安徽省黃山市2023-2024學年高二年級上冊期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

黃山市2023-2024學年度第一學期期末質(zhì)量檢測

高二數(shù)學試題

(考試時間：120分鐘滿分：150分)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

x->+1=0

1.直線3'的傾斜角等于()

A.30°B.60°C.120°D,150°

【答案】B

【解析】

【分析】利用傾斜角和斜率的關系處理即可.

【詳解】化簡得y=+顯然斜率為若，故傾斜角為60°.

故選：B

2.在空間直角坐標系。孫z中，點"(3,4,-2)在坐標平面2yz內(nèi)的射影是點N,則點N的坐標為()

A.(0,-4,2)B.(3,4,0)C.(0,4,-2)D.(-3,0,2)

【答案】C

【解析】

【分析】點在平面2yz內(nèi)射影是y,z坐標不變，x坐標為o的點.

【詳解】點”(3,4,-2)在坐標平面Oyz內(nèi)的射影是點N(0,4,-2),故點N的坐標是(0,4,-2)

故選：C

3.圓V:(x—2)2+(y—I)?=1與圓N關于直線x—y=0對稱，則圓N的方程為()

A.(x+l>+(,+2)2=1B.(x-2)2+(y+l)2=1

C.(x+2)2+(y+l)2=lD.(I)?+—2)2=1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對稱性求得圓M的圓心和半徑，進而求得圓N的方程.

【詳解】圓M：(x—2產(chǎn)+(y—1)2=1的圓心為(2,1),半徑為1,

第1頁/共

(2,1)關于直線x—y=O的對稱點是(1,2),

所以圓N的圓心是(1,2),半徑是1,

所以圓N的方程為(x—+(y—2>=L

故選：D

4.我國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一

半，六朝才得到其關”，其大意是：有一個人要去某關口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起

腳痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到達該關口，則此人第三天走的路程為()

A.48里B.45里C.43里D.40里

【答案】A

【解析】

【分析】設第六天走的路程為x里，則第五天走的路程為2%里，依此往前推，第一天走的路程為32%里,

根據(jù)前六天的路程之和為378里，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論.

【詳解】設第六天走的路程為尤里，則第五天走的路程為2x里，

依此往前推，第一天走的路程為32x里，

結合題意可得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378,

解得％=6,

則第三天走的路程為8x=8x6=48里.

故選：A.

5.對于常數(shù)以〃，是“方程樞F+ny2=l的曲線是橢圓,，的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】運用橢圓方程的一般形式求得相、”的范圍，結合兩集合的包含關系判斷即可.

m>0

【詳解】因為“方程如期2=1的曲線是橢圓”，貝|九〉()，

m豐n

m>0m>0

又因為<n>0=>mn>0,但mn〉04<n>Q,

m^nmKn

所以“Hl”>0”是“方程九犬+沖2=i的曲線是橢圓”的必要不充分條件.

第2頁/共

故選：B.

6.如圖，在正方體ABC。—中，點、E,尸分別是棱8片,。。的中點，則異面直線GE與CF所

成角的余弦值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)換為求^~即可.

國?同

【詳解】以。為原點，DC,。。]所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系:

設正方體的棱長為1,則G（O，l，l），E,』,g1,C（O,l,O）,?O,O,g

即異面直線C]E與CF所成角的余弦值為;.

第3頁/共

故選：A.

7.已知向量W=(2,4,T),1=(1,2,2)，則向量@在向量匕上的投影向量為()

<122}門22、(244、(244、

A，IjvJB可/JC.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用投影向量的定義結合已知條件直接求解即可.

【詳解】因為向量1=(2,4,T),%=(1,2,2)，

所以向量匕在向量匕上的投影向量為

a-bb_a-bj_2+8-8..°44)

故選：D

22

8.如圖，已知雙曲線E：二一二=1(?！?］〉0)的左頂點為A，。為坐標原點，以A為圓心，R為半徑

ab

uunuinnitonuun

的圓與雙曲線E的一條漸近線交于P,Q兩點，若AP-4Q=——R\OQ=-3OP,則雙曲線C的離心率

2

為()

A￡R「V21

A.V5B.C.Dn.2、

23

【答案】C

【解析】

【分析】過點A作AMLPQ于點M,求得［0耳=￥尺，則可求得WM，|0叫的值，進而求得

b

tanNMQ4即為漸近線的斜率一，從而求得離心率.

a

【詳解】?/AP-AQ=^AP^|AQ|cosZPAQ=R2cosZPAQ=-，

第4頁/共

ZPAQ=120,又|AP|=|A@=R,過點A作AM于點M,

在MZ\AMQ中,ZAQM=3Q,\AM\=-R,：.\QM\=^-，|P<2|=^7?,

22

又。Q=—3OP,??.阿=：間|=47?,|。0=乎7?,

：.\OM\=\OQ\-\QM\=^~,

R

AM72J3

tanZMOA=\——\=丫一=—

\OM\y/3R3

4

?.?漸近線方程為y=?x,=2叵

aa3

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且公差不為0,若。2+。8=°，則下列說法正確的是（）

A.。5=°B.國〉同

C,數(shù)列｛2樂｝是等比數(shù)列D.當〃=5時，S”最大

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于A,由等差數(shù)列性質(zhì)即可判斷；對于B,對公差分類討論即可判斷；對于C,由等差等比數(shù)列

定義即可判斷；對于D,取公差d>0,即可舉出反例判斷.

第5頁/共

【詳解】對于A,因為。2+。8=2%=0，所以。5=0，故A正確；

對于B,若公差d>0,則有<。3<。5=0，若公差d<0，則有％〉%〉%=0，無論如何都有

同>同，故B正確；

對于C,,=2%口=2",其中"是等差數(shù)列｛q｝的公差，即數(shù)列｛2%｝是等比數(shù)列，故C正確；

對于D,取公差d>0,則有6<4<%<%<%=0，此時當〃=5,S.最小，故D錯誤.

故選：ABC.

10.下列說法正確的是()

A.點4(%,%),是直線/上不同的兩點，則直線/可以表示為三江=三工

B.若直線改+2y+2=0與直線x+(a-l)y+l=0平行，則實數(shù)。=一1

C.過點(LD且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為y=-x+2

D,直線hk的斜率分別是方程X2-3X-1=0的兩根，則k14

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,根據(jù)兩點的橫坐標，縱坐標是否相等進行討論，可得答案；對于B,利用直線與直線平

行的性質(zhì)直接求解，可得答案；對于C,分截距為0和截距不為0兩種情況，進行求解，可得答案；對于

D,利用根與系數(shù)的關系人?質(zhì)可進行判斷得到答案.

【詳解】對于A,當不彳羽，時，由斜率公式，可得二=匹二"，可整理為上也=三三，

X—X[X2-X1y2-V]

當玉=》2時，直線/的方程為X=%；當％=%時，直線/的方程為了=%，故A錯誤；

對于B,直線依+2y+2=0與直線x+(a-l)y+l=0平行，則a(a-l)=2xl,

解得：<7=2或a=-1,當。=2時，兩直線重合，舍去，故。=-1時，兩直線平行，B正確；

對于C,當直線在坐標軸上截距為0時，設丁=依，將(LD代入得左=1,此時直線方程為丁=%,

當直線在坐標軸上截距不為0時，設直線方程為二+上=1,把(1,1)代入得工+工=1,解得。=2.

aaaa

此時直線方程為2+2=1,即x+y—2=0,

22

故過點(1,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為y=x和y=-X+2,故C錯誤；

第6頁/共

對于D,設兩直線的斜率分別為勺，42,因為左次2是方程為2-3x-1=0的兩根,

所以利用根與系數(shù)的關系得匕？左2-1,所以兩直線的位置關系是垂直，故D正確.

故選：BD.

11.如圖，正方體ABC?！狝4G。的棱長為2,E,F,G,”分別是棱AA，A2,4G，CG的中點，點

UULIUUUU人c一

M滿足其中2e[0,l]，則下列結論正確的是（）

A.過M,E,尸三點的平面截正方體所得截面圖形有可能為正六邊形

B.三棱錐A-MEF的體積為定值

C.當彳=!時，AC//平面

2

D.當4=1時，三棱錐片-外接球的表面積為6兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】當4=0時，點/與點〃重合時，過M,E,尸三點的平面截正方體所得截面圖形為正六邊形，A

正確；根據(jù)GH//平面AD2A,得到點M到平面的距離為定值，可判定B正確；當彳=；時，

因為AC〃石而四a平面MERC錯誤；由題意點M與點G重合，4所為等腰直角三角形，

4E歹的外接圓半徑為廠=；斯，由于尸G,平面4所，由勾股關系可求外接球半徑，從而求解，D

正確.

【詳解】當2=0時，點加■與點〃重合時，

過M,E,尸三點的平面截正方體所得截面圖形為正六邊形，

如圖：

第7頁/共

G

故A正確；

uuuuuuu

對于B,因為"0=可得點M是線段GH上的一個動點，

又因為正方體ABC。—A4G2中，平面5。。由〃平面ADDi4，G〃u平面BCC[B],

故GH//平面ADD.A,所以點M到平面ADD.A的距離為定值，

而SE%=]，所以三棱錐V"—EF4是定值，又因為％-EFA=%[-MEF，

故三棱錐A-MEF的體積為定值，B正確；

當彳=工時，點/為GH中點，

2

因為AC//EH,而EH(Z平面MEF,

所以AC與平面ME尸不平行，C錯誤;

當4=1時，點M與點G重合，4M為等腰直角三角形,

則AEP的外接圓半徑為廠=：￡/=[,

又因/^，平面4石/，

所以三棱錐A—MEF外接球的半徑尺2=/+[空]=1+1=-,

(2J22

則R=邁，所以外接球表面積為4?；?=6兀，D正確.

2

第8頁/共

Z>1G

4

E

4B

故選：ABD

UUUUUUU-c，

【點睛】思路點睛：由條件點M滿足"70=/1歸6,其中2e[0,l],先可判斷點M是線段GH上的一個

動點，再根據(jù)力的不同取值確定點M的位置，從而進行研究問題.

12.過拋物線y2=2px（p〉0）的焦點P作直線/與拋物線交于A3兩點，且|AF|〉|BF|,則下列說法正

確的是（）

A.直線。4,03的斜率之積為定值

B.直線/交拋物線的準線于點C,若匿=32尸下，則直線/的斜率為2夜

C.若|AF|=4,NOE4=120。，則拋物線的準線方程為x=—1

D,直線A0交拋物線的準線于點。，則直線3￡>〃x軸

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于選項A:設直線/：x=my+~|并與拋物線聯(lián)立，借助韋達定理即可判斷；對于選項B:利用

BMCFHC,求出|。司=3p,|HC|=―回殲=2貶p，結合斜率公式即可判斷；對于選項C：

結合題意可得A1^+2,2君],利用拋物線的定義即可判斷；對于選項D:計算點8的縱坐標與點。的縱

坐標，即可判斷.

【詳解】對于選項A:結合題意：連接。4,03,

易知直線/的斜率不為0,故可設直線/：x=m_y+y,

且設A3兩點的坐標分別為（％,%）,（%，%），

第9頁/共

,、x=my-\——,0°

聯(lián)uj2，可得y-2mpy-p=0,

y2=2px(p>0)

2

所以A=4^2p2+4p2〉0,3+為=2mp,yry2=-p,

/、(、

所以=W1w2+7=療％為+(x+%)+

k.k=&.&="=_4

所以°A°B—X]x2~p^~.故選項A正確；

T

對于選項B:過點B作BM垂直準線于M,設準線與X軸的交點為H,

\HF\|FC|4

易得BMC切C,因為C2=32F，所以上U=M=Z，

\BM\\BC\3

3

由|上回=〃，由拋物線的定義可知：怛同=怛閭=［。，

所以|CF|=3p,|“C=JCF|2-|HF|2=2①p，

,\HC\242pr-

直線/的斜率為k=tanZ.HFC=；--：=-----=2y2,

|即P

同理結合拋物線的對稱性可知：直線/斜率A=±2及，故選項B錯誤;

對于選項C:過點A作AK垂直x軸于點K,過點A作AE垂直準線于點E,

第10頁/共

因為IAF|=4,ZOFA=120。，所以ZKFA=60°,|FK\=2,\AK\=2y/3,

所以點

結合拋物線的定義可知|Ab|=|AE|=+2+^=4,解得p=2,

故拋物線的準線方程為x=-"=-1,故選項C正確;

2

對于選項D:設43兩點的坐標分別為（玉,乂）,（九2，%），

因為點A在拋物線y=2內(nèi)5〉0）上，所以玉=三，所以點

2P

k°A==2P

所以西才丹,故直線。4的方程為丁=一匕%,

丁弘

2P

2Pp2

y=——冗y=~—(2A

聯(lián)立％,解得x,所以點。一￡,一2—

vPPI2%J

X=X=--

所以點。的縱坐標為-2,

%

-n2…P2

結合選項A可知％%=-p2，所以%=，-，所以點B的縱坐標為----，

%

因為點B的縱坐標與點。的縱坐標相等，所以直線BD//X軸.故選項D正確.

第11頁/共

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：

1.根據(jù)拋物線的定義，可以得出一個結論：拋物線上的任意一點P到焦點尸的距離都等于點尸到準線的距

離，這個結論是拋物線最重要的一條性質(zhì)，很多有關拋物線的填空題和選擇題都是圍繞這條性質(zhì)設計；

2.何時使用定義：一般情況下，當題意中出現(xiàn)了"拋物線上的點與焦點的連線”或者出現(xiàn)了“拋物線上的點到

準線（或垂直于拋物線對稱軸的直線）的距離”的時候，都要優(yōu)先考慮使用拋物線的定義來解題；

3.拋物線的標準方程的表達式中含有一次項，根據(jù)這個特點，設拋物線上的點尸的坐標就可以用一個變量

進行表示，再結合相關的已知信息進行運算.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.已知橢圓不+方=1（6〉0）一個焦點與拋物線y2=8x的焦點重合，則/?=.

【答案】4&

【解析】

【分析】先求出拋物線焦點位置，進而確定橢圓焦點位置，后用橢圓基本量的關系求解即可.

【詳解】易知在V=8x中，p=4,焦點為（2,0）,

22_

故橢圓土+與=13〉0）的焦點在X軸上，故4+廿=36，解得b=4形.

36b

故答案為：4A/2

14.如圖，在三棱錐A—BCD中，AB1平面BOC,ZBDC=90°,AB=8,BD=6,則點3到平面AC。

的距離等于.

【答案】4.8

第12頁/共

【解析】

【分析】設5到平面AC。的距離為〃，利用匕.B8=%-AS，即可求得點B到平面ACD的距離.

【詳解】因為AB工平面BOC,所以ABVCD,

又NBDC=90°,則CDLBD,ABc瓦)=5,ABu平面ABD5Du平面ABD

所以CD,平面AB￡),ADu平面至D，所以COLA。，

因為43=8,5￡>=6,所以AD=10,

所以S=-x6xCD=3CD,所以S,=-xlOxCD=5CD,

，，"一-QUL2rDry

設B到平面ACD的距離為h,因為匕.BC?=VB^ACD，

所以』x3Sx8=』x5a>></2,解得A=4.8,

33

故答案為：4.8

15.已知直線-〃7+1=。，當直線/被圓(無-3>+丁=9截得的弦長最短時，實數(shù)優(yōu)的值為

【答案】2

【解析】

【分析】分析題意找到直線必過的定點，并判斷直線與圓的半徑垂直，利用點線距離相等建立方程，求解即

可.

【詳解】易知圓心為(3,。)，廠=3,而/可化為y=%(x—1)+1,

故/必過(1,1),易得(LD在圓內(nèi)，即直線/與圓相交,

若直線/被圓("3)2+丁=9截得的弦長最短,

則"a―y—m+1=0與圓的半徑必定垂直，設圓心到/的距離為d，

,--------「\3m-m+1\

則d=J(3-l)2+]=>/5,故?/'=’5,解得加=2.

Vm2+1

故答案為：2.

16.人教A版選擇性必修一習題1.4拓廣探索第17題中提到“在空間直角坐標系。孫z中，己知向量

m=(a,b,c),點尺若平面1經(jīng)過點玲，且以切為法向量，點尸(x,y,z)是平面內(nèi)的任意一

點，則平面a的方程為a(x-i)+b(y-yo)+c(z-Zo)=O”.現(xiàn)己知平面1的方程為

第13頁/共

X—y+z+l=O,直線/是平面x-y+2=0與平面2x—z+l=o的交線，且直線/的方向向量為

n=(u,v,w),則平面。的一個法向量可以為加=,直線/與平面a所成角的正弦值為

【答案】?.(1,-1,D②.交#上0

33

【解析】

【分析】結合題意求出平面的法向量和直線的方向向量，用線面角的向量求法處理即可.

【詳解】顯然平面a的一個法向量可以為冽=(1,-1,1),

易知平面x—y+2=0的法向量為(1,-1,0),平面2x—z+l=0的法向量為(2,0,—1),

且直線/的方向向量為"=(M,V,W),故〃—v=0,2u—w—0,令M=l,

解得V=l,w=2,故"=(1,1,2),設直線/與平面a所成角為歷

lxl+(-l)xl+2

則sin6=也

73x76

故答案為：(1,-1,1)；走

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知雙曲線C經(jīng)過點(1,2),且其漸近線方程為岳±y=0.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)若直線y=Ax+l與雙曲線C至少有一個交點，求實數(shù)人的取值范圍.

2

【答案】(1)---X2=1

2

(2)(^o,-l]u[l,+oo)

【解析】

22

【分析】(1)先判斷出焦點在y軸上，并設雙曲線方程為與-二=1,利用待定系數(shù)法求解即可;

a2b2

y=kx+\

(2)聯(lián)立《y2,消元，借助判別式分類討論即可.

^--%2=1

I2

第14頁/共

【小問1詳解】

結合題意可得：點（1,2）在漸近線J%±y=O的上方,

22

雙曲線要經(jīng)過此點，則焦點在y軸上，設雙曲線方程為4一二=1,

a2b2

則漸近線方程為丁=土0%=土缶，所以4=收，

bb

/、41

因為雙曲線C經(jīng)過點（1,2）,所以=

，二桓2

所以《b解得《“一、，所以雙曲線C的標準方程為匕―k=1.

412

=1b=l

薩一瓦

【小問2詳解】

y=kx+\

結合（1）問：聯(lián)立《y22,可得（女之+2Ax-1=0,

12

當公—2=0時，即左=±行，此時y=±0x+l與漸近線平行，故只有一個交點，滿足題意;

當左2—2w0時，即左w土夜，要使直線丁=履+1與雙曲線。至少有一個交點,

則八=（2左/一4（公一2卜（一1）20,解得上W—1或左21,且左#±0.

綜上所述：實數(shù)人的取值范圍為左u[I,”）.

18.己知數(shù)列｛4｝滿足:4=1，%=2；”+「

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

49-,

（2）若,出+。3a4+L+a“a”+]＜二。,求滿足條件的最大整數(shù)”.

【答案】（1）證明見解析

（2）24

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義結合已知的遞推式可證得結論；

第15頁/共

⑵由⑴可求得4，二.’則可得毋…；〔擊一擊)’然后利用裂項相消法可求得

+。2。3+。3。4+L+anan+l?進而解不等式可求得結果.

【小問1詳解】

證明：因為4+1=詈；，

24+1

1____111

a

所以4+in%an

2an+1

2Q?+11

??an

；2a“+]1L2

an

因為q=l,所以數(shù)列|一:是以2為公差，1為首項的為等差數(shù)列;

【小問2詳解】

解：由(1)得」-=1+2(〃_1)=2“_1,

an

所以4=不」

2n-l

111(11、

所以44M2_n-l2〃+1=；212〃一1Zn+YJP

所以+。2。3+。3。4+L+anan+l

11,

22〃+1

n

2〃+1

由一n^<士4_9,得〃<4=9=24.5,

2n+l1002

因為〃wN*，所以滿足條件的最大整數(shù)為24.

第16頁/共

19.如圖，已知點P(—2,—5)和圓〃：爐+產(chǎn)―4x—6y—3=0.

(1)求以PM為直徑的圓N的標準方程；

(2)設圓〃與圓N相交于A,B兩點，試判斷直線PA依是否為圓M的切線.若是，請求出直線Q4

和依的方程；若不是，請說明理由.

【答案】⑴x2+(y+l)2=20

(2)直線PAP5是圓M的切線，PA:x=-2,PB:3x-4y-14=0

【解析】

【分析】(1)由中點坐標公式兩點間距離公式確定圓N的圓心、半徑，由此即可得解.

(2)由左N”="液得為圓N的直徑，由此即可判斷，進一步分圓N的切線斜率是否存在討論即可求解.

【小問1詳解】

圓M:x?+/-4x-6y-3=0即M:(x—2)2+(,—3y=16,所以圓心4(2,3),半徑火=4

又P(—2,—5),所以PM中點為N(0,—1),以PM為直徑的圓N的半徑

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由N(O,—1)，M(2,3),P(-2,-5),得左NM=^1=2,右p=^^=2,

z—u—z—u

所以左NM=左橋，所以PM為圓N的直徑，所以跖I‘AP.MB'BP,

即直線PA,總是否為圓M的切線，

過點P(-2,-5)且斜率不存在的直線為1=—2,

而點"(2,3)到直線x=—2的距離滿足d=4=R,滿足題意，

故直線的方程為尤=-2；

設網(wǎng)的方程為y+5=Zr(x+2),

點”(2,3)到直線y+5=左(x+2)的距離滿足d=塔1-4=7?,

\lk~+1

解得左=：,所以收的方程為y+5=j(x+2),即3x—4y—14=0.

20.北宋數(shù)學家沈括博學多才、善于觀察.據(jù)說有一天，他走進一家酒館，看見一層層壘起的酒壇，不禁

想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？"，沈括“用芻童(長方臺)法求之，常失于數(shù)少”，他想堆積的酒壇、

棋子等雖然看起來像實體，但中間是有空隙的，應該把他們看成離散的量.經(jīng)過反復嘗試，沈括提出對上

底有4個，下底有cd個，共”層的堆積物(如圖)，可以用公式

rjri

S=—[(2"+d)a+S+2d)c]+—(c-a)求出物體的總數(shù).這就是所謂的“隙積術”，相當于求數(shù)列仍，

66

(?+1)3+1),(?+2)S+2),L,(a+〃—1)3+/7-1)的和，“隙積術”給出了二階等差數(shù)列的一個求和公

式.現(xiàn)已知數(shù)列｛4｝為二階等差數(shù)列，其通項4=雙"+1),其前"項和為S"，數(shù)列｛4｝的前〃和為

T.,且滿足24=3〃—1.

(1)求數(shù)列｛4｝的前〃項和s“；

s

(2)記cn=—V-,求數(shù)列｛%｝的前n項和Hn.

°n"n

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【解析】

【分析】(1)根據(jù)公式S=W[(2b+d)a+9+2d)c]+￡(c—a),求出數(shù)列｛4｝中的。，c代入公

式求解.

(2)根據(jù)a,7；的關系求數(shù)列｛勿｝的通項公式，由(1)求得｛%｝的通項公式，通過錯位相減法求得前〃

項和Hn.

【小問1詳解】

數(shù)列｛??｝的通項a“=n(n+1),

因為在數(shù)列1x2,2x3,3x4,…，"("+1)中，a=l,b=2,項數(shù)為“，c=n,d=n+l,

所以S〃=￡[(4+〃+1)*1+(2+2〃+2)/]+々5-1)=?"2+3〃+2).

即S“=?4+3〃+2)

【小問2詳解】

因為數(shù)列也｝的前〃和為Tn,且滿足2T"=3b?-1.

所以當2時，2(1=36,1—1,

兩式相減可得2bli=3bn-36,i,即＞=36,i,

令〃=1,則2仇=3仇—1,解得仇=1,

所以數(shù)列他“｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以2=3"T.

所以C=S”其.+3"+2)1〃+1)(〃+2)

〃+2

n

an-bn〃(〃+l),3"T〃(〃+l)?3"T"3"

4=嗎+咱+50++(〃+i)*t)+(〃+2)x(g)①,

也=3x?+4?+5x?++("■

①一②得：

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沁"III+&+[)++[]-刊+2山

21.如圖，在矩形A8C。中，已知A3=2A￡>=4,M,E分別為AB,C。的中點，AC,BE交于點F,

DM與AE交于點、N,將VADE沿著AE向上翻折使。到。C（點。C不在平面ABCQ內(nèi)）.

（1）證明：平面。'MN1_平面ABC。；

（2）若點OC在平面A3CD上的投影//落在椽形ABCE的內(nèi)部及邊界上，當切最大時，求平面DAB與

平面。'BC夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵

11

【解析】

【分析】（1）連接可知四邊形A￡>￡M與四邊形AffiCE是全等的正方形，可得AELZW,進而

可證得AE，平面D'MN，由線面垂直的判斷定理即可證得結果；

（2）首先明確。C在平面ABCD上投影H的軌跡，進而判斷也最大值時〃的位置，建立空間直角坐

標系，求得平面。'A3,平面。'8C的法向量，計算得出結果.

【小問1詳解】

連接EM,

因為矩形ABCD中，已知A5=2AD=4,M,E分別為AB,C。的中點，

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所以四邊形ADEM與四邊形"BCE是全等的正方形，

所以AEJ_ZW,

所以AE工MN,AE工D'N,MNcD'N=N,MNu平面DMN,DNu平面D'ACV,

所以AE,平面又因為AEu平面A8CD,所以平面O'MNJ_平面ABC。；

【小問2詳解】

由（1）可知，AE,平面D'MN,所以點DC在平面A3CD上的投影H落在線段上.

因為BE//MN,EN1MN,

點OC在平面ABC。上的投影〃落在點N處，

如圖建立平面直角坐標系M-xy,則有A（-2,0）,C（2,2）,B（2,0）,E（0,2）,TV（-l,l）,

聯(lián)立解得:

所以FH、

所以當F?/最大時，以M為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則

4（-2,0,0）,5（2,0,0）,^（-1,1,72）^（2,2,0）,

所以A5=（4,0,0）,3C=（0,2,0）,AD'=（1,1,72）,^=（-3,1,72）,

/、\nYBD'=0f-3x,+y,+42z,=0

設平面。'AB的法向量為%=（%,%,zj,則＜，即＜40'

、%0項

取Z[=l,則另=—0,占=0,所以勺=（0,—行,1）,

/出?BD'=0f—3X+y,+V2Z=0

設平面。'BC的法向量為%=（9，％，Z2），貝巾~，即＜72229

n2-BC=0[2%-0

取22=3,則%=0，入2=夜，所以〃2=（后,0,3）,

%3A/33

所以『『巾=百了=7r.

所以平面O'AB與平面。'BC夾角的余弦值叵.

11

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22.如圖，已知曲線C|是以原點。為中心、耳,且為焦點的橢圓的一部分，曲線是以原點。為中心，

耳，工為焦點的雙曲線的一部分，A是曲線和曲線G的交點，且NA鳥耳為鈍角，我們把曲線G和曲線

。2合成的曲線C稱為“月蝕圓”.設420,、/）,耳（—2,0）,乙（2,0）.

（1）求曲線G和C2所在的橢圓和雙曲線的標準方程;

（2）過點工作一條與x軸不垂直的直線，與“月蝕圓''依次交于8,C,D,E四點，記G為的中點,

忸閭

?為BE的中點.問:13是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

忸同恒用

【答案】（1）橢圓G所在的標準方程為L+乙=1,雙曲線C,所在的標準方程為土一工=1

161222

CD\-HF2

(2)是定值，為理由見解析

BE\-GF24

【解析】

22

【分析】（1）設橢圓所在的標準方程為A+與=l（a〉6〉0）,雙曲線所在的標準方程為

a2b-

二—與=1（機〉0,”〉0）,根據(jù)A在曲線上、焦點坐標可得答案;

mn

（2）設直線BE1的方程為工=町+2,3（%,%）,￡（%2，%），。（&，%），。（%4，%），直線班的方程與橢

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圓方程、雙曲線方程分別聯(lián)立，利用韋達定理求出回一%|、I%—%|，由

\BE\-GF2\為

2

I%-%化簡可得答案.

I"-%

2

【小問1詳解】

22

設橢圓所在的標準方程為^-+4=1（?！?〉0）,

a2b2

22

雙曲線所