Romberg加速收斂的效果是非常明顯的.6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.2Romberg算法k

00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946083030.94569090.94608340.94608310.9460831Richardson外推加速收斂技術(shù)，其實(shí)質(zhì)是利用不同步長(zhǎng)的復(fù)合梯形公式以及外推技術(shù)加速收斂速度，通常也稱為龍貝格Romberg求積方法，為推導(dǎo)更一般的結(jié)論，我們給出【定理6.2】歐拉-麥克勞林(Euler-MacLaurin)公式:設(shè) (k為非負(fù)整數(shù))，

，則存在伯努利數(shù)

，使得下面關(guān)系成立：6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.2外推加速技術(shù)與Romberg算法由上面定理知復(fù)合梯形公式的誤差為兩邊同乘以

相減，有以

代替

6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.2Romberg算法由此可見，

的計(jì)算精度為

，而

的計(jì)算精度為

一般記

，有這個(gè)計(jì)算過程即稱為龍貝格（Romberg）方法.的計(jì)算精度為

6.2變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)6.2.2Romberg算法目錄/Contents第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分第一節(jié)幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式第二節(jié)變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)第三節(jié)高斯公式第四節(jié)多重積分的計(jì)算第五節(jié)數(shù)值微分若上面求積公式對(duì)任何次數(shù)小于等于

的多項(xiàng)式

等式成立，但對(duì)于某一個(gè)次數(shù)為

的多項(xiàng)式不成立，則稱積分公式的代數(shù)精度為

次。6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)考慮帶權(quán)函數(shù)的求積公式其中

稱為權(quán)函數(shù).顯然

時(shí)上述定義與第二節(jié)一致，因此可以將這里的代數(shù)精度的概念其概念的推廣.

為一些特殊的函數(shù)。如

，

等.而

一般比較光滑的函數(shù)。問：對(duì)于等分節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes公式，代數(shù)精度一般為

或

，而如果采用非等分節(jié)點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)

與求積系數(shù)

都待定的話，能否提高代數(shù)精度呢?要使求積公式具有

次代數(shù)精度，應(yīng)對(duì)

，，，成立下列等式(為敘述簡(jiǎn)單，以

為例)：關(guān)于未知量

與

的非線性代數(shù)方程組,如何求解？6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)如何選擇

和

使代數(shù)精度達(dá)到最高?6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)最簡(jiǎn)單的例子

：試確定

和

使下面的求積公式有盡量高的代數(shù)精度假設(shè)

，

.令

, , ,,代入因此，6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)【定義6.2】若對(duì)于節(jié)點(diǎn)

及求積系數(shù)

，求積公式(5.26)的代數(shù)精度為

則稱節(jié)點(diǎn)

為高斯點(diǎn)，

為高斯系數(shù)，相應(yīng)的求積公式稱為帶權(quán)的高斯公式。一旦確定了高斯點(diǎn)，由于它的代數(shù)精度為

，因此仍然可用待定系數(shù)法的方法來確定系數(shù)

特別地，若在高斯公式中令

，則有因此高斯公式仍可看成是一種插值型求積公式。6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)【定理6.5】

是求積公式的高斯點(diǎn)的充分必要條件是多項(xiàng)式

與任意次數(shù)不超過

的多項(xiàng)式

關(guān)于權(quán)函數(shù)

正交：6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)必要性：因?yàn)?/p>

次數(shù)不超過

，其中

，

次數(shù)不超過 .充分性：對(duì)于任意給定的次數(shù)不超過

次的多項(xiàng)式

，令

.

6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)【定理6.6】插值型求積公式的代數(shù)精度最高不超過 .證：令

，則

是

次的多項(xiàng)式。該積分公式的代數(shù)精度不可能達(dá)到 .6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)求積公式的穩(wěn)定性令

為

次多項(xiàng)式.由于Gauss積分精確成立，所以若在高斯公式中取

，則有利用

的性質(zhì)及穩(wěn)定性的討論知高斯公式對(duì)任意

都是穩(wěn)定的.6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)【例6.7】求高斯型求積公式的系數(shù)

和節(jié)點(diǎn)

。6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)【定理6.7】設(shè)

為有限數(shù)，則對(duì)任意的函數(shù)

，當(dāng)

時(shí)，高斯求積公式均收斂，即高斯型公式有三次代數(shù)精度，令 , , ,,代入因此，6.4高斯(Gauss)公式6.4.1高斯公式的定義及性質(zhì)解之得幾個(gè)常見的Gauss-Legendre公式1.高斯--勒讓德(Gauss-Legendre)求積公式

取

，知高斯點(diǎn)

即為

次勒讓德正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，

.6.4高斯(Gauss)公式6.4.2常用Gauss求積公式6.4高斯(Gauss)公式6.4.2常用Gauss求積公式然后再用相應(yīng)的高斯--勒讓德公式來計(jì)算對(duì)于一般區(qū)間

上的積分,我們可以做變量代換將積分區(qū)間化為

，其中

即為高斯點(diǎn)，

為高斯系數(shù).6.4高斯(Gauss)公式6.4.2常用Gauss求積公式2.高斯--切比雪夫(Gauss-Chebyshev)公式取 .知此時(shí)的高斯點(diǎn)為區(qū)間

關(guān)于權(quán)函數(shù)

的正交多項(xiàng)式--切比雪夫正交多項(xiàng)式

的零點(diǎn).高斯點(diǎn)高斯系數(shù)6.4高斯(Gauss)公式6.4.2常用Gauss求積公式3.高斯--拉蓋爾(Gauss-Laguerre)求積公式：取

，高斯點(diǎn)應(yīng)為區(qū)間

上關(guān)于權(quán)函數(shù)

正交的多項(xiàng)式零點(diǎn)-- 次拉蓋爾(Laguerre)正交多項(xiàng)式

的零點(diǎn).高斯系數(shù)6.4高斯(Gauss)公式6.4.2常用Gauss求積公式4.高斯--埃爾米特(Gauss-Hermite)求積公式取

，高斯點(diǎn)為

上關(guān)于權(quán)函數(shù)

正交的多項(xiàng)式-- 次埃爾米特正交多項(xiàng)式

的零點(diǎn).高斯系數(shù)

的計(jì)算公式為：求積公式為：6.4高斯(Gauss)公式6.4.2常用Gauss求積公式【例6.8】用高斯--勒讓德公式計(jì)算積分 (精確值 )解：先作變換，則積分區(qū)間[0,1化為[-1,1]，且用兩點(diǎn)高斯-勒讓德公式得(四位有效數(shù)字):6.4高斯(Gauss)公式6.4.3高斯公式的應(yīng)用【例6.8】用高斯--勒讓德公式計(jì)算積分 (精確值 )解：用三點(diǎn)高斯-勒讓德公式(7位有效數(shù)字)：復(fù)合梯形公式要求

個(gè)點(diǎn)上的值才能達(dá)到同樣的精度.6.4高斯(Gauss)公式6.4.3高斯公式的應(yīng)用【例6.9】用高斯--勒讓德公式計(jì)算下列積分分別取

，觀察誤差隨高斯點(diǎn)數(shù)的變化規(guī)律.解：當(dāng)

時(shí)，

在

處分別為連續(xù)、一階連續(xù)可導(dǎo)以及二階連續(xù)可導(dǎo)的.令誤差用

表示橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則計(jì)算結(jié)果如下圖.6.4高斯(Gauss)公式6.4.3高斯公式的應(yīng)用6.4高斯(Gauss)公式6.4.3高斯公式的應(yīng)用Figure1：被積函數(shù)的光滑性與高斯公式收斂速度之間的關(guān)系從上圖可看到無論取0,1或2，隨著高斯點(diǎn)的增加，誤差也相應(yīng)地減小，即高斯公式是收斂的.當(dāng)函數(shù)為無窮次可微的解析函數(shù)時(shí)，可以證明此時(shí)誤差為指數(shù)收斂（或稱為無窮次收斂速度）

為正常數(shù).6.4高斯(Gauss)公式6.4.3高斯公式的應(yīng)用當(dāng)

較大時(shí)，誤差

有近似表達(dá)式

(為與

無關(guān)的正常數(shù)).刻劃收斂速度的指標(biāo)

隨著被積函數(shù)

的光

滑性的提高而變大.從而可知高斯公式的收斂速度與被積函數(shù)的光滑性有關(guān).目錄/Contents第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分第一節(jié)幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式第二節(jié)變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)第三節(jié)高斯公式第四節(jié)多重積分的計(jì)算第五節(jié)數(shù)值微分【例6.10】用復(fù)合Simpson公式,取

計(jì)算積分(真值=1)：解：設(shè)

，則其中，

.同理，再次利用Simpson公式得6.5多重積分的計(jì)算6.5.1二重積分的計(jì)算使用同樣思路，可得到矩形區(qū)域

上的復(fù)合Simpson公式.將

方向和

方向分成

份和

份，記

則計(jì)算二重積分的復(fù)合Simpson公式為：6.5多重積分的計(jì)算6.5.1二重積分的計(jì)算6.5多重積分的計(jì)算6.5.1二重積分的計(jì)算上述復(fù)合Simpson公式原則上可推廣至任何有界區(qū)域上的多重積分.推導(dǎo)如下：取

維長(zhǎng)方體將被積函數(shù)

延拓為

上的函數(shù) ,則

化為

維長(zhǎng)方體上的積分：由于

為長(zhǎng)方體，可以使用上述復(fù)合Simpson公式計(jì)算

的值.6.5多重積分的計(jì)算6.5.1二重積分的計(jì)算維數(shù)

的增大，節(jié)點(diǎn)數(shù)

急劇增多.這導(dǎo)致計(jì)算量大大增加，而計(jì)算的誤差

的減少卻很緩慢，即維數(shù)災(zāi)難.

維復(fù)合Simpson公式的誤差R與節(jié)點(diǎn)數(shù)

的關(guān)系為則每個(gè)方向的計(jì)算誤差約為

，而總的求積誤差 (及

均為正常數(shù)).多重積分的計(jì)算誤差與計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系以復(fù)合Simpson公式為例，設(shè)函數(shù)

充分光滑.復(fù)合Simpson公式計(jì)算時(shí)每個(gè)方向取

個(gè)點(diǎn)由于區(qū)域是

維，因此總的節(jié)點(diǎn)數(shù)為 .計(jì)算高維

數(shù)值積分的蒙特卡羅(MonteCarlo)方法.6.5多重積分的計(jì)算6.5.1二重積分的計(jì)算考慮區(qū)間[0,1]上的積分，可直接推廣到多維的情形.設(shè)隨機(jī)變量

服從[0,1]上的均勻分布，即 . 為任意可積函數(shù)，則隨機(jī)變量

的函數(shù)

的數(shù)學(xué)期望函數(shù)

在區(qū)間[0,1]上的積分.6.5多重積分的計(jì)算6.5.2蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬求積法簡(jiǎn)介記則

是

的一個(gè)無偏估計(jì)量：由概率論中的大數(shù)定理，當(dāng)

時(shí)，

依概率收斂于

，即6.5多重積分的計(jì)算6.5.2蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬求積法簡(jiǎn)介估計(jì)誤差： .由于

仍為隨機(jī)變量，我們估計(jì)其方差(一般認(rèn)為均方差即是誤差).由于

，所以由于

相互獨(dú)立，可推出當(dāng)

時(shí)，因此6.5多重積分的計(jì)算6.5.2蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬求積法簡(jiǎn)介高維區(qū)域積分可取

次獨(dú)立取樣值的算術(shù)平均方差仍為

，即收斂速度不受積分區(qū)域維數(shù)

的影響！正因?yàn)槊商乜_方法具有這個(gè)特性，才能成為計(jì)算高維積分的有效數(shù)值方法.另外我們可以看出，蒙特卡羅方法的收斂速度為

，與被積函數(shù)的光滑性無關(guān).這一性質(zhì)與插值型積分公式大不相同!作為積分

的無偏估計(jì)量.6.5多重積分的計(jì)算6.5.2蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬求積法簡(jiǎn)介【例6.11】用蒙特卡羅方法計(jì)算積分

.解：首先令

，將積分化為標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間[0,1]上的積分：其次取

為

次相互獨(dú)立的均勻分布

的樣本，則分別取

，計(jì)算出積分的近似值 .6.5多重積分的計(jì)算6.5.2蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬求積法簡(jiǎn)介程序如下：x=[102050100200

500

100020005000100002000050000];I=quad(‘sin(x)’./x’,0,2,1.e-16);fori=1:length(x)z=rand(x(i),1);In=sin(2*z)./z;In=mean(In);y(i)=abs(In-I);endx=log(x);y=log(y);plot(x,y,’.-’);xlabel(‘logN’);ylabel(‘logR_N’);6.5多重積分的計(jì)算6.5.2蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬求積法簡(jiǎn)介6.5多重積分的計(jì)算6.5.2蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬求積法簡(jiǎn)介Figure2：誤差

隨節(jié)點(diǎn)的變化規(guī)律目錄/Contents第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分第一節(jié)幾個(gè)常用積分公式及其復(fù)合公式第二節(jié)變步長(zhǎng)方法與外推加速技術(shù)第三節(jié)高斯公式第四節(jié)多重積分的計(jì)算第五節(jié)數(shù)值微分插值余項(xiàng)令6.6數(shù)值微分6.6.1基于拉格朗日插值多項(xiàng)式的求導(dǎo)方法插值余項(xiàng)兩點(diǎn)公式同理6.6數(shù)值微分6.6.1基于拉格朗日插值多項(xiàng)式的求導(dǎo)方法三點(diǎn)公式6.6數(shù)值微分6.6.1基于拉格朗日插值多項(xiàng)式的求導(dǎo)方法【例6.12】給定函數(shù)的下列數(shù)據(jù)表，試?yán)枚c(diǎn)、三點(diǎn)微分公式計(jì)算處的一階導(dǎo)數(shù)值。解：兩點(diǎn)公式6.6數(shù)值微分6.6.1基于拉格朗日插值多項(xiàng)式的求導(dǎo)方法2.52.62.72.82.912.182513.463714.879716.444618.1741解：三點(diǎn)公式6.6數(shù)值微分6.6.1基于拉格朗日插值多項(xiàng)式的求導(dǎo)方法【例6.12】給定函數(shù)的下列數(shù)據(jù)表，試?yán)枚c(diǎn)、三點(diǎn)微分公式計(jì)算處的一階導(dǎo)數(shù)值。2.52.62.72.82.912.182513.463714.879716.444618.17416.6數(shù)值微分6.6.1基于拉格朗日插值多項(xiàng)式的求導(dǎo)方法解：【例6.12】給定函數(shù)的下列數(shù)據(jù)表，試?yán)枚c(diǎn)、三點(diǎn)微分公式計(jì)算處的一階導(dǎo)數(shù)值。2.52.62.72.82.912.182513.463714.879716.444618.17416.6數(shù)值微分6.6.1基于拉格朗日插值多項(xiàng)式的求導(dǎo)方法【例6.13】給定下列數(shù)據(jù)表,試?yán)萌c(diǎn)微分公式計(jì)算

處的一階和二階導(dǎo)數(shù)值。解：1.11.21.30.48600.86161.5975

越小一般精度越高.但在實(shí)際計(jì)算中，數(shù)據(jù)

有誤差，并不是

越小計(jì)算效果越好.理由說明如下.設(shè)

，并令

，則可得6.6數(shù)值微分6.6.2基于樣條函數(shù)的求導(dǎo)方法由此可見系數(shù)

有正數(shù)，也有負(fù)數(shù).并且當(dāng)數(shù)據(jù)

有一定誤差以及

很小時(shí)，由于

的表達(dá)式中會(huì)出現(xiàn)分母為“小數(shù)”

，因此會(huì)造成較大的數(shù)值誤差，即算法不是一個(gè)穩(wěn)定的算法.因此實(shí)際應(yīng)用中步長(zhǎng)

不要取得太小.基于樣條函數(shù)的求導(dǎo)方法我們將用樣條函數(shù)

代替拉格朗日插值多項(xiàng)式

作為函數(shù)

的近似.若

，則有估計(jì)其中

.即此時(shí)不但

與

的函數(shù)值很“接近”，它們的導(dǎo)數(shù)值也很“接近”.如何求

？三彎矩方法、三轉(zhuǎn)角方法。計(jì)算三次樣條函數(shù)的三彎矩方法已在第3章介紹，下面我們將推導(dǎo)直接以節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值

作為未知量的三轉(zhuǎn)角方程組.6.6數(shù)值微分6.6.2基于樣條函數(shù)的求導(dǎo)方法設(shè) .假定樣條函數(shù)

在

處的導(dǎo)數(shù)值

，則在區(qū)間

上，

為三次多項(xiàng)式.利用Hermite插值公式，可得求出

的值，需要

在

處的連續(xù)性條件:以及在區(qū)間

端點(diǎn)

及

處的附加條件.6.6數(shù)值微分6.6.2基于樣條函數(shù)的求導(dǎo)方法1.設(shè)

為已知.使用與第3章類似的方法可知

滿足下列方程組6.6數(shù)值微分6.6.2基于樣條函數(shù)的求導(dǎo)方法2.若

已知，則方程組為6.6數(shù)值微分6.6.2基于樣條函數(shù)的求導(dǎo)方法3.若滿足周期性條件：

，則方程組變?yōu)?.6數(shù)值微分6.6.2基于樣條函數(shù)的求導(dǎo)方法AdvancedNumericalComputing現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院學(xué)海無涯，祝你成功！第七章AdvancedNumericalComputing非線性方程求解現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院目錄/Contents第七章非線性方程求解第一節(jié)非線性方程求解的基本問題第二節(jié)非線性方程基本迭代方法第三節(jié)牛頓法和割線法第四節(jié)非線性方程組簡(jiǎn)介第五節(jié)非線性最小二乘問題第六節(jié)大范圍求解方法7.1非線性方程求解的基本問題在科學(xué)工程計(jì)算中常常遇到非線性方程和方程組的問題，例：高次代數(shù)方程超越方程【定義7.1】求解非線性方程組

若 ,稱

是

的根或

的零點(diǎn)?！径x7.2】代數(shù)方程:重零點(diǎn)：且非線性方程求根的基本問題：根的存在性，個(gè)數(shù)和重?cái)?shù)有根區(qū)間的確定求出足夠精度的近似根【定理7.1】（代數(shù)基本定理）

次多項(xiàng)式函數(shù) ,其中 ,在復(fù)數(shù)域中恰有

個(gè)根,重根按其重?cái)?shù)計(jì)算。【定理7.2】（中值定理）若連續(xù)函數(shù)

在某兩個(gè)點(diǎn)

上滿足

和

，

則在區(qū)間

（或

）上至少存在函數(shù)

的一個(gè)零點(diǎn)。7.1非線性方程求解的基本問題【例7.1】考察非線性方程

的根的個(gè)數(shù)。7.1非線性方程求解的基本問題7.1非線性方程求解的基本問題【例7.1】考察非線性方程

的根的個(gè)數(shù)。7.1非線性方程求解的基本問題【例7.1】考察非線性方程

的根的個(gè)數(shù)。7.1非線性方程求解的基本問題【例7.1】考察非線性方程

的根的個(gè)數(shù)。7.1非線性方程求解的基本問題【例7.1】考察非線性方程

的根的個(gè)數(shù)。【例7.2】求解方程

，

是一給定參數(shù)。7.1非線性方程求解的基本問題【定義7.3】收斂速度設(shè)

為第

個(gè)迭代點(diǎn)的誤差,若稱

為

階收斂。線性收斂( )、超線性收斂( )、平方收斂( )【例7.3】考察如下幾個(gè)序列的收斂速度:其中，

是Fibonacci數(shù)列，即

，7.1非線性方程求解的基本問題7.1非線性方程求解的基本問題目錄/Contents第七章非線性方程求解第一節(jié)非線性方程求解的基本問題第二節(jié)非線性方程基本迭代方法第三節(jié)牛頓法和割線法第四節(jié)非線性方程組簡(jiǎn)介第五節(jié)非線性最小二乘問題第六節(jié)大范圍求解方法7.2.1二分法【定理7.3】（中值定理）若連續(xù)函數(shù)

在某兩個(gè)點(diǎn)

上滿足

和

，則在區(qū)間 (或 )上至少存在函數(shù)

的一個(gè)零點(diǎn)。若

在

連續(xù)，

與

異號(hào)，中點(diǎn) .若

與

同號(hào),則有有根區(qū)間 ;若

與

同號(hào),則有有根區(qū)間

；反復(fù)上面的過程。幾何意義:7.2.1二分法【算法7.1】（二分法）(1)給定初始區(qū)間 ,滿足 ,以及計(jì)算精度 ;(2)令 ;(3)若

或者 ,停止算法;(4)若 ,令

,

否則 ;轉(zhuǎn)步驟(2).Matlabprogram

(二分法)7.2.1二分法functionx=bisect(f,a,b,tol)

ifnargin<4,tol=1e-12;

end

fa=feval(f,a);fb=feval(f,b);

whileabs(a-b)>tol,

x=(a+b)/2;

fx=feval(f,x);7.2.1二分法

ifsign(fx)==sign(fa),

a=x;fa=fx;

elseif

sign(fx)==sign(fb),b=x;

fb=fx;

elsereturn;

end

end【例7.4】用二分法求解非線性方程 .函數(shù)

滿足 ,方程的近似根為 .7.2.1二分法用erfen.m7.2.1二分法【例7.4】用二分法求解非線性方程 .7.2.1二分法【例7.4】用二分法求解非線性方程 .1.00000-1.000002.000005.000001.00000-1.000001.500000.875001.25000-0.296881.500000.875001.25000-0.296881.375000.224611.31250-0.051511.375000.224611.31250-0.051511.343750.082611.31250-0.051511.328130.014581.32031-0.018711.328130.014581.32422-0.002131.328130.014581.32422-0.002131.326170.006211.32422-0.002131.325200.002047.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代方法類似于線性方程組的迭代解法，考慮非線性方程等價(jià)迭代方程迭代算法【定義7.4】若把函數(shù)

看成是一個(gè)映射，求解

滿足

相當(dāng)于求解

，即求在映射

下不動(dòng)的點(diǎn)。因此，方程

稱為不動(dòng)點(diǎn)方程，

稱為函數(shù)

的不動(dòng)點(diǎn),該問題也稱為不動(dòng)點(diǎn)問題?！纠?.5】求解非線性方程

.

取 .

，對(duì)應(yīng)迭代方法 ;

，對(duì)應(yīng)迭代方法 ;

，對(duì)應(yīng)迭代方法

；

，對(duì)應(yīng)迭代方法7.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代方法7.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代方法1.5001.5000001.5000001.500000000000002.3751.3572090.8000001.3478260869565212.3961.330861-2.7777781.325200398950911904.0031.3258840.1488971.324718173999051.324939-1.0226731.324717957244791.32476021.8054621.324717957244751.3247260.0021081.32471795724475四個(gè)不同的迭代方法（neex5.m)【定理7.4】不動(dòng)點(diǎn)迭代設(shè)一元函數(shù)

在區(qū)間

上一階連續(xù)可導(dǎo),且(1) 對(duì)一切

成立;(2)存在常數(shù)

，

，使得

對(duì)一切

成立。則成立如下結(jié)論:(a)]對(duì)任何

產(chǎn)生的迭代序列

必收斂于

在區(qū)間

上的唯一不動(dòng)點(diǎn),即

；(b)]序列

的收斂速度有估計(jì)7.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代方法證：令

，則 .因此，存在

， .

即

若

，則由數(shù)學(xué)歸納法可得

，7.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代方法因此7.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代方法證：全局收斂給出

，使得

。局部收斂性非線性方法的收斂與初始點(diǎn)有關(guān),收斂速度與不動(dòng)點(diǎn)有關(guān)若

(線性收斂)，7.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代方法(1)若

，其中

是不動(dòng)點(diǎn),則存在

的某個(gè)鄰域 ,使得對(duì)于任意

,

有 .(2)原因:無法說明

.幾何含義7.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代方法【例7.6】求解方程

的根。方程等價(jià)于有根區(qū)間 .7.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代方法7.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代方法1.7501.750000000000001.750000000000001.750000000000001.7871.770794952435151.756890790371001.763254784462251.7231.758951903005441.760194735991501.763222834536611.8391.765652618481771.761775690112281.763222834351901.6421.761847231831661.762531452898811.76322283435190-27.4621.763222834351901.76322283435190

7.2.3迭代加速假設(shè)有不動(dòng)點(diǎn)迭代，設(shè)不動(dòng)點(diǎn)為，若變化不大，得用兩步迭代近似值得到的某種平均是更好的近似；另外，可以看成是一個(gè)新的迭代方法，【例7.7】加速例3.2中的函數(shù)的迭代.導(dǎo)數(shù)變化不大令7.2.3迭代加速7.2.3迭代加速加速方法1.750000000000001.750000000000001.756890790371001.763379158584341.760194735991501.763220601443681.761775690112281.763222866181401.762531452898811.763222833898161.763222834358361.763222834351901.763222834351901.763222834351901.76322834351907.2.3Aitken加速若僅知

而不知其具體數(shù)值假若

變化不大，注意：

都是靠近

的數(shù),，公式出現(xiàn)了分子分母都很靠近

的情況。采用雙精度計(jì)算方式。7.2.3迭代加速另外的方式:7.2.3Aitken加速【定理7.5】設(shè)不動(dòng)點(diǎn)迭代

的迭代函數(shù)

在

的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

，

，則相應(yīng)的艾特肯(Aitken)迭代加速是二階收斂的，迭代序列的極限仍為 .7.2.3迭代加速{【例7.8】對(duì)例3.3中的迭代函數(shù)做Aitken加速.Aitken加速為該方法每一步的計(jì)算量約為原迭代每一步計(jì)算量的兩倍.7.2.3迭代加速7.2.3Aitken加速艾特肯加速1.750000000000001.750000000000001.770794952435151.763249280656661.758951903005441.763222834456391.765652618481771.763222834351901.76184723183166NaN1.7632283435190目錄/Contents第七章非線性方程求根第一節(jié)非線性方程求根的基本問題第二節(jié)非線性方程基本迭代方法第三節(jié)牛頓法和割線法第四節(jié)非線性方程組簡(jiǎn)介第五節(jié)非線性最小二乘問題第六節(jié)大范圍求解方法7.3牛頓法和割線法考慮非線性方程

，近似根為

，在近似根處的Taylor展開為取其線性部分有Newton迭代格式為注：可看作不動(dòng)點(diǎn)迭代考慮有若迭代格式

，取

，則其加速為特殊的加速法7.3牛頓法和割線法幾何含義7.3牛頓法和割線法【定理7.6】牛頓法設(shè)

是方程

的根，

在某個(gè)包含

為內(nèi)點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)足夠光滑，且

那么存在

的一個(gè)鄰域

，使得對(duì)于任意

牛頓法產(chǎn)生的迭代序列以不低于二階的收斂速度收斂于解

.證：牛頓法是對(duì)應(yīng)于函數(shù)

的不動(dòng)點(diǎn)迭代。若

，則有

.局部收斂7.3牛頓法和割線法證：因此【定理7.6】牛頓法設(shè)

是方程

的根，

在某個(gè)包含

為內(nèi)點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)足夠光滑，且

那么存在

的一個(gè)鄰域

，使得對(duì)于任意

牛頓法產(chǎn)生的迭代序列以不低于二階的收斂速度收斂于解

.7.3牛頓法和割線法證：

定號(hào)，根是唯一的。

定號(hào)，可得四種情形：

且

；

且

；

且

；

且

；【定理7.7】給定非線性函數(shù)

，若它在區(qū)間

上二階連續(xù)可微,滿足

，并且對(duì)于所有

有

， .若選定初始點(diǎn)

滿足

，則牛頓迭代法收斂于方程的唯一解 .7.3牛頓法和割線法

且

；

且

，函數(shù)單調(diào)遞增。由于

，

，因此 .歸納證明：【定理7.7】給定非線性函數(shù)

，若它在區(qū)間

上二階連續(xù)可微,滿足

，并且對(duì)于所有

有

， .若選定初始點(diǎn)

滿足

，則牛頓迭代法收斂于方程的唯一解 .證：

定號(hào)，根是唯一的。

定號(hào)，可得四種情形：7.3牛頓法和割線法

且

；

單調(diào)下降且有下界

.兩邊取極限。證：【定理7.7】給定非線性函數(shù)

，若它在區(qū)間

上二階連續(xù)可微,滿足

，并且對(duì)于所有

有

， .若選定初始點(diǎn)

滿足

，則牛頓迭代法收斂于方程的唯一解 .7.3牛頓法和割線法【定理7.8】設(shè)在區(qū)間

上有二階連續(xù)可微函數(shù)

，

，并且對(duì)于所有

，有

，

.若

兩點(diǎn)滿足則對(duì)于任何

，牛頓法迭代收斂于方程的唯一根 .【定理7.7】給定非線性函數(shù)

，若它在區(qū)間

上二階連續(xù)可微,滿足

，并且對(duì)于所有

有

， .若選定初始點(diǎn)

滿足

，則牛頓迭代法收斂于方程的唯一解 .7.3牛頓法和割線法計(jì)算

相當(dāng)于求解方程

的正根?？勺C【例7.9】設(shè)計(jì)一個(gè)算法計(jì)算

，其中 .7.3牛頓法和割線法【例7.9】設(shè)計(jì)一個(gè)算法計(jì)算

，其中 .7.3牛頓法和割線法有效位02.00000000000000011.50000000000000121.41666666666667331.41421568627451641.414213562374691251.414213562373091561.4142135623730915

有重根的情形：設(shè)

，其中，

且 .單根7.3牛頓法和割線法7.3牛頓法和割線法牛頓下山法的迭代公式參數(shù)

依次取

使

成立.7.3牛頓下山法【算法7.2】牛頓下山法(1)給定初始值

，精度

，

；(2)若

，近似解為

，停止迭代；(3)令

，

；(4)若

，則, 轉(zhuǎn)(5)；否則，

，重復(fù)步驟(4)；(5) ，轉(zhuǎn)(2).7.3牛頓法和割線法幾何含義7.3牛頓下山法7.3牛頓法和割線法function[x,it,convg]=newton(x0,f,g,maxit,tol)%findthezerooffunctionf,withgradientgprovided%Usage:[x,it,convg]=newton(x0,f,g,maxit,tol)

ifnargin<5,

tol=1e-10;

ifnargin<4,maxit=100;

end;end

x=x0;

fx=feval(f,x);

convg=0;

it=1;

while~convg,

it=it+1;

ifnorm(fx)<=tol,

fprintf('NewtonIterationsuccesses!!\n');

convg=1;

return;

end7.3牛頓下山法7.3牛頓法和割線法

d=-feval(g,x)\fx;

lambda=1;

lsdone=0;

while~lsdone,

xn=x+lambda*d;

fn=feval(f,xn);

ifabs(fn)<abs(fx),

lsdone=1;

else

lambda=1/2*lambda;

iflambda<=eps,

convg=-1;

error('linesearchfails!!');

end

end

end7.3牛頓下山法

x=xn;

fx=fn;

ifit>maxit,

convg=0;

error('Newtonmethodneedsmoreiterations.!!');

end

end7.3牛頓法和割線法例：計(jì)算方程的根。編寫兩個(gè)Matlab文件:functionv=f(x)

v=x.^2+\sin(10*x)-1;和functionv=g(x)

v=2*x+10*\cos(10*x);7.3牛頓下山法調(diào)用>>[x,it,convg]=newton(30,'f','g’)NewtonIterationsuccesses!!

x=

-0.412101013664971it=

12convg=

1令代入牛頓法幾何含義:用割線代替牛頓法中的切線7.3牛頓法和割線法【例6.10】用割線法求方程的解。有根區(qū)間:.7.3牛頓法和割線法【例6.10】用割線法求方程的解。有根區(qū)間:.7.3牛頓法和割線法牛頓法割線法01.0000000000000000.00000000000000010.8000000000000001.00000000000000020.7568181818181820.50000000000000030.7548814744397500.69230769230769240.7548776662613990.77560339204174850.7548776662466930.75352325251062460.75484958576524170.75487770485289880.75487766624559390.754877666246693【定理7.9】割線法給定非線性方程 .若函數(shù)

在其解

的某個(gè)鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且

，則存在

的一個(gè)鄰域

使得對(duì)于任意

，雙點(diǎn)割線法產(chǎn)生的序列收斂于解

，且收斂階為

.單點(diǎn)割線法7.3牛頓法和割線法目錄/Contents第七章非線性方程求根第一節(jié)非線性方程求根的基本問題第二節(jié)非線性方程基本迭代方法第三節(jié)牛頓法和割線法第四節(jié)非線性方程組簡(jiǎn)介第五節(jié)非線性最小二乘問題第六節(jié)大范圍求解方法7.4非線性方程組簡(jiǎn)介記：

定義:若對(duì)于某個(gè)

，存在

的一個(gè)鄰域

，則稱

是

的內(nèi)點(diǎn)。稱

在

點(diǎn)處可微,若【算法7.3】非線性方程組的高斯--賽德爾迭代方法(1)給定

，

，控制精度

；(2)對(duì)

，以

為初始值求解如下問題：

并把其解記為

；(3)若

，則迭代收斂，方程組的近似解為

；

否則，

，轉(zhuǎn)步驟(2).7.4非線性方程組簡(jiǎn)介【定理7.10】壓縮映像定理設(shè)

在某區(qū)域上滿足

，并且存在壓縮因子

，使得對(duì)于任意

成立 .那么下面的結(jié)論成立:在

上存在唯一不動(dòng)點(diǎn)，即

；對(duì)于任意的

，不動(dòng)點(diǎn)迭代

收斂到該唯一不動(dòng)點(diǎn)

，且收斂速度有估計(jì)7.4非線性方程組簡(jiǎn)介牛頓法設(shè)函數(shù)

連續(xù)可微，有近似值

，向量形式7.4非線性方程組簡(jiǎn)介【例7.11】求解非線性方程組不動(dòng)點(diǎn)迭代高斯---賽德爾迭代7.4非線性方程組簡(jiǎn)介牛頓法7.4非線性方程組簡(jiǎn)介不動(dòng)點(diǎn)高斯-賽德爾牛頓法01(0.45969769,0.15852902)(0.45969769,1.44367720)(0.49023685,1.03629258)2(0.01253943,1.44367720)(0.87322296,1.76640321)(0.24236719,0.74784106)3(0.87322296,1.01253910)(1.19436188,1.92998127)(0.26208909,0.74085322)4(0.47029118,1.76640321)(1.35151131,1.97605323)(0.26211952,0.74087174)5(1.19436188,1.45314588)(1.39425486,198445699)(0.26211953,0.74087174)6(0.88262077,1.92998127)(1.40196392,1.98578163)(0.26211953,0.740