2023屆浙江省強基聯(lián)盟高三下學期仿真模擬（二）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省強基聯(lián)盟2023屆高三下學期仿真模擬（二）數(shù)學試題選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解，得，所以，解，得，所以,所以.故選：C.2.已知是虛數(shù)單位，，，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當時，，則；反之，，若，則.所以，則，所以不一定得到.綜上：“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.如圖，某同學到野外進行實踐，測量魚塘兩側的兩棵大榕樹A，B之間的距離．從B處沿直線走了到達C處，測得，，則（）．A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得，，且，，則，所以，，在中，由正弦定理可得，即，解得.故選:A4.從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中隨機地取3個不同的數(shù)，3個數(shù)中最大值與最小值之差不小于4的概率為（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗從，，，，，中任取三個不同的數(shù)，共有不同的取法有種，其中這3個數(shù)最大值與最小值之差不小于4是：共10種，則3個數(shù)中最大值與最小值之差不小于4的概率為.故選：D.5.已知平面向量，，向量，在單位向量上的投影向量分別為，，且，則可以是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設，由為單位向量可得，，因為向量，在單位向量上投影向量分別為，，所以，，即，，因為，，所以，，又因為，所以，即，因為，所以與不同時為0，即，則，所以，所以或.故選：C6.中國古代數(shù)學著作《九章算術》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2，，、，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為1和2，對應的圓心角為，則圖中四面體的體積為（）．A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，根據(jù)勾股定理可求，，，即與為全等的等腰三角形，取的中點，連接，由等腰三角形的性質可得，，所以面，且，可求的高為，從而，.故選：B7.已知函數(shù)，，，在上單調，則的最大值為（）．A.3 B.5 C.6 D.7〖答案〗D〖解析〗，∴直線為圖象的對稱軸，，的對稱中心為，，，．又在上單調，．，，又，∴當時，，因為直線為圖象的對稱軸，所以，，解得，，又，所以，則，當時，，則在上不單調，舍去；當時，，因為直線為圖象的對稱軸，所以，，解得，，又，所以，則，當時，，則在上不單調，舍去；∴當時，，因為直線為圖象的對稱軸，所以，，解得，，又，所以，則，當時，，則在上單調.則的最大值為7．故選：D8.下列不等式正確的是（）．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，可得，故A選項錯誤；因為在上單調遞增，并且函數(shù)圖像上凸，所以，所以，故B選項錯誤；構造函數(shù)，，時，時函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，又因為，所以成立，故C選項正確；令，，所以在上單調遞減，又，所以時，所以，所以，故D選項錯誤．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列命題中成立的是（）．A.若，是第一象限角，則B.若，是第二象限角，則C.若，是第三象限角，則D.若，是第四象限角，則〖答案〗BD〖解析〗對于A，不妨取，滿足題意，但是，A錯誤；對于B，設,因為，故，由于在上單調遞減，故，B正確；對于C，不妨取，滿足題意，而，C錯誤；對于D，設，因為，故，由于在上單調遞增，故，D正確；故選：BD10.擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)這5次的統(tǒng)計結果，下列選項中有可能出現(xiàn)點數(shù)1的是（）．A.中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 B.平均數(shù)是4，中位數(shù)是5C.極差是4，平均數(shù)是2 D.平均數(shù)是4，眾數(shù)是5〖答案〗BCD〖解析〗對于A，中位數(shù)是3，則這5個數(shù)從小到大排列后，第3個數(shù)是3，第1、2個數(shù)是2才能使眾數(shù)為2，故第1個數(shù)不是1，故A不正確，對于B，有可能出現(xiàn)點數(shù)1，例如；對于C，有可能出現(xiàn)點數(shù)1，例如；對于D，有可能出現(xiàn)點數(shù)1，例如；故選：BCD.11.如圖，已知拋物線，過拋物線焦點的直線自上而下，分別交拋物線與圓于四點，則（）．A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由拋物線方程可知，設直線為，，，聯(lián)立方程，消去得，所以，，由拋物線的定義可知，，又點是圓的圓心，所以，，所以，選項A正確；因為，由上述可知，，當且僅當時等號成立，所以，選項B正確；因為，由上述可知，所以，所以，其中，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，選項C錯誤；因為，由上述可知，，當且僅當，即，時等號成立，所以，選項D錯誤；故選：AB12.若定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則下列結論正確的是（）．A.若，，，則B.若，則C.若，則的圖像關于點對稱D.若，則〖答案〗BC〖解析〗令，則，∴為奇函數(shù)，把y用代替，得到，設，，∴．又∵當時，，∴，∴在上單調遞減．∵，，當時，，則當時，則，，當時，則，．綜上，，∴A錯誤．令，得，∴，令，得，∴，∴B正確．由，得，得，又∵，為奇函數(shù)，∴，則，則的圖像關于點對稱，∴C正確．，假設，可得，即，當時，不成立得出矛盾假設不成立，∴D錯誤．故選：BC.非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為__________．〖答案〗〖解析〗因為，則，所以，，，所以，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)，設，則__________．〖答案〗〖解析〗由，取，得到；等式兩邊同時求導，得到，取，得到.于是.故〖答案〗為：15.已知圓C的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C相外切，則k的取值范圍為__________．〖答案〗〖解析〗因為直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C相外切，所以圓C的圓心到直線的距離不大于兩半徑之和，即，化簡得，解得，故〖答案〗為：16.已知，為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，直線l是曲線C的切線，，分別為，在切線l上的射影，則面積的最大值為__________．〖答案〗〖解析〗如圖，延長至，使得，由題意可知：，故，，三點共線，因為為斜邊上的中線，故．取切點P，連接，，作．由橢圓的光學性質可設，，同理可得，由上分析可得，時取得最大值．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且．（1）求A；（2）點D在邊上，且，，求面積的最大值．解：（1）∵，∴，即，∴，∴．（2）根據(jù)題意可得，所以平方可得．又，所以，當且僅當，時，等號成立，所以，即面積的最大值為．18.某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該同學比賽結束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得分，否則得0分．已知學生甲能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．（1）若學生甲先回答A類問題，，，，，記X為學生甲的累計得分，求X的分布列和數(shù)學期望．（2）從下面的兩組條件中選擇一組作為已知條件．學生甲應選擇先回答哪類問題，使得累計得分的數(shù)學期望最大？并證明你的結論．①，；②，．解：（1）由題意得X的可能取值為0，20，100．，，，分布列如下表：X020100P0.20.320.48．（2）如果選擇條件①．若甲同學選擇先回答A類問題，得到對應的分布列為0mP．若甲同學選擇先回答B(yǎng)類問題，得到對應的分布列為0nP．所以，所以甲同學先回答A類問題的期望大．如果選擇條件②．若甲同學選擇先回答A類問題，得到對應的分布列為0mP.若甲同學選擇先回答B(yǎng)類問題，得到對應的分布列為0nP.所以，所以甲同學先回答A類問題期望大．19.已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）保持中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列，記的前n項和為，求的值（用數(shù)字作答）．（1）解：由數(shù)列的前n項和為，且，當時，，所以，當時，，不符合上式，所以數(shù)列的通項公式為．（2）解：保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，則新數(shù)列的前100項為3，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，，，，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，則．20.如圖，在三棱錐中，，，，．（1）證明：平面；（2）點E，F(xiàn)分別位于線段，上（不含端點），連接，若，直線EF與平面所成的角為，求k的值．（1）證明：因為，，所以為等腰直角三角形，，又因為，，平面，所以平面．（2）解：如圖，以為坐標原點，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，不妨假設，所以得到，，，，，，設，，由，解得，則，由同理可得，則．設平面的法向量為，，，取，即.又因為與平面所成的角為，所以，故．21.已知雙曲線的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；（2）已知過點的直線與過點的直線的交點N在雙曲線C上，直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，證明為定值，并求出定值．解：（1）因為雙曲線經(jīng)過點，所以.又因為，所以，，所以雙曲線C的標準方程為，漸近線方程為．（2）設點，則，即.因為為直線和直線的交點，所以，所以點都在直線上，所以所在的直線方程為，將直線與漸近線方程聯(lián)立得，解得,即，同理得，所以，因為，所以，所以為定值6.22已知函數(shù)，．（1）求的單調性；（2）若函數(shù)在上有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1），，則，又因為函數(shù)的定義域為，所以的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為，．（2）先證明兩個結論：時，.設，則，于是在上遞減，故，即時；設，，即在上遞增，故，即時，.令，，．①當時，，當時，，所以當時，在上無零點，舍去．②當時，，，則，所以在上單調遞增．而，，所以在上存在唯一，使得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，所以僅在上存在唯一零點．綜上，a的取值范圍為.浙江省強基聯(lián)盟2023屆高三下學期仿真模擬（二）數(shù)學試題選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解，得，所以，解，得，所以,所以.故選：C.2.已知是虛數(shù)單位，，，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當時，，則；反之，，若，則.所以，則，所以不一定得到.綜上：“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.如圖，某同學到野外進行實踐，測量魚塘兩側的兩棵大榕樹A，B之間的距離．從B處沿直線走了到達C處，測得，，則（）．A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得，，且，，則，所以，，在中，由正弦定理可得，即，解得.故選:A4.從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中隨機地取3個不同的數(shù)，3個數(shù)中最大值與最小值之差不小于4的概率為（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗從，，，，，中任取三個不同的數(shù)，共有不同的取法有種，其中這3個數(shù)最大值與最小值之差不小于4是：共10種，則3個數(shù)中最大值與最小值之差不小于4的概率為.故選：D.5.已知平面向量，，向量，在單位向量上的投影向量分別為，，且，則可以是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設，由為單位向量可得，，因為向量，在單位向量上投影向量分別為，，所以，，即，，因為，，所以，，又因為，所以，即，因為，所以與不同時為0，即，則，所以，所以或.故選：C6.中國古代數(shù)學著作《九章算術》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2，，、，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為1和2，對應的圓心角為，則圖中四面體的體積為（）．A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，根據(jù)勾股定理可求，，，即與為全等的等腰三角形，取的中點，連接，由等腰三角形的性質可得，，所以面，且，可求的高為，從而，.故選：B7.已知函數(shù)，，，在上單調，則的最大值為（）．A.3 B.5 C.6 D.7〖答案〗D〖解析〗，∴直線為圖象的對稱軸，，的對稱中心為，，，．又在上單調，．，，又，∴當時，，因為直線為圖象的對稱軸，所以，，解得，，又，所以，則，當時，，則在上不單調，舍去；當時，，因為直線為圖象的對稱軸，所以，，解得，，又，所以，則，當時，，則在上不單調，舍去；∴當時，，因為直線為圖象的對稱軸，所以，，解得，，又，所以，則，當時，，則在上單調.則的最大值為7．故選：D8.下列不等式正確的是（）．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，可得，故A選項錯誤；因為在上單調遞增，并且函數(shù)圖像上凸，所以，所以，故B選項錯誤；構造函數(shù)，，時，時函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，又因為，所以成立，故C選項正確；令，，所以在上單調遞減，又，所以時，所以，所以，故D選項錯誤．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列命題中成立的是（）．A.若，是第一象限角，則B.若，是第二象限角，則C.若，是第三象限角，則D.若，是第四象限角，則〖答案〗BD〖解析〗對于A，不妨取，滿足題意，但是，A錯誤；對于B，設,因為，故，由于在上單調遞減，故，B正確；對于C，不妨取，滿足題意，而，C錯誤；對于D，設，因為，故，由于在上單調遞增，故，D正確；故選：BD10.擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)這5次的統(tǒng)計結果，下列選項中有可能出現(xiàn)點數(shù)1的是（）．A.中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 B.平均數(shù)是4，中位數(shù)是5C.極差是4，平均數(shù)是2 D.平均數(shù)是4，眾數(shù)是5〖答案〗BCD〖解析〗對于A，中位數(shù)是3，則這5個數(shù)從小到大排列后，第3個數(shù)是3，第1、2個數(shù)是2才能使眾數(shù)為2，故第1個數(shù)不是1，故A不正確，對于B，有可能出現(xiàn)點數(shù)1，例如；對于C，有可能出現(xiàn)點數(shù)1，例如；對于D，有可能出現(xiàn)點數(shù)1，例如；故選：BCD.11.如圖，已知拋物線，過拋物線焦點的直線自上而下，分別交拋物線與圓于四點，則（）．A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由拋物線方程可知，設直線為，，，聯(lián)立方程，消去得，所以，，由拋物線的定義可知，，又點是圓的圓心，所以，，所以，選項A正確；因為，由上述可知，，當且僅當時等號成立，所以，選項B正確；因為，由上述可知，所以，所以，其中，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，選項C錯誤；因為，由上述可知，，當且僅當，即，時等號成立，所以，選項D錯誤；故選：AB12.若定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則下列結論正確的是（）．A.若，，，則B.若，則C.若，則的圖像關于點對稱D.若，則〖答案〗BC〖解析〗令，則，∴為奇函數(shù)，把y用代替，得到，設，，∴．又∵當時，，∴，∴在上單調遞減．∵，，當時，，則當時，則，，當時，則，．綜上，，∴A錯誤．令，得，∴，令，得，∴，∴B正確．由，得，得，又∵，為奇函數(shù)，∴，則，則的圖像關于點對稱，∴C正確．，假設，可得，即，當時，不成立得出矛盾假設不成立，∴D錯誤．故選：BC.非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為__________．〖答案〗〖解析〗因為，則，所以，，，所以，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)，設，則__________．〖答案〗〖解析〗由，取，得到；等式兩邊同時求導，得到，取，得到.于是.故〖答案〗為：15.已知圓C的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C相外切，則k的取值范圍為__________．〖答案〗〖解析〗因為直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C相外切，所以圓C的圓心到直線的距離不大于兩半徑之和，即，化簡得，解得，故〖答案〗為：16.已知，為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，直線l是曲線C的切線，，分別為，在切線l上的射影，則面積的最大值為__________．〖答案〗〖解析〗如圖，延長至，使得，由題意可知：，故，，三點共線，因為為斜邊上的中線，故．取切點P，連接，，作．由橢圓的光學性質可設，，同理可得，由上分析可得，時取得最大值．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且．（1）求A；（2）點D在邊上，且，，求面積的最大值．解：（1）∵，∴，即，∴，∴．（2）根據(jù)題意可得，所以平方可得．又，所以，當且僅當，時，等號成立，所以，即面積的最大值為．18.某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該同學比賽結束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得分，否則得0分．已知學生甲能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．（1）若學生甲先回答A類問題，，，，，記X為學生甲的累計得分，求X的分布列和數(shù)學期望．（2）從下面的兩組條件中選擇一組作為已知條件．學生甲應選擇先回答哪類問題，使得累計得分的數(shù)學期望最大？并證明你的結論．①，；②，．解：（1）由題意得X的可能取值為0，20，100．，，，分布列如下表：X020100P0.20.320.48．（2）如果選擇條件①．若甲同學選擇先回答A類問題，得到對應的分布列為0mP．若甲同學選擇先回答B(yǎng)類問題，得到對應的分布列為0nP．所以，所以甲同學先回答A類問題的期望大．如果選擇條件②．若甲同學選擇先回答A類問題，得到對應的分布列為0mP.若甲同學選擇先回答B(yǎng)類問題，得到對應的分布列為0nP.所以，所以甲同學先回答A類問題期望大．19.