第02講 相似三角形的判定與性質(zhì)（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第02講相似三角形的判定與性質(zhì)1.了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2.進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類比”思想的自覺(jué)性，提高推理能力；3.理解并掌握相似三角形的性質(zhì)，注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角寫在對(duì)應(yīng)位置上；4.靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明、計(jì)算；5.運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決綜合問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的相關(guān)概念在和中，如果我們就說(shuō)與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.注意：

(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說(shuō)明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.3．判定方法（3）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.注意：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（4）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

注意：

要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

知識(shí)點(diǎn)3相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例.性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.注意：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.性質(zhì)3：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比如圖一：∽，則由比例性質(zhì)可得：圖一性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖二，∽，則分別作出與的高和，則圖二注意：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的.知識(shí)點(diǎn)4相似三角形的性質(zhì)與判定綜合【題型1相似三角形的概念】【典例1】（2022秋?郯城縣校級(jí)期末）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【變式1】（2023春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）下列兩個(gè)三角形不一定相似的是（）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)頂角是120°的等腰三角形 C．兩個(gè)全等三角形 D．兩個(gè)直角三角形【題型2三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似】【典例2】如圖，已知．求證：．【變式2】（2023?瑤海區(qū)三模）如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC＝，BC＝；（2）判斷△ABC與△DEF是否相似？并證明你的結(jié)論．【題型3兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似】【典例3】（2022秋?銅仁市期末）如圖，D，E分別為AB，AC邊上兩點(diǎn)，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6．求證：△ADE∽△ACB．【變式3-1】（2022秋?泉州期末）如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，已知OA＝3，OD＝4，OB＝2，OC＝1.5．求證：△AOD∽△COB．【變式3-2】（2023?海淀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且BD＝8，EC＝2．求證：△ADE∽△ACB．【變式3-3】（2022秋?商南縣期末）如圖，AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)E，且AB＝6，AE＝3，AC＝12．（1）求CD的長(zhǎng)．（2）求證：△ABE∽△ACB．【題型4兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似】【典例4】（2023?平潭縣模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．求證：△ADF∽△DEC．【變式4-1】（2023?鳳慶縣二模）如圖，AC為菱形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．求證：△ACD∽△ABE．?【變式4-2】（2023?涵江區(qū)一模）如圖，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，BD相交于點(diǎn)O，OB＝OC，求證：△ABC∽△DCB．【變式4-3】（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：△CDE∽△AFD．【題型5相似三角形的性質(zhì)】【典例5】（2022秋?昌圖縣期末）已知兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，那么它們的面積比是（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【變式5-1】（2023?南明區(qū)校級(jí)模擬）若兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為3：5，則它們對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比為（）A．3：5 B．9：25 C．1：3 D．1：5【變式5-2】（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75° B．105° C．60° D．45°【變式5-3】（2023?江安縣一模）如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：3，BC＝，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【變式5-4】（2023?瀘縣一模）如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【題型6相似三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】【典例6】（2023?蕉城區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G，使CG＝CD，連接AG．（1）求證：四邊形ABCG是平行四邊形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的長(zhǎng)．【變式6-1】（2022春?成武縣期末）如圖在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，且△CBD∽△ACD．（1）求∠ADC度數(shù)；（2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的長(zhǎng)．【變式6-2】（2023春?海陽(yáng)市期末）如圖，在正方形ABCD中，CD＝4，在BC邊上取中點(diǎn)E，連接DE，過(guò)點(diǎn)E做EF⊥ED與AB交于點(diǎn)G，與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）求證：△BEG∽△CDE；（2）求△AFG的面積．【變式6-3】（2022秋?細(xì)河區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD，DE交BC于F，交AB的延長(zhǎng)線于E，且∠EDB＝∠C．（1）求證：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的長(zhǎng)．【典例7】（2023春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的高．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）若AB＝8，AD＝6，求CD的長(zhǎng)．【變式7-1】（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長(zhǎng)．【變式7-2】（2022秋?普蘭店區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的高．（1）求證：△ACD∽△ABC；（2）若AC＝3，BC＝4，求BD的長(zhǎng)．【典例8】（2023春?煙臺(tái)期末）如圖，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一邊在BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點(diǎn)N，求AN的長(zhǎng)．【變式8】（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15．（1）求BC邊上的高AD的長(zhǎng)度；（2）正方形的一邊FG在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上，求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．1．（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，，BF＝8，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．33．（2023?東營(yíng)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長(zhǎng)為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.24．（2022?達(dá)州）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若CD＝3BF，BE＝4，則AD的長(zhǎng)為（）A．9 B．12 C．15 D．185．（2022?貴陽(yáng)）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ACB的周長(zhǎng)比是（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：46．（2022?邵陽(yáng)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ADE∽△ABC．7．（2023?南通）如圖，△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，則＝．8．（2023?廣東）邊長(zhǎng)分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．9．（2023?樂(lè)山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)F．若，則＝．10．（2023?江西）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度．如圖，點(diǎn)A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點(diǎn)D．測(cè)得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹(shù)高PQ＝m．11．（2023?杭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱．設(shè)＝k，若AD＝DF，則＝（結(jié)果用含k的代數(shù)式表示）．12．（2022?北京）如圖，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，則AE的長(zhǎng)為．13．（2022?東營(yíng)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)F、G在BC上，點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長(zhǎng)為．14．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點(diǎn)，且BE＝BC，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：△ADE∽△ABC．15．（2023?邵陽(yáng)）如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）證明：△ABC∽△DEB．（2）求線段BD的長(zhǎng)．1．（2022秋?榆樹(shù)市期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD＝2BD，則的值為（）A． B． C． D．2．（2023?瀘縣校級(jí)模擬）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．3．（2022秋?東莞市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．7 C．3 D．124．（2023?霍林郭勒市模擬）如圖，點(diǎn)E是?ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，且，連接BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若DE＝3，DF＝4，則?ABCD的周長(zhǎng)為（）A．21 B．28 C．34 D．425．（2022秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接AG并延長(zhǎng)交BC邊的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，對(duì)角線BD交AG于F點(diǎn)．已知FG＝2，則線段AE的長(zhǎng)度為（）A．6 B．8 C．10 D．126．（2023?博山區(qū)一模）如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則陰影部分的面積為（）A．5 B．6 C． D．7．（2022秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，DE、AC交于點(diǎn)F，則的值為（）A．1 B． C． D．8．（2023?河?xùn)|區(qū)模擬）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△A1B1C1相似的是（）A． B． C． D．9．（2023?翠屏區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．10．（2023春?肥城市期末）如圖?ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點(diǎn)G，則S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：911．（2022秋?亳州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（2，0），點(diǎn)C在第一象限，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥EP，交CD于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為．13．（2023?山丹縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若AB＝4，AD＝3，則CF的長(zhǎng)為．14．（2023?蘭山區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CB，垂足為B，且BD＝3，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CB，垂足為N．若AC＝2，則MN的長(zhǎng)為．15．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BC＝6，BC邊上的高為4，在△ABC的內(nèi)部作一個(gè)矩形EFGD，使EF在BC邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC邊上，則對(duì)角線EG長(zhǎng)的最小值為．16．（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，則AE的長(zhǎng)為．17．（2022秋?渠縣校級(jí)期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，對(duì)角線BD的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，則線段EF的長(zhǎng)為．18．（2022秋?啟東市校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長(zhǎng)．19．（2022秋?芙蓉區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點(diǎn)F．（1）求證：△ACD∽△BFD；（2）當(dāng)tan∠ABD＝1，AC＝3